Espaço, a Fronteira Final?

Matemáticos precisam tanto de conjuntos da mesma forma como físicos do século 19 precisavam do éter?

Esta postagem demanda certos pré-requisitos de teorias de conjuntos que não são explicitamente apresentados. Quaisquer dúvidas podem ser encaminhadas como comentários. Responderei da forma mais detalhada e imediata possível.

A maneira mais usual de descrever axiomaticamente teorias matemáticas, físicas, biológicas ou econômicas é através dos chamados predicados conjuntistas. Grosso modo, um predicado conjuntista é um predicado descrito em uma linguagem de alguma teoria de conjuntos. Por exemplo, considere uma teoria muito simples que conta com apenas dois conceitos primitivos: um conjunto X e uma função f definida sobre X. Além desses conceitos, ela conta com um único axioma, a saber, "f é uma função cujos domínio e codomínio são ambos X". Chamemos essa teoria de espaço minimalista. 

É fácil provar que espaços minimalistas admitem modelos (interpretações que tornam o axioma dado verdadeiro). Por exemplo, se X é o conjunto dos números reais e f é a função identidade (f de X em X é tal que f(x) = x, para todo x pertencente a X), fica claro que o axioma é satisfeito. 

Por outro lado, naturalmente existem interpretações para os conceitos primitivos X e f que tornam o axioma dado falso. Por exemplo, sejam X o conjunto dos números naturais e f uma função constante f(x) = c definida sobre X, de modo que o codomínio de f coincide com a imagem de f. Neste caso, o codomínio de f tem um único elemento (a constante c) e, portanto, é diferente de X (violando o axioma que impõe que domínio e codomínio de f devem ser o mesmo conjunto). 

O emprego de modelos em predicados conjuntistas permite, entre outras coisas, responder se existem conceitos primitivos elimináveis na teoria. Trata-se de um método metamatemático originalmente publicado em 1900 pelo italiano Alessandro Padoa e desenvolvido ao longo de décadas por Evert W. Beth e Alfred Tarski, entre outros. 

Já vimos em postagem anterior que definibilidade implica em eliminabilidade, ou seja, se um dado conceito em uma teoria axiomática pode ser definido a partir dos demais, então ele é eliminável, dispensável, supérfluo. 

Intuitivamente falando, o método de Padoa funciona como descrito no próximo parágrafo.

Seja S uma teoria axiomática (formulada como predicado conjuntista) cujos conceitos primitivos são c1, c2, c3, ..., cn, onde n é um número natural. O conceito primitivo c1 é independente dos demais (não pode ser definido a partir de c2, c3, ..., cn) se, e somente se, existem dois modelos de S nos quais c2, c3, ..., cn têm a mesma interpretação, mas c1 admite interpretações diferentes. 

Diante disso, é possível provar que em um espaço minimalista, como dado acima, o conceito f é independente de X, mas X não é independente de f. Em outras palavras, é a partir de funções que se definem domínio e codomínio e não o contrário. Ressalto isso porque a maioria esmagadora dos professores de matemática neste país e mesmo no exterior insistem, como recurso didático (um eufemismo para ignorante), na afirmação de que funções são definidas a partir de um domínio, um codomínio e uma "regra" que associa elementos do domínio a elementos do codomínio. Com o impensado objetivo de facilitar o aprendizado da matemática, docentes e autores de livros estupram não apenas esta ciência mas também as mentes de alunos e leitores de livros, ao fazerem afirmações absurdas como essa. 

A demonstração de que o domínio X de f pode ser definido a partir da própria f (e não ao contrário, como tanto se propaga pelas vozes incoerentes) é muito simples. 

Primeiro provamos que f independe de X. Com efeito, considere dois modelos M1 e M2 para espaço minimalista. Em M1 interpretamos X como o conjunto dos números reais e f como a função f(x) = x, sendo que o domínio de f é igual ao seu codomínio X, ou seja, o conjunto dos números reais. Em M2 interpretamos X da mesma forma, mas mudamos f para f(x) = 2x, sendo que o domínio e o codomínio dessa nova função f são os mesmos da função no modelo M1. Isso significa que temos dois modelos para espaço minimalista, de tal modo que, em ambos, X é interpretado da mesma maneira. Mudamos apenas a interpretação de f. Portanto, não é possível fixar f a partir de X. Na prática isso significa que f não pode ser definida a partir de X.

