Pré-cálculo em vídeo

A disciplina que mais vezes lecionei até hoje foi cálculo diferencial e integral. E demorei anos para finalmente entender de forma qualificada uma das maiores dificuldades encontradas pelos alunos: linguagem.

Admito que sou tão lento para entender alunos quanto eles são para entender matemática. Sempre parti do pressuposto de que alunos de matemática, física, química e engenharias são pessoas fortemente motivadas por matemática. No entanto, há uma falha grave neste preconceito meu. A maioria de meus alunos é escrava daquilo que se leciona nos ensinos fundamental e médio. Portanto, não há como eles sequer criarem a mais remota intuição sobre o que é matemática. E, para piorar, não há qualquer sombra de iniciativa neles.

O tópico padrão para iniciar estudos em cálculo diferencial e integral é o conceito de limite. E o conceito usual de limite de funções reais envolve o emprego de quantificadores lógicos. Bem. O que, afinal, egressos das infelizes instituições de ensino fundamental e médio de nosso país sabem sobre quantificadores lógicos? Nada. Simplesmente nada. Esses alunos nunca foram estimulados a pensar, a criar, a questionar. São meros escravos do sistema de ensino e ainda sofrem de uma variante da Síndrome de Estocolmo. Eles são incapazes de questionar professores e livros. 

Em função disso, decidi criar o vídeo abaixo. É um vídeo que explora de maneira simples, colorida e provocativa algumas noções muito básicas sobre os dois quantificadores lógicos mais usuais. São eles o quantificador universal e o quantificador existencial. 

O objetivo principal é familiarizar jovens e demais interessados com elementos muito básicos das linguagens usualmente empregadas em matemática. 

O vídeo abaixo é o terceiro episódio da série "Matemática - Mundo Invisível", uma iniciativa do blog Matemática e Sociedade. Espero que estudantes e até mesmo docentes possam aproveitar bem este material. 

Um texto que complementa de forma detalhada a presente postagem se encontra aqui. 

Se você deseja baixar o vídeo, com diferentes opções de formato, clique aqui. 



Terceiro episódio da série Matemática - Mundo Invisível, produzida pelo blog Matemática e Sociedade. Neste vídeo é apresentada uma visão intuitiva sobre quantificadores lógicos. É um material apropriado para quem precisa conhecer pré-cálculo. Professores e educadores em geral podem usar livremente este vídeo em sala de aula, desde que ele não seja comercializado.

Matemática é uma ciência exata?

Nomes não são meras arbitrariedades humanas. Nomes desempenham um papel relevante do ponto de vista social e até individual, sejam dados a pessoas, produtos ou ramos do conhecimento.

De acordo com o Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa, "exato" significa "que não contém erro", "que tem grande rigor ou precisão", "perfeito", "irretocável". E é um costume dominante se referir à matemática como uma ciência exata. Este nome, "ciência exata", frequentemente tem levado pessoas - entre leigos e até profissionais - a crerem que matemática é uma ciência livre de erros, com grande rigor e precisão, perfeita e irretocável. 

Mas uma coisa é a impressão que o nome "ciência exata" pode passar, do ponto de vista meramente intuitivo. E outra é o que a prática matemática mostra no cotidiano de experientes cientistas e investigadores. 

Antes de mais nada, é preciso lembrar que matemática é uma atividade intelectual desenvolvida por seres humanos. E seres humanos, como bem mostra a prática, são criaturas falíveis. 

Pensando nisso, Vladimir Voevodsky, matemático russo ganhador da Medalha Fields em 2002, tem sido um dos mais importantes defensores do uso de computadores para a verificação e até o desenvolvimento de demonstrações de teoremas. Usando um formalismo hoje conhecido como Fundamentos Univalentes, Voevodsky defende uma maior proximidade entre linguagens formais da matemática e linguagens de programação de computadores. Uma reportagem sensacionalista e altamente tendenciosa publicada em Quanta Magazine chega a se referir a esta proposta como uma tentativa de eliminar a possibilidade de erro humano. E, mais que isso, afirma-se que o emprego de computadores pode determinar se uma demonstração matemática está correta, com absoluta certeza. Parte deste sensacionalismo é responsabilidade do próprio Voevodsky, o qual abraça esta causa com grande fervor. 

Ora, além do fato de linguagens e programas de computador ainda serem criados e desenvolvidos por seres humanos, deve ser ponderado também que o desempenho de qualquer máquina não trivial apresenta limitações matemáticas intrínsecas já antecipadas décadas atrás pelo pai da atual teoria da computação, Alan Turing. Ou seja, é ingenuidade confiar cegamente na impossibilidade de erro, no que se refere ao desempenho de um computador destinado à verificação de correção de demonstrações. E muito menos se pode confiar em computadores para uma devida fundamentação de ramos específicos da matemática, como se sugere na reportagem de Quanta Magazine. 

A proposta de Fundamentos Univalentes tem naturalmente o seu mérito. Matemáticos, como bons humanos que são, cometem erros muitas vezes não detectados sequer por referees, antes da publicação de artigos científicos. O próprio Voevodsky já foi vítima disso. Em 1999 ele descobriu um erro de demonstração em artigo publicado por ele mesmo sete anos antes. Além disso, hoje já se desenvolve matemática experimental, ramo do conhecimento que tem como meta a investigação de objetos, propriedades e padrões matemáticos através do emprego de recursos computacionais e demais métodos semelhantes. No entanto, assim como lápis e papel, computadores ainda devem ser vistos como meras ferramentas de auxílio investigativo e não como soluções definitivas para se desenvolver matemática. 

Durante minha estada na Universidade Stanford, nos anos 1990, Patrick Suppes, Acácio de Barros e eu tínhamos que calcular derivadas de ordem superior de uma função dependente de uma integral imprópria, para determinar a força de Casimir entre duas placas sob certas condições bem específicas. Usando um software de computação algébrica, a resposta impressa foi um relatório de três páginas quase incompreensíveis. Fazendo exatamente as mesmas contas sem auxílio de máquina alguma, a resposta que obtive se resumiu a meia página e uma expressão muito clara. Para detalhes, ver o Apêndice deste artigo.

No Brasil o estudo de Fundamentos Univalentes ainda caminha lentamente. Uma dissertação interessante sobre o tema pode ser encontrada aqui. Mesmo assim, é aconselhável que jovens interessados nesta fascinante e bem sucedida área interdisciplinar não se deixem levar fácil pelo exagerado entusiasmo de respeitáveis autoridades como Voevodsky. Matemática ainda é uma atividade social que demanda crítica. E computadores, por melhores que sejam, não devem ser percebidos como inteligências acima da crítica. 

Mesmo em ramos da matemática que naturalmente demandam considerável nível de formalismo e rigor, como lógica e fundamentos, existem indispensáveis métodos não dedutivos de investigação. Um exemplo é a geração de conjecturas. Criar conjecturas não é uma tarefa difícil para um ser humano. Mas é algo ainda inacessível a máquinas. E mesmo que uma conjectura seja formulada (por máquinas do futuro ou por seres humanos) como definir se ela vale a pena ser investigada? Devemos adotar critérios meramente matemáticos e formais? Devemos adotar critérios dependentes de potenciais aplicações? Ou devemos levar em conta prazos determinados por burocratas que controlam a distribuição de verbas para pesquisa? Computadores conseguem responder a essas questões sem errar? Como garantir, sem erro, se uma conjectura vale a pena ser investigada? 

Matemática não se resume àquilo que já está pronto e publicado em livros e artigos. Matemática é também uma atividade em andamento. E é uma atividade em andamento que depende fundamentalmente de ideias, inspirações, intuições.

A própria visão intuitiva sobre a natureza da matemática, enquanto produto final de um esforço coletivo, é algo que muda com o tempo. Houve época em que axiomas eram considerados afirmações auto-evidentes. Essa visão deriva, em parte, da geometria apresentada por Euclides, dois milênios atrás. Hoje se sabe que um sistema axiomático pode contar com operações binárias que podem ou não ser comutativas. Ou seja, é auto-evidente que uma operação binária deva ser comutativa? Portanto, nos dias de hoje, axiomas são simplesmente fórmulas usadas como ponto de partida para a inferência de novas fórmulas em uma dada teoria, desde que regras de inferência sejam estipuladas. 

Outro exemplo de flexibilidade de ideias reside nas próprias regras de inferência da lógica matemática. A mais usual é Modus Ponens. Trata-se de um argumento que permite inferir uma sentença "B" a partir de duas outras sentenças: "A" e "A implica B". Mas e se algum matemático quiser criar uma teoria na qual "A" e "A implica B" permita inferir a negação de "B"? Do ponto de vista lógico nada impede que se desenvolva toda uma nova matemática a partir disso. Neste momento entra outro método não dedutivo para o desenvolvimento da matemática: justificativa. 

A arte de justificar uma ideia matemática depende de contextos que podem transcender a própria matemática. Por exemplo, há alguma perspectiva realista de aplicação de uma regra de inferência tão bizarra? Há alguma justificativa filosófica para a adoção desta nova regra de inferência? 

Fica claro então que matemática e filosofia são atividades intelectuais complementares. Uma depende da outra. E se filosofia é o exercício da dúvida, por que matemática seria diferente? 

