terça-feira, 28 de agosto de 2012

Estudo Crítico de Cálculo



Existem muitos livros de cálculo diferencial e integral no mundo. Muitos! Até no Brasil há inúmeros títulos fora de catálogo e muito mais sendo impressos. Eu mesmo já traduzi para o português vários volumes publicados pela Bookman, todos da Coleção Schaum. Mas ainda existe uma absurda lacuna nessa literatura voltada principalmente para alunos de graduação em ciências exatas e tecnológicas. É claro que alunos de economia e ciências biológicas também consomem livros de cálculo. Mas as deficiências de formação nessas áreas são muito piores. Prefiro não explorar este problema, por enquanto.

Como o tema do ensino de cálculo é extraordinariamente extenso, sou obrigado a focar em uns poucos pontos desta fundamental disciplina. Meu objetivo aqui é apontar para algumas das preocupantes lacunas de formação que percebo tanto na literatura especializada disponível em língua portuguesa quanto na prática da sala de aula. 

É bem sabido que os índices de reprovação em disciplinas de cálculo são extremamente elevados, tanto no Brasil quanto no resto do mundo. Mas o curioso é que mesmo entre os poucos aprovados, praticamente nenhum deles é capaz de dizer o que é, afinal, cálculo diferencial e integral. E isso se deve à absoluta falta da prática do senso crítico no estudo de matemática em geral. 

Em uma primeira abordagem informal, poderíamos dizer que cálculo diferencial e integral é o mais usual conjunto de ferramentas matemáticas que permite descrever formalmente o conceito intuitivo de movimento. Já do ponto de vista histórico o cálculo, como praticamente toda disciplina da matemática, foi muito além.  Sabemos que o conceito de derivada pode ser interpretado fisicamente como uma taxa de variação (de posição, massa, velocidade e outros conceitos físicos) em relação ao tempo. Mas também pode ser associada a um gradiente, ou seja, uma variação de alguma quantia física em relação ao espaço. Mas e do ponto de vista matemático? O que é, afinal de contas, o cálculo?

Qualquer tentativa séria de definir matematicamente esta disciplina está fadada ao fracasso. Isso porque existem muitas formulações para o cálculo que não são equivalentes entre si. 

Usualmente se leciona cálculo em nossas graduações seguindo-se uma ementa bem conhecida: conjuntos, funções, limites, derivadas, integrais de Riemann e equações diferenciais. No entanto, existem outras formas de se fazer cálculo. Um exemplo bem conhecido é a análise não standard, na qual derivadas e integrais não são definidas a partir de limites, mas a partir de operações sobre infinitésimos. Além disso, as integrais de Riemann não constituem de forma alguma qualquer palavra final sobre o conceito de integral. Aqueles que estudaram teoria da medida bem sabem que certas funções não integráveis por Riemann são integráveis por Lebesgue. Para aqueles que estudam matemática fuzzy, sabe-se que podem existir funções constantes não contínuas. E, para piorar a situação, existe uma variedade virtualmente infinita de teorias de conjuntos, tanto formais quanto intuitivas. Portanto, para cada teoria de conjuntos que se adota, desenvolve-se um cálculo diferencial e integral em particular. Logo, não existe o cálculo diferencial e integral como disciplina matemática. O que existe é apenas a intenção de se descrever formalmente uma visão intuitiva de dinâmica. O objetivo de se desenvolver linguagens formais para descrever conceitos como os de taxa de variação ou gradiente é viabilizar um caráter epistemológico claro para as ciências reais, com especial ênfase para a física e as engenharias. 

Ou seja, um estudo crítico sobre cálculo deveria alertar os alunos sobre estes fatos. 

