quinta-feira, 26 de janeiro de 2012

Por que é difícil compreender definições?

Matemáticos conseguem ler textos técnicos de medicina, direito, engenharias, sociologia, economia e outras áreas do saber acadêmico com muito menos dificuldade do que um médico, um advogado, um engenheiro, um sociólogo ou um economista consegue ler um texto técnico de matemática. Um dos motivos disso é que textos de matemática exigem muito mais para a sua compreensão do que um mero dicionário técnico possa ajudar. As linguagens matemáticas não encontram tradução trivial para linguagens naturais como português e inglês. No caso das formulações conjuntistas para teorias matemáticas (que, por sinal, são as mais usuais), é seguro dizer que nada do que se diz em tais teorias tem significado correspondente no mundo real, aquele dos fenômenos mensuráveis e perceptíveis direta ou indiretamente pelos nossos sentidos físicos. 


Isso por si só já justifica a dificuldade humana para compreender definições em matemática. Mas nesta postagem quero me aprofundar em um aspecto sobre definições matemáticas bem mais singelo e perturbador. O fato é que matemáticos em geral não têm certeza sobre muito do que discutem em suas atividades profissionais, sejam de ensino, aplicações ou pesquisa. E essa incerteza não é necessariamente fruto de incompetência; pode ser consequência de características inerentemente matemáticas.


As linguagens criadas pelo ser humano podem ser divididas em duas categorias, no que se refere a propósitos e natureza: formais e naturais. As linguagens naturais são aquelas que todos usamos em nossas interações sociais do dia-a-dia, e que carecem de uma definição precisa, como português, inglês, alemão, italiano, entre outras. Todas as linguagens naturais contam com três dimensões fundamentais: sintática, semântica e pragmática. A dimensão sintática se refere às regras gramaticais; a semântica se ocupa do significado de termos empregados nas linguagens naturais (tudo o que se diz deve ter um significado); e a dimensão pragmática se refere ao estudo da linguagem em uso (entre indivíduos comunicantes). 


Já as linguagens formais são concebidas e empregadas em lógica e matemática, e contam com definições rigorosas para vocabulário e sintática. Elas não têm necessariamente compromisso com qualquer contraparte semântica. E mesmo quando há alguma semântica, esta é dotada de uma natureza radicalmente diferente da semântica das linguagens naturais. Em muitas formulações da geometria euclidiana, por exemplo, conceitos como ponto, reta e plano não contam com significado. Um outro exemplo bem conhecido de linguagem formal é a do cálculo proposicional clássico, no qual o conectivo lógico de negação é simplesmente um operador que se aplica a fórmulas, sem obrigatoriamente estar associado a qualquer interpretação intuitiva de negação em linguagens naturais. 


Tanto em linguagens formais como naturais (mesmo que sejam enriquecidas com termos técnicos usualmente encontrados em linguagens formais), definições têm a função de introduzir novas notações linguísticas ou metalinguísticas, de modo que sejam supérfluas, dispensáveis ou elimináveis. 


Na prática definições existem para facilitar o uso de uma dada linguagem, seja formal ou natural. Por exemplo, costuma-se definir metro como 1.650.763,73 vezes o comprimento de onda da radiação do isótopo criptônio 86 no vácuo. Desse modo, em vez de se dizer que uma criança tem uma altura correspondente a 1.997.424,11 vezes o comprimento de onda da radiação do isótopo criptônio 86 no vácuo, simplesmente afirma-se que ela tem um metro e vinte e um centímetros de altura ou, mais abreviadamente, 1,21 m.


É razoável considerar que muitas definições em matemática estabelecem algum tipo de relação de equivalência entre um definiendum (o termo a ser definido) e um definiens (fórmula que efetivamente define o definiendum), de forma que duas condições sejam atendidas: 


(i) Eliminabilidade: toda definição é eliminável, ou seja, a qualquer momento o definiendum pode ser substituído pelo definiens; 


(ii) Não-criatividade: toda definição deve ser não-criativa; em outras palavras, novos teoremas não podem ser obtidos por consequência da definição, de forma que esses mesmos resultados sejam impossíveis de serem demonstrados sem a definição em questão. 


Em geral, testar o critério de eliminabilidade é algo bem mais fácil de ser realizado do que o teste da condição de não-criatividade. E é justamente o critério de não-criatividade que se mostra responsável por uma significativa insegurança entre matemáticos, apesar da maioria deles não pensar muito a respeito disso.


O problema radica na condição que envolve o conceito de demonstrabilidade, ou seja, o critério de não-criatividade.