Quando Georg Cantor apresentou sua teoria de conjuntos, no final do século 19, houve considerável resistência de matemáticos de renome da época. Isso aconteceu em virtude de posições filosóficas pessoais sobre o que deve ser matemática. Fenômeno social semelhante aconteceu com a proposta do Axioma da Escolha, na teoria formal de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Alguns matemáticos consideravam que o Axioma da Escolha era obviamente verdadeiro, enquanto outros o consideravam obviamente falso. Por que isso? Porque matemática é uma ciência feita por homens e mulheres, pura e simplesmente. E homens e mulheres estão sim sujeitos a erros em suas visões.

Certamente matemática tem um elevado grau de formalismo e, principalmente, rigor. Mas o que significa a expressão "elevado grau"? Quão rigorosos são os matemáticos? Quão rigorosas são as ideias matemáticas? O que há de tão especial nos dias de hoje, para considerarmos que matemática é uma ciência livre de erros, com grande rigor e precisão, perfeita e irretocável? 

Para uma visão detalhada sobre métodos não dedutivos em matemática, recomendo este link.

Se esta visão da falibilidade de ideias fosse estimulada em salas de aula, alunos ficariam menos preocupados com suas próprias limitações pessoais para aprender este ramo do conhecimento e se concentrariam mais na análise crítica da matemática em si. É claro que existem ideias consagradas na matemática! Mas a geometria euclidiana foi um conhecimento consagrado por mais de dois mil anos. E hoje se sabe que geometria euclidiana é apenas uma das facetas de área muito mais ampla e difícil de isolar em um receptáculo mental, chamada simplesmente de geometria.

Este termo "ciência exata" deve ser percebido mais como uma manobra de burocratas para definir critérios de distribuição de verbas científicas do que um termo que descreva em duas palavras a natureza da matemática e de outros ramos do conhecimento também associados a uma noção de exatidão.

Vivemos em um mundo que parece se esforçar a extremos ridículos para abandonar a magia. Existe sim magia nos atos de criação, da justificativa, da análise crítica, da reflexão, da filosofia. Fazer matemática é promover uma visão não sensorial de mundo. É um contato com um lado mágico de mundo. 

Aquele (ou aquela) que se condena a uma visão clara de mundo, prática, inquestionável, inexorável, exata, está perdendo contato com o que há de mais fundamental em cada um de nós: somos todos seres humanos. Matemática não é uma atividade extraterrestre, desumana, mecânica, previsível, inquestionável. Matemática somos todos nós. Matemática é magia.
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Dedico este texto a Helena.

Matemáticos lentos

O mais importante prêmio em matemática é a Medalha Fields. Mas, diferentemente do Prêmio Nobel, que abrange áreas científicas como medicina, física e química, a Medalha Fields tem um limitante de idade. Esta premiação jamais pode ser entregue a matemáticos com mais de quarenta anos. Existe, nesta iniciativa, uma boa intenção: o estímulo aos mais jovens, para produzirem matemática de alto nível. Mas há também uma visão perigosamente estreita sobre produção científica, a qual pode levar a crer que todas as grandes contribuições em matemática são feitas por mentes campeãs nos "cem metros rasos". No entanto, há uma respeitável quantia de matemáticos importantes com o perfil mais próximo de maratonistas. 

Espero que o leitor não entenda mal o que critico aqui. Prêmios não são o mais importante estímulo para alguém fazer matemática. É a ciência em si que realmente estimula matemáticos e também aqueles que desejam fazer matemática. No entanto, este limitante de idade na Medalha Fields definitivamente influencia políticas de estímulo no estudo e desenvolvimento desta ciência formal. Muitos exemplos são encontrados nas inúmeras olimpíadas de matemática em nosso país e fora do Brasil. Outros são encontrados em instituições de alto nível, como o Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Se um jovem estudante não demonstrar rapidamente a capacidade de desenvolver matemática de forma ágil, ele muito provavelmente será descartado pelo IMPA. Já vi isso acontecer muitas vezes. 

Neste contexto, a expressão "Olimpíadas de Matemática" não deixa de ser irônica. Afinal, nos Jogos Olímpicos existem ambas as modalidades de corrida: cem metros rasos e maratona olímpica. Cito o fenomenal exemplo de Joan Benoit Samuelson, campeã da primeira maratona olímpica feminina, realizada em 1984. Atualmente, com 57 anos de idade, ela ainda participou da Maratona de Boston, nos Estados Unidos. Quantos corredores de cem metros rasos realizaram uma façanha dessa natureza? 

O que apresento a seguir é uma modesta lista de matemáticos que não tiveram tanta pressa. Espero que esta lista sirva de estímulo para todos aqueles que sonham com o desenvolvimento de importantes avanços matemáticos, mesmo que não tenham a capacidade de resolver rapidamente problemas difíceis nesta área do conhecimento. 

Godfrey Harold Hardy foi um matemático britânico de grande destaque e que defendia a ideia de que os últimos anos da vida profissional de um matemático seriam mais proveitosos escrevendo livros. Na visão de Hardy, matemática é uma atividade para jovens. Na lista abaixo é possível encontrar contra-exemplos para essa visão. 

Joan Birman (coincidência, não?) concluiu sua graduação em matemática aos 21 anos e o mestrado aos 23. No entanto, houve um considerável intervalo de tempo entre o término do mestrado e o início do doutorado. Foi somente aos 41 anos de idade que ela se doutorou no Instituto Courant. À primeira vista isso soa como uma carreira acadêmica sem consistência, sem continuidade honesta. No entanto, hoje ela é uma das mais conhecidas algebristas ainda em atividade. Com seus 88 anos de idade, Birman é professora emérita da Universidade Columbia, em Nova York. Com quase oitenta artigos científicos publicados desde a conclusão de seu doutorado, ela conquistou diversos prêmios nos Estados Unidos, Itália, Reino Unido, França e Israel. E é atualmente bolsista da Simons Foundation. Birman também orientou vinte e uma teses de doutorado, estendendo seu legado científico para as novas gerações.

Alice Roth se doutorou aos 33 anos, em 1938. Em sua tese, Roth apresentou um exemplo de espaço compacto (conceito central em topologia) com importantes implicações na teoria de aproximações. No entanto, apesar de um certo furor temporário em seu país natal (Suíça), este resultado caiu no esquecimento. Ela abandonou a pesquisa e se tornou professora de ensino básico. O mesmo resultado da tese de doutorado de Roth foi redescoberto posteriormente e de maneira independente na década de 1950, por um matemático russo. Foi quando Alice Roth se aposentou, aos 66 anos de idade, que ela decidiu retornar à pesquisa. O resultado foi uma sequência de quatro artigos importantes sobre teoria de aproximações, sendo que apenas um foi escrito em parceria. Em virtude disso, aos 70 anos, ela foi convidada para apresentar uma palestra na Universidade de Montreal. Dois anos depois morreu de câncer.

Karl Weierstrass é um dos exemplos históricos mais marcantes de indivíduo que começou a se dedicar muito tarde aos estudos de matemática. Seu pai o forçou a estudar lei e comércio, durante a sua juventude. Weierstrass faltava às aulas na Universidade de Bonn, recebia notas muito baixas em avaliações e era um ávido consumidor de cerveja. Retornou para casa sem título algum. Para se sustentar financeiramente, começou a lecionar matemática, física, botânica, alemão e até ginástica para crianças de escolas em cidades pequenas. Mas aproveitou as suas noites para procurar contato com diversos intelectuais, incluindo o matemático Niels Henrik Abel. Aos 39 anos finalmente publicou seu primeiro artigo de matemática, sobre funções abelianas. Resultado: tornou-se o mais importante analista de sua época. Hoje o nome de Weierstrass é um dos pilares da análise matemática. O teorema que leva o seu nome foi demonstrado quando Weierstrass tinha 70 anos.

Muito famosa é a carta de recomendação que Stephen Smale recebeu de Raymond Wilder, então Presidente da American Mathematical Society. Wilder considerava Smale um aluno medíocre que, repentinamente, se revelou como uma boa promessa. Na carta de recomendação Wilder explica essa transformação como consequência do recente casamento de Smale. Chega até mesmo a tecer significativos elogios à esposa de seu conhecido aluno. Essa é uma percepção muito interessante, pois se refere a uma forma de estímulo pessoal. O resultado é bem conhecido: Smale conquistou a Medalha Fields, em virtude de suas fenomenais contribuições em topologia.

Eugène Ehrhart concluiu o ensino médio aos 22 anos! Isso sim soa como um caso de mediocridade intelectual! Foi professor de matemática em escolas francesas de ensino médio durante décadas. Investia em pesquisas matemáticas apenas por prazer, sem se preocupar com publicações. Obteve seu doutorado aos 60 anos de idade. Foi nesta época que ele realizou suas contribuições mais importantes na interface entre álgebra e geometria. Para detalhes, ver o polinômio de Ehrhart.

O romeno Preda Mihailescu obteve seu doutorado aos 42 anos. Mas foi somente aos 47 anos de idade que ele provou a Conjectura de Catalan, um problema sobre equações diofantinas que ficou em aberto durante 158 anos.

Aos 59 anos o engenheiro Kurt Heegner publicou um artigo sobre teoria dos números que somente foi reconhecido como essencialmente correto e de extrema importância quase duas décadas depois. Este reconhecimento a respeito de seu único artigo publicado sobre teoria dos números ocorreu quatro anos após a sua morte.