Feito isso, concentremo-nos agora no estudo usual de cálculo. Deixarei de lado, por enquanto, a equivocada visão usual sobre conjuntos e funções, os conceitos básicos para o estudo padrão de cálculo. Normalmente professores e alunos são completamente ignorantes sobre os conceitos usuais de conjuntos e funções. Consequentemente não sabem o que são números reais e complexos. Portanto, serei obrigado a fazer de conta que tais assuntos podem ser ignorados (no que se refere aos seus fundamentos) até um certo ponto de tolerância. Isso porque toda graduação está presa a um calendário que deve estar em sintonia com as realidades do mercado de trabalho. Mas, ainda assim, vejamos a definição usual de limite de uma função real (função cujas imagens são números reais). 

Costuma-se dizer que o limite de uma função real f(x), com x tendendo a a, é igual ao número real L se, e somente se, para todo épsilon positivo existe pelo menos um delta positivo tal que para todo x pertencente ao intervalo aberto (a - delta, a + delta) (exceto possivelmente o próprio a) temos que f(x) pertence ao intervalo aberto (L - épsilon, L + épsilon). 

Esta definição foi uma das grandes conquistas da matemática, principalmente por permitir extensões que envolvem o conceito de infinito. No entanto, é desanimador perceber que pouco se compreende a respeito de tal conceito. Tanto é verdade que até hoje se ouve e se lê o patético discurso de que 5 dividido por infinito é zero.

Sabe-se, por exemplo, que o limite necessariamente é único, quando existe. Este é o célebre teorema da unicidade do limite, cuja demonstração é relativamente simples. Um estudo crítico sobre limites deveria levar em conta possíveis alterações na definição de limite e a posterior análise de suas repercussões, algo que não vejo discutido em livro algum de cálculo aqui no Brasil. Digamos que alguém tentasse apresentar definições alternativas para limites de funções reais. Quais seriam as consequências disso?

Cito dois exemplos: 

Definição Alternativa 1: o limite de uma função real f(x), com x tendendo a a, é igual ao número real L se, e somente se, existe épsilon positivo e existe delta positivo tal que para todo x pertencente ao intervalo aberto (a - delta, a + delta) (exceto possivelmente o próprio a) temos que f(x) pertence ao intervalo aberto (L - épsilon, L + épsilon).

Neste caso é possível demonstrar que a unicidade de limite não é teorema. 

Definição Alternativa 2: o limite de uma função real f(x), com x tendendo a a, é igual ao número real L se, e somente se, para todo épsilon positivo e para todo delta positivo temos que para todo x pertencente ao intervalo aberto (a - delta, a + delta) (exceto possivelmente o próprio a) necessariamente f(x) pertence ao intervalo aberto (L - épsilon, L + épsilon). 

Neste caso a unicidade do limite ainda é teorema. Porém apenas funções constantes admitiriam limites. 

Eu poderia apresentar aqui centenas de definições alternativas para limites, todas não equivalentes entre si. Portanto, para cada definição alternativa de limite existe um cálculo diferencial e integral totalmente diferente do usual. Isso porque normalmente se definem derivadas e integrais como casos particulares de limites. E derivadas e integrais são fundamentais para desenvolver equações diferenciais, aquelas ferramentas empregadas para descrever a dinâmica do mundo físico. Então a pergunta natural é a seguinte: por que se adota especificamente a primeira definição apresentada acima? A resposta novamente repousa sobre a intuição.

Os matemáticos já tinham uma visão intuitiva sobre limites. O que se encontrou na definição acima foi uma descrição formal que resgata a intuição do matemático, levando em conta os objetivos que se desejavam alcançar. 

O curioso é que este resgate formal da visão intuitiva apresenta resultados posteriores que desafiam a intuição. Qualquer bom aluno que tenha estudado um semestre de cálculo sabe da existência de funções que descrevem regiões de comprimento infinito e área infinita as quais, após uma rotação em torno de um eixo, assumem volume finito. Isso significa que o resgate da visão intuiva em uma linguagem formal apresenta características perturbadoras. Por isso mesmo existe uma constante batalha em busca por novas formulações que atendam a novas visões intuitivas.

