domingo, 23 de setembro de 2012

Como Aprender Matemática



Aulas e livros de matemática frequentemente provocam reações negativas em alunos: sono, cansaço, desânimo, desorientação, ansiedade e até desespero. Este texto apresenta algumas noções básicas que, se forem seguidas, podem colaborar significativamente para o melhor rendimento daqueles que tentam compreender esta área do conhecimento tão necessária para a sociedade, mas que enfrentam grandes dificuldades de aprendizado. 

Ou seja, este texto não é adequado para indivíduos que desejam conhecer matemática com profundidade, mas para aqueles que vêem na matemática apenas uma ferramenta útil em suas vidas profissionais e escolares.

Se você deseja ser mais do que um mero aluno, ou seja, um estudante de matemática, divido as recomendações em duas categorias: técnicas e pessoais.


Recomendações Técnicas

Todas as teorias matemáticas são fundamentalmente caracterizadas por dois ingredientes: lógica e linguagem. A não compreensão de qualquer um desses ingredientes fatalmente impede o entendimento de qualquer teoria ou conceito matemático. Discutimos brevemente a seguir o que são esses ingredientes.

Linguagem

As linguagens empregadas em matemática são completamente diferentes das linguagens naturais, aquelas que usamos em nosso dia-a-dia simplesmente para dialogar com as pessoas (português, inglês, francês, russo etc.). A linguagem matemática mais usual é a da teoria intuitiva de conjuntos. Esta linguagem permite fundamentar praticamente todos os conceitos estudados nos ensinos fundamental e médio, bem como em estudos de graduação e na maioria dos cursos de pós-graduação. Para compreender bem a linguagem da teoria intuitiva de conjuntos, basta entender como ponto de partida as relações entre os conceitos de pertinência e igualdade entre conjuntos. A teoria intuitiva de conjuntos normalmente estabelece os conceitos de pertinência e igualdade de forma meramente intuitiva. Se dizemos que o conjunto X pertence ao conjunto Y, queremos dizer com isso que X é elemento de Y. E se dizemos que o conjunto X é igual ao conjunto Y, queremos dizer que cada elemento Z de X é também elemento de Y e que cada elemento Z de Y é também elemento de X. Além disso admitimos que existe um conjunto que não tem elemento algum, a saber, o conjunto vazio. Se essas ideias forem bem compreendidas, todos os demais conceitos sobre conjuntos podem ser entendidos a partir dessas duas relações. As relações de subconjunto, subconjunto próprio e equipotência são definidas a partir de pertinência e igualdade. As operações de união, interseção, complementar, diferença, diferença simétrica, produto cartesiano e potência são também definidas a partir de pertinência e igualdade. E os conceitos de par não ordenado, par ordenado, n-upla ordenada, relação, função, função sobrejetora, função injetora, função bijetora, conjunto finito, conjunto infinito, cardinalidade, número natural, número inteiro, número racional, número irracional, número real, número complexo, matriz, reta, circunferência, triângulo, entre muitos outros, podem novamente ser definidos apenas a partir de pertinência e igualdade. Ou seja, domine a teoria intuitiva de conjuntos e estará com um caminho muito bem definido para entender matemática.

Lógica

A contraparte lógica da matemática (estudada sem compromissos profundos com fundamentos) pode ser resumida a simples regras de inferência, também conhecidas como argumentos. O argumento mais usual em matemática é conhecido como Modus Ponens. A partir de uma afirmação "A" e uma condicional "se A então B" podemos inferir "B". Por exemplo, considere as duas afirmações a seguir: 

A: "T é um triângulo retângulo"

B: "Se T é um triângulo retângulo, então T admite um lado maior."

A partir dessas duas afirmações podemos concluir que "o triângulo retângulo T admite um lado maior." Frequentemente afirmações de autores de livros e professores mascaram essa forma de discurso. Um professor pode afirmar, por exemplo, que todo triângulo retângulo admite um lado maior. O que ele está dizendo com isso é simplesmente que "se T é um triângulo retângulo, então T admite um lado maior."