Uma das mais conhecidas contribuições de Andrei Kolmogorov foi realizada quando ele tinha 54 anos, ao resolver uma das possíveis interpretações do décimo terceiro problema de Hilbert. Na mesma época ele criou aquilo que hoje se conhece como teoria da complexidade de Kolmogorov. 

Outros nomes poderiam ser citados aqui, como Leonhard Euler, Marina Ratner, Sergei Novikov, Oscar Zariski, entre muitos. A questão é que o conhecimento sobre o passado também é uma forma de alimentar esperança sobre o futuro.

Mais um exemplo insano de ensino a distância

Aviso Importante: O site Descomplica substituiu todos os vídeos analisados nesta postagem por um comercial de televisão. Fui informado sobre isso no dia 03/04/2017.
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Recentemente recebi um e-mail, de um colaborador de pesquisa, sobre o site Descomplica. Trata-se de uma iniciativa de ensino a distância, cuja meta é preparar pessoas para o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) e vestibulares. A proposta é "Descomplicar as matérias para os alunos que tem dificuldades e para aqueles que querem relembrar alguns assuntos." Sim, há vários erros de português no site. Mas não quero discutir aqui sobre o insistente desrespeito à língua oficial de nosso país. Quero apenas fazer uma lista de alguns dos graves problemas que encontrei em vídeos disponibilizados gratuitamente pelo Descomplica.

Falta de roteiros. Claramente os vídeos que examinei não seguem qualquer roteiro. Um exemplo que ilustra o que digo está neste vídeo sobre conjuntos. O apresentador afirma "Conjunto é. A primeira dificuldade que a gente tem em falar sobre esse tema [...]". Outro exemplo que ilustra a falta de roteiros para a gravação dos vídeos está aqui. O apresentador, diante de uma lousa, improvisa após três minutos e vinte e três segundos, apagando com uma das mãos parte do que já estava escrito com giz. Ou seja, esses vídeos são meras gravações de aulas típicas. Nada de novo oferecem, em termos de linguagem, para alunos que já bem conhecem as improvisações de professores em sala de aula. Este é um problema recorrente em muitos vídeos destinados ao ensino a distância espalhados em diferentes endereços da internet. Todo vídeo educativo sério precisa de roteiro! Isso é básico!

Erros e inconsistências. Conteúdos de matemática divulgados no site Descomplica estão gravemente errados e, por vezes, são até inconsistentes. Neste vídeo, por exemplo, o suposto professor que introduz a noção de função, confunde os elementos de um produto cartesiano entre dois conjuntos A e B com o conceito de relação, em teoria de conjuntos. Chega a afirmar que o número total de relações entre um conjunto A com três elementos e um outro conjunto B com três elementos é nove, sendo que o número total de possíveis relações entre esses dois conjuntos é a cardinalidade da potência de A cartesiano B, ou seja, 512. Com efeito, uma relação entre um conjunto A (domínio) e um conjunto B (co-domínio) é qualquer subconjunto do produto cartesiano entre A e B. Já neste vídeo o apresentador afirma que ponto, em geometria, não tem tamanho. Logo em seguida afirma que ponto tem tamanho zero. Afinal, ponto tem tamanho ou não? "Vermelho" é um conceito sobre o qual não faz sentido aplicar qualquer noção de tamanho. Neste sentido, vermelho não tem tamanho. Mas também não faz sentido dizer que o tamanho de vermelho é zero. Além disso, afirmar que ponto, em geometria, tem tamanho zero é um disparate. Essa ideia está em completo desacordo com a atual visão matemática sobre geometria.

Falta de seriedade. Neste vídeo um bando realmente ruidoso, desorientado e confuso faz piadas, danças e gestos que nada têm a ver com educação. No mesmo vídeo uma equação é escrita na lousa e um dos "profissionais" se refere a ela como equação de movimento uniforme, sem qualificar os termos empregados. Ou seja, além de passar a ideia de que matemática é uma atividade de palhaços, ainda sugere que somente palhaços dogmáticos podem compreender este ramo do conhecimento.

Falta transposição de conhecimentos. Neste vídeo o apresentador afirma que, no estudo sobre conjuntos, existem três noções primitivas: conjunto, elemento e pertinência. Obviamente ele demonstra jamais ter lido tratados originais sobre o tema, pois ignora o papel fundamental da noção de igualdade. Georg Cantor, criador da teoria de conjuntos, dizia que um conjunto é uma coleção de objetos distintos entre si. Ou seja, apesar de Cantor jamais ter definido o conceito de conjunto, ele deixou clara a importância da igualdade. Se x e y são objetos distintos, isso significa que não é o caso de x = y. Esta visão é fundamental para definir par ordenado como um caso particular de par não ordenado. E, sem a noção de par ordenado, não se pode qualificar relações e funções, pelo menos do ponto de vista conjuntista usual. O que se fez neste e em outros vídeos do site Descomplica foi uma mera repetição (repleta de ruídos) de erros persistentes em salas de aula de nosso país. Os criadores desses vídeos jamais se deram ao trabalho de transpor conhecimentos avançados de matemática para uma linguagem acessível a adolescentes. O apresentador também afirma que noções primitivas, em matemática, são simplesmente aceitas. Isso confere um caráter esotérico à matemática, algo que definitivamente nada tem a ver com esta ciência. Mais assustador ainda é o fato do apresentador afirmar que todo mundo sabe o que é um conjunto. Bem, ele mesmo não sabe! Se soubesse, não teria afirmado que não existe definição formal para conjunto. 

Doentio desestímulo à interdisciplinaridade. Neste vídeo sobre filósofos pré-socráticos a apresentadora afirma não gostar de Pitágoras. O argumento é realmente doentio. Ela diz que Pitágoras gostava de números. Como ela mesma confirma não gostar de números, portanto não gosta de Pitágoras. Segundo essa suposta professora de filosofia, números servem somente para numerologia e para contar dinheiro. Ou seja, temos aqui um vídeo de ensino a distância que promove não apenas o ignorante distanciamento entre matemática e filosofia como também procura ridicularizar um dos pensadores mais influentes da história. Os vídeos sobre matemática no site Descomplica são terríveis. Mas os vídeos sobre filosofia são de uma miséria intelectual como raras vezes testemunhei em toda a minha vida. Até mesmo o vocabulário empregado é chulo e, portanto, inadequado para fins de educação filosófica. 

Mais de dois anos atrás publiquei neste blog uma postagem sobre duas empresas que vendem teses de doutorado. O site original de uma delas já sumiu. O outro continua. Dei a ambas o direito de resposta neste blog. O mesmo farei com o Descomplica. No momento em que esta postagem for publicada, encaminharei este link para o serviço Fale Conosco, do Descomplica. Se algum leitor deste blog quiser colaborar com mais críticas ao Descomplica, peço que o faça. Não tive paciência para acompanhar todos os vídeos. Há uma quantia absurda de insanidades nos poucos que vi. 

O que é um número?

Algo que matemáticos aprenderam, melhor do que ninguém, é o convívio com a pluralidade de ideias. Não existe, em matemática, uma definição universalmente aceita para esclarecer o que é, afinal, um número. No entanto, matemáticos frequentemente trabalham com números, sem se preocuparem com a falta de convergência de ideias fundamentais. Então, qual é o sentido de escrever uma postagem sobre este tema? 

O que pretendo fazer aqui é apenas esclarecer alguns pontos importantes sobre números, ao mesmo tempo em que procuro desfazer alguns mitos muito comuns, não apenas entre leigos, mas até mesmo entre estudantes e professores de matemática. A visão intuitiva e bastante comum, de que números servem para contar e medir, simplesmente espelha uma percepção limitada e até corrompida do que se entende por números em matemática.

Antes de mais nada, preciso qualificar a linguagem que emprego aqui. Tudo o que é dito nesta postagem sobre números pode ser traduzido para uma linguagem formal de conjuntos. Para minimizar ambiguidades, apelo para a mais usual das teorias formais de conjuntos: Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha (ZFC) e algumas de suas variantes. No entanto, é perfeitamente possível adaptar as afirmações aqui feitas para outras teorias formais de conjuntos. 

ZFC é uma teoria formal com apenas dois conceitos primitivos: pertinência e igualdade. Em outras palavras, não existe em ZFC qualquer referência explícita a conjuntos. No entanto, compreender as "relações" entre pertinência e igualdade é um passo fundamental para entender conjuntos e, consequentemente, números. 

Comecemos com os números naturais. Frequentemente se diz que números naturais são números inteiros estritamente positivos (1, 2, 3, 4, 5, ...) ou números inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, 4, ...). Até mesmo o excelente site Wolfram apela para essa "explicação". Mas o problema aqui é óbvio: o conceito de número natural depende do conceito de número inteiro. Ou seja, o problema de qualificar números naturais está sendo delegado para números inteiros. Esta é uma solução deselegante e desnecessária. 