Trocando em miúdos, qualquer estudo crítico de cálculo demanda um profundo compromisso com a intuição. E intuição é um lado do intelecto que ainda se encontra insondável pela razão. 

Não se estuda seriamente cálculo apenas com procedimentos mecanizados que podem ser repetidos por máquinas. O estudo sério de cálculo exige humanidade. Somos, por natureza, mais do que máquinas triviais. 

Para quem quiser estudar seriamente cálculo, aqui vai uma última advertência: do ponto de vista das teorias usuais de definição, nenhuma das fórmulas discutidas acima é, de fato, uma definição para limites. Consegue descobrir o por quê?
_________

Mais discussões sobre cálculo podem ser encontradas aqui.

21 comentários:

  1. Oi Adonai,

    A lacuna nesta literatura é a falta de compromisso com a intuição?
    Se sim, tem alguma sugestão de como consertar?

    Sobre a pergunta ao final do texto, imagino que não seja definição para limites porque, no caso em que dizemos que "o limite não existe", aquela frase de fato não está "definindo" algo.

    Só mais uma coisa:
    Poderia dizer quais são os exemplos, ou indicar onde encontrá-los, da "existência de funções que descrevem regiões de comprimento infinito e área infinita as quais, após uma rotação em torno de um eixo, assumem volume finito"?

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  2. Grande Renato

    Não se trata apenas de intuição, mas principalmente da falta de qualificação de discurso. É muito perigoso empregar artigo definido em matemática: O cálculo, A álgebra linear, O espaço vetorial etc.

    Para remediar a situação, honestamente, não vejo mais como.

    Com relação às supostas definições de limite na literatura, prefiro deixar isso como um problema para você pensar a respeito ao longo dos anos. Por isso recomendo o estudo das teorias de definição, especialmente as de Tarski e de Lesniewski.

    Com relação ao exemplo pedido, aqui vai. Considere a função real f cujo domínio é o conjunto dos números reais maiores do que zero e tal que f(x) = 1/x. O comprimento da curva gerada pelo gráfico a partir de 1 é infinito. A integral da mesma função, de 1 a infinito (área), também é infinita. Mas o volume do sólido de revolução obtido pelo giro da curva de 1 a infinito em torno do eixo x é pi (finito!). O legal é que mesmo um estudante brilhante como você não sabia disso. Sempre (sempre!) existem mistérios ocultos mesmo nos mais básicos níveis do conhecimento. Divertido, não é?

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  3. Fascinante!

    Eu adoraria ter visto este exemplo no primeiro curso de cálculo. Todo professor deveria ter uma lista de exemplos como este, que ultrapassa a mera ferramenta didática.

    Obrigado pelas respostas.

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  4. Olá professor. O sr. diz que "Um estudo crítico sobre limites deveria levar em conta possíveis alterações na definição de limite e a posterior análise de suas repercussões". Creio que isso realmente seria muito enriquecedor. Apenas para dar um exemplo de como as coisas são trágicas, cito que os cursos de cálculo de algumas universidades sequer enunciam "a" definição formal usual (e também ñ avaliam se o aluno a compreendeu). O aluno interessado, tem que se virar sozinho se quiser tentar compreendê-la. Fazer modificações nela e analisar as consequências está, portanto, muito além dos sonhos. Pq acontece isso? Creio que por vários possíveis motivos: talvez falta de tempo, talvez o professor também não saiba, talvez o aluno não saiba o que é um intervalo aberto e/ou o que significa valor absoluto. Daí tudo fica mais fácil decorando regras.
    AAnooniimoo

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  5. "nenhuma das fórmulas discutidas acima é, de fato, uma definição para limites. Consegue descobrir o por quê?".

    Embora eu não saiba dizer muito bem o que ela significa, pelo que já li no seu blog creio que tem a ver com a eliminabilidade (vc já afirmou isso com relação ao limite de uma sequência). Parece-me, então, que é o mesmo problema da definição de seno.

