A matemática das confusões mentais

Esta é a postagem de número 200. Por isso publico aqui um texto especial, como forma de celebração. O objetivo neste artigo é divulgar um modelo matemático que justifica por que é tão difícil as pessoas entenderem o que ouvem e leem (e até mesmo o que falam e escrevem). Para alguém como eu, que trabalha com ensino, pesquisa e extensão há algum tempo, a motivação é clara. Só espero que o leitor se interesse tanto pelo tema quanto eu.

A discussão que se segue demanda um pouco de paciência do leitor, uma vez que faço uso de conceitos matemáticos raramente conhecidos entre leigos. Evito certos detalhes técnicos, sempre que possível. Afinal, este blog não é um veículo científico, no sentido estrito do termo. Mas se o leitor não dedicar uma certa dose de esforço para acompanhar os conteúdos aqui abordados, provavelmente continuará seguindo o caminho usual da incompreensão, que tanto isola as pessoas umas das outras. Os únicos pré-requisitos matemáticos para esta postagem são 

(i) a noção usual de que todo conjunto é subconjunto de si mesmo, bem como o conceito de subconjunto próprio, 

(ii) o conceito de função e 

(iii) a definição de conjuntos disjuntos (conjuntos sem elementos em comum). 

Estas são noções usualmente estudadas até mesmo no ensino médio.

Pois bem. Aqui vai.

Intuitivamente falando, álgebra é um ramo da matemática que foca no estudo de operações definidas sobre certos conjuntos. Um ramo bem conhecido da álgebra é a teoria de grupos. Um grupo é um conjunto G, munido de uma operação binária *, que satisfaz os seguintes postulados (ou princípios):

G1) Se a e b são elementos de G, então a*b também é elemento de G.

G2) Se a, b e c são elementos de G, então (a*b)*c = a*(b*c).

G3) Existe um elemento e de G tal que para todo elemento a de G tem-se a*e = a.

G4) Para todo elemento a de G existe um elemento b de G tal que a*b = e, sendo que e é o mesmo elemento de G citado no postulado G3.

A constante e citada nos postulados G3 e G4 é chamada de elemento neutro do grupo G.

Um exemplo típico de grupo é o conjunto dos números inteiros (que inclui tanto os números inteiros positivos quanto os negativos e o zero), munido da operação de adição usual +. Com efeito, um número inteiro somado com outro número inteiro resulta em um número inteiro (postulado G1); Se m, n e p são números inteiros, então (m+n)+p = m+(n+p) (postulado G2, também conhecido como a propriedade da associatividade da operação *); O número inteiro 0 (zero) é o elemento neutro deste exemplo de grupo, ou seja, qualquer número inteiro m somado com 0 resulta no próprio m (postulado G3); E, finalmente, qualquer número inteiro m somado com o seu simétrico aditivo -m resulta em 0 (postulado G4).

Se o postulado G4 for eliminado, diz-se que G é um semigrupo. Em outras palavras, um semigrupo é um conjunto G munido de uma operação binária *, que satisfaz os seguintes postulados:

G1) Se a e b são elementos de G, então a*b também é elemento de G.

G2) Se a, b e c são elementos de G, então (a*b)*c = a*(b*c).

G3) Existe um elemento e de G tal que para todo elemento a de G tem-se a*e = a.

Logo, todo grupo é um semigrupo, apesar da recíproca não ser verdadeira. Consegue dar um exemplo de semigrupo que não seja grupo?

Para efeitos da discussão que pretendo promover nesta postagem, preciso agora de mais um conceito importante, a saber, o de semigrupo livre. 

Um semigrupo livre é um semigrupo G cuja operação binária * é a justaposição de elementos de G. Levando em conta os postulados de semigrupo, fica claro que a aplicação da operação binária * de justaposição em um semigrupo G simplesmente forma sequências finitas de elementos de G, o que não ocorre necessariamente em um semigrupo qualquer.

Ou seja, a única diferença entre semigrupos e semigrupos livres reside na imposição sobre a natureza da operação binária *. Se a e b são elementos de um semigrupo livre, então a*b é denotado simplesmente por ab. Como se observa no site Wolfram MathWorld, a operação binária * aplicada a elementos de um semigrupo livre G resulta em elemento de G que jamais pode ser reduzido a elementos mais simples de G.

Neste contexto, fica fácil perceber que o conjunto dos números naturais (inteiros positivos) munido da operação de justaposição de números naturais é um semigrupo livre. Consegue determinar qual é o elemento neutro neste semigrupo livre?

