Comparando diploma com competência

Em postagem de quase um ano atrás, André Sionek (brasileiro que estudou na University of Pennsylvania, EUA) declarou que "nos Estados Unidos alunos procuram as melhores universidades com o propósito de aprender [...] No Brasil, jovens procuram universidades com o objetivo de obter diplomas." É claro que esta é uma impressão pessoal que frequentemente é compartilhada por muitas pessoas, incluindo jovens estudantes e experientes profissionais. Mas o fato é que precisamos de parâmetros objetivos para determinar o que é mais importante na prática do mercado de trabalho: competência profissional ou diploma, mérito ou prestígio?

Na última vez em que visitei os Estados Unidos, o filósofo brasileiro Otávio Bueno (que segue carreira naquele país) me disse o seguinte: "Para conseguir uma posição de docente ou pesquisador em uma renomada universidade norte-americana é necessário que o título de Ph.D. seja obtido em uma delas ou que o candidato realize pelo menos uma contribuição científica de grande impacto. Caso contrário, praticamente não há chances de contratação." 

Pois bem. Em um estudo publicado no mês passado foram reportados dados e conclusões contundentes sobre a realidade do processo de contratação de docentes em instituições de ensino superior dos Estados Unidos, o país que conta com a maior produção científica no mundo e uma das mais impactantes. Foram analisadas as carreiras de cerca de 19.000 profissionais nas áreas de ciência da computação, administração e história. Ou seja, a amostra considerada leva em conta áreas do conhecimento muito distintas entre si. O estudo conclui que políticas de contratação seguem uma rígida estrutura hierárquica que resulta em considerável desigualdade social. Apenas 25% das instituições que concedem o título de Ph.D. naquele país são responsáveis por 71% a 86% (dependendo da área do conhecimento) das contratações de docentes com direito a pedir estabilidade de emprego. Além disso, apenas 10% dos docentes de ensino superior daquele país trabalham em instituições de maior prestígio do que aquelas nas quais obtiveram seus títulos de doutorado. Os autores da pesquisa também aplicaram o coeficiente de Gini para avaliar desigualdades sociais (em termos de renda anual) entre docentes das três áreas estudadas e chegaram a valores entre 0,62 e 0,76, sendo que 0 corresponde a igualdade estrita e 1 representa desigualdade máxima. Logo, o coeficiente de Gini revelou forte desigualdade social entre as disciplinas contempladas. As maiores desigualdades ocorrem entre docentes de história e as menores acontecem entre profissionais de administração e negócios. 

O estudo acima citado coloca em discussão, portanto, as relações entre mérito e prestígio. É claro que as instituições de grande prestígio são responsáveis pelo que há de melhor em termos de produção de conhecimento, o que confere a seus docentes e pesquisadores um evidente mérito. No entanto, se considerarmos a existência de jovens talentosos que não têm acesso a universidades renomadas, a realidade social dos Estados Unidos evidencia que a luta deles para conquistar uma posição de destaque no cenário acadêmico internacional deve ser muito maior do que aquela travada pelas pessoas que contam com maiores facilidades sociais. 

Desconheço a existência de estudo semelhante no Brasil. Mas certamente esta é uma pesquisa necessária. Afinal, no que depender de impressões pessoais de muita gente experiente, a realidade de nossa nação não é tão diferente da norte-americana, neste ponto. No entanto, há um agravante no Brasil: a falta de prestígio internacional de nossas instituições de ensino superior. 

Exceções como a Universidade de São Paulo (USP) ou o Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) não convencem. Isso porque a USP tem perdido prestígio nos últimos anos e o IMPA luta contra a realidade nacional de um dos piores desempenhos do ensino de matemática básica no mundo. Além disso, a atividade científica tem abrangência internacional. Portanto, a luta de um brasileiro para alcançar uma posição de destaque no cenário acadêmico mundial deve ser muito maior do que aquela contemplada por indivíduos que nasceram sob condições socialmente mais vantajosas. 