Outras formas de argumentos são também usuais em matemática, como a conhecida redução ao absurdo. Digamos, por exemplo, que um autor ou professor queira demonstrar uma tese T a partir de uma ou mais hipóteses H1, H2,..., Hn. E digamos que este profissional não consiga fazer tal demonstração apelando apenas a Modus Ponens. Ele pode empregar o seguinte recurso: supor que não vale T. Se este profissional, usando a seguir Modus Ponens, concluir que a negação da tese T implica necessariamente na violação de uma das hipóteses H1, H2,... , Hn, ele estará finalmente provando que vale a tese T. Isso porque é assumido implicitamente que só existem duas opções: ou vale T ou não vale T. Se a negação de T permite inferir uma afirmação que contradiz alguma das hipóteses, isso significa que a negação de T é incompatível com o conjunto de hipóteses. Portanto, só restou a possibilidade de que vale T. Eventualmente a negação de T pode não violar qualquer uma das hipóteses, mas pode contradizer algum fato bem conhecido sobre matemática. Novamente teremos uma contradição e só resta a possibilidade de valer a tese T. 

Considere como exemplo a tese de que a raiz quadrada de dois é irracional. Em outras palavras, considere o seguinte teorema: "Se X é igual à raiz quadrada de dois, então X é um número irracional." A demonstração mais usual parte da negação da tese, ou seja, assume-se que a raiz quadrada de dois é um número racional (entre os números reais, ser irracional significa não ser racional). Usando Modus Ponens algumas vezes é possível chegar a uma conclusão que contradiz o que se sabe em matemática a respeito da decomposição de números inteiros em fatores primos. Assumindo que essas propriedades sobre números inteiros estão corretas, chega-se à conclusão de que é falso afirmar que a raiz quadrada de dois é um número racional. Portanto, só restou a possibilidade deste número ser irracional.

É importante observar que não estou apelando para noções rigorosas de lógica. Do ponto de vista lógico-matemático estou cometendo várias impropriedades. Mas, para fins elementares de um conhecimento pragmático de matemática (incluindo muitos conteúdos estudados até mesmo em programas de pós-graduação) essa visão pode ser considerada como uma boa aproximação. 

Não tente interpretar argumentos lógico-matemáticos em situações normais do dia-a-dia. Também não tente interpretar de forma trivial elementos das linguagens das teorias intuitivas de conjuntos como objetos do mundo real. Você fracassará miseravelmente se fizer isso. As regras de inferência usadas em matemática pertencem exclusivamente ao mundo matemático, que é um domínio abstrato sem interpretação trivial no mundo real. O fato da matemática ser aplicada para modelar fenômenos reais é algo que ainda não é bem compreendido pela ciência. Ou seja, usar o conceito geométrico de circunferência para modelar uma roda de carro é algo que deve ser examinado com muito cuidado. Rodas de carro são objetos reais, palpáveis, mensuráveis. Circunferências, em geometria, são conjuntos de pontos. E conjuntos não têm forma, não são palpáveis e muito menos mensuráveis (no sentido físico da expressão). Quando se usa uma circunferência para modelar uma roda de carro, ou uma equação diferencial para modelar a dinâmica de uma população de bactérias, deve se ter em mente apenas o aspecto pragmático: funciona. Como funciona, ninguém sabe.


Recomendações Pessoais

A prática da matemática exige tanto atividades sociais quanto aquelas que são mais  introspectivas. 

1) Não se limite à leitura de um único livro para aprender matemática. Consulte várias referências e use seu senso crítico. Sempre tente reduzir conceitos matemáticos para uma linguagem de uma teoria intuitiva de conjuntos. Se um autor afirmar que uma matriz é uma tabela, entenda que este profissional fez uma afirmação tola. Afinal, o que é uma tabela? Tente reduzir o conceito de matriz a alguma noção que possa ser expressa em uma linguagem de teoria de conjuntos. É difícil encontrar na literatura, mas existem autores que definem conceitos matemáticos com rigor adequado. Uma matriz é uma função. E funções são definidas a partir de conjuntos, usando os conceitos de pertinência e igualdade.

2) Procure contato com matemáticos reconhecidamente competentes. Raramente são competentes aqueles que se limitam a reproduzir o que outros autores já escreveram. Como diz o ditado, quem sabe faz e quem não sabe ensina. Matemático, por definição, é aquele que, pelo menos uma vez na vida, foi o autor do enunciado e da demonstração de um teorema não trivial que foi publicado em um respeitado periódico especializado de circulação internacional. Use a internet para estabelecer este tipo de contato, se for necessário. Se ainda assim não conseguir, converse com o maior número possível de professores de matemática e novamente use seu senso crítico. Seja como for, jamais confie cegamente na palavra de um único profissional (o que inclui o administrador deste blog). Sempre empregue seu senso crítico.