Agora provamos que X depende de f. Demonstramos isso por redução ao absurdo. Suponha que existem dois modelos, M3 e M4, para espaço minimalista, de tal modo que admitam a mesma interpretação para f, mas diferentes interpretações para X. Em outras palavras, estamos supondo que X é independente de f. Como X deve ser domínio de f, fica claro que a existência dos modelos M3 e M4 é impossível. Com efeito, se mudarmos a interpretação de X, isso automaticamente implica em mudança de interpretação para f. Afinal, diferentes domínios implicam em diferentes funções. Logo, X não pode ser independente de f, pois isso implica em uma contradição (lembre que precisamos fixar f). Portanto, X é dependente de f, o que significa que X pode ser definido a partir de f.

A questão natural é: como se define X a partir de f? A solução é trivial. Nas formulações conjuntistas usuais (baseadas em teorias usuais de conjuntos como ZF, ZFC, NBG e outras) toda função é um conjunto de pares ordenados, sendo que os primeiros elementos desses pares ordenados são exatamente os elementos do domínio da função. Portanto, para definirmos X em um espaço minimalista, basta formular que X é o domínio de f. Pronto!

Isso significa que podemos reescrever a definição de espaço minimalista sem fazer qualquer referência explícita a X, uma vez que este conceito é definível e, portanto, eliminável. Logo, um espaço minimalista é simplesmente uma função cujo domínio coincide com seu codomínio. 

Nas teorias matemáticas e físicas mais comuns este fenômeno ocorre com muita frequência. Na teoria dos espaços vetoriais, por exemplo, o conjunto de vetores é um conceito supérfluo. O que se mostra indispensável é a operação de adição entre vetores e a operação de multiplicação entre escalar e vetor. E tais operações são simplesmente funções. Comentário análogo vale para as teorias de corpos, corpos ordenados, grupos, anéis etc. 

Em teorias físicas, certas variedades (casos especiais de espaços topológicos) usadas para definir espaço ou espaço-tempo são analogamente supérfluas. Os conceitos indispensáveis são aqueles que se interpretam fisicamente como campos, correntes, potenciais e forças. E tais conceitos são matematicamente tratados como funções. 

A prática tem mostrado que funções desempenham papel central na matemática e naquelas ciências nas quais a matemática se aplica. Conjuntos usados para caracterizar os domínios dessas funções são meros palcos para a atuação de elementos genuinamente centrais, as funções. 

Newton da Costa e eu publicamos, anos atrás, dois artigos que apontam diretamente para a dispensabilidade de conceitos como espaço e espaço-tempo em várias teorias físicas (como mecânica clássica de partículas, teorias de calibre, eletromagnetismo de Maxwell, relatividade geral de Einstein, teoria do elétron de Dirac e mecânica estatística clássica). Por isso o título da postagem! Até que ponto podemos realmente levar a sério conceitos como espaço e espaço-tempo em física teórica?

Em 2006, o filósofo Otávio Bueno e eu desenvolvemos uma abordagem diferente para o problema. Criamos uma teoria formal axiomática de funções, inspirada em ideias de John von Neumann, na qual conjuntos são casos particulares de funções. Nas teorias usuais de conjuntos, é exatamente o oposto que ocorre: funções são casos particulares de conjuntos. 

Neste trabalho desenvolvemos também uma teoria intuitiva de funções que se identifica com a contraparte formal. Além disso, demonstramos, através de uma série de lemas, que nossa proposta (chamada de teoria N, em homenagem a von Neumann) permite resgatar tudo aquilo que se faz na teoria usual de Zermelo-Fraenkel (ZF e ZFC). Este resultado permite que apliquemos nossa teoria de funções na fundamentação de várias teorias físicas e até mesmo da matemática. O resultado principal é que nossa proposta naturalmente viabiliza axiomatizações de teorias físicas e matemáticas com um mínimo de conceitos primitivos supérfluos. 