Este é mais um motivo para seguirmos os exemplos daqueles brasileiros que conquistaram considerável destaque no cenário científico mundial. E, honestamente, espero que alguém neste país promova um relatório de oportunidades de emprego na vida acadêmica brasileira como aquele que foi citado nesta postagem. O Brasil precisa conhecer a si mesmo. É o passo mais elementar para tomarmos as decisões certas sobre como aproveitar nossos jovens talentosos e sonhadores. 

E então? Por que você mesmo, leitor, não faz pesquisa semelhante para o nosso país? Isso poderia (e deveria) ser relatado em português e em um periódico especializado de circulação nacional. É um raro exemplo de pesquisa dessa natureza. E seria uma contribuição da mais elevada importância para o Brasil.

Resposta a um pedido

Com a devida autorização, reproduzo abaixo e-mail que recebi no dia 14 de novembro deste ano, de Guilherme Oliveira Santos. 

Normalmente não reproduzo e-mails neste blog, mas faço aqui uma exceção. Isso porque o texto foi escrito por um jovem estudante que demonstra uma rara combinação de preocupação com sensatez e esperança, a qual não percebo sequer na maioria dos professores universitários de nosso país. Além disso, existe outra motivação para a divulgação desta mensagem. O autor faz um pedido para que eu tome uma iniciativa que não posso realizar. Ao final da mensagem de Santos, apresento minha resposta.

______________

UFPR

de Guilherme Oliveira Santos

Boa tarde

Sou aluno do primeiro período do curso de Física da UFPR, acompanho o blog Matemática e Sociedade desde que decidi ser físico (final de 2012). Minhas impressões de por onde a educação deve permear, dentro de minhas limitações, alinha-se ao que o senhor vem discutindo em seus textos, como um ajuste meritocrático e mais autonomia universitária para contratação e demissão de professores. Com esta carta tenho a intenção de descrever brevemente o que penso sobre um equívoco específico dos alunos de graduação da UFPR e sobre um contra-ataque às ideologias dominantes nas universidades públicas.

Desde que iniciei os estudos no curso de Física, pude notar ao longo desse período alguns padrões de pensamento a respeito das visões políticas e econômicas que meus pares apresentam, e notei que há muita confusão sobre fenômenos de ação-reação, isto é, sobre a interferência política no funcionamento do mercado. Apesar de não ser trivial, devido ao fato de que a reação está distante da ação e por ter milhões de variáveis envolvidas, nota-se que os graduandos estão muito pouco familiarizados com esse conhecimento, quando não é de todo desconhecido; por exemplo: alguns alunos criticam veementemente a presidente Dilma Rousseff, mas durante as campanhas eleitorais afirmaram que prefeririam a candidata Luciana Genro porque, por algum motivo, acham as ideias dela melhores, talvez pelas falácias de que ajudaria os pobres taxando mais os ricos. Vejo aí um grande equívoco, pois para ajudar realmente os pobres é necessário menos boas-intenções e mais liberdade para empreender. Outros falam mal do comunismo, mas defendem intervenção estatal para regular o mercado e aspectos morais. São muitas inconsistências nos argumentos que utilizam para justificar seus posicionamentos. Aquilo me pareceu um pouco Keynesiano, sempre apoiados na ideia de um Estado gestor e interventor.

Onde quero chegar, professor, é em lhe fazer uma sugestão, e se talvez o senhor ministrar um minicurso ou algo semelhante, talvez colóquios, de forma que supra essa carência cognitiva, eu penso como um ponto de partida (para os universitários), visto que muitos dos estudantes têm tendência mais liberal, mas falta-lhes a compreensão das dimensões que isso toma em nossas vidas, por isso pensei que poderia servir como uma introdução a um conhecimento pouco esclarecido em nosso país. Um curso que poderia abranger sistemas complexos, lógica (para melhor compreensão dos argumentos), teoria dos jogos, estatística, empreendedorismo. 

Apesar da complexidade dos assuntos gosto de imaginar que é possível condensá-los de forma a nos tirarmos ao menos da lama intelectual em que estamos. Tenho uma ligeira preocupação, principalmente porque a maioria é sempre bem-intencionada, mas falham por falta de conhecimento consistente que lhes coloque em uma posição mais coerente com o que defendem, falta-lhes a ideia de que os meios são importantes serem definidos antes de tomadas de decisões parvas. Não quero com isso dizer que todos devem se importar, mas como estamos em tempos perigosos penso que seja interessante que nós (alunos) visualizemos o mundo por outras perspectivas.