Vale observar que semigrupos livres G jamais podem ser grupos, uma vez que não existem elementos simétricos (relativamente à operação de justaposição) para todos os elementos de G. Além disso, semigrupos livres nunca são comutativos. Com efeito, se a e b são elementos de um semigrupo livre G, distintos entre si, então ab é uma sequência finita diferente de ba.

Existe um conceito relacionado a semigrupos livres, que pretendo explorar a partir do próximo parágrafo: linguagem. 

Um alfabeto é qualquer conjunto finito. No caso da linguagem portuguesa brasileira o alfabeto é o conjunto de todas as palavras dicionarizadas de nosso idioma (por exemplo, aquelas que ocorrem no Dicionário Houaiss de língua portuguesa) e de todos os nomes próprios. E este é um conjunto finito, denotado aqui por ALP (Alfabeto da Língua Portuguesa).

A linguagem conhecida como português brasileiro permite a formação de frases a partir de seu alfabeto ALP. E frases são formadas a partir da justaposição de elementos do alfabeto. Ou seja, frases são simplesmente sequências finitas de elementos de um alfabeto. Considere como exemplo os elementos "ela" e "come". É possível fazer a seguinte justaposição: "ela*come", a qual normalmente se lê "ela come". Em outras palavras, a justaposição de elementos do alfabeto é uma operação binária, aqui denotada pelo símbolo *. Neste contexto, a linguagem português brasileiro é um subconjunto do semigrupo livre obtido a partir de ALP. 

O que significa dizer que um semigrupo é obtido a partir de um alfabeto? Significa simplesmente que a partir de um alfabeto (como ALP) é possível definir o conjunto de todas as sequências finitas de elementos do alfabeto. Tal conjunto é um semigrupo livre.

No exemplo acima citado do conjunto dos números naturais, o alfabeto é o conjunto cujos elementos são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Todos os números naturais são apenas frases obtidas a partir deste alfabeto, pela justaposição dos elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 

Em outras palavras, o conjunto dos números naturais é uma linguagem. Isso porque uma linguagem é simplesmente qualquer subconjunto de um semigrupo livre. Logo, qualquer subconjunto do conjunto dos números naturais é uma linguagem obtida a partir do alfabeto formado pelos elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Vejamos mais detalhadamente o exemplo da linguagem português brasileiro: 

(i) de acordo com o axioma G1, a justaposição de dois elementos quaisquer do alfabeto ALP pode resultar em uma frase da linguagem português brasileiro ou, pelo menos, em uma sequência finita que pertence a um conjunto H que contém o conjunto de todas as frases da linguagem português brasileiro; 

(ii) de acordo com o axioma G2 a frase "(ela*come)*calmamente" é igual à frase "ela*(come*calmamente)", eliminando a necessidade do emprego de parênteses e permitindo escrever simplesmente "ela*come*calmamente" ou, de forma abreviada, "ela come calmamente"; 

(iii) de acordo com o axioma G3 a frase " " (conjunto vazio) é o elemento neutro. 

É importante que se faça uma observação sobre a notação aqui empregada. Enquanto no exemplo do conjunto dos naturais denotamos, por exemplo, "2*3" por "23", no exemplo da linguagem português brasileiro denotamos "ela*come*calmamente" por "ela come calmamente".

A vantagem de caracterizar o conceito de linguagem como subconjunto de um semigrupo livre é considerável. Isso porque tal visão é aplicável a qualquer linguagem finitária conhecida pelo ser humano, seja natural (português, inglês, persa, italiano etc.) ou formal (cálculos proposicionais, cálculos predicativos, teorias de tipos, linguagens de computador etc.).

Agora é possível apresentar uma definição recursiva para o importante conceito de string: 

(I) Todo elemento de um alfabeto é um string e 

(II) Se S e T são strings de um semigrupo livre G (obtido a partir do alfabeto), então S*T é um string do mesmo semigrupo. 

Portanto, frases de uma linguagem natural como o português brasileiro são exemplos de strings. Neste texto estou interessado somente em strings que pertencem a uma dada linguagem, seja formal ou natural.

No entanto, na prática, uma linguagem natural é muito mais do que um simples subconjunto de um semigrupo livre. Isso porque frases de uma linguagem natural têm significado. E é aí que a coisa toda começa a ficar complicada. Supostamente, frases de uma linguagem natural significam coisas. 