Uma teoria formal axiomática T é decidível se existe procedimento efetivo para decidir se uma fórmula qualquer de T é teorema. O cálculo proposicional clássico L (como apresentado, por exemplo, em Introduction to Mathematical Logic, de E. Mendelson) é um exemplo de teoria decidível. Sabe-se que todo teorema de L é uma tautologia e que toda tautologia de L é um teorema. Ou seja, basta fazer a tabela-verdade de uma fórmula de L e verificar se se trata de uma tautologia. Se for, é teorema. Isso significa que podemos programar uma máquina de Turing (um computador digital) para verificar se fórmulas de L são teoremas. Por isso o uso da expressão "procedimento efetivo".


No entanto, a matemática de hoje demanda linguagens formais bem mais ricas do que aquela usada para formular o cálculo proposicional clássico L. E quando essas linguagens são empregadas, surgem inúmeras teorias matemáticas indecidíveis. Na prática, em geral não há procedimentos efetivos para decidir se uma dada fórmula de uma teoria formal axiomática qualquer é teorema. Como também não existem procedimentos efetivos para a realização de demonstrações, essa desconfortante característica da matemática, falando em termos práticos, garante o ganha-pão dos matemáticos. Afinal, máquinas são incapazes de fazer a demonstração de um teorema qualquer. E essa incapacidade não se deve ao desconhecimento da existência de algoritmos ainda não descobertos. Sabe-se que tais algoritmos simplesmente não podem existir, pelo menos do ponto de vista do que hoje se entende por algoritmo.


Se considerarmos uma teoria formal axiomática como Zermelo-Fraenkel (ZF, a mais popular teoria axiomática de conjuntos), os matemáticos sequer sabem se ela é consistente. Ou seja, ninguém sabe se existe alguma fórmula G em ZF tal que G é teorema e a negação de G também é teorema. E o aspecto perturbador disso é que ZF é usada para fundamentar vastas porções da matemática tradicional. 


Ou seja, se um pesquisador propõe uma alegada definição que pode ser traduzida para a linguagem de ZF, como saber se a fórmula proposta de fato é uma definição? Se ZF for inconsistente, é claro que a alegada definição é não-criativa, pois todas as fórmulas de ZF seriam teoremas e nada de novo poderia surgir na teoria. Mas e se ZF for consistente? Neste caso, qualquer fórmula apresentada como um suposta definição seria evidentemente criativa se ela conduzisse, por exemplo, a alguma contradição. O matemático poderia então provar uma proposição que garantisse que ZF com a alegada definição é consistente se, e somente se, ZF for consistente. 


Mas isso ainda não resolveria o problema. Afinal, uma fórmula criativa em ZF não precisa necessariamente cair em contradição com os axiomas de ZF. Para se ter certeza de que a fórmula apresentada é uma definição, seria necessário provar que todos os teoremas da nova teoria (ZF com a alegada definição) são também teoremas em ZF, bem como a recíproca dessa afirmação. E dada a produção matemática dos dias de hoje, com uma miríade de novas definições surgindo todos os dias, quantos que efetivamente se preocupam com esse detalhe?


Basta vermos como é comum autores escreverem que, entre os números reais, a/b = c se, e somente se, b for diferente de 0 (zero) e a = bc. Essa suposta definição de divisão entre números reais sequer satisfaz o critério de eliminabilidade! Isso por que, no caso de b = 0, não há como substituir o definiendum a/b por qualquer definiens. Afinal, não há definiens algum para o caso em que b = 0! 


Na maioria esmagadora de livros de cálculo diferencial e integral também se comete erro semelhante, quando são apresentadas supostas definições para limite, derivada e integral de Riemann. Isso porque nem sempre existe o limite, a derivada ou a integral de uma função. Portanto, nesses casos, fica claro que o critério de eliminabilidade não é satisfeito. Portanto, a maioria dos livros de cálculo diferencial e integral não define limite, nem derivada e nem integral. E se tantos autores conseguem ser tão descuidados com o critério de eliminabilidade, o que dizer então da condição de não-criatividade?


Ou seja, quando um matemático supostamente define um conceito novo em uma dada teoria, qual é a garantia que ele tem de que a fórmula apresentada é de fato uma definição? Mais especificamente, como saber se o critério de não-criatividade está sendo atendido? 


Portanto, se você, leitor, não entende uma definição, a pergunta que deve fazer é: por que? A resposta reside em dificuldade intelectual sua ou na frágil fundamentação da matemática apresentada nos livros?