Os números naturais são apenas conjuntos que pertencem a um conjunto comumente denotado por N. Como se define este conjunto N? A maneira mais usual é através dos axiomas de Peano, em sua versão de primeira ordem. De acordo com esses axiomas, existe uma constante, chamada de zero, pertencente a N. Além disso, há uma operação - chamada de Sucessor - de tal modo que, se n pertence a N, então o sucessor de n também pertence a N. Esta operação pode ser definida usando o conceito de união entre conjuntos (o qual é garantido pelos axiomas de ZFC, que - não custa lembrar - simplesmente estabelecem as "relações" entre pertinência e igualdade). Os demais axiomas de Peano dizem que: (i) zero não é sucessor de elemento algum de N; (ii) se m e n pertencem a N, de modo que os sucessores de m e n são iguais, então m e n são iguais; e (iii) se S é um conjunto que contém zero e também o sucessor de qualquer número natural, então S contém todos os números naturais. 

Entre os números naturais é usual definir duas operações bem conhecidas: adição (+) e multiplicação (.). Essas duas operações são comutativas [m+n = n+m e m.n = n.m], associativas [m+(n+p) = (m+n)+p e m.(n.p) = (m.n).p] e admitem elemento neutro [m+0 = m e m.1 = m]. Além disso, vale a distributividade da multiplicação em relação à adição [m.(n+p) = m.n + m.p]. Tais operações podem ser recursivamente definidas a partir da operação de Sucessor. Em outras palavras, nada além de teoria de conjuntos está sendo usado aqui. 

Sim, números naturais podem ser usados para contar, como fazemos para determinar o número de frutas em uma cesta. Neste sentido, a teoria dos números naturais pode ser também compreendida como uma teoria física. Mas não é apenas isso. O estudo de números naturais é legitimamente matemático, sem precisar de uma correspondência com o mundo real. Tanto é verdade que a espécie humana conta o número de frutas em uma cesta desde muito antes dos axiomas de Peano serem enunciados. Se os axiomas de Peano se tornaram tema de estudos entre matemáticos, é porque estes perceberam aspectos sobre números naturais que transcendem as aplicações cotidianas de métodos de contagem. 

Já os números inteiros também podem ser definidos a partir de uma linguagem como aquela empregada em ZFC. Existem aqueles (e não são poucos) que insistem que números inteiros podem ser positivos ou negativos. Mas como expressar os conceitos de sinal positivo e sinal negativo na teoria de conjuntos? Os símbolos + e -, usualmente empregados para diferenciar um caso do outro, são meras notações. Nada esclarecem, do ponto de vista conceitual. Assim como uma farda não qualifica uma pessoa como policial, um sinal + ou - não qualifica um número inteiro como positivo ou negativo.

A principal diferença entre números naturais e números inteiros radica nas propriedades algébricas da operação de adição. A adição entre números inteiros admite a existência de simétricos, algo que não ocorre entre números naturais. Como se expressa isso? A resposta é simples. Análogos aos axiomas da adição entre números naturais são fortalecidos com um axioma extra para os inteiros que diz: para todo número inteiro m existe um inteiro n tal que m+n é igual ao neutro aditivo (zero). As demais propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números naturais (comutatividade, associatividade, elemento neutro e distributividade) são apenas copiadas entre números inteiros. Uma maneira de apresentar modelos para números inteiros é através de classes de equivalência de pares ordenados de números naturais (desde que certos cuidados sejam tomados em ZFC). Uma visão meramente intuitiva e indolor sobre essa construção de números inteiros a partir de números naturais pode ser encontrada neste link. 

Neste contexto, é um erro a afirmação muito comum de que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. O que de fato ocorre é que uma cópia canônica dos números naturais pode ser encontrada entre os números inteiros, uma vez que todas as propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números naturais estão copiadas entre os números inteiros. As famosas regras de sinais para a multiplicação entre inteiros são simples teoremas, neste contexto. É um mistério por que esse tipo de conhecimento não é abordado no ensino médio. Não há necessidade de apelar para ZFC, no caso de uma transposição de conhecimentos. Basta usarmos teoria intuitiva de conjuntos para que seja apresentada uma devida fundamentação para as conhecidas regras de sinais, as quais são costumeiramente vistas pelos alunos como meras arbitrariedades.

Com preocupante frequência costuma-se dizer também que números racionais são aqueles que podem ser representados na forma de frações p/q, sendo p e q inteiros e q diferente de zero. Ora, isso não faz sentido, por dois motivos: (i) Não existe divisão entre números inteiros (uma vez que não existem simétricos multiplicativos entre inteiros); e (ii) Não se estabelece um conceito a partir de uma notação. 

O que difere números racionais de números inteiros são as propriedades algébricas da multiplicação. A multiplicação entre racionais admite a existência de simétricos, exceto para o neutro aditivo (zero). Isso não ocorre entre números inteiros! Como se expressa essa ideia? A resposta é novamente simples. Análogos aos axiomas da multiplicação entre números inteiros são fortalecidos com um axioma extra para racionais que diz: para todo número racional r diferente de zero existe um racional s tal que r.s é igual ao neutro multiplicativo (um). A partir disso costuma-se falar de uma "operação" de divisão: r dividido por s é igual a r vezes o simétrico multiplicativo de s. No entanto, a divisão, neste sentido, não se trata de uma operação entre números racionais, uma vez que usualmente não se divide por zero. Operações, em uma linguagem como aquela empregada em ZFC, são funções (um caso especial de conjunto). E funções definidas sobre os números racionais devem permitir a identificação de imagens para todo e qualquer número racional. Como usualmente não se define divisão por zero, logo a divisão não é uma operação, mas apenas uma relação. As demais propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números inteiros (comutatividade, associatividade, elemento neutro, distributividade e simétrico aditivo) são copiadas entre os números racionais. Uma maneira de apresentar modelos para números racionais é através de classes de equivalência de pares ordenados de números inteiros (desde que certos cuidados sejam tomados em ZFC). Uma visão meramente intuitiva e indolor sobre essa construção de números racionais a partir de números inteiros pode ser encontrada neste link. 

É um erro comum afirmar que todo número inteiro é racional. Analogamente à discussão sobre naturais e inteiros, feita acima, entre os racionais existe uma cópia canônica dos números inteiros. De um ponto de vista meramente didático, gera-se muita confusão quando se afirma que todo inteiro é racional. Afinal, o número racional 3,000000... é conceitualmente diferente do inteiro 3. Isso porque números racionais podem ser representados por frações (uma vez que existe divisão). Por exemplo, 3,0000000... é igual a 30,00000... dividido por 10,00000... . No entanto, o inteiro 3 não é equivalente à razão entre os inteiros 30 e 10, uma vez que não é usual definir divisão entre inteiros. Quando um autor se refere ao racional 3,00000... através do símbolo 3, está apenas apelando para uma notação abusiva. 

O 3 inteiro é uma classe de equivalência de pares ordenados de naturais, enquanto o 3 racional é uma classe de equivalência de pares ordenados de números inteiros. As respectivas relações de equivalência que permitem definir tais classes de equivalência são discutidas nos links indicados acima. 

Números reais são diferentes de números racionais no seguinte sentido: além de admitirem cópias das propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números racionais, ainda garantem que toda sequência de Cauchy é convergente. A compreensão deste resultado demanda estudos sobre análise matemática. Números reais, do ponto de vista algébrico, constituem aquilo que se chama de corpo ordenado completo. Uma maneira simples para se apresentar um modelo de números reais a partir dos racionais é através de uma relação de equivalência entre sequências de Cauchy de racionais. Sequências de Cauchy de racionais que sejam convergentes (convergem para um racional) são representantes (em uma classe de equivalência) de cópias de racionais entre os números reais. Sequências de Cauchy de racionais que não sejam convergentes (não convergem para um racional) são representantes de números reais que não são cópias de racionais: estes são os conhecidos números irracionais. Uma explicação bastante acessível para este tipo de construção de números reais a partir de números racionais se encontra neste link. 

Já os números complexos são diferentes dos números reais no seguinte sentido: toda equação polinomial de uma variável, com coeficientes complexos, admite pelo menos uma raiz (Teorema Fundamental da Álgebra). Entre os números reais este resultado não vale. Por exemplo, a equação polinomial x^2 + 1 = 0 não admite solução entre os números reais, mas sim entre os números complexos. 

Portanto, o que diferencia números complexos de números reais são as propriedades algébricas da multiplicação. Todas as propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números reais são copiadas entre os complexos. No entanto, os complexos ainda permitem uma propriedade algébrica para a multiplicação que não pode ser copiada entre os reais: aquela que remete ao Teorema Fundamental da Álgebra.

Uma maneira simples de apresentar um modelo para números complexos a partir de números reais é através da definição de números complexos como pares ordenados de números reais. Não encontrei uma boa referência na internet para isso. Então explico rapidamente aqui mesmo. 

Um número complexo pode ser modelado como um par ordenado de números reais (r, s), desde que as operações de adição e multiplicação sejam definidas da seguinte maneira:

(r, s)+(t, u) = (r+t, s+u)
(r, s).(t, u) = (r.t-s.u, r.u+s.t).

Observe que, do lado direito de ambas as igualdades, estamos usando apenas operações entre números reais: adição e multiplicação (uma subtração a - b é apenas uma adição de a com o simétrico aditivo de b). 

A partir dessas operações de adição e multiplicação entre complexos é possível provar os seguintes teoremas:

I) (0,0) é neutro aditivo entre complexos.

II) (1,0) é neutro multiplicativo entre complexos.

III) (-1,0) é simétrico aditivo de (1,0).

IV) (0,1) elevado ao quadrado [ou seja, (0,1).(0,1)] é igual a (-1,0).

