A Energia do Vácuo

O leitor que não estiver familiarizado com o vocabulário usado nesta postagem não deve se deixar intimidar. O formalismo matemático envolvido é, de fato, complicado. E a intuição física ainda é obscura para muitos pesquisadores. Mas os resultados apontados são bem reais. O vácuo tem um papel muito ativo na natureza.

A eletrodinâmica quântica (QED, na sigla em inglês) é uma teoria relativista (no sentido de empregar a Relatividade Restrita de Einstein) para certos fenômenos quânticos. Foi a primeira teoria quântica a viabilizar a descrição dos processos de interação entre matéria e campo, algo que vai muito além do escopo da limitada mecânica quântica não-relativista. Na formulação canônica da QED costuma-se descrever uma fonte de fótons ("pacotes" de energia associados a campo eletromagnético) como um oscilador. Este oscilador pode ser matematicamente tratado via uma função conhecida como Hamiltoniano. Tal Hamiltoniano é quantizado, no sentido de que é formulado como um operador que atua sobre um espaço de Fock (uma espécie de espaço de estados que permite descrever sistemas nos quais o número de partículas pode variar) cujos autovalores apresentam uma distribuição discreta (contável). Mesmo quando se assume o caso mais elementar possível, o de um oscilador harmônico simples, percebe-se um fenômeno extremamente bizarro. O oscilador harmônico simples, devidamente quantizado nesta formulação canônica, permite prever inúmeras situações de emissão de fótons. Mas a mais surpreendente é aquela na qual não são gerados fótons, o chamado estado de vácuo. 

É comum os físicos (sejam pesquisadores, autores ou professores) distinguirem mecânica quântica não-relativista de eletrodinâmica quântica da seguinte forma: a primeira lida com fenômenos de baixa energia, enquanto a segunda trata de fenômenos de alta energia. Mas esta visão está evidentemente equivocada. Pois é justamente a eletrodinâmica quântica que permitiu prever, pela primeira vez na história, que o estado de vácuo (aquele no qual mesmo um oscilador harmônico simples não deveria emitir um único fóton) ainda admite uma energia residual não nula. É uma energia muito pequena, mas está lá.

Em 1948, intrigado com esta previsão, o holandês Hendrik Casimir mostrou uma curiosa consequência desta energia do estado do vácuo, descrita no próximo parágrafo.

Considere o caso de duas placas planas perfeitamente condutoras (ou seja, que refletem todos os fótons incidentes), colocadas face-a-face, de modo que a distância entre essas placas paralelas é muito menor do que as dimensões laterais das mesmas. E admita que, entre as placas e ao redor delas, tenhamos um estado de vácuo no ambiente em que elas estão inseridas. Assim como a QED prevê uma energia não nula deste estado de vácuo, também admite um correspondente momento linear não nulo. Como a distribuição dos modos de campo do estado de vácuo entre as placas é discreta (afinal as placas estão muito próximas uma da outra) e a distribuição dos modos de campo deste mesmo estado podem ser considerados como assumindo uma distribuição contínua no restante do espaço ao redor (afinal, as dimensões laterais das placas são muito maiores do que a distância entre elas), temos uma situação em que existe uma diferença detectável de pressão sobre as placas, correspondente à maneira como esses modos de campo se distribuem. A pressão devida ao momento linear associado aos modos de campo entre as placas é inferior à pressão devida ao momento linear associado aos modos de campo que envolvem as placas no restante do espaço. Consequentemente, Casimir previu uma força de atração entre essas superfícies condutoras, a qual é inversamente proporcional à quarta potência da distância entre elas. 

Qualquer matemático que leia esta conclusão perceberá que existe aqui um argumento absurdo. Isso porque a distribuição de modos de campo que envolvem as placas jamais poderia ser tratada como contínua. Se a teoria prevê uma distribuição discreta em qualquer situação, não são condições de contorno (por mais ideais que sejam) que permitem interpretar o discreto como contínuo. Mas o leitor não deve esquecer que física tem um caráter epistemológico radicalmente diferente da matemática. Uma discussão sobre este tema pode ser vista na postagem sobre erros que funcionam muito bem.