Eu tenho otimismo (ou ingenuidade) quanto a isso, pois ao menos um dos meus colegas já está lendo von Mises. Tenho a impressão de que, aumentando a divulgação de ideias que aproximam a matemática e a física das ciências humanas, pode vir a ser benéfico para a comunidade acadêmica. A ideia é desmistificar os 'engenheiros sociais', sociólogos, filósofos, pedagogos, que de forma geral se manifestam com ojeriza aos mais bem sucedidos e insistem que o melhor é sermos iguais, sem levarem em consideração a liberdade de escolha de cada um.

Devido à irrisória divulgação de pensamentos liberais, ainda mais fundamentados matematicamente, vejo isso como a abertura de uma janela de oportunidades por meio de uma transmissão de conhecimento que provoque os alunos a questionarem através da matemática e da lógica o que acontece em nosso país. Imagino que seria uma boa incitação a saírem da morbidez. 

Estou agradecido pela atenção.
_______

Segue abaixo minha resposta ao e-mail de Santos.

Eu já tentei realizar isso anos atrás, no contexto dos Seminários Analice Gebauer Volkov. Esses seminários eram divididos em duas categorias: técnicos e de divulgação. Nos seminários técnicos eram realizadas atividades para o desenvolvimento de projetos de pesquisa interdisciplinares. Já os seminários de divulgação eram marcados por palestras de caráter geral ministradas por profissionais de diferentes áreas do saber. Tivemos palestras sobre jornalismo, genética, filosofia, psicanálise, matemática, física e até zoologia, entre outros temas. Eram trazidas pessoas de diferentes partes do país e do mundo para apresentarem essas palestras. 

No entanto, aos poucos, os seminários de divulgação científica passaram a contar com cada vez menos pessoas interessadas. E eu não queria mais trazer profissionais altamente qualificados para ministrarem palestras diante de públicos que não chegavam a dois dígitos. É muito difícil desenvolver uma visão interdisciplinar em uma universidade como a UFPR. Mas, este problema não é exclusivo da UFPR. Lembro que anos atrás John Casti tentou criar, na América Latina, algo equivalente ao Santa Fe Institute, um centro de excelência no estudo de sistemas complexos. Muitos brasileiros conversaram com ele, incluindo eu mesmo. Mas não teve jeito. Não há massa crítica suficientemente articulada (nem no Brasil e nem no resto da América Latina) para uma iniciativa como essa. 

Quanto aos seminários técnicos, também foram cancelados, por conta de circunstâncias que prefiro não detalhar neste momento. É uma longa história.

Um exemplo melhor sucedido de promoção de visão interdisciplinar é a equipe Polyteck. Mas não sei até quando eles conseguirão resistir.

O que faço hoje, na UFPR, para estimular visões diferenciadas, é muito pouco em termos de resultados. Mas ainda é algo que pode fazer alguma diferença. Neste semestre letivo, por exemplo, tenho duas turmas no Curso de Matemática. Uma dessas turmas tem três alunos que frequentam regularmente as aulas. E a disciplina é Teoria de Conjuntos. O que estou fazendo com esses três alunos é um projeto de pesquisa que resultará em artigo a ser publicado em parceria comigo e Otávio Bueno. São cinco pessoas que estão desenvolvendo teoria de categorias no contexto de uma nova visão da teoria de conjuntos de von Neumann. Existem várias consequências para este trabalho, que poderão repercutir até mesmo no ensino médio. Oportunamente darei detalhes sobre isso, quando o artigo for aceito para publicação. No momento ainda estamos redigindo o texto e finalizando detalhes técnicos.

Ou seja, é possível sim colaborar de maneira construtiva para o crescimento do país. Mas a inércia a ser vencida é simplesmente gigantesca. Essa turma de três alunos que tenho neste semestre é uma exceção. São três jovens brilhantes e fortemente motivados. Só espero ver algo semelhante no futuro daqui a uns dez anos. Até lá, o negócio é ter paciência.