3) Se for estudar em grupo, jamais se reúna com pessoas que não têm interesse real em troca de ideias matemáticas. Forme grupos de discussão com colegas que genuinamente contribuam para a melhora no aprendizado do grupo como um todo. 

4) A maior parte do aprendizado de matemática é um processo solitário, sem interferências externas, como música ou conversas paralelas. Se você estiver estudando um conteúdo e não compreendê-lo, insista até a exaustão. Se ainda assim não compreender, entenda que isso é normal. Matemática é assunto extremamente complicado para qualquer pessoa. São ignorantes aqueles que dizem o contrário. Descanse, tire um dia de folga e retorne aos estudos no dia seguinte. Sua capacidade de compreensão ficará cada vez mais aguçada se você alternar períodos de estudos intensos com períodos de descanso e lazer. 

5) Matemática é como uma amante. E amantes gostam de ser lembradas nos momentos mais inesperados. Mesmo que você tenha horários específicos para a realização de estudos, procure pensar sobre o que estudou nos dias anteriores quando estiver envolvido em atividades intelectualmente pouco exigentes: durante o banho, em uma caminhada ou enquanto estiver se bronzeando na praia. Apenas refletir sobre matemática, sem o compromisso formal de ler e escrever, é algo que pode ser prazeroso. 

6) Procure diversificar suas atividades intelectuais. Estudar apenas matemática não é recomendável. Ter contato com cultura em geral tem reflexos extremamente positivos em estudos mais específicos. Leia clássicos da literatura mundial, ouça e conheça música erudita, vá ao teatro e ao cinema, converse com amigos sobre artes, história e ciência. Matemática está intimamente conectada a praticamente todas as atividades culturais humanas. 

Para entender matemática é preciso praticar matemática. E mesmo a insistente tentativa de praticar matemática pode não apresentar resultados encorajadores. Não existe solução milagrosa para o enfrentamento de dificuldades de aprendizado de matemática que se dê com uma poção mágica ou uma postagem em um blog. Existem até mesmo quadros clínicos que praticamente proíbem uma pessoa de estudar esta ciência, como discalculia e certos tipos de epilepsia. Por isso, a última recomendação é a seguinte: procure contato permanente mais próximo com pessoas que apoiem seus sonhos. 

41 comentários:

  1. Discalculia não seria uma farça? Um "descoberta" utilizada pelos "poderosos" para manipular as pessoas dominadas e mantém-las burras?

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    1. Anônimo

      Se considerar psicólogos do mundo inteiro como poderosos, talvez você tenha razão. Não sou especialista em psicologia. Apenas vejo muitos trabalhos independentes sobre o tema, publicados em veículos sérios. Jamais vi evidências que poderiam sugerir alguma farsa.

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    2. Minha esposa é psicóloga, atuando na área educacional. Discalculia não é uma farsa.

      Porém, é extremamente comum um aluno ser "diagnosticado" com discalculia, DDA, dislexia e similares por um professor ou diretor escolar sem formação em psicologia\psiquiatria. E o aluno é quase imediatamente segregado, pois o "deficiente" não pode ser forçado a aprender como os demais, isso seria violento. E raramente um professor se dispõe a tentar uma abordagem diferente com o "deficiente".

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  2. Olá, professor Adonai!!!!

    Eu marquei a opção de reação... BOM, porque não tem a opção... ÓTIMA!!!! Parabéns, mestre!!!!

    Agora eu entendi o porquê de ter conseguido ser até... "criativo" em matemática!!!! E a explicação é.... "instintivamente" executei a maioria dessas recomendações técnicas e pessoais, aqui expostas e, o que é curioso, faço aber aos meus alunos, o quanto isso é importante para alcançarem o domínio do conhecimento matemático, contribuindo assim, para que alcancem o sucesso pessoal e/ou profissional, mais adiante!!!!

    Parabéns, pela ótima postagem!!!!

    Um abraço!!!!!

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    1. Oi, Francisco

      E como seus alunos reagem diante de suas recomendações?

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  3. Como Matemáticos entram em forma?

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    1. Não entendi a pergunta. Poderia reformulá-la?

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  4. Gostei bastante da postagem. Nas recomendações pessoais item 1 seriam muito bem vindas algumas referências.

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    1. Vinnius

      Um ótimo ponto de partida é o livro Basic Set Theory, de S. Shen e N. K. Vereshchagin. A partir daí fica bem mais fácil estruturar uma visão conjuntista de conceitos matemáticos.