32 comentários:

  1. Olá prof Adonai.

    Se possível, esclareça a dúvida de um leigo (que jamais estudou lógica): como bem deve saber, várias demonstrações apelam para a definição (exemplo: defini-se limite de uma sequência e logo em seguida demonstra-se o "teorema" da unicidade do limite de uma sequência). Sem a definição em questão seria, aparentemente, impossível demonstrar o referido teorema. Isto significa, necessariamente, que a definição é criativa? Ou mesmo assim ela pode ser não-criativa? (neste último caso deveria haver uma maneira de demonstrar a unicidade sem usar a definição?)

    O seu texto significa que é errado usar a definição em uma demonstração ou significa apenas que há um limite para esse uso? Até que ponto podemos usar definições em demonstrações?

    Na vdd creio que não consegui compreender muito bem a definição de "não-criativa" (o porquê ainda não sei). Dizer que ela é criativa significa que existe um teorema em cuja demonstração é impossível que ela não entre? Significa que ela gera contradição? Se não existisse definições criativas isso significaria que nenhuma demonstração usaria alguma definição?

    AAnooniimoo

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  2. Adonai, como você sabe, não sou matemática, mas acompanho seu blog por vários motivos, sendo que um deles é que sempre aprendo algo por aqui.
    Várias coisas que você menciona são dignas de comentártios e perguntas, mas sinceramente fiquei curiosa com o seguinte: você diz que costuma-se definir "metro como 1.650.763,73 vezes o comprimento de onda da radiação do isótopo criptônio 86 no vácuo"... adoraria saber POR QUE este número, POR QUE o isótopo criptônio 86 e POR QUE os americanos não utilizam o metro (são só eles que não utilizam?)

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  3. AAnooniimoo

    Na definição de limite de sequência, o definiendum é "limite de f(n) = L", e o definiens é "para todo epsilon estritamente positivo existe delta estritamente positivo tal que n maior do que delta implica que a distância entre f(n) e L é menor do que epsilon". Ignoremos a violação da condição de eliminabilidade. Quando se prova que o limite, se existir, é único, usa-se redução ao absurdo. Supõe-se que existem dois limites e chega-se a uma contradição. Isso é cálculo básico que se encontra em qualquer livro sobre o assunto, como você bem deve saber. Acontece que essa mesma demonstração poderia ser feita usando apenas a notação de epsilon e delta que aparece no definiens, sem apelar para o definiendum. Veja que a definição de limite é uma equivalência lógica entre o definiendum e o definiens. Se não usarmos o definiendum, não estamos usando a definição. Ou seja, o teorema da unicidade já era possível de demonstrar, mas em uma notação apenas mais complicada, sem empregar a definição de limite. Ou seja, se para todo epsilon estritamente positivo existe delta estritamente positivo tal que n maior do que delta implica que a distância entre f(n) e L é menor do que epsilon, então L é único. Este é o enunciado do teorema sem fazer uso da definição de limite de sequência. A definição serviu para tornar o enunciado mais fácil de entender. Logo, o teorema da unicidade não é um resultado novo, mesmo tendo em mãos a definição de limite.

    Quanto ao uso de definições em demonstrações, essa é uma questão que não posso responder satisfatoriamente em um simples comentário. O tema é muito extenso. Posso apenas garantir a você que há procedimentos formais que garantem que definições podem ser usadas em demonstrações, sem problema. Neste sentido a prática do matemático está garantida.

    Agora observe que sua dúvida apenas confirma o título da postagem. Se eu tivesse colocado este exemplo no corpo da postagem, provavelmente você não levantaria essa questão. Isso porque a definição de definição é assunto não trivial. Ou seja, é realmente difícil compreender definições.

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  4. Susan

    O motivo para se usar o isótopo criptônio 86 deriva de propriedades físicas da radiação deste átomo. Tal radiação, no vácuo, tem um comportamento muito bem definido, estável e facilmente mensurável. Não posso dizer se outros isótopos não seriam tão confiáveis quanto este, simplesmente porque meu conhecimento deste ramo da física experimental é bastante limitado.

    Com relação aos norte-americanos (não esqueça que nós também somos americanos!), eles usam sim o metro. Mas também empregam outros sistemas de medição de comprimento, como pés, jardas, milhas terrestres e polegadas. O motivo disso é cultural. Há campanhas para acabar com essa confusão do sistema de medições daquele povo, mas a resistência é grande.

