sexta-feira, 24 de fevereiro de 2012

Algumas Curiosidades Lógicas



Nesta postagem não há tema novo algum. Tudo aqui se refere a assuntos muito conhecidos na literatura especializada. No entanto, como vejo inúmeros discursos e textos de matemática no Brasil que fazem consideráveis confusões de caráter lógico, acho interessante prestar alguns esclarecimentos. Então vou responder algumas das questões da página Você sabia que....


1. Todo axioma de qualquer teoria formal axiomática é demonstrável. Para provar isso precisamos qualificar os termos empregados. Uma teoria formal axiomática consiste de dois ingredientes fundamentais: lógica e linguagem. A linguagem é caracterizada por um vocabulário e fórmulas. Vocabulário é um conjunto de símbolos. Fórmulas são sequências (finitas ou não) de elementos do vocabulário. Existem "regras gramaticais", conhecidas como procedimentos efetivos, para determinar quais sequências de elementos do vocabulário são fórmulas. A lógica se estabelece a partir de axiomas e regras de inferência. Axiomas são certas fórmulas, escolhidas pelo próprio matemático, conforme a teoria que pretende desenvolver. E as regras de inferência são relações entre fórmulas que permitem inferir (ou deduzir) uma única fórmula a partir de outras. Por exemplo, no cálculo proposicional clássico, é usual se considerar como regra de inferência uma relação ternária entre fórmulas conhecida como Modus Ponens. Nesta regra, a partir das fórmulas "A implica B" e "A" pode-se inferir "B". Dizemos que "B" é consequência direta das fórmulas "A" e "A implica B". Ou seja, se temos A e sabemos que A implica em B, então podemos deduzir B. Já uma demonstração em uma teoria formal axiomática é uma sequência finita de fórmulas tal que cada fórmula desta sequência é um axioma da teoria ou uma consequência direta de fórmulas anteriores via o emprego de uma regra de inferência. E teorema é a última fórmula de uma demonstração. Isso significa que a primeira fórmula de qualquer demonstração em uma teoria formal axiomática é necessariamente um axioma, pois não há fórmulas anteriores à primeira. Logo, se uma demonstração tem apenas uma fórmula, esta necessariamente é um axioma. Como nesta sequência de uma só fórmula a última é também a primeira, então o axioma ali presente é um teorema. Uma vez que uma fórmula T é demonstrável se, e somente se, existir demonstração tal que T é teorema, podemos concluir que todo axioma é demonstrável. 


2. Todo teorema em uma teoria formal axiomática admite infinitas demonstrações. Usando as noções do parágrafo acima, considere que a sequência F1, F2, F3, ..., Fn é uma demonstração em uma teoria formal axiomática cujos axiomas são A1, A2, A3, .... Logo, F1 é um axioma e Fn é um teorema. Isso significa que podemos inserir um axioma na demonstração, entre duas fórmulas quaisquer ou como primeiro elemento, e continuaremos tendo uma demonstração do teorema Fn. Por exemplo, a sequência A1, A2, A1, A2, F1, F2, A3, F3, ..., Fn é também uma demonstração do teorema Fn. 


3. Existem definições demonstráveis. Existem certos tipos de definições, em teorias formais axiomáticas, conhecidas como definições ampliativas. Elas simplesmente ampliam a linguagem da teoria, no sentido de incorporar novos elementos ao vocabulário. Acontece que toda definição em matemática deve ser não-criativa. Porém, a prática matemática exige que definições possam ser usadas no processo de demonstração de teoremas. Para que isso ocorra, levando em conta o conceito de demonstração do item 1, o status lógico que essas definições ampliativas assumem é o mesmo de axiomas, se elas forem escritas como fórmulas da teoria. Como provamos acima que todo axioma é demonstrável, logo essas definições ampliativas escritas como fórmulas são também demonstráveis. Afinal, tais definições não apenas incorporam novos elementos à linguagem, como também acrescentam novos axiomas. No entanto, vale reforçar que tais novos axiomas não permitem demonstrar teoremas que antes não poderiam ser demonstrados (que é a condição de não-criatividade).