Até este momento nada de novo foi apresentado ao leitor. É a partir dos próximos parágrafos que apresento ideias que não existem na literatura especializada sobre linguística e matemática. Ao final desta postagem justifico a origem das ideias aqui apresentadas.

Qual é o significado de um string de uma linguagem qualquer, como o português brasileiro? A resposta mais abrangente que conheço a esta pergunta é a seguinte: o significado de um string de uma dada linguagem L é um conjunto (ou classe) de objetos que não tem um único elemento em comum com L. Essa correspondência entre strings de L e conjuntos disjuntos de L é promovida por uma função específica. Como é esta função?

Considere o string "ela", da linguagem português brasileiro. Qual é o significado deste string? O significado de "ela" é o conjunto que tem como elementos os seguintes objetos: Madame Curie, Hipacia de Alexandria, a primeira amiga do(a) leitor(a), a mãe do(a) leitor(a), a jovem que estacionou seu Peugeot vermelho na esquina das ruas curitibanas Brigadeiro Franco e Comendador Araújo às 14:32h (hora local) do dia 26 de março de 2007 etc. Ou seja, é um conjunto com muitos elementos. Já o string "ela come" pode significar todos os elementos correspondentes ao significado de "ela" ou algum subconjunto próprio do significado de "ela". No entanto, o significado de "ela come" jamais pode ter elementos que não pertencem ao significado de "ela". Isso porque, à medida em que se escrevem frases mais longas a partir de uma mesma frase mais curta, os possíveis significados dessas novas frases vão se especializando. Por exemplo, o significado da frase "ela come carne" exclui o elemento "Hipacia de Alexandria", se assumirmos que Hipacia de Alexandria era vegetariana. 

Semântica é o estudo de significados em linguagens. Neste sentido, as ideias acima apresentadas constituem uma teoria semântica. As vantagens desta abordagem são as seguintes:

1) É aplicável para qualquer forma de linguagem finitária, natural ou formal.

2) É independente de qualquer teoria usual de verdade. Portanto, não se compromete com a polêmica noção de verdade em filosofia da ciência.

3) É independente de operadores usuais da lógica, uma vez que não se compromete com noções como "e", "ou", "se, então" ou "não".

A grande desvantagem desta teoria semântica é a seguinte: É geral demais.

Teorias demasiadamente gerais são extremamente úteis ou extremamente inúteis. Como esta visão semântica admite que o significado de uma mesma frase (ou string) pode ser um conjunto grande demais, resta a questão: esta teoria semântica pode ser útil?

A resposta, creio, é positiva. Linguistas reconhecem que nenhuma teoria semântica para linguagens naturais pode ser completa (em sentido intuitivo do termo) sem uma visão da contraparte pragmática das mesmas linguagens.

O que é pragmática? Existem várias visões na literatura especializada sobre o conceito de pragmática em linguística. Adoto aqui a seguinte concepção: pragmática é o estudo de significados linguísticos que são dependentes de contextos sociais. 

Por exemplo, a frase "Você sabe que horas são?" pode ser interpretada como um pedido de informação ou um pedido para uma pessoa sair. O significado pretendido pela pessoa que verbalizou a frase (ou interpretado por quem ouviu) depende de um contexto de interação social. A nova questão agora é a seguinte: É possível descrever matematicamente contextos sociais?

A resposta, novamente, é positiva. Dado um string s (de uma dada linguagem) é possível definir uma função de probabilidade (chamada de função de propensão) sobre o conjunto correspondente ao significado de s. Tal função de propensão tem o efeito prático de ponderar o que mais provavelmente significa um string dito, escrito, lido ou ouvido. A partir desta função de propensão é possível, em seguida, definir uma função de pensamento. A função de pensamento de um string s resulta simplesmente no conjunto de elementos do significado de s que têm propensão máxima. Isso permite caracterizar o que mais provavelmente uma pessoa quis dizer ao falar ou escrever o string s. 

Temos, portanto, uma teoria pragmática aplicável a linguagens naturais (além das formais). 

O problema desta teoria pragmática acima apresentada é que ela genuinamente se identifica com a prática. Explico.

Um indivíduo comunicante que diz o string "ela come carne" pode estar querendo se referir a um significado que tem um único elemento. Tal significado fica caracterizado pela função de pensamento deste indivíduo. No entanto, um outro indivíduo comunicante pode ter uma função de pensamento completamente diferente daquela que é inerente a quem disse o string "ela come carne". E, portanto, ao ouvir o string "ela come carne", entende algo completamente diferente do que o primeiro indivíduo "quis dizer".