    Com relação a sistemas de medições de outros países, a tendência mundial é o emprego do Sistema Internacional, no qual comprimento de mede com metros.

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    1. Só gostaria de sugerir que tratemos os estadunidenses por "estadunidenses", afinal geograficamente o Canadá e o México são também América do Norte e portanto norteamericanos!

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  5. AAnooniimoo

    Em função de alguns comentários seus, do Leandro e de outros, estou estudando a possibilidade de disponibilizar arquivos pdf contendo grandes documentos escritos por mim sobre esses temas de lógica. Tenho centenas de páginas escritas sobre os conceitos de definição, teorema, demonstração, linguagem, inferência, independência de axiomas e de conceitos primitivos etc. Mas preciso primeiramente organizar tais textos, os quais incluem exemplos e até mesmo exercícios. Mas isso deverá ser feito apenas em 2013.

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    1. Disponibilizar os downloads seria realmente bom (ao menos sob o ponto de vista de quem vai baixar)! Confesso que ao ler os comentários seus e de Leandro sobre o texto "o que é um conjunto" deu "água na boca" de lê-lo. Mesmo que o sr. não disponibilize esse em particular, creio que qualquer texto que trate sobre este temas (definição, teorema, axiomas, conjuntos etc) serão muito enriquecedores para nós (pelo menos para mim).

      AAnooniimoo

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    2. Adonai, alguma novidade nesse sentido?

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    3. Puxa, Stafusa

      Acabei me descuidando com isso. Tentarei compensar esta falta o quanto antes. Grato pela chamada de atenção.

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  6. Suponho que um dos meus maiores equívocos foi achar que demonstrações que contenham a frase "em virtude da definição" estavam usando a definição no sentido em que o sr. refere. Mas parece-me que este não é o caso. Suponho que não exista um exemplo simples de definição criativa que possibilite compreender o que significa "obter novos teoremas" e acho que é justamente a complexidade deste assunto que causa a insegurança, a incerteza por partes dos matemáticos como o sr. mencionou (quanto mais dos leigos).

    Por hora, gostaria de mencionar apenas mais um ponto: estou começando a duvidar de que a metemática é como pintam os matemáticos (principalmente com relação ao caráter de certeza). Só para ter uma ideia: o sr. diz que os matemáticos não sabem se ZF é consistente. O que aconteceria se descobrissem que ele é inconsistente? Qual seria a principal consequência para os resultados já estabelecidos na metemática? (é possivel descobrir, caso seja, que é incosistente ou se trata de algum indecidível?)

    AAnooniimoo

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  7. AAnooniimoo

    Não existem definições criativas. Se uma fórmula é criativa, não é uma definição. Você pediu um exemplo e aqui segue um:

    m*n = p se, e somente se, m+n<p, sendo m, n e p números naturais.

    A fórmula acima é supostamente uma definição para uma operação binária entre números naturais, que chamei de *. Essa fórmula é criativa, pois 3*4 = 10 (afinal, 3+4<10) e 3*4 = 20 (afinal, 3+4<20). Pela transitividade da igualdade, como 3*4 = 3*4, então 10 = 20. No contexto da aritmética sabe-se que é falso que 10=20. Portanto, demonstramos algo que antes não era possível demonstrar.

    Com relação a ZF, se essa teoria for inconsistente, toda a matemática tradicional desmorona. Isso porque ZF está fundamentada na lógica clássica. E na lógica clássica, basta uma contradição para trivializar a teoria. Vale lembrar que uma teoria é trivial se todas as suas fórmulas forem teoremas. Isso, portanto, tornaria a matemática conjuntista tradicional um corpo inútil de conhecimento.

    Mas essa perspectiva não preocupa os matemáticos. Afinal, espera-se que se alguém encontrar alguma contradição nos axiomas de ZF, basta fazer algum ajuste na teoria, que elimine tal contradição e ainda mantenha os principais resultados (sobre conjuntos) usualmente empregados. Algo parecido já foi feito nos primórdios das teorias de conjuntos. Ou seja, matemáticos são criaturas bastante adaptáveis.

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    1. Além disso, o 2º teorema da incompletude de Kurt Godel [provado em 1931] afirma que a consistência de um sistema axiomático formal não pode ser demonstrada através de seus próprios axiomas, isto é, em sua própria estrutura lógica interna.

      Assim, se a consistência de ZF fosse provada, esse fato violaria o citado Teorema de Godel.

      Enfim, nunca acreditarei que este teorema seja invalidado e ZF realmente tenha sua consistência demonstrada ...