4. É errado afirmar que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números reais. E é igualmente errado afirmar que o conjunto dos números naturais não é subconjunto do conjunto dos números reais. Isso porque existem muitas definições para tais conjuntos na literatura. Alguns autores afirmam que o conjunto dos números naturais é um par ordenado (N,S), onde N é um conjunto não vazio e S é uma operação entre conjuntos, conhecida como sucessor, de modo a satisfazer os conhecidos axiomas de Peano. Os elementos de N são chamados de números naturais. Neste contexto, o sucessor, por exemplo, de 3 é 4 (S(3) = 4). Outros autores afirmam que o corpo dos números reais é uma tripla ordenada (R,+,*), onde R é um conjunto não vazio, + (adição) é uma operação binária entre elementos de R e * (multiplicação) é outra operação binária em R, satisfazendo a uma série de axiomas. Os elementos de R são chamados de números reais. Como o par ordenado (N,S) não é subconjunto da tripla ordenada (R,+,*), então, neste caso, o conjunto dos números naturais não é subconjunto do corpo dos números reais. No entanto, é possível exibir um modelo A para (N,S) e um modelo B para (R,+,*) de modo que A é subconjunto de B. Se chamarmos A de conjunto dos números naturais e B de conjunto dos números reais, então podemos afirmar que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números reais. Porém vale lembrar que tanto (N,S) quanto (R,+,*) admitem modelos tais que um não é subconjunto do outro. Ou seja, antes de afirmarmos que o conjunto dos números naturais é (ou não) subconjunto do conjunto dos números reais, precisamos qualificar o quê se entende por números naturais e o quê se entende por números reais. Mesmo no ensino médio essa qualificação se mostra necessária. Com efeito, o número real 2 pode ser representado pela fração 10/5. No entanto, o número natural 2 não pode ser representado por 10/5, pois usualmente não se define razão entre números naturais.


5. Um par ordenado pode ser igual a uma tripla ordenada. Em teorias de conjuntos existem muitas definições para os conceitos de par ordenado e tripla ordenada. A definição de Kuratowski (aplicável a teorias intuitivas e formais usuais), por exemplo, estabelece que o par ordenado (A,B) é igual ao par não-ordenado {{A},{A,B}}. Vale lembrar que um par não-ordenado {A,B} é um conjunto cujos elementos são iguais a A ou B. Neste sentido, o conjunto {A,B} é igual ao conjunto {B,A}, pois a ordem em que os elementos são explicitados na notação extensional é irrelevante. O leitor não pode esquecer que um conjunto é definido única e exclusivamente pelos seus elementos, independentemente de quaisquer outras informações. Logo, todo par não-ordenado {A,B} tem um ou dois elementos. Tem dois elementos se A for diferente de B, e apenas um elemento se A for igual a B. No caso em que A é diferente de B, podemos concluir que, apesar de {A,B} = {B,A}, (A,B) é necessariamente diferente de (B,A). Com efeito, {{A}, {A,B}} é diferente de {{B},{A,B}}. Seguindo as mesmas ideias de Kuratowski, podemos definir a tripla ordenada (A,B,C) como o par ordenado ((A,B),C). Neste contexto, a tripla ordenada (A,B,C) é igual ao par ordenado (D,E) se, e somente se, D = (A,B) e E = C.


As demais questões serão respondidas em postagens futuras.

21 comentários:

  1. Caramba, este texto já permitiu responder pelo menos umas 3 ou 4 dúvidas que eu perguntaria em tópicos e momentos mais oportunos, sendo que pelo menos uma das dúvidas envolveria um questionamento sobre lógicas trivalentes, a existência de exceções nas lógicas bivalentes e a própria lógica paracompleta.

    Show de bola!!!!!!!

    Já é algum alívio (e prazer) sanar estas dúvidas que eu teria.

    Passei a gostar ainda mais de Matemática e a me interessar mais ainda por ela!!!!!!!

    :)

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  2. Leandro

    Fico feliz que tenha apreciado o texto. Sobre lógica paracompleta jamais discutirei, pois nunca estudei sobre o tema. A respeito de lógicas polivalentes posso discutir, sem problema. Mas não entendi o que você quis dizer com exceções nas lógicas bivalentes. Poderia elaborar?