O teorema IV é surpreendente! Garante a existência de um número complexo cujo quadrado é igual ao simétrico aditivo do neutro multiplicativo. Não acontece fenômeno análogo entre os números reais! Nenhum número real ao quadrado pode resultar em um número real negativo. E é este resultado dos complexos (Teorema IV) que viabiliza o Teorema Fundamental da Álgebra! 

Consequentemente, podemos demonstrar o seguinte resultado: todo número complexo (a, b) pode ser escrito na forma (a, 0).(1, 0) + (b, 0).(0, 1). O que isso significa na prática? Ora, todos os complexos da forma (a, 0) ou (b, 0) são cópias dos números reais, no sentido de satisfazerem todas as propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números reais. Logo, podemos abreviar (a, 0), (b, 0) e (1, 0) como simplesmente a, b e 1, respectivamente. Esta é uma notação abusiva, mas muito comum. Como a constante (0, 1) tem uma propriedade algébrica bizarra (se compararmos com os números reais), costuma-se denotá-la como i e chamá-la de unidade imaginária. Logo, a expressão

(a, 0).(1, 0) + (b, 0).(0, 1)

é simplesmente abreviada como

a + bi.

O erro comum entre livros didáticos está na afirmação de que a e b são números reais. Isso é falso! a e b são números complexos que são cópias canônicas de números reais. Não faz sentido algum afirmar que a e b são números reais. Afinal, como pode um número real b ser multiplicado por i (algo que evidentemente não é real) e ainda somarmos o resultado com o número real a? É esse tipo de erro que contribui muito em visões distorcidas da matemática entre alunos. 

Além de todos esses exemplos, ainda existem os números hipercomplexos, hiperreais, surreais, transfinitos, entre muitos outros. Quais seriam esses muitos outros? Bem, dependendo da fundamentação conjuntista adotada, os próprios conceitos de números naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, hipercomplexos, hiperreais, surreais e transfinitos, mudam. A escolha de diferentes teorias formais de conjuntos acarreta em diferentes formulações para o conceito de número. Além disso, nada impede que tais conceitos de número sejam formulados em teorias formais axiomáticas que nada tenham a ver com conjuntos, como as formulações categoriais para a matemática. 

E, para finalizar esta postagem, quero também lembrar que a visão usual de que números reais servem ao propósito de medir (como se faz em física ou engenharias), apresenta outro tipo de limitação. Físicos e engenheiros não precisam necessariamente usar números para medir. 

Em seu célebre e brilhante livro Science Without Numbers, o filósofo Hartry Field apresenta uma convincente argumentação em favor do nominalismo em filosofia da matemática. Nominalismo em matemática se sustenta na tese de que objetos matemáticos simplesmente não existem ou, pelo menos, não existem na forma de conceitos abstratos. Neste contexto, Field mostra como desenvolver uma cópia da teoria gravitacional de Newton sem usar números.

Enfim, é bem possível que matemáticos simplesmente não saibam o que estão fazendo.
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Nota: Fui alertado agora há pouco (13/05/2015 - 22:16h) que existe sim uma ótima referência (em português) na internet para números complexos. Basta clicar aqui para acessar.

Quantas dimensões você enxerga?

Nunca vi exceção. Todos os alunos que tive, até hoje, dizem que não conseguem imaginar um espaço com mais de três dimensões. Inerente a este discurso, existe a crença de que eles conseguem imaginar e até enxergar em um espaço tridimensional. Até mesmo experientes profissionais da área de ciências exatas alegam serem capazes de enxergar em três dimensões. Nesta postagem quero desfazer o mito do mundo tridimensional em que vivemos.

Uma das descobertas científicas mais espetaculares da história foi a concepção das geometrias não euclidianas, no século 19. A partir do trabalho pioneiro de Lobatchevsky ficou clara a seguinte ideia, entre outras: Geometria é um ramo da matemática independente de modos de percepção visual.

O conceito de dimensão, em matemática, é abstrato. E mesmo conceitos comuns da geometria são também abstratos, como ponto, reta, plano e espaço.

No entanto, teorias matemáticas sustentadas em conceitos abstratos são comumente aplicadas para modelar o mundo físico. Mas, de forma alguma devemos entender com isso que o caráter ontológico de uma teoria matemática necessariamente espelha o caráter ontológico do mundo físico. 

Cito dois exemplos: mecânica corpuscular clássica e mecânica quântica.

Mecânica corpuscular clássica é parcialmente desenvolvida em espaços tridimensionais. O que isso significa? Significa que posições e velocidades de partículas são descritas como funções sobre um espaço vetorial de três dimensões. Ou seja, partículas e espaço são meramente conceitos matemáticos. 

Surpreendentemente, é possível corresponder esses conceitos abstratos a objetos do mundo real. Neste sentido, não basta para o físico ter em mãos uma teoria matemática. É necessário ele fazer uma correspondência entre os conceitos matemáticos disponíveis e aquilo que ele pode efetivamente medir no mundo real. Por conta disso que existem aqueles que definem teoria física como uma tripla ordenada (M, D, r), sendo que M é uma teoria matemática, D é o domínio de aplicação (mundo real) e r é um conjunto de relações entre M e D. 

Muito se sabe sobre M e D. Mas a literatura sobre as relações r é ainda muito pobre. Nada se sabe sobre elas. Por conta disso que existem tantas discussões sobre o caráter ontológico de teorias físicas. Justamente porque ainda não se sabe o quão fiel a matemática é, para informar sobre a natureza íntima do mundo real. 

No caso da mecânica corpuscular clássica, diz-se que uma partícula pode ser localizada em um espaço tridimensional. E, a partir disso, cria-se uma intuição física na qual se fala de posições horizontais, verticais e de profundidade, relativamente a um observador físico.

No entanto, o fato de podemos criar uma intuição física para um espaço tridimensional exclusivamente matemático não significa que vivemos em um mundo tridimensional. Afirmar isso retrata a pretensão de conhecermos a natureza íntima do espaço físico. A bem da verdade, não sabemos sequer se existe algum espaço físico. 

Na mecânica quântica a posição de um objeto físico (como um elétron) é descrita em um espaço vetorial conhecido como espaço de Hilbert. E este espaço de Hilbert tem infinitas dimensões. 

Observe que o propósito é ainda o mesmo: localizar uma partícula. No entanto, para acomodar características atípicas de certas partículas, físicos perceberam que não podem mais usar espaços vetoriais de três dimensões para dizer onde, por exemplo, um elétron está.

Um espaço vetorial de três dimensões é usualmente descrito como um caso particular de conjunto. E um conjunto é um conceito abstrato. É simplesmente impossível enxergar um conjunto. Ainda que os elementos de um conjunto pudessem ser objetos do mundo real (como pessoas ou canecas), o conjunto em si não pode ser percebido pelos sentidos físicos. O conjunto das pessoas que já leram alguma postagem deste blog é um conceito abstrato que persiste mesmo quando todas essas pessoas já tiverem morrido daqui a cem milhões de anos. É possível, por enquanto, ver essas pessoas. Mas o conjunto em si não pode ser visto, apesar de poder ser matematicamente definido. 

Se físicos trabalham com espaços de dimensão infinita, para realizar a simples tarefa de dizer onde um elétron está, é porque esses mesmos físicos estão se empenhando em desenvolver uma intuição diferente daquela explorada em mecânica corpuscular clássica. 

A verdade é que nada sabemos sobre o suposto espaço físico que parece nos envolver. Se você acha que enxerga em três dimensões, precisa rever o que entende por "dimensão". Se a palavra "dimensão" for empregada no sentido matemático usual, você está enganado. Não é possível enxergar em dimensão alguma. Se a palavra "dimensão" é usada em outra acepção, então esclareça sobre o que, afinal, você está falando. 

Quando vídeos são exibidos na internet para criar uma visão intuitiva sobre espaços de dimensão superior, eles invariavelmente estão comprometidos com um único caráter ontológico. Intuições não precisam ser desenvolvidas apenas de um ponto de vista geométrico, antenado com preconceitos com os quais estamos simplesmente acostumados. Intuições podem também ser desenvolvidas sob outras perspectivas. Por que não desenvolver, por exemplo, uma intuição algébrica sobre dimensões?

Observe que até mesmo a linguagem natural que emprego nesta postagem é impregnada de preconceitos que apenas estreitam a capacidade de compreensão sobre matemática. Afinal, usei a expressão "outras perspectivas" no parágrafo acima. E "perspectiva" é um termo comumente associado a geometria.

Em suma, se você deseja se libertar de graves preconceitos sobre seus modos de percepção do mundo, estudar matemática é uma alternativa interessante. Pelo menos você começa a se acostumar com outras formas de percepção.

Paulo Freire e a matemática do oprimido

Recentemente um amigo meu mencionou a respeito de uma tese de doutorado defendida na Universidade de São Paulo (USP), sobre a influência de Paulo Freire e Ubiratan D'Ambrosio na formação do professor de matemática no Brasil. Na tese defende-se que "os atuais processos de formação de professor de matemática ainda são fortemente sedimentados numa formação alienada aos ditames de uma sociedade de classes, que não permite ao futuro professor compreender e fazer uso da necessária autonomia inerente à sua atuação, o que o faz atuar como um intelectual orgânico a serviço da consolidação da hegemonia da classe dominante." 