    Fazendo um resumo de
    http://adonaisantanna.blogspot.com.br/2012/01/por-que-e-dificil-compreender.html#uds-search-results
    e de
    http://adonaisantanna.blogspot.com.br/2009/11/muitos-livros-e-apostilas-de-matematica.html dia 17/01
    Eu diria que "definições em matemática estabelecem algum tipo de relação de equivalência entre um definiendum (o termo a ser definido) e um definiens (fórmula que efetivamente define o definiendum)". Pelo que entendi, uma definição desta forma sempre deve ser eliminável o que significa que "sempre deve ser possível substituir o definiendum pelo definiens". Na definição de limite, o definiendum é "o limite de uma função real f(x), com x tendendo a a, é igual ao número real L", e o definiens é 'para todo épsilon positivo existe pelo menos um delta positivo tal que para todo x pertencente ao intervalo aberto (a - delta, a + delta) (exceto possivelmente o próprio a) temos que f(x) pertence ao intervalo aberto (L - épsilon, L + épsilon)". Não sei explicar o motivo, mas esta definição violaria a eliminabilidade.
    AAnooniimoo

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    1. AAnooniimoo

      Você está no caminho certo. Não dou mais detalhes porque o tema é realmente extenso e delicado. Mas continue a partir daí.

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  6. Você acha que a iniciativa da SBM de querer publicar livros de cálculo com "enfoques específicos visando a formação de profissionais em áreas preferenciais, tais como Engenharias/Tecnologia, Ciências
    Exatas, Ciências da Vida, Ciências Sociais e Humanas ou Licenciatura em Matemática" vai suprir um pouco destas deficiências apontadas no seu texto? (http://www.sbm.org.br/detalhe.asp?cd_noticia=600&tipo=D)
    O sr. já pensou eu escrever um livro de cálculo?
    AAnooniimoo

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    1. AAnooniimoo

      No que se refere a publicações de livros, a SBM tem feito um ótimo trabalho. E literatura específica para essas áreas do conhecimento é fundamental para a nação. O Brasil está precisando urgentemente de engenheiros. O problema é que a macacada daqui só percebe engenharia civil como engenharia. Mas a demanda pelas demais engenharias é avassaladora.

      Sim, já pensei em escrever um livro de cálculo. Mas este plano não está entre as minhas prioridades dos últimos anos.

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  7. Prof., sempre quis saber o porquê da definição de limite ser assim. Sendo sincero, nunca gostei dela como é, mas também nunca me atrevi a tentar modificá-la e ver quais suas consequências (boas ou ruins).
    Dia desses perguntei ao meu prof. de Cálculo B porque a integral tem de ser definida por um limite de soma infinita de retângulos e não de trapézios, triângulo etc., já que, tendendo a zero, todos devem dar o mesmo valor final. Ao ouvir trapézios, meu prof. já foi logo dizendo que eu estava falando sobre Cálculo Numérico; mas, ao terminar minha pergunta, ele disse que não sabia o porquê, mas que é assim.
    Enfim, sempre tive dúvidas em relação as coisas mais básicas da matemática; e essas dúvidas acabam atrapalhando meu estudo. Foi uma luz no fim do túnel saber que não sou o único atualmente que pensa assim. Pode parecer prepotência, mas eu já estava começando a acreditar nisso.
    Gostei bastante de seu texto. Abraços, prof!

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    1. Ítalo

      Sobre a definição de limite publico hoje ainda uma postagem detalhada. Com relação à integral de Riemann, certamente podemos usar trapézios no lugar de retângulos. O resultado final será exatamente o mesmo. No entanto, existem operadores de integração muito mais interessantes. Recomendo que você estude sobre integração de Lebesgue e teoria da medida. Certamente ficará encantado com a beleza, a praticidade e o poder de fogo deste conceito de integração. Não sei por que nossas universidades ainda insistem em integração de Riemann.

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  8. Olá Professor,
    Não sei ao certo se minha dúvida cabe neste fórum, mas de qualquer forma irei arriscar.