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  3. Adonai


    Pelo que entendo sobre lógica bivalente, uma sentença seria classificada como "verdadeira" ou "não verdadeira", e por "não verdadeira" entenderia-se como sendo equivalente a "falsa".

    Não haveria qualquer situação sequer que admitisse algo diferente de "verdadeiro" ou "falso" (equivalentemente, "verdadeiro" ou "não verdadeiro").

    E em situações do cotidiano parece por vezes difícil encontrar alguma exceção convincente que seja capaz de contrariar a bivalência da Lógica Clássica.

    Mesmo na chamada Lógica Fuzzy, o princípio da bivalência parece ser inquestionável pois, digamos, ou algo "é" 45% de X e 55% de Y, ou "não é" 45% de X e 55% de Y, sendo que qualquer valor diferente disso já representaria uma outra de situação para classificação em "é" ou "não é".

    No entanto, se não me engano, existe algum sistema lógico trivalente que admitiria algum valor-verdade diferente de "verdadeiro" e "falso", mas também algo como "indeterminado".


    Um exemplo disso seria uma situação na qual não podemos prever o que irá acontecer futuramente. Digamos, se um dado avião da empresa "Z" vai ou não cair amanhã. Então, usaria-se o valor-verdade "indeterminado", de modo que seria incorreto atribuir para a sentença os valores de "verdadeiro" ou "falso" por não se saber o que de fato irá acontecer.

    Mas, mesmo assim, parece que isto não derroga o Princípio da Bivalência, pois se adotarmos uma postura determinista, independente de não sabermos o que acontecerá amanhã, o avião do exemplo ou cairá ou não cairá, não havendo pois uma terceira possibilidade.

    É neste sentido que eu disse algo sobre "exceções nas lógicas bivalentes".

    Na verdade, creio que me expressei incorretamente, pois o certo seria algo como "exceções às lógicas bivalentes", já que, imagino eu, as lógicas polivalentes não se enquadram no contexto do Princípio da Bivalência.

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  4. Leandro

    Você tem que tomar muito cuidado com esse tipo de leitura sobre lógica-matemática. Tabelas-verdade são ferramentas metamatemáticas. Traduzir para linguagens naturais como português frequentemente leva a equívocos. Pretendo postar algo a respeito disso em algum momento futuro.

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  5. Adonai


    Entendo.

    Aliás, quando comecei a estudar algo sobre Lógica, em um dos meus primeiros contatos com esta fascinante área do conhecimento, o meu primeiro obstáculo foi o de tentar entender o chamado "Paradoxo da Implicação Material", justamente por causa da tentativa imediata em querer traduzir para uma linguagem natural como o português, bem como para situações cotidianas.

    Deu muito trabalho para conseguir, pelo menos minimamente, separar a linguagem natural da ferramenta lógica!!!!!


    Mas, mesmo assim, parece que infelizmente ainda misturo as coisas.

    :(

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  6. Sobre a curiosidade 4: também é errado dizer que o conjunto dos naturais é subconjunto dos inteiros quando os inteiros são construídos como uma classe de equivalência de pares ordenados de números naturais? (Neste caso um número inteiro será um par ordenado não será?)

    AAnooniimoo

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  7. AAnooniimoo

    Depende da maneira como definir o conjunto dos números naturais N. Se estabelecer N como o conjunto a partir do qual você definiu os inteiros como classes de equivalência de pares ordenados de elementos de N (da forma como usualmente se faz em teorias intuitivas de conjuntos), realmente N não é subconjunto do conjunto Z dos inteiros. Mas se definir o conjunto dos naturais como o dos inteiros positivos, aí o conjunto dos naturais é subconjunto dos inteiros.

    Sua observação entre parênteses está incorreta. Neste tipo de construção, um par ordenado de naturais é um representante de uma classe de equivalência. O inteiro é a classe de equivalência inteira.

    Mas vale notar que esse tipo de construção se aplica em teorias de conjuntos que não contam com axiomas como o esquema da separação. Ou seja, não é assim que se define o conjunto dos inteiros em teorias como a de Zermelo-Fraenkel.

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    1. Recentemente eu li que todos os corpos ordenados completos que se pode construir são isomorfos entre si.