Pois bem. Nesta postagem foco exclusivamente na influência de Paulo Freire sobre a educação brasileira, com ênfase na matemática. Sobre a obra de D'Ambrosio pretendo discutir em outro momento, apesar de haver importantes pontos em comum entre ambos os autores. 

Paulo Freire foi, sem dúvida alguma, um educador e um pensador. Não foi uma pessoa que apenas teorizava a respeito de educação, mas alguém que efetivamente alfabetizou, um indivíduo que fez a diferença em nosso país e fora dele. Além disso, sua extensa obra sobre educação o projetou internacionalmente, como um nome respeitável. 

No entanto, não podemos ignorar a exagerada, deturpada e aparentemente doentia veneração que existe em nosso país, quando o nome de Paulo Freire é lembrado. 

O livro mais famoso de Freire é Pedagogia do Oprimido, com dezenas de milhares de citações, tanto do texto original quanto de suas traduções para inglês, espanhol e hebraico. Neste texto Freire faz uma intrincada discussão sobre reflexos sociais e individuais de relações entre (socialmente) oprimidos e opressores. Seu foco é o processo educacional, o qual é um poderoso agente que pode ser usado tanto para exercer mudanças sociais como para simplesmente manter aquilo que muitos chamam de status quo. 

Antes de discutirmos de maneira mais detalhada algumas das teses de Freire, é importante esclarecer dois pontos comumente ignorados em nossa nação:

1) Freire deixa claro que Pedagogia do Oprimido é um aprofundamento de discussões promovidas em seu livro Educação Como Prática da Liberdade. No entanto, também deixa claro que o tema abordado é amplo, e que sua obra deve ser entendida como mera introdução. 

2) Freire também deixa claro que suas teses defendidas em Pedagogia do Oprimido são o resultado de simples observações feitas no Brasil e, posteriormente, no Chile, durante seu período de exílio político. Ou seja, ele não se sustentou em estudos científicos ou filosóficos para qualificar, por exemplo, como é possível "roubar a humanidade" de alguém. Neste sentido Freire combina, em seu livro, pensamento crítico, sobre o que observou, com uma visão pessoal (e, portanto, restrita às suas próprias limitações) sobre humanidade. 

Já chamei atenção, recentemente, para falhas graves de Jean Piaget, quando este importante pensador suíço afirmou que crianças são incapazes de pensar sobre o pensar. Por que Piaget errou? Porque pessoas, por mais inteligentes que sejam, estão sempre sujeitas ao auto-engano. Até mesmo a NASA já foi (coletivamente) vítima do auto-engano, resultando em uma das maiores tragédias da história da exploração do espaço.

Como o nome de Paulo Freire está fortemente associado a marcantes ideologias políticas, o auto-engano se torna ainda mais provável. É neste momento que boas ideias e discussões pertinentes passam a ser possíveis referências para visões preguiçosas e distorcidas sobre sociedade e educação. 

Assim como Piaget, Paulo Freire foi um precursor. Mas suas palavras não devem, em hipótese alguma, ser consideradas como conclusivas. 

O livro em questão, de Paulo Freire, pode ser facilmente interpretado como uma visão dicotômica da sociedade, dividindo-a em duas classes: opressores e oprimidos. Os opressores são violentos (podendo exercer violência até mesmo de forma mascarada por uma falsa generosidade) e os oprimidos temem a liberdade (não poderá a consciência crítica conduzir à desordem?). Esta é a leitura mais usual da obra de Freire. Exemplo disso é a tese acima citada, no primeiro parágrafo. 

No entanto, há uma outra maneira de ler Pedagogia do Oprimido. A relação entre opressor e oprimido, para Paulo Freire, é de notável riqueza. Segundo o próprio autor, "o ser menos leva os oprimidos, cedo ou tarde, a lutar contra quem os fez menos. E esta luta somente tem sentido quando os oprimidos, ao buscar recuperar sua humanidade, que é uma forma de criá-la, não se sentem idealistamente opressores, nem se tornam, de fato, opressores dos opressores, mas restauradores da humanidade em ambos."

Este é um ponto importantíssimo que Freire detalha em várias passagens do livro. 

A aparente dicotomia opressor-oprimido de Freire pode ser entendida como um ponto de partida para despertar atenção, um simbolismo, uma inspiração para apenas iniciar análises críticas sobre o espírito humano e a repercussão deste sobre a sociedade. Caso contrário, a leitura da obra de Freire se torna uma mera caricatura social. Isso porque existe uma riqueza fenomenal de classes sociais em nosso país, que não se reduzem a apenas duas. E isso se deve, em parte, ao fato de que o Brasil se insere em uma realidade maior do que ele próprio, chamada de mundo. 

Aqueles que estudam em escolas consideradas de elite em nosso país, não fazem parte de qualquer elite mundial. Tanto é verdade que há inúmeros exemplos de conteúdos matemáticos estudados de forma fragmentada e até errada em livros, apostilas e sala de aula, independentemente de classe social. Exemplos são encontrados em trigonometria, cálculo diferencial e integral, aritmética elementar, lógica e até história da matemática, entre muitos outros. Em nossas universidades há também uma resistência aparentemente intransponível para que professores estrangeiros possam lecionar em inglês. E como aprender matemática sem conhecimentos básicos de inglês? 

Esta semana houve um show em Porto Alegre, RS, de Jack White. Todos os milhares de fãs que acompanharam a apresentação do mestre de cerimônias dispensaram o tradutor. Eram mais de três mil jovens que reagiam instantaneamente à apresentação feita em inglês. Houve momento em que o tradutor se sentiu deslocado, pois todos ali entendiam o que era dito. Por que isso? Porque os fãs de Jack White são realmente fãs. Procuram entender toda a cultura associada à sua imagem artística e não apenas as músicas. É uma questão de motivação. Uma matemática lecionada de forma fragmentada e dogmática (com persistentes erros que causam uma desagradável impressão de arbitrariedade) é uma matemática que não motiva pessoa alguma. E se não há motivação, por que conhecer a cultura matemática mundial? Por que conhecer, por exemplo, inglês?

A condição de opressão, ressaltada por Paulo Freire, somente pode ser combatida, segundo ele mesmo, com a busca pela liberdade. O oprimido de Freire é uma pessoa sem liberdade. Porém, o autor ressalta que o medo da liberdade (comum ao oprimido) não apenas pode manter seu estado social de oprimido como pode, também, conduzi-lo a pretender ser um opressor. E este é um ponto que educadores, professores e pedagogos simplesmente não demonstram entender, quando o objetivo é discutir educação matemática. Isso porque a essência da matemática radica em sua liberdade. E essas palavras não são minhas, mas de Georg Cantor, o criador da teoria de conjuntos. Teoria de conjuntos é provavelmente a teoria mais massacrada pela ignorância de nossos educadores, professores e pedagogos. A prática mostra que a contagiante ignorância de nossos educadores é sim uma opressão contra o espírito livre da matemática. Consequentemente, é uma opressão sobre praticamente todos os inúmeros segmentos sociais de nosso país. Do ponto de vista da educação matemática, o Brasil inteiro é um estado oprimido por ele mesmo. Uma instituição como o IMPA não é um segmento social. É apenas uma instituição que luta para construir um segmento social.

Freire não conhecia matemática. E nem precisava. Mas se educadores pretendem aplicar ideias de Freire no ensino e na educação matemática de nosso país, certamente precisam conhecer muito bem esta área do saber. Caso contrário, estarão desrespeitando o espírito livre defendido pelo próprio Freire, como forma de combate à opressão. Matemática não é aquilo que se ensina em nossas escolas.

Ignorância é um agente de opressão. Mas um agente muito pior é a ilusão de conhecimento, a qual assola nosso país, especialmente as universidades. 

Cito um exemplo de ilusão de conhecimento no próprio livro de Freire. Segundo ele, "Quem melhor, que os oprimidos, se encontrará preparado para entender o significado terrível de uma sociedade opressora? Quem sentirá, melhor que eles, os efeitos da opressão?"

A primeira pergunta, de caráter retórico, sugere que o oprimido está melhor qualificado para compreender o significado de uma sociedade opressora. Isso, claro, é falso. Afinal, o oprimido de Freire pode ser facilmente compreendido como um ignorante, uma pessoa praticamente cega diante de questões sociais, educacionais, culturais, artísticas, científicas, religiosas, históricas. 

Já a segunda pergunta sugere que o oprimido sente de forma mais marcante os efeitos da opressão. Isso sim faz sentido. Afinal, uma pessoa com câncer sente os sintomas de sua doença. Mas isso não a qualifica para compreender o que exatamente é o câncer que invade o seu corpo. 

Freire defende um diálogo crítico e libertador com os oprimidos. Analogamente, um médico deve conversar com seu paciente, para melhor diagnosticá-lo. Mas não pode se limitar ao diálogo. Precisa de muito mais do que uma simples conversa. O médico precisa de ciência do mais alto nível para poder tratar o paciente.

Por um lado, cabe ao oprimido a busca pela liberdade sugerida por Freire. E, por outro, cabe ao opressor o real estímulo à liberdade de todos os segmentos sociais, começando pela sua própria. 

A ilusão que ameaça nosso sistema educacional e, particularmente, o ensino de matemática, é a crença de que noções superficiais sobre sociedade bastam para escrever teses e gritar em favor de movimentos políticos ingênuos e frequentemente mal intencionados. 