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  5. Ótimas dicas. Sempre que vou estudar algum assunto, procuro em no mínimo mais duas ou três fontes diferentes. Às vezes acho que a Matemática é mal dada, meio jogada de qualquer jeito para os alunos, principalmente em alguns livros. É claro que o aluno não pode se restringir ao que é abordado somente em sala de aula ou em um livro só, principalmente se for mal abordado.
    Hoje muita gente (eu incluído) tem dificuldade com Matemática porque desde cedo, desde o aprendizado das regras mais básicas da aritmética e posteriormente a álgebra, o aluno é treinado a decorar e não realmente a aprender. Por exemplo: resolve-se equações e por mais simples que sejam ignora-se o significado da palavra "equação" (um livro de Português ou um dicionário resolveriam), acha-se o "x" mas não se faz o caminho reverso pra descobrir se o "x" realmente satisfaz a condição dada. Aprende-se uma fórmula, mas não se aprende como se constrói ela ou porque ela funciona. Todos falam em matriz, mas para que serve uma matriz? Ninguém fala das suas aplicações em Teoria da Probabilidade, Geometria, Estatística, Eletrônica e etc.
    Em termos práticos, acredito que resolver problemas é uma boa forma se aprender Matemática, exige interpretação de texto, conexões de raciocínios, o aluno aprende, adapta e, guardadas as devidas proporções, acaba redescobrindo e até mesmo fazendo matemática.

    Obrigado pelo seu post e grande abraço.

    PS: Um livro muito legal é "Matemática, Uma Breve Introdução" Do Timothy Gowers.




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  6. Olá, professor Adonai!!!!

    Retornando, para responder à sua pergunta: "e como seus alunos reagem diante das suas recomendações?"!!!! Então, aqueles que já amam a matemática, aqueles que já consultam as pessoas que detém conhecimentos na disciplina, pedem que eu lhes indique autores que possuem... "bom(ns) livro(s)" e que promovam, cada vez mais, o gosto pelo... "TREINAMENTO" e a pesquisa!!!! Para os que não amam a ciência dos números tanto assim, eu recomendo... mais "TREINAMENTOS", sobretudo... para fixar as "REGRAS" e as "DEFINIÇÕES"!!!! Por fim, para os que dizem... odiar a matemática, eu recomendo os "livros de cabeceira"... dos alunos amantes da matemática, os livros do professor... Malba Tahan!!!!

    Um abraço!!!!!

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    1. Oi, Francisco

      Permita-me, então, fazer uma recomendação complementar. Aos alunos que odeiam a matemática sugiro que diga a eles buscarem por alguma área do conhecimento que possa despertar exatamente o oposto, ou seja, paixão. Digo isso por conta de um caso que vi anos atrás, na Itália. Uma adolescente entrou com um processo na justiça, alegando que não era justo ela ser reprovada no ensino médio simplesmente porque reprovava sistematicamente apenas em matemática. Ganhou o processo, sob a alegação de bloqueio emocional contra esta ciência! Ela concluiu o ensino médio sem se submeter a novas avaliações de matemática. Considero este evento uma vitória do espírito independente que se opõe à massificação do ensino. Não vejo como alguma área do conhecimento possa despertar paixão unânime. E matemática é uma área do saber extremamente sofisticada, que demanda certas aptidões praticamente inexistentes em certos indivíduos.

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  7. Uma pessoa que deseja se tornar um atleta precisa primeiramente entrar em forma, para conseguir isso ela faz determinados exercícios físicos que visam a melhoria de seu condicionamento físico, certo? Agora, uma pessoa que deseja se tornar um atleta matemático(ou só se desenvolver bem) como faz para entrar em forma, quais exercícios ela precisa fazer para melhorar seu, digamos, condicionamento lógico Matemático? E depois de entrar em forma partir para os treinos intensivos!

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    1. Oi, Anônimo

      Sua pergunta é incrivelmente difícil de responder. Acredito que um "manual" interessante para seus propósitos é o livro A Arte de Resolver Problemas, de George Polya. Mas o que faz um matemático de fato é a prática matemática. É como namorar. Muita gente pode dizer a você como uma moça (ou rapaz) deve ser tratada(o) durante o namoro. Mas somente a prática pode transformar você em alguém que efetivamente sabe namorar. Sem conhecer seu histórico acadêmico, fica mais difícil estabelecer sugestões pontuais. Se você for aluno(a) de ensino médio, há caminhos específicos. Se for estudante de graduação, há outras opções.