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    2. Se ZF tiver sua consistência provada, esse fato acabará violando o 2º teorema da incompletude de Kurt Godel [provado em 1931, esse resultado afirma que a consistência de um sistema axiomático formal jamais poderá ser provado consistente, apenas com as regras e axiomas de sua própria estrutura interna lógica].

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    3. skox

      Os teoremas de Gödel se referem a sistemas fortes o bastante para incorporar a aritmética. Uma eventual demonstração da consistência de ZF nada teria a ver com os célebres resultados de Gödel. Afinal, ninguém sugere, hoje em dia, que a consistência de ZF deveria ser provada no escopo de sua própria linguagem.

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    4. Adonai,

      Desde já grato por tudo e um pedido de meu interesse: você poderia me enviar um ebook no formato PDF "O que é um conjunto", da editora Manole ? Já comprei seu livro "O que é um axioma" e gostei muito. Infelizmente, o que peço agora é o que não pude obter ainda, por culpa da editora.

      Sobre sua resposta, fico satisfeito por esse fato, dado que estou estudando Teoria da Prova e Aritmética de Peano, por curiosidade.

      Enfim, já favoritei seu blog seminal no meu feed/rss e desde então, sempre volto aqui para aprender de tudo um pouco.

      Tchau e até a próxima.

      Continue com este belo trabalho ...

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    5. skox

      Peço que envie e-mail para adonai@ufpr.br. Desta forma poderei enviar o pdf.

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  8. Perdão... CLARO que falo dos estadunidenses... sobre a sua colocação em disponibilizar artigos ou arquivos em pdf: boa ideia!

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  9. Oi! Permita-me, por favor, um comentário mais sub-lunar, do ponto de vista didático. Sempre sofri com definições, aos oito anos me definiram 3/5 como: pegue uma laranja divida em 5 partes e tome 3, tempos depois fazendo uma soma de frações encontrei 7/6, chorei pois o resultado só podia estar errado, como dividir uma laranja em seis partes e tomar 7? Outra: x pode tomar vários valores, para mim a equação 2x=4 só tinha uma raiz x=2, mas a equação x+x=4 tinha várias soluções, o primeiro x ser igual a 1 e o segundo x ser igual a 3 etc Mais outra: O sinal clássico de dividir pode ser substituído pela "/" então 3-:5=3/5. Três laranjas dividida por cinco pessoas era o mesmo que tomar uma laranja dividir em cinco partes e tomar 3? Substantivo abstrato precisa de um ser para existir: Logo "tio" é abstrato, Não falo teoricamente eu realmente sofria com isso, talvez pela minha tendência para ser matemático..Obrigado

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  10. tavano

    Bem-vindo ao blog! Já discuti sobre esses problemas em postagens anteriores. Infelizmente, no Brasil, existe uma verdadeira obsessão por essa história de lecionar matemática respeitando a suposta realidade do aluno. Daí os discursos hortifrutiganjeiros sobre maçãs e laranjas para ensinar frações. Apelar a visões intuitivas como primeiro passo no estudo de matemática não é problema. Mas prender-se a isso é estupro mental seguido de suicídio intelectual. Não é o ensino de matemática que deve se adaptar à mentalidade de alunos e professores. Alunos e professores é que devem estar abertos para compreender e apreciar matemática.

    Veja, por exemplo, a postagem 2+3=5? em

    http://adonaisantanna.blogspot.com/2010/09/2-3-5.html

    Ou seja, rogo para que não se deixe abalar pela ignorância de seus professores. Eles simplesmente não sabem o que fazem, como diria o grande Mestre. Se quer aprender matemática, aproxime-se de profissionais amplamente reconhecidos mundo afora. Essa atitude nada garante. Mas, pelo menos, aumenta sua chance de aprender esta ciência.

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  11. Olá, professor Adonai. Desculpe ressuscitar esta postagem antiga, mas fiquei com uma dúvida. Não entendi por que o senhor diz que a "definição" de divisão de números reais mostrada viola o critério da eliminabilidade. A afirmação "a/b=c" pode sempre ser substituída por "b é diferente de 0 e a=bc". O que acontece é que a segunda afirmação é sempre falsa para b=0, o que implica que a "a/0=c" é sempre falso para quaisquer números reais a e c. Ora, "4/5=2" também é falso, mas isso não quer dizer que não haja um "definiens" pelo qual essa expressão possa ser substituída.