A matemática das confusões mentais

Esta é a postagem de número 200. Por isso publico aqui um texto especial, como forma de celebração. O objetivo neste artigo é divulgar um modelo matemático que justifica por que é tão difícil as pessoas entenderem o que ouvem e leem (e até mesmo o que falam e escrevem). Para alguém como eu, que trabalha com ensino, pesquisa e extensão há algum tempo, a motivação é clara. Só espero que o leitor se interesse tanto pelo tema quanto eu.

A discussão que se segue demanda um pouco de paciência do leitor, uma vez que faço uso de conceitos matemáticos raramente conhecidos entre leigos. Evito certos detalhes técnicos, sempre que possível. Afinal, este blog não é um veículo científico, no sentido estrito do termo. Mas se o leitor não dedicar uma certa dose de esforço para acompanhar os conteúdos aqui abordados, provavelmente continuará seguindo o caminho usual da incompreensão, que tanto isola as pessoas umas das outras. Os únicos pré-requisitos matemáticos para esta postagem são 

(i) a noção usual de que todo conjunto é subconjunto de si mesmo, bem como o conceito de subconjunto próprio, 

(ii) o conceito de função e 

(iii) a definição de conjuntos disjuntos (conjuntos sem elementos em comum). 

Estas são noções usualmente estudadas até mesmo no ensino médio.

Pois bem. Aqui vai.

Intuitivamente falando, álgebra é um ramo da matemática que foca no estudo de operações definidas sobre certos conjuntos. Um ramo bem conhecido da álgebra é a teoria de grupos. Um grupo é um conjunto G, munido de uma operação binária *, que satisfaz os seguintes postulados (ou princípios):

G1) Se a e b são elementos de G, então a*b também é elemento de G.

G2) Se a, b e c são elementos de G, então (a*b)*c = a*(b*c).

G3) Existe um elemento e de G tal que para todo elemento a de G tem-se a*e = a.

G4) Para todo elemento a de G existe um elemento b de G tal que a*b = e, sendo que e é o mesmo elemento de G citado no postulado G3.

A constante e citada nos postulados G3 e G4 é chamada de elemento neutro do grupo G.

Um exemplo típico de grupo é o conjunto dos números inteiros (que inclui tanto os números inteiros positivos quanto os negativos e o zero), munido da operação de adição usual +. Com efeito, um número inteiro somado com outro número inteiro resulta em um número inteiro (postulado G1); Se m, n e p são números inteiros, então (m+n)+p = m+(n+p) (postulado G2, também conhecido como a propriedade da associatividade da operação *); O número inteiro 0 (zero) é o elemento neutro deste exemplo de grupo, ou seja, qualquer número inteiro m somado com 0 resulta no próprio m (postulado G3); E, finalmente, qualquer número inteiro m somado com o seu simétrico aditivo -m resulta em 0 (postulado G4).

Se o postulado G4 for eliminado, diz-se que G é um semigrupo. Em outras palavras, um semigrupo é um conjunto G munido de uma operação binária *, que satisfaz os seguintes postulados:

G1) Se a e b são elementos de G, então a*b também é elemento de G.

G2) Se a, b e c são elementos de G, então (a*b)*c = a*(b*c).

G3) Existe um elemento e de G tal que para todo elemento a de G tem-se a*e = a.

Logo, todo grupo é um semigrupo, apesar da recíproca não ser verdadeira. Consegue dar um exemplo de semigrupo que não seja grupo?

Para efeitos da discussão que pretendo promover nesta postagem, preciso agora de mais um conceito importante, a saber, o de semigrupo livre. 

Um semigrupo livre é um semigrupo G cuja operação binária * é a justaposição de elementos de G. Levando em conta os postulados de semigrupo, fica claro que a aplicação da operação binária * de justaposição em um semigrupo G simplesmente forma sequências finitas de elementos de G, o que não ocorre necessariamente em um semigrupo qualquer.

Ou seja, a única diferença entre semigrupos e semigrupos livres reside na imposição sobre a natureza da operação binária *. Se a e b são elementos de um semigrupo livre, então a*b é denotado simplesmente por ab. Como se observa no site Wolfram MathWorld, a operação binária * aplicada a elementos de um semigrupo livre G resulta em elemento de G que jamais pode ser reduzido a elementos mais simples de G.