    No seu entendimento, ou opinião, qual é a origem do cáculo? Pergunto pois, apesar ter lido alguns trabalhos sobre o tema, vejo uma certa tendenciosidade quanto a veracidade da sua origem.
    Minha desconfiança se deve sobretudo a critica que possuo em relação ao método científico e a um discurso que escutei de um professor, o qual me afirmou que a compreensão de todo fenômeno físico se faz praticamente ( a não ser por falta da comprovação de alguns axiomas ), através do método analítico.

    Isso é real Professor?

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    1. Anônimo

      Afirmações da forma "sempre é assim" ou "sempre foi assim" despertam desconfiança naturalmente. Se por método analítico seu professor entende o emprego de cálculo diferencial e integral ou métodos de física-matemática em geral, ele está errado. Isso porque existem inconsistências no chamado método científico. Recomendo a excelente obra O Irracional, de Gilles-Gaston Granger.

      Com relação às origens históricas do cálculo, o objetivo era desenvolver ferramentas matemáticas para que fosse possível descrever principalmente a dinâmica de certos fenômenos físicos. Cálculo é uma linguagem que permite falar de movimento.

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    2. Obrigada Professor por sua atenção e pela referência a obra O Irracional, de Gilles-Gaston Granger.

      (Off ) Adorei seu Blog.

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  9. Professor,

    Seria possível o senhor indicar livros para um primeiro estudo (autodidata) sobre integração de Lebesgue e teoria da medida ? Tenho feito leituras de artigos em periódicos internacionais e percebi que esses conceitos são muito utilizados. Meu interesse é entender uma prova do conceito de passividade de redes elétricas lineares e invariantes no tempo. Como já apontado pelo senhor, só tive exposição formal a integral de Riemann durante minha graduação. Lamentável, pois hoje pago o preço ao não conseguir acompanhar as provas.
    Agradeceria muito sua ajuda!

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    1. Lucas

      O livro de Bartle é um clássico.

      http://www.amazon.com/The-Elements-Integration-Lebesgue-Measure/dp/0471042226

      Outra opção também interessante é o livro de Chaim Hönig.

      http://www.impa.br/opencms/pt/biblioteca/cbm/11CBM/11_CBM_77_05.pdf

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  10. Professor,

    Primeiramente, obrigado pelas indicações. Se possível, gostaria de lhe perguntar o seguinte ponto: é necessário compreender primeiro Teoria da Medida para então estudar Análise Funcional? Ou não há vantagem alguma em termos de melhor entendimento? Pergunto pois vi (ao folhear o livro apenas) algumas menções a Integral de Lebesgue no livro de Erwin Kreyszig (também indicado pelo senhor).

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    1. Lucas

      Depende de seus propósitos. Usualmente, para iniciar estudos em análise funcional, basta uma boa base de análise na reta e álgebra linear (espaços vetoriais de dimensão finita). No entanto, há cursos que combinam análise funcional com teoria da medida. Como não conheço sua área de interesse (redes elétricas) não sei dizer qual é a melhor abordagem.

      Dá uma olhada neste texto:

      http://www.amazon.com/Measure-Theory-Functional-Analysis-Weaver/dp/981450856X

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    2. Professor,

      Aproveitando a deixa, e o que seria uma base para iniciar estudos de Teoria de Distribuições?

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    3. Lucas

      Este artigo, bem como as referências.

      http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/v22_114.pdf

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  11. Resumidamente (vamos ver se entendi) o limite é quando podemos aproximar f(x) tanto quanto quisermos de a?

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    1. Anônimo

      O limite de uma função real, quando existe, é um número real L tal que para qualquer intervalo aberto contendo L sempre é possível encontrar um intervalo aberto contendo a de modo que todos os elementos deste último intervalo (exceto o próprio a) têm imagem (pela função) pertencente ao intervalo contendo L. Intuitivamente falando, quanto mais x se aproxima de a, mais f(x) se aproxima de L.

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