Estudemos Paulo Freire sim. Mas filtremos o que ele diz. E, mais importante, avancemos o que ele começou. 

É bem sabido que o conhecimento científico não é ainda acessível de forma democrática, seja no Brasil ou no mundo. Isso porque a indústria de periódicos científicos movimenta bilhões de dólares ao ano, sendo altamente lucrativa. É contra esse tipo de problema que devemos todos lutar. Não importa se uma pessoa estuda mecatrônica na USP ou separação silábica em uma aldeia no meio da floresta amazônica, todos devem ter acesso ao conhecimento. 

Pedagogia matemática sem matemática? Não, por favor. Isso não é conhecimento. 

A diferença entre física e filosofia da física

Em função de discussões recentes neste blog, sobre física e filosofia da física, creio que esta seja uma ótima oportunidade para esclarecer, da melhor maneira possível, o que são essas áreas do conhecimento.

Justamente por não existir uma definição rigorosa que caracterize o que é o ramo do conhecimento usualmente chamado de física, a distinção entre física e filosofia da física fica bastante comprometida. No entanto, alguns pontos importantes podem ser salientados para evitar confusões bastante frequentes, principalmente entre aqueles que não têm familiaridade com essas atividades de investigação. 

De acordo com a usual visão dicionarizada, a física é o ramo do conhecimento que se ocupa do estudo da matéria, de energia e das interações entre matéria e energia. Essa noção por si só já abre espaço para muita discussão, uma vez que não existe um conceito claro para energia. Cada teoria física, em cada formulação, adota noções específicas sobre o que, afinal, é energia. Até mesmo o conceito de matéria é vago, uma vez que hoje em dia já se fala sobre a suposta existência de uma matéria escura (que pode estar permeando nossa própria galáxia) a qual interage com campos gravitacionais. No entanto, como campos gravitacionais exercem influência sobre matéria (no sentido tradicional da expressão), logo este conceito ainda hipotético atrai a atenção de físicos do mundo todo. 

Por que os físicos (indivíduos que desenvolvem a física) adotam uma noção tão vaga quanto a de energia? O motivo é ardiloso e parece remeter a uma necessidade humana de identificação de padrões matemáticos na natureza. Todas as teorias físicas são fundamentadas em princípios de invariância. Se um físico deseja estudar, por exemplo, colisões entre partículas, ele pode assumir que a energia total de um dado sistema de partículas é invariante (não se altera com o passar do tempo), apesar de outras grandezas físicas poderem mudar, como posição, velocidade ou momento linear. Ou seja, um princípio de invariância de energia pode ser adotado quando outros princípios de invariância não podem ser assumidos no contexto de uma dada teoria ou de um modelo que vise explicar um fenômeno físico em particular. Para uma inspirada visão intuitiva sobre o conceito de energia em física teórica, recomendo este link.

O leitor poderia questionar o que é um fenômeno físico. É justamente neste ponto que a física vive hoje em uma armadilha aparentemente criada pelos próprios físicos. De acordo com Karl Popper, famoso filósofo da ciência do século passado, toda teoria científica deve ser falseável. Em outras palavras, teorias científicas devem fazer previsões de risco. Neste contexto, se assumirmos que toda teoria física é uma teoria científica, então toda teoria física deve fazer previsões que possam ser contrastadas com observações ou experimentos realizáveis em laboratório. Se uma teoria física como a gravitação newtoniana prevê que uma pluma e uma bola de chumbo devem chegar ao solo no mesmo instante, quando largados de uma mesma altura, então o físico experimental deve ser capaz de fazer testes em laboratório para corroborar esta previsão. É claro que, para testar tal previsão, o físico experimental precisa realizar essa experiência em condições próximas de ideais (antecipadas pelo físico teórico), nas quais pluma e bola de chumbo não sofrem resistência do ar ou demais interferências. E, é claro, o físico experimental deve estar ciente de que todas as suas medições estão sujeitas a erros. Daí a necessidade do estudo de teoria dos erros, a qual é (em princípio) inerente a toda e qualquer teoria física. 

No entanto, a física atingiu nos dias de hoje certos níveis de abstração que desafiam a testabilidade de várias teorias, como a do Big Bang e as de cordas. A teoria do Big Bang se sustenta na tese de que o Universo foi criado bilhões de anos atrás, a partir de uma grande explosão que teria dado origem à matéria e até mesmo ao espaço-tempo. Mas como testar em laboratório a origem do Universo, uma vez que vivemos nele? O Big Bang foi um fenômeno físico? Já as teorias de cordas preveem a existência de dimensões extras (além das quatro dimensões do espaço-tempo antecipadas por outras teorias, como a relatividade geral) que são impossíveis (pelo menos nos dias de hoje) de serem verificadas como existentes ou inexistentes. Até mesmo a detecção do famoso bóson de Higgs (que rendeu o Prêmio Nobel para o seu idealizador) é confirmada apenas por evidências indiretas, sustentadas por muita análise estatística. Ninguém até hoje viu uma partícula (da mesma forma como é possível ver uma maçã) que pudesse ser imediatamente identificada como o bóson de Higgs. Isso ainda não é possível ser feito, sequer em princípio. 

Portanto, de duas uma: ou o critério de falseabilidade de Popper, para identificar teorias científicas, precisa de uma severa revisão ou várias teorias físicas (em um sentido social) amplamente estudadas hoje em dia simplesmente não são teorias físicas (em um sentido filosófico). Se existe uma distinção supostamente oficial entre física e filosofia da física (ou, como insistem alguns, entre os objetos de estudos da física e da filosofia da física), tal diferença serve muito mais aos propósitos burocráticos de políticas de financiamento de pesquisas do que aos propósitos de uma legítima e clara diferenciação entre ramos do conhecimento. 

Logo, o principal problema para caracterizar o que é uma teoria física reside na decisão de uma postura a ser adotada: devemos entender teorias físicas em um contexto social ou filosófico?

O contexto social é bem mais claro do que o filosófico: teorias físicas são aquelas que rendem publicações em periódicos especializados de alto nível (de acordo com critérios editoriais bem conhecidos) tradicionalmente identificados como publicações de física. Ou seja, é a prática social de pessoas formalmente contratadas como físicos em universidades e institutos de pesquisa que supostamente define o que são teorias físicas. 

Já o contexto filosófico é ainda um desafio muito grande. Existem aqueles que defendem que a postura popperiana depende apenas de muito trabalho ao longo de muito tempo para que ideias abstratas de hoje sejam corroboradas no futuro. Existem aqueles que creem que basta uma teoria física ser suficientemente elegante (do ponto de vista teórico) para que seja reconhecida como verdadeira. E existem aqueles que creem que teorias físicas devem apenas salvar as aparências, no sentido de que toda teoria física é quase-verdadeira. Esta última visão contrasta claramente com a postura popperiana. 

A postura social para qualificar teorias físicas é, hoje em dia, mais objetiva do que a filosófica. Isso porque a postura social depende da prática de editores e referees, em primeira instância, e de citações e aplicações tecnológicas, em segunda instância. No entanto, ela é altamente questionável. Isso porque podemos facilmente identificar ideias polêmicas publicadas em excelentes periódicos de física. Já a postura filosófica para qualificar o que é uma teoria física tem encontrado uma considerável dificuldade para acompanhar os avanços mais recentes e impactantes publicados nos periódicos de mais alto nível. Ou seja, Popper está ficando para trás, apesar de ser a mais conhecida referência filosófica sobre o que deve ser identificado como uma teoria científica. 

Como o estudo de física é uma atividade social (são pessoas e grupos de pessoas que investigam teorias físicas), é natural que a postura social para qualificar teorias físicas seja dominante sobre a filosófica. Ou seja, são os filósofos da física que devem se adaptar às práticas sociais dos físicos e não o contrário. Quem não concordar com esta visão, não tem escolha a não ser se empenhar em uma visão filosófica que seja socialmente aceita pelos físicos. Mas, para que isso ocorra, é ironicamente necessário que o filósofo se renda a uma postura social. Caso contrário, ele jamais será ouvido por físicos. Enquanto a filosofia da física for objeto de estudos apenas de filósofos (e não de físicos) ela jamais merecerá seu nome. Como promover filosofia da física sem contato com a física? Filosofia da física que não seja socialmente recebida por físicos é filosofia do faz-de-conta. 

O que é filosofia da física? Tradicionalmente é o estudo do caráter metodológico, epistemológico e ontológico de teorias físicas. Mas nas últimas décadas o papel do filósofo da física tem se modificado para algo novo, além da visão tradicional. Roger Penrose, por exemplo, especulou anos atrás que os únicos fenômenos físicos não computáveis ocorriam apenas em escalas quânticas. Esta especulação, de caráter claramente filosófico, foi baseada na experiência profissional de Penrose, intuitivamente compartilhada por muitos outros físicos. No entanto, da Costa e Doria provaram que a conjectura de Penrose precisava ser melhor qualificada, apresentando exemplos de não-computabilidade em teorias físicas clássicas. Este é um exemplo que sustenta a tese de Max Jammer de que certas especulações filosóficas em física teórica somente podem ser respondidas com o emprego do método axiomático, ou seja, com muita conta. Em contextos como este os papeis do físico e do filósofo da física comumente se confundem. Um físico, no sentido estrito do termo, pode legitimamente desempenhar um papel filosófico em seu trabalho, assim como um filósofo pode efetivamente contribuir para o avanço tanto da física teórica quanto experimental. Um exemplo muito elegante dessa nebulosa fronteira entre física e filosofia da física é a medição sem interação. Um artigo essencialmente especulativo publicado em Foundations of Physics deu origem a técnicas de fotografia nas quais luz jamais incide sobre o objeto fotografado.