Neste contexto, fica fácil perceber que o conjunto dos números naturais (inteiros positivos) munido da operação de justaposição de números naturais é um semigrupo livre. Consegue determinar qual é o elemento neutro neste semigrupo livre?

Vale observar que semigrupos livres G jamais podem ser grupos, uma vez que não existem elementos simétricos (relativamente à operação de justaposição) para todos os elementos de G. Além disso, semigrupos livres nunca são comutativos. Com efeito, se a e b são elementos de um semigrupo livre G, distintos entre si, então ab é uma sequência finita diferente de ba.

Existe um conceito relacionado a semigrupos livres, que pretendo explorar a partir do próximo parágrafo: linguagem. 

Um alfabeto é qualquer conjunto finito. No caso da linguagem portuguesa brasileira o alfabeto é o conjunto de todas as palavras dicionarizadas de nosso idioma (por exemplo, aquelas que ocorrem no Dicionário Houaiss de língua portuguesa) e de todos os nomes próprios. E este é um conjunto finito, denotado aqui por ALP (Alfabeto da Língua Portuguesa).

A linguagem conhecida como português brasileiro permite a formação de frases a partir de seu alfabeto ALP. E frases são formadas a partir da justaposição de elementos do alfabeto. Ou seja, frases são simplesmente sequências finitas de elementos de um alfabeto. Considere como exemplo os elementos "ela" e "come". É possível fazer a seguinte justaposição: "ela*come", a qual normalmente se lê "ela come". Em outras palavras, a justaposição de elementos do alfabeto é uma operação binária, aqui denotada pelo símbolo *. Neste contexto, a linguagem português brasileiro é um subconjunto do semigrupo livre obtido a partir de ALP. 

O que significa dizer que um semigrupo é obtido a partir de um alfabeto? Significa simplesmente que a partir de um alfabeto (como ALP) é possível definir o conjunto de todas as sequências finitas de elementos do alfabeto. Tal conjunto é um semigrupo livre.

No exemplo acima citado do conjunto dos números naturais, o alfabeto é o conjunto cujos elementos são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Todos os números naturais são apenas frases obtidas a partir deste alfabeto, pela justaposição dos elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. 

Em outras palavras, o conjunto dos números naturais é uma linguagem. Isso porque uma linguagem é simplesmente qualquer subconjunto de um semigrupo livre. Logo, qualquer subconjunto do conjunto dos números naturais é uma linguagem obtida a partir do alfabeto formado pelos elementos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

Vejamos mais detalhadamente o exemplo da linguagem português brasileiro: 

(i) de acordo com o axioma G1, a justaposição de dois elementos quaisquer do alfabeto ALP pode resultar em uma frase da linguagem português brasileiro ou, pelo menos, em uma sequência finita que pertence a um conjunto H que contém o conjunto de todas as frases da linguagem português brasileiro; 

(ii) de acordo com o axioma G2 a frase "(ela*come)*calmamente" é igual à frase "ela*(come*calmamente)", eliminando a necessidade do emprego de parênteses e permitindo escrever simplesmente "ela*come*calmamente" ou, de forma abreviada, "ela come calmamente"; 

(iii) de acordo com o axioma G3 a frase " " (conjunto vazio) é o elemento neutro. 

É importante que se faça uma observação sobre a notação aqui empregada. Enquanto no exemplo do conjunto dos naturais denotamos, por exemplo, "2*3" por "23", no exemplo da linguagem português brasileiro denotamos "ela*come*calmamente" por "ela come calmamente".

A vantagem de caracterizar o conceito de linguagem como subconjunto de um semigrupo livre é considerável. Isso porque tal visão é aplicável a qualquer linguagem finitária conhecida pelo ser humano, seja natural (português, inglês, persa, italiano etc.) ou formal (cálculos proposicionais, cálculos predicativos, teorias de tipos, linguagens de computador etc.).