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  8. Olá Adonai.
    Não sei se é o espaço certo para fazer esta pergunta, mas...
    o que você acha disso?
    http://www.bbc.co.uk/portuguese/reporterbbc/story/2006/10/061025_loteria_is.shtml

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    1. Oi, Susan

      Se entendi a reportagem, o grupo de apostadores simplesmente usou o Método de Monte Carlo. Já houve vários casos de grupos como esse que usaram matemática para apostas em jogos de azar. Do ponto de vista probabilístico, o risco não compensa. Neste caso, eles deram sorte.

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  9. É, não existem estradas reais para a geometria! [matemática],
    Euclides ao jovem faraó Ptolomeu I.

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  10. Por favor, poderia indicar alguns livros em portugues sobre conjuntos?
    Grato!!!

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    1. Anônimo

      Um livro interessante é o Teoria Intuitiva de Conjuntos, de Jair Abe e Nelson Papavero, publicado em 1992 pela McGraw-Hill e Makron Books. Posso também enviar gratuitamente um texto meu em pdf. Ainda assim, recomendo que pense melhor sobre a restrição de idioma. Posso recomendar excelentes textos sobre teorias de conjuntos em inglês. São os melhores.

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    2. Ficaria muito grato se me enviasse o pdf, quanto ao idioma, meu inglês não é bom , estou tentando melhorar isso, mas por enquanto estou condenado as leitura em postuguês.
      meu e-mail> mariofernandes90@gmail.com

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    3. Anônimo

      Em breve enviarei o e-mail para você.

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  11. Caso da vida real.
    Caro professor Adonai. Acompanho, há algum tempo, seu blog. Acho as suas postagens extremamente provocativas e interessantes. embora não concorde com algumas delas, acho todas excelente "food for thought". Como o senhor, sou professor. Há alguns anos venho assistindo com apreensão, os descaminhos de nossa educação. Já li, conversei e ouvi muita coisa sobre o ensino e a aprendizagem de matemática. Concordo inteiramente com a sua colocação inicial de que a aprendizagem da matemática se sustenta em na linguagem e na lógica. Então, gostaria de fazer-lhe uma pergunta: o Sr mencionou a tradução de um conceito matemático para a linguagem da Teoria dos Conjuntos. Costumo fazer o seguinte: ao ler sobre um determinado conceito, procuro ter mais de uma fonte de referência sobre o mesmo. Depois, procuro reproduzir a definição, em LINGUAGEM NATURAL. Dai, "traduzo" essa definição para uma linguagem formal. Por hora, tem dado certo. O que o Sr. acha?

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    1. Anônimo

      Diversidade de pontos de vista é essencial para a compreensão de conceitos matemáticos. Por isso seu caminho me parece ótimo. Mas ainda assim é interessante comparar os limites da linguagem natural para lidar com conceitos matemáticos, bem como os limites de linguagens formais para expressar intuições comumente colocadas via linguagem natural. Eu, por exemplo, acredito fortemente na multiplicidade de semânticas para uma mesma linguagem, seja natural ou formal. Este é um tema que tenho tentado explorar em parceria com alguns colegas. Ainda espero poder publicar algo relevante sobre o tema.

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  12. Prezado Prof. Adonai, tenho a seguinte dúvida:

    Contando apenas com um conhecimento limitado de Matemática (leia-se: até o conteúdo do ensino médio), pode-se fruir com total proveito a obra "A Arte de Resolver Problemas" do George Pólya? (pergunto isso porque só vi esse livro sendo indicado para professores de Matemática)

    Carlos

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    1. Carlos

      O livro de Polya oferece uma leitura não técnica, muito fluida. É um texto perfeitamente acessível para aqueles que já passaram pelo ensino médio. Certamente você será beneficiado pela leitura. É um clássico.

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  13. Tenho a mesma dúvida do Carlos (ou seja, só disponho da Matemática de ensino médio), só que com relação ao livro "Introdução à Teoria dos Números", de José Plínio de Oliveira Santos. Conhece essa obra, Prof. Adonai?

    Júnior

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    1. Júnior

      Não conheço este livro de José Plínio de Oliveira Santos. Mas teoria dos números é uma área de estudos que demanda considerável dedicação. Mesmo assim, não vejo motivos para um aluno de ensino médio não conseguir estudar sobre o tema. É um desafio. Mas o que realmente interessa são justamente desafios.