Para que uma pessoa promova filosofia da física, é fundamental que ela esteja familiarizada com a contraparte matemática das teorias físicas, mesmo que sua filosofia seja meramente especulativa. 

Considere como exemplo a Terceira Lei de Newton. Em linguagem natural costuma-se dizer que a toda força de ação de um corpo A sobre um corpo B corresponde uma força de reação de B em A de mesma direção e intensidade, mas com sentido contrário ao da ação. No entanto, em formulações axiomáticas usuais da mecânica newtoniana não existe qualquer distinção entre uma força de ação e uma de reação. Isso porque ambas as forças atuam em um mesmo instante, não sendo possível estabelecer uma relação de causalidade que diferencie ação de reação, como a linguagem natural sugere. Como o filósofo pode perceber isso se ele especular filosoficamente a partir do que lê apenas em linguagem natural, sem conhecimentos detalhados sobre a matemática empregada em diferentes formulações da mecânica newtoniana? 

Todas as teorias físicas desenvolvidas nos últimos dois séculos são fortemente sustentadas por matemática, apesar de serem também alicerçadas por intuições que escapam do domínio matemático. E mesmo físicos experimentais são obrigados a se render à matemática da teoria de probabilidades e técnicas estatísticas. Ou seja, sem matemática não se concebe física, seja teórica ou experimental. Mas insisto: não basta matemática para se desenvolver teorias físicas.

Quando um filósofo especula em linguagem natural a respeito de alguma teoria física, ele naturalmente corre grandes riscos. Isso porque físicos adotam várias práticas contraditórias entre si, apesar de usualmente dependerem de teorias matemáticas clássicas (que supostamente evitam contradições). Há diversos exemplos na literatura especializada:

1) Neste link há uma discussão sobre um trabalho no qual os autores especulam a existência de partículas virtuais no estado de vácuo quântico. No entanto, todas as contas são feitas no escopo de uma teoria de campos e não de partículas. 

2) O célebre átomo de Bohr é um modelo físico para a estrutura do átomo que assume pressupostos contraditórios entre si (consegue identificar as contradições?).

3) Em mecânica quântica se emprega teoria de probabilidades para tratar do colapso de estados puros para auto-estados sem que seja explicitada a álgebra de eventos. Ou seja, físicos quânticos adotam probabilidades ou não?

Portanto, a especulação filosófica sobre qualquer teoria física é altamente questionável justamente porque a prática do físico teórico também é. E o perigo da especulação filosófica sobre uma teoria física se torna muito maior quando ela é sustentada por outra especulação filosófica. Esta, aliás, é uma prática indesejavelmente frequente. 

É bem conhecido que Ernst Mach especulou filosoficamente sobre a obra de Isaac Newton. Podemos, portanto, especular filosoficamente sobre as especulações de Mach? Esta é uma questão extremamente delicada. Por um lado, Isaac Newton abriu mão de muitas ferramentas matemáticas que ele mesmo criou, ao escrever sua obra máxima Principia, a qual retrata em primeira mão suas ideias que deram origem à mecânica newtoniana. Em segundo lugar, a vaguidade das ideias de Newton deu origem a múltiplas visões sobre o que é, afinal, mecânica newtoniana. Exemplos bem conhecidos são as formulações de McKinsey-Sugar-Suppes, Noll e Arnol'd que, por sinal, não são equivalentes entre si. Em terceiro lugar, as críticas de Mach sobre o conceito de inércia na obra de Newton também deram origem a múltiplas visões teóricas. Exemplos são as formulações de Assis e Sant'Anna-Maia, as quais são contraditórias entre si. Portanto, como especular sobre um especulador? Só existe uma maneira para fazer isso: com muito cuidado.

Se alguém deseja criticar (em linguagem natural) parte da obra de Newton, usando como referência Mach, deve deixar claro sobre o que está especulando. Isso porque esse tipo de atividade filosófica não recai apenas sobre uma teoria física, mas sobre uma visão histórica e parcial de uma teoria física que não atende aos conceitos atuais de rigor científico. Para que se especule filosoficamente sobre uma visão machiana da obra de Newton, é necessário que se leia com extremo cuidado tanto a obra original de Mach quanto a de Newton. E como fazer isso sem conhecimentos profundos de alemão e latim? Se se pretende resgatar uma visão histórica, o conhecimento desses idiomas é imprescindível. 

Se, porém, o objetivo é filosofar sobre uma interpretação específica e usual da visão machiana sobre inércia, não há necessidade da leitura do texto original de Mach (apesar de ser evidentemente desejável). Mas há a necessidade da leitura do texto original que aponta para aquela interpretação específica, com a devida citação, seja em artigo técnico (formal) ou de divulgação (informal). 

Cito um exemplo. Clovis Maia e eu publicamos um artigo no qual mostramos que uma conjectura de Andre Assis sobre inércia precisava ser melhor qualificada. Segundo Assis, a gravitação newtoniana (no sentido atual) é incompatível com a explicação da inércia dos corpos a partir de uma casca esférica com distribuição isotrópica de massa. O que Maia e eu fizemos foi mostrar que uma fórmula de gravitação com a mesma forma da newtoniana é compatível com um princípio de inércia baseado em uma casca esférica com distribuição isotrópica de massa, à qual Assis se refere como Princípio de Mach. Ou seja, fizemos um trabalho a partir de certas ideias de Assis e não de Mach. O que Assis afirma categoricamente sobre Mach é questionável. E o que Assis afirma categoricamente sobre sua própria visão a respeito de inércia também é altamente questionável. 

Trabalho semelhante fiz sobre uma conjectura altamente especulativa do filósofo Nick Huggett. 

A filosofia da ciência que consigo praticar, por conta de limitações pessoais, é aquela que envolve contas. Admito que tenho extrema dificuldade para lidar com filosofia especulativa. Mas essa dificuldade decorre do fato de que a filosofia especulativa demanda uma profundidade de conhecimentos que é muito mais rara do que usualmente se pensa. Não creio que exista no Brasil algum filósofo da física (ou qualquer outra pessoa) que consiga especular com responsabilidade sobre a obra de Isaac Newton, sem fazer confusões de contextos social, histórico, epistemológico, metodológico e ontológico. Para que uma especulação séria fosse feita, seria necessário um profundo conhecimento dos textos originais de Newton, do contexto histórico em que Newton produziu suas ideias, dos textos originais de seus mais conhecidos críticos e dos textos originais que traduziram matematicamente as ideias deste grande físico britânico ao longo dos séculos. Isso porque a obra original de Newton ramificou-se de uma maneira excepcional. Ignorar essas ramificações em um trabalho exegético sobre a obra de Newton se qualifica, na melhor das hipóteses, como uma análise histórica e não filosófica. Grandes mentes perceberam a obra de Newton de múltiplas formas. E é isso que faz de Newton uma das mais brilhantes mentes que já existiram. Sua obra transcendeu a qualquer expectativa que o próprio Newton poderia ter.

Uma das mais perigosas práticas dos filósofos da física de hoje é a persistente publicação de artigos escritos a duas mãos. Para que a filosofia da física atinja os níveis de excelência que teve no passado, é necessária a colaboração, a parceria. Teorias físicas antigas e consagradas ramificaram-se de múltiplas formas. Teorias físicas novas demandam conhecimentos matemáticos de extraordinária sofisticação. Quem consegue dominar múltiplos idiomas, história, sociologia, matemática, física teórica, física experimental e filosofia, para que possa especular filosoficamente sobre teorias físicas ou, pior, sobre teorias físicas antigas? Sem diálogo real entre especialistas de diferentes áreas, o filósofo da física está praticamente condenado a um mundo no qual se confunde especulação filosófica, científica e histórica com fantasia e devaneios. Aliás, um exemplo bem conhecido disso aconteceu surpreendentemente com o próprio Popper. 

Em uma palestra realizada na Itália, Popper defendeu ser possível a comunicação instantânea entre dois indivíduos, supostamente usando um princípio de não-localidade da mecânica quântica. Gian Carlo Ghirardi mostrou a Popper, na lousa, que essa ideia simplesmente não funciona. Popper teria respondido: "Não entendo as suas contas, mas eu sinto que isso funciona." Essa história está reportada neste livro. 

Se uma mente brilhante como a de Popper conseguiu cometer erro tão primário, quem é capaz de se julgar como um especulador infalível?

Escrevi esta postagem em virtude de manifestações recentes e eventualmente convulsivas de Olavo de Carvalho e de alguns bizarros seguidores a respeito de uma postagem minha neste blog. Pois bem, segundo Carvalho, ser filósofo é "acreditar piamente na capacidade humana de compreender a realidade e apostar a vida nessa crença." Já Bertrand Russell afirmou algo completamente diferente: "Eu jamais morreria pelas minhas crenças, pois eu poderia estar enganado." Por que esta posição de Russell? Porque este sim foi um filósofo.