Agora é possível apresentar uma definição recursiva para o importante conceito de string: 

(I) Todo elemento de um alfabeto é um string e 

(II) Se S e T são strings de um semigrupo livre G (obtido a partir do alfabeto), então S*T é um string do mesmo semigrupo. 

Portanto, frases de uma linguagem natural como o português brasileiro são exemplos de strings. Neste texto estou interessado somente em strings que pertencem a uma dada linguagem, seja formal ou natural.

No entanto, na prática, uma linguagem natural é muito mais do que um simples subconjunto de um semigrupo livre. Isso porque frases de uma linguagem natural têm significado. E é aí que a coisa toda começa a ficar complicada. Supostamente, frases de uma linguagem natural significam coisas. 

Até este momento nada de novo foi apresentado ao leitor. É a partir dos próximos parágrafos que apresento ideias que não existem na literatura especializada sobre linguística e matemática. Ao final desta postagem justifico a origem das ideias aqui apresentadas.

Qual é o significado de um string de uma linguagem qualquer, como o português brasileiro? A resposta mais abrangente que conheço a esta pergunta é a seguinte: o significado de um string de uma dada linguagem L é um conjunto (ou classe) de objetos que não tem um único elemento em comum com L. Essa correspondência entre strings de L e conjuntos disjuntos de L é promovida por uma função específica. Como é esta função?

Considere o string "ela", da linguagem português brasileiro. Qual é o significado deste string? O significado de "ela" é o conjunto que tem como elementos os seguintes objetos: Madame Curie, Hipacia de Alexandria, a primeira amiga do(a) leitor(a), a mãe do(a) leitor(a), a jovem que estacionou seu Peugeot vermelho na esquina das ruas curitibanas Brigadeiro Franco e Comendador Araújo às 14:32h (hora local) do dia 26 de março de 2007 etc. Ou seja, é um conjunto com muitos elementos. Já o string "ela come" pode significar todos os elementos correspondentes ao significado de "ela" ou algum subconjunto próprio do significado de "ela". No entanto, o significado de "ela come" jamais pode ter elementos que não pertencem ao significado de "ela". Isso porque, à medida em que se escrevem frases mais longas a partir de uma mesma frase mais curta, os possíveis significados dessas novas frases vão se especializando. Por exemplo, o significado da frase "ela come carne" exclui o elemento "Hipacia de Alexandria", se assumirmos que Hipacia de Alexandria era vegetariana. 

Semântica é o estudo de significados em linguagens. Neste sentido, as ideias acima apresentadas constituem uma teoria semântica. As vantagens desta abordagem são as seguintes:

1) É aplicável para qualquer forma de linguagem finitária, natural ou formal.

2) É independente de qualquer teoria usual de verdade. Portanto, não se compromete com a polêmica noção de verdade em filosofia da ciência.

3) É independente de operadores usuais da lógica, uma vez que não se compromete com noções como "e", "ou", "se, então" ou "não".

A grande desvantagem desta teoria semântica é a seguinte: É geral demais.

Teorias demasiadamente gerais são extremamente úteis ou extremamente inúteis. Como esta visão semântica admite que o significado de uma mesma frase (ou string) pode ser um conjunto grande demais, resta a questão: esta teoria semântica pode ser útil?

A resposta, creio, é positiva. Linguistas reconhecem que nenhuma teoria semântica para linguagens naturais pode ser completa (em sentido intuitivo do termo) sem uma visão da contraparte pragmática das mesmas linguagens.

O que é pragmática? Existem várias visões na literatura especializada sobre o conceito de pragmática em linguística. Adoto aqui a seguinte concepção: pragmática é o estudo de significados linguísticos que são dependentes de contextos sociais. 

Por exemplo, a frase "Você sabe que horas são?" pode ser interpretada como um pedido de informação ou um pedido para uma pessoa sair. O significado pretendido pela pessoa que verbalizou a frase (ou interpretado por quem ouviu) depende de um contexto de interação social. A nova questão agora é a seguinte: É possível descrever matematicamente contextos sociais?