      Não sei bem o que significa isso (nunca estudei álgebra significativamente). Pelo que entendi ambos teriam exatamente as mesmas propriedades. A única coisa que teriam de diferente, um do outro, seria a representação de seus elementos.

      O sr. saberia dizer se isso também ocorre com o conjunto dos naturais? Ou seja, se A e B forem conjunto de números naturais construídos de maneiras distintas, será que A e B serão sempre isomorfos?

      Se sim, será que não seria este o motivo para praticamente não haver menção sobre o fato de, às vezes, o conjunto dos Naturais não ser subconjuntos dos Reais? O seja, o motivo não seria que em qualquer construção destes conjuntos sempre existe um subconjuntos de R que é isomorfo ao conjunto N?

      AAnooniimoo

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    2. AAnooniimoo

      De fato todos os modelos de corpos ordenados completos são isomorfos entre si (na matemática standard). Corpo ordenado completo é uma teoria formal axiomática. Se M e N são modelos dessa teoria (satisfazem a todos os axiomas) então é possível definir uma função bijetora f:M->N de modo que a estrutura dada pelos axiomas se preserve. Ou seja, f(a+b) = f(a) + f(b), sendo que o primeiro sinal de + corresponde à interpretação da adição de corpo ordenado completo em M, enquanto o segundo sinal de + se refere à interpretação da adição de corpo ordenado completo em N. O mesmo vale para a multiplicação. Trocando em miúdos, todos os modelos são essencialmente os mesmos. Diz-se, neste caso, que a teoria é categórica.

      Com relação aos números naturais, a resposta à sua questão depende da maneira como defini-los.

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  8. Vou tentar contribuir:
    10100) existe um matemático policéfalo?
    Conheço dois. O ilustre Nicolas Bourbaki, pseudônimo de um grupo de matemáticos em sua maioria franceses do século XX. E o menos famoso Jet Nestruev, grupo de autores formado por A.Astashov, A.Bocharov, S.Duzhin, A.Sosinsky, A.Vinogradov e M.Vinogradov, de Moscou. O grupo se destaca pelo livro "Smooth Manifolds and Observables" publicado em inglês pela Springer.

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  9. Grande Aline

    Eu não conhecia o Jet Nestruev. Ótimo saber.

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  10. Prezado Professor, parabéns pelo blog. Gostaria de saber onde posso conseguir, o livro "o que é definição", pois não consigo encontra, em livrarias, sebos e internet em geral. Antecipadamente, agradeço muito.

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    1. Geraldo

      Infelizmente o livro esgotou muito rapidamente e a editora não tem interesse em fazer nova impressão. Lamento.

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  11. Você concluiu que todo axioma é demonstrável a partir de que em um momento terá que existir uma única fórmula e esta necessariamente é um axioma e também um teorema, pois é a ultima e primeira.
    E "Uma vez que uma fórmula T é demonstrável se, e somente se, existir demonstração tal que T é teorema, podemos concluir que todo axioma é demonstrável. "
    Logo, a demonstração de um axioma se resume na existência do axioma\teorema e não em uma prova na linguagem matemática.
    E eu acho que uma demonstração sem prova não é "digna" de ser chamada demonstração, portanto não deveríamos admitir
    que um axioma não admite demonstração ?
    Estou certo ou não entendi nada do que você falou ?

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    1. Henrique

      O que seria uma demonstração sem prova? O que seria uma demonstração digna de ser chamada de demonstração? O que seria A linguagem matemática? Por que começar a sentença com "E eu acho que..."?

      Observe que nesta postagem não são colocadas opiniões, mas apenas fatos. Um bom livro para ajudá-lo a compreender os conceitos de axioma, demonstração, premissa, teorema, entre outros usuais na literatura matemática, é Introduction to Mathematical Logic, de E. Mendelson.

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    2. Eu sei que são apenas fatos, mas é que eu não tinha entendido os fatos.Eu gosto desse assunto de lógica ,mas, quanto mais estudo menos entendo.
      Quanto as suas perguntas eu disse "demonstração sem prova,querendo dizer um Teorema sem prova.
      Comecei dizendo "E eu acho que", pelo motivo de eu não saber se estou certo, e agora sei que não estava.(já suspeitava!).Quanto ao livro, vai ser o primeiro que vou ler depois que aprender inglês.Obrigado por responder as minha perguntas idiotas.