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  14. Gostaria de saber sua opinião a cerca do método kumon, tenho discalculia e me vejo totalmente desamparado no momento, tenho 27 anos e sofro demais por ser tão ruim em matemática.

    Um grande abraço!

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    1. Crom

      Não estou qualificado para responder a respeito da eficácia do método Kumon sobre pessoas que sofrem de discalculia. Mas tive um aluno que enfrentou problema semelhante ao seu. Se você enviar e-mail para adonai@ufpr.br, posso colocá-lo em contato com este ex-aluno.

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  15. “5) Matemática é como uma amante. E amantes gostam de ser lembradas nos momentos mais inesperados. Mesmo que você tenha horários específicos para a realização de estudos, procure pensar sobre o que estudou nos dias anteriores quando estiver envolvido em atividades intelectualmente pouco exigentes: durante o banho, em uma caminhada ou enquanto estiver se bronzeando na praia. Apenas refletir sobre matemática, sem o compromisso formal de ler e escrever, é algo que pode ser prazeroso.”

    Tenho tendência a delirar quando faço isso, não consigo disciplinar minha imaginação, o troço tem vontade própria.

    Sebastião

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  16. Olá Sr., muito bom o artigo. Gostei muito.Me interessei no seu texto em pdf sobre Teoria Intuitiva de Conjuntos. Você poderia fornece-lo? Se possível, também seria interessante um texto sobre Lógica Matematica, se o Sr. tiver disponível. Como faço para recebe-los?

    Att

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    1. Anônimo

      Peço que entre m contato comigo (repetindo seu comentário acima) no e-mail adonai@ufpr.br. Enviarei material disponível.

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  17. Ola. Uma pergunta. Seu livro 'O que e um axioma' e' uma referencia em logica de primeira ordem, ou nao e'bem o caso? Nao tive o privilegio de le-lo ainda, o que farei em breve.

    Robson

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    1. Robson

      Neste livro trato sim de teorias de primeira ordem. Mas uma referência bem mais completa é a obra de Mendelson. Em breve responderei aos seus e-mails. Peço desculpas pela demora.

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  18. Olá. Estou tentando comprar o mendelson pela internet dos EUA. Quanto aos emails, aguardo suas respostas. Não ha de que pedir desculpas. Grato
    Robson

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  19. Olá.
    O sr conhece o livro First course en Mathematical Logic, de Suppes e Hill?
    O recomenda?
    E o livro do Irving Copi, é referencia para lógica de primeira ordem?
    O recomenda para tanto?
    Robson

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    1. Robson

      O livro de Suppes e Hill eu não conheço. O livro de Copi conheço bem. Não o recomendo para aqueles que querem aprender lógica de um ponto de vista formal-matemático.

      Assim que eu voltar de viagem, responderei seus e-mails.

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  20. Olá. Tudo bem. Eu aguardo seu contato. Por favor, não esqueça. É muito importante p mim.
    Robson

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  21. Olá sr Adonai. O brigado pela resposta por email. Lhe enviei outro com uma indagação na forma de um pedido. Ora, como dizia Descartes, 'é melhor não fazer algo do que faze-lo sem um "método"'. Como sou estudante informal de matemática, suponho ser muito difícil avançar nessa área sem um método de estudo, uma ordem a seguir, especialmente quando penso como certos tópicos em matemática estão relacionados entre sí, ou, como alguns assuntos servem como pré-requisitos para outros. Portanto, como seria uma tal ordem dessas, ou seja, que livros estudar? Que assuntos abordar primeiro? Quais são as melhores referencias disponíveis em cada assunto? Quais são os degraus a subir nessa escada, que é o conhecimento matemático?
    Se possível, por gentileza, compartilhe a essência da coisa dita acima.

    Robson

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    Respostas
    1. Robson

      Aqui vão algumas sugestões:

      http://adonaisantanna.blogspot.com.br/2012/02/formando-jovens-pesquisadores.html

      http://adonaisantanna.blogspot.com.br/2013/03/apenas-alguns-livros-parte-i.html

      http://adonaisantanna.blogspot.com.br/2014/07/apenas-alguns-livros-parte-ii.html

      Para começar uma boa formação matemática, certos assuntos são indispensáveis: cálculo diferencial e integral, equações diferenciais, análise matemática, álgebra linear e teorias de conjuntos.

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