A resposta, novamente, é positiva. Dado um string s (de uma dada linguagem) é possível definir uma função de probabilidade (chamada de função de propensão) sobre o conjunto correspondente ao significado de s. Tal função de propensão tem o efeito prático de ponderar o que mais provavelmente significa um string dito, escrito, lido ou ouvido. A partir desta função de propensão é possível, em seguida, definir uma função de pensamento. A função de pensamento de um string s resulta simplesmente no conjunto de elementos do significado de s que têm propensão máxima. Isso permite caracterizar o que mais provavelmente uma pessoa quis dizer ao falar ou escrever o string s. 

Temos, portanto, uma teoria pragmática aplicável a linguagens naturais (além das formais). 

O problema desta teoria pragmática acima apresentada é que ela genuinamente se identifica com a prática. Explico.

Um indivíduo comunicante que diz o string "ela come carne" pode estar querendo se referir a um significado que tem um único elemento. Tal significado fica caracterizado pela função de pensamento deste indivíduo. No entanto, um outro indivíduo comunicante pode ter uma função de pensamento completamente diferente daquela que é inerente a quem disse o string "ela come carne". E, portanto, ao ouvir o string "ela come carne", entende algo completamente diferente do que o primeiro indivíduo "quis dizer".

Esta é uma forma de caracterizar matematicamente o velho discurso que estabelece "mas o que eu quis dizer foi que...". Daí o título da postagem. 

Tudo o que está escrito nos parágrafos acima é uma versão altamente informal de uma teoria matemática que Otávio Bueno (University of Miami), Newton da Costa (Universidade Federal de Santa Catarina) e eu criamos e desenvolvemos na forma de artigo científico. Nosso trabalho foi recentemente submetido para publicação em um conhecido periódico dedicado a estudos sobre a mente. 

No formalismo que desenvolvemos obtivemos os seguintes resultados:

1) Demonstramos um teorema que permite inferir sintaxes de linguagens a partir de semântica, o que encontra contraparte na vida real. Isso porque usualmente as pessoas começam a aprender idiomas a partir das dimensões semântica e pragmática. Sintaxe é o último objeto de estudo entre aqueles que aprendem uma língua. Fenômeno semelhante ocorre até mesmo no estudo de matemática. Os primeiros passos em estudos de matemática são cálculo diferencial e integral, álgebra linear, geometria e, enfim, áreas com forte identificação no mundo real. Lógica é o último passo no estudo de matemática.

2) Definimos rigorosamente os conceitos de ambiguidade, vaguidade e sinonímia, entre outras noções usuais em estudos sobre semântica. E tais conceitos são aplicáveis a qualquer tipo de linguagem.

3) Mostramos a impossibilidade de definir o conceito de antonímia para uma linguagem qualquer, o que também está de acordo com a realidade. Os tratados sobre antonímia em linguagens naturais são muito extensos, pois o tema é polêmico. Para baixar um texto sobre o problema de definir antonímia clique aqui.

É sempre muito arriscado divulgar trabalhos científicos que ainda estão submetidos para publicação. Mas, neste caso, decidi arriscar. 

Por um lado, faço isso porque confesso estar empolgado com o artigo. E, por outro lado, uso este blog para convocar potenciais interessados em dar continuidade a este trabalho.

Este artigo que Bueno, da Costa e eu submetemos para publicação foi inspirado em uma ideia que estava engavetada há cerca de cinco anos. A grande motivação para levar tal projeto adiante foi uma reportagem recentemente publicada pela revista Polyteck. Trata-se de um artigo sobre o cérebro Google, uma rede de mil computadores que conseguiu aprender (isso mesmo, aprender!) a diferenciar rostos humanos de rostos de gatos. A ideia de que é possível conceber um programa de computador que crie categorias de objetos de uma mesma natureza (como faz o cérebro humano) foi o ponto de partida para crermos que tais categorias se identificam com os conjuntos de significados de strings que usamos em nosso formalismo. Ou seja, acreditamos que nosso trabalho seja um passo para a concepção de máquinas que não apenas aprendam conceitos, mas que também sejam capazes de expressar linguisticamente tais conceitos. 