    Pensando bem, talvez o senhor tenha desejado dizer que o "definiendum" seja "a/b" e o "definiens" seja "a/b=c se e somente se b é diferente de 0 e a=bc". De fato, esse "definiens" não nos permite substituir o "definiendum" por nenhum número real c quando b=0 sem cairmos numa contradição. Se for assim, acho que esse é um critério extremamente forte e, à primeira vista, não concordo com sua utilização para demarcar o que é ou não uma definição. Essa forma de definir divisão de números reais me parece adequada e, no entanto, seria jogada fora via esse critério.

    Eu tenho a crença de que, em matemática, deve-se proceder de maneira tão "ingênua" quanto possível, apelando para o não-intuitivo só quando estritamente necessário. Se considerar essa definição legítima é insustentável porque leva a contradições, ótimo; caso contrário, creio que esse critério seja forte demais. Talvez uma versão mais fraca seja mais adequada.

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    1. Oi, Leonardo

      Está pedindo desculpas por demonstrar interesse ou por pensar? Seja qual for o caso, não vejo motivo.

      O problema, na verdade, é a enorme restrição que um veículo como um blog provoca. Para compreender bem teorias de definição, faz-se necessário estudos extensos de lógica.

      Pois bem, aqui vai. A questão é a linguagem utilizada. Sua primeira solução (no primeiro parágrafo) funciona bem se considerarmos a divisão apenas como uma relação. No entanto, se quisermos defini-la como operação (ou seja, uma função e, portanto, definida para quaisquer pares ordenados de termos) não basta dizer que b é diferente de zero. Faz-se necessário dizer que b é igual a algum termo permitido pela linguagem. O ponto, portanto, é: divisão é relação ou operação?

      Sua proposta para uma teoria de definições com restrição mais fraca do que aquela de eliminabilidade precisa ser melhor elaborada: como fazer isso formalmente? De repente isso pode se tornar um projeto de pesquisa. Que tal?

      Tome cuidado com sua ideia a respeito de posturas ingênuas em matemática. Foi isso que provocou a crise do final do século 19. Por isso mesmo surgiu o movimento da análise: para dar conta de fenômenos estranhos que estavam acontecendo no cálculo diferencial e integral. Espero poder postar algo no futuro sobre as diferenças entre formalismo e rigor.

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  12. Gostaria de receber esse material de sua autoria que o senhor fala acima.Obrigado

    ediclerton_rabelo@hotmail.com

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    1. Ediclerton

      Peço que envie email para adonai@ufpr.br. Respondo em seguida.

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  13. Prezado Professor Adonai,

    Caso possível, também gostaria de receber o material em questão. Posso te enviar um email?

    Desde já, agradeço!

    Alexandre.

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    1. Alexandre

      Basta enviar e-mail para adonai@ufpr.br ou entrar em contato via Facebook.

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  14. Olá professor Adonai!

    Gostaria muito de adquirir os seus dois livros: o que é uma definição e o que é um axioma. Preciso bastante deles porque em minha dissertação de mestrado acerca do método geométrico precisarei discorrer um pouco sobre Os Elementos de Euclides e acerca dos conceitos de definição e axioma, por isso careço tanto desse material. Se o senhor puder disponibilizá-lo ou me indicar um site da internet que os vende, fico grato.

    OBS: Procurei esses dois livros na net, mas só encontrei como esgotados.

    Obrigado!

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    1. Negi

      Envie e-mail para adonai@ufpr.br. Tenho o livro sobre definições em pdf.

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    2. Prezado Prof. Adonai,

      Assim como o amigo acima, tenho interesse no livro "O que é um axioma"; no entanto, tenho a seguinte dúvida: como eu ainda estou terminando o ensino médio, gostaria de saber se, com o conhecimento matemático referente a esse nível de ensino, poderei fruir o conteúdo da retromencionada obra sem maiores dificuldades. Seria isso possível, ou o livro em questão exige pré-requisitos que não estão disponíveis na matemática do ensino médio?

      Atenciosamente,

      Tomás

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    3. Tomás

      Grande parte dos conteúdos do livro O que é um Axioma são acessíveis para um leitor com boa formação no ensino médio. No entanto, este livro está esgotado e não disponho de qualquer versão eletrônica dele. Lamento.

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    4. Quanto ao livro, graças a um amigo meu, obtive acesso à referida obra. Vou tentar estudar o conteúdo do livro por conta própria. No mais, grato pelo prestimoso comentário, Prof. Adonai.

      Fique com Deus,

      Tomás

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    5. Ótimo, Tomás!

      Quaisquer dúvidas sobre a leitura, pode perguntar por aqui mesmo.

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