A verdade é que a prática da matemática aplicada não está em sintonia com sua fundamentação conjuntista usual. Não se faz matemática ou aplicações da matemática apenas com elementos sintáticos. E mesmo as semânticas usuais de teorias matemáticas não são suficientes para o profissional que procura realizar aplicações no mundo que chamamos de real. Há uma profunda necessidade de uma contraparte intuitiva tanto em teorias quanto em aplicações. E a intuição usual sobre funções é dinâmica. Funções devem ter um caráter dinâmico, não estático. Tanto é verdade que até hoje se emprega a notação de flechas para funções. No entanto, a fundamentação conjuntista para funções fracassa miseravelmente em relação a essa intuição. Isso porque funções (nas teorias usuais de conjuntos) não passam de conjuntos de pares ordenados que satisfazem a certas condições bem conhecidas na literatura especializada elementar. Ou seja, funções, em ZF e teorias similares, são objetos estáticos. Não há apelo dinâmico. Por isso optamos por uma fundamentação conjuntista que se identifique com a visão intuitiva de dinâmica. 

Quando von Neumann publicou sua teoria de conjuntos em 1925 (aquela que serviu de ponto de partida para nosso trabalho), ele apresentou duas grandes novidades: a diferenciação entre classes e conjuntos e a premissa de que funções são mais fundamentais do que conjuntos. Com o passar dos anos as ideias de von Neumann sofreram várias mutações, dando origem à teoria NBG (von Neumann-Bernays-Gödel). Em NBG se preservou a necessidade de distinguir classes de conjuntos. Mas a prioridade de funções sobre conjuntos foi simplesmente esquecida. E, honestamente, não entendo o motivo disso. 

Estamos procurando resgatar essa visão de um dos mais brilhantes nomes da ciência do século passado, com uma reformulação que consideramos razoavelmente simples. 

Submetemos nosso artigo para o periódico Erkenntnis, um dos mais importantes da área de filosofia da ciência. O trabalho foi aceito. No entanto, na mesma época Alberto Levi (então aluno de graduação e hoje doutor em matemática) identificou uma inconsistência em nossos axiomas para a teoria N. Tal inconsistência não havia sido identificada por Bueno, por mim ou mesmo pelos referees de Erkenntnis. Mas Levi a percebeu. A solução para tal inconsistência era bastante simples. Mas eu não gostei dela, por julgá-la excessivamente restritiva. 

Como na época eu já estava esgotado com a porca vida acadêmica da UFPR, desisti do projeto e retirei a submissão de Erkenntnis. 

Esta semana, porém, Otávio Bueno (atualmente Professor Titular e Chefe do Departamento de Filosofia da University of Miami e Editor-Chefe do prestigiado periódico Synthese) pediu para que retomássemos aquele velho projeto, engavetado há seis anos.

Reexaminei o artigo e percebi que eu estava sendo apenas teimoso na época. A tal da solução não é tão restritiva assim e, na verdade, está em pleno acordo com a visão hoje existente a respeito da diferença que normalmente se faz entre classes e conjuntos. 

O artigo foi reescrito, com uma nota de agradecimentos a Alberto Levi, e em breve será novamente submetido para publicação. 

É a segunda vez que anuncio publicamente por escrito a respeito de um artigo que ainda será submetido para publicação. A primeira foi há mais de vinte anos. No entanto, o fato é que este trabalho tem empolgado muito os seus autores. 

O julgamento de um pai a respeito de seus filhos é sempre altamente suspeito, por conta do óbvio envolvimento emocional. Mas acredito que conseguimos neste projeto uma visão mais madura a respeito do papel de funções e conjuntos na matemática e nas ciências reais, incluindo uma possível generalização para as teorias de conjuntos fuzzy. 

Assim que o artigo for oficialmente veiculado, ele será disponibilizado neste blog.

Dedico este texto à inesquecível Analice Gebauer Volkov, pesquisadora que cultivava e defendia sonhos semelhantes mas que teve sua vida arrancada pela estupidez que reina neste país.