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    3. Henrique

      Se causei algum desconforto com as minhas respostas, peço desculpas. Não foi a minha intenção.

      De fato, lógica é o assunto mais complicado que já estudei até hoje, em matemática. É uma área do conhecimento que demanda extraordinário senso crítico. Pior do que aquilo que não sabemos é aquilo que usualmente julgamos saber.

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  12. Prof Adonai

    Fiquei com a mesma dúvida que o Henrique.

    Um axioma é demonstrável quando for um teorema, no caso de ser a única fórmula de uma demonstração. Só não entendi o "pulo do gato" no final, que diz que todo o axioma é demonstrável porque "Uma vez que uma fórmula T é demonstrável se, e somente se, existir demonstração tal que T é teorema, podemos concluir que todo axioma é demonstrável".
    No caso não estaria sendo usado um caso particular e generalizando pra todos os casos? (me perdoe, provavelmente estou errado, mas tive essa impressão).

    E na prática em um explicação a um aluno? Se eu disser a ele que um axioma pode ser demonstrado, é possível explicar isso a ele?

    Eu diria que o axioma é demonstrável na medida em que consideramos ele um teorema? Neste caso algum teorema ligado a ele se torna o axioma?

    Perdoe-me se não fui claro e também minha ignorância. É como diz o ditado "não existe pergunta tonta, tonto é quem perguntou" (rs)

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    1. Hugo

      Não sei se compreendi a sua indagação. Mas tentarei explicar.

      Considere uma demonstração de comprimento 1 (em uma teoria formal T), ou seja, uma demonstração que tem uma única fórmula de T. Esta fórmula necessariamente é um axioma de T (afinal, não há fórmulas anteriores que permitam a aplicação de alguma regra de inferência de T). Como esta fórmula única é também a última fórmula da demonstração, logo ela é teorema. Consequentemente, todo axioma de T é teorema de T. Em particular, todo axioma de T é (trivialmente) demonstrável. E este resultado independe do axioma escolhido e independe da teoria T.

      Observação: usei a palavra "trivialmente" no sentido de que demonstrações de axiomas não demandam o emprego de regras de inferência.

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    2. Professor

      Para tentar clarear melhor minha dúvida, vou tentar exemplificar, embora possa correr o risco de escrever uma estupidez.

      Na Geometria Euclidiana são utilizados alguns axiomas básicos, dos quais decorrem muitos teoremas que formam toda a sua "estrutura". Ou seja, no meu entendimento não possui uma única fórmula (ou o que entendo ser uma) Como poderei entender que estes axiomas são demonstráveis?

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    3. Hugo

      Digamos que A1, A2, A3,..., An sejam os axiomas da geometria euclidiana (GE). E digamos que Modus Ponens (MP) seja a única regra de inferência da GE. Uma demonstração nesta teoria é uma sequência finita de fórmulas

      F1, F2, F3, ..., Fm, de tal modo que cada Fi é um axioma de GE ou uma consequência de fórmulas anteriores via o emprego de MP. E a última fórmula desta demonstração (Fm) é um teorema de GE. Tudo isso é padrão, no estudo de sistemas formais.

      Isso significa que F1 é obrigatoriamente A1, ou A2, ou A3, ..., ou An, e nada além disso. Afinal, não há a possibilidade de que F1 seja qualquer outra fórmula, uma vez que não existem fórmulas anteriores a F1 na demonstração. Não há a possibilidade de que F1 seja consequência de fórmulas anteriores via o emprego de MP.

      Agora considere uma demonstração que tenha uma única fórmula:

      F1

      Neste caso, F1 ainda é A1, ou A2, ou A3, ..., ou An, e nada além disso. Ou seja, esta sequência de uma única fórmula é obrigatoriamente formada por um axioma de GE.

      Como esta fórmula única é também a última fórmula da demonstração, consequentemente é um teorema. Portanto, cada axioma de GE é um teorema de GE.

      Tudo o que você precisa fazer é ler os primeiros capítulos do livro de Mendelson, Introduction to Mathematical Logic. Mas coloco-me a disposição para conversarmos pessoalmente.

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