De início, a extraordinária previsão de Casimir passou praticamente despercebida entre os físicos. Com o passar dos anos, porém, pesquisadores começaram a dar mais atenção a esta peculiaridade da QED. Mas foi apenas em 1997 que Steve K. Lamoreaux publicou na prestigiadíssima Phyical Review Letters a confirmação experimental de que o efeito Casimir era mensurável em uma região da ordem de 0,6 a 6 micrômetros e com uma margem de erro de 5%. Hoje estes resultados são bem mais precisos. 

Ou seja, os matemáticos podem torcer o nariz a vontade contra o discreto que é tratado como um contínuo. Mas contra fatos não há argumentos. 

Uma vez que os matemáticos fiquem um pouco mais calmos e tolerantes, perguntamos: como modelar matematicamente o efeito Casimir?

Em 1988 Peter W. Milonni e colaboradores propuseram uma interpretação física para o efeito Casimir em termos de pressão de radiação do vácuo. De acordo com eles "os fótons virtuais do vácuo carregam momento linear". Tais fótons seriam chamados de virtuais simplesmente porque não são diretamente detectáveis por chapas fotográficas. Percebe-se, porém, a pressão que eles exercem sobre a matéria. 

Milonni e colegas procederam, então, às contas. A pressão interna sobre as placas é dada por um somatório (distribuição discreta) sobre todos os possíveis modos de campo. Já a pressão externa é dada por uma integral (distribuição contínua). Aplicando a célebre fórmula de Euler-MacLaurin, que estabelece a diferença entre um somatório e a integral da função correspondente (em termos de uma série infinita com coeficientes de Bernoulli) obtém-se (por aproximação dada por um limite) a força de Casimir.

No entanto, as contas que Milonni e colaboradores fizeram não estão em acordo com o discurso empregado por eles mesmos. Todas as contas realizadas se referem, na prática, apenas a pressão de radiação. E o discurso desses pesquisadores envolve partículas chamadas de fótons virtuais. Esta é uma situação extremamente comum em livros e artigos sobre teorias quânticas de campos. Os físicos falam de partículas, mas fazem as contas como se estivessem tratando de campos. Lembro que em um dos seminários organizados por Patrick Suppes, na época em que estive em Stanford, Max Dresden (pesquisador do acelerador de partículas daquela instituição, lamentavelmente falecido em 1997) demonstrou claramente seu ceticismo a respeito desses supostos fótons virtuais.

Por conta disso, Daniel C. Freitas e eu criamos um modelo diferente, cujas contas estão em melhor sintonia com a intuição física de alguns a respeito desses fótons virtuais. Assumimos que os tais fótons virtuais formam, de fato, um gás quântico ao redor e entre as placas perfeitamente condutoras. Fizemos as contas usando ferramentas muito comuns de mecânica estatística e chegamos exatamente ao mesmo resultado, ainda empregando a fórmula de Euler-MacLaurin. 

Este foi um projeto de iniciação científica de Daniel Freitas, quando ele era aluno do Curso de Física da UFPR, que rendeu publicação no International Journal of Applied Mathematics em 2000 (a convite do editor búlgaro Drumi Bainov, o mais prolífico matemático da atualidade, com cerca de 800 artigos em periódicos especializados). 

Neste trabalho Freitas e eu chegamos a discutir brevemente sobre as possíveis distribuições quânticas desses supostos fótons virtuais, os quais, matematicamente falando, podem obedecer à estatística de Fermi-Dirac (absolutamente atípica para fótons, que normalmente obedecem à distribuição de Bose-Einstein). 

O fato é que o mundo microscópico das partículas elementares de matéria e campo ainda é um mistério. E uma das principais críticas que se faz às interpretações que infestam a literatura especializada sobre este mundo microscópico reside na frequente analogia que se promove entre fenômenos quânticos e o emprego de formalismos usados em física clássica. Mas este já é tema para outra postagem futura.

O que eu gostaria mesmo é que a maioria dos alunos deste país fosse tão ativa quanto o vácuo.