Esta é uma forma de caracterizar matematicamente o velho discurso que estabelece "mas o que eu quis dizer foi que...". Daí o título da postagem. 

Tudo o que está escrito nos parágrafos acima é uma versão altamente informal de uma teoria matemática que Otávio Bueno (University of Miami), Newton da Costa (Universidade Federal de Santa Catarina) e eu criamos e desenvolvemos na forma de artigo científico. Nosso trabalho foi recentemente submetido para publicação em um conhecido periódico dedicado a estudos sobre a mente. 

No formalismo que desenvolvemos obtivemos os seguintes resultados:

1) Demonstramos um teorema que permite inferir sintaxes de linguagens a partir de semântica, o que encontra contraparte na vida real. Isso porque usualmente as pessoas começam a aprender idiomas a partir das dimensões semântica e pragmática. Sintaxe é o último objeto de estudo entre aqueles que aprendem uma língua. Fenômeno semelhante ocorre até mesmo no estudo de matemática. Os primeiros passos em estudos de matemática são cálculo diferencial e integral, álgebra linear, geometria e, enfim, áreas com forte identificação no mundo real. Lógica é o último passo no estudo de matemática.

2) Definimos rigorosamente os conceitos de ambiguidade, vaguidade e sinonímia, entre outras noções usuais em estudos sobre semântica. E tais conceitos são aplicáveis a qualquer tipo de linguagem.

3) Mostramos a impossibilidade de definir o conceito de antonímia para uma linguagem qualquer, o que também está de acordo com a realidade. Os tratados sobre antonímia em linguagens naturais são muito extensos, pois o tema é polêmico. Para baixar um texto sobre o problema de definir antonímia clique aqui.

É sempre muito arriscado divulgar trabalhos científicos que ainda estão submetidos para publicação. Mas, neste caso, decidi arriscar. 

Por um lado, faço isso porque confesso estar empolgado com o artigo. E, por outro lado, uso este blog para convocar potenciais interessados em dar continuidade a este trabalho.

Este artigo que Bueno, da Costa e eu submetemos para publicação foi inspirado em uma ideia que estava engavetada há cerca de cinco anos. A grande motivação para levar tal projeto adiante foi uma reportagem recentemente publicada pela revista Polyteck. Trata-se de um artigo sobre o cérebro Google, uma rede de mil computadores que conseguiu aprender (isso mesmo, aprender!) a diferenciar rostos humanos de rostos de gatos. A ideia de que é possível conceber um programa de computador que crie categorias de objetos de uma mesma natureza (como faz o cérebro humano) foi o ponto de partida para crermos que tais categorias se identificam com os conjuntos de significados de strings que usamos em nosso formalismo. Ou seja, acreditamos que nosso trabalho seja um passo para a concepção de máquinas que não apenas aprendam conceitos, mas que também sejam capazes de expressar linguisticamente tais conceitos. 

Isso tudo aponta para uma tendência natural: a criação de um programa de computador que simule interações sócio-linguísticas entre indivíduos comunicantes. Neste sentido precisamos de alguém (preferencialmente jovem) criativo, que saiba criar e desenvolver programas de computador e que esteja determinado a trabalhar em parceria conosco. Tudo o que precisamos é de um protótipo simples, mas rico o bastante para motivar pesquisadores a usarem nosso formalismo para estudos sócio-linguísticos em ambientes virtuais.

Não estou interessado em orientar dissertações, teses ou quaisquer outras maluquices dos desgastantes rituais acadêmicos deste país. Para nenhum de nós faz diferença se eventuais interessados têm algum vínculo institucional com alguma empresa ou universidade. Só queremos alguém que conheça muito bem programação de computadores e que esteja suficientemente motivado a desenvolver estudos sobre inteligência artificial. 

Também não ofereço garantia alguma sobre qualquer projeto a ser desenvolvido nesta linha. Afinal, como já observei, sequer sabemos se nosso artigo será aceito ou não para publicação. Mas temos razões para crer que estamos abrindo uma área de pesquisa muito rica, com ramificações em linguística, matemática, inteligência artificial, neurociências, teoria da cognição, teoria dos jogos, filosofia e talvez até mesmo música. 

Estudiosos de linguística que conheçam bem a obra de Montague também são bem-vindos. Isso porque existem estreitas relações entre o que fizemos e a teoria semântica de Richard Montague.

Aos leitores que desejam apenas acompanhar este processo todo, sem efetiva participação, aviso que veicularei neste blog todas as novidades, assim que elas surgirem.

Alea jacta est.