Isso tudo aponta para uma tendência natural: a criação de um programa de computador que simule interações sócio-linguísticas entre indivíduos comunicantes. Neste sentido precisamos de alguém (preferencialmente jovem) criativo, que saiba criar e desenvolver programas de computador e que esteja determinado a trabalhar em parceria conosco. Tudo o que precisamos é de um protótipo simples, mas rico o bastante para motivar pesquisadores a usarem nosso formalismo para estudos sócio-linguísticos em ambientes virtuais.

Não estou interessado em orientar dissertações, teses ou quaisquer outras maluquices dos desgastantes rituais acadêmicos deste país. Para nenhum de nós faz diferença se eventuais interessados têm algum vínculo institucional com alguma empresa ou universidade. Só queremos alguém que conheça muito bem programação de computadores e que esteja suficientemente motivado a desenvolver estudos sobre inteligência artificial. 

Também não ofereço garantia alguma sobre qualquer projeto a ser desenvolvido nesta linha. Afinal, como já observei, sequer sabemos se nosso artigo será aceito ou não para publicação. Mas temos razões para crer que estamos abrindo uma área de pesquisa muito rica, com ramificações em linguística, matemática, inteligência artificial, neurociências, teoria da cognição, teoria dos jogos, filosofia e talvez até mesmo música. 

Estudiosos de linguística que conheçam bem a obra de Montague também são bem-vindos. Isso porque existem estreitas relações entre o que fizemos e a teoria semântica de Richard Montague.

Aos leitores que desejam apenas acompanhar este processo todo, sem efetiva participação, aviso que veicularei neste blog todas as novidades, assim que elas surgirem.

Alea jacta est.

Independência

Esta é uma postagem atípica, extraordinariamente curta, com o único propósito de expor uma ideia simples, mas poderosa: independência.

Um discípulo deve seguir seu mestre de duas formas:

1) Refletindo e agindo a partir de suas instruções durante um limitado período de tempo de formação intelectual.

2) Refletindo e agindo a partir de seu exemplo profissional e humano durante ilimitado período de tempo de formação intelectual.

Sem essas duas componentes, não existe relação entre mestre e discípulo, mas tão somente uma relação superficial entre professor e aluno. Coloco a mim mesmo como ilustração deste conceito. 

Sou discípulo de Newton da Costa. Do ponto de vista de retorno social, a mais importante contribuição de Newton da Costa foi a criação das lógicas paraconsistentes. No entanto, nunca estudei lógica paraconsistente alguma. O próprio professor Newton jamais impôs a qualquer um de seus discípulos qual tema deveria ser estudado. Apenas exigiu de seus discípulos que, seja qual fosse o tema, deveria ser abordado com seriedade e absoluto senso crítico. E seriedade e senso crítico são atributos que se desenvolvem a partir de interações profissionais com pares de competência reconhecida internacionalmente.

Entre todos os trabalhos científicos e filosóficos que desenvolvi ao longo de minha carreira, nenhum deles demonstrou qualquer grau de importância remotamente comparável com lógicas paraconsistentes. Mas ainda insisto no desenvolvimento de ideias que creio serem novas. 

De forma alguma sugiro que um discípulo de Newton da Costa não deveria estudar lógicas paraconsistentes. Mas certamente insisto que, se o fizer, deve conduzir tais estudos de forma inovadora e relevante. E uma possível maneira de fazer isso é através de aplicações, como ocorre neste artigo.

Sem uma relação mestre-discípulo não existe desenvolvimento intelectual sério. Eventualmente mestre e discípulo podem estar separados no espaço por oceanos e no tempo por décadas ou até séculos. Mas tal relação deve existir, dada a fundamental importância do exemplo. No entanto, sem independência de pensamento, um suposto discípulo seria apenas uma fotocópia sem vida de seu suposto mestre.

O Discurso Matemático: Uma Proposta de Pesquisa

Nesta postagem apresento uma proposta de pesquisa que se mostra relevante tanto para matemáticos e lógicos quanto para filósofos da ciência e educadores da matemática.

Matemáticos profissionais quase sempre empregam dois tipos de linguagens radicalmente diferentes entre si, quando desenvolvem matemática: formais e naturais. 

As linguagens naturais são aquelas com as quais estamos todos melhor familiarizados em nosso dia-a-dia. Apesar do conceito de linguagem natural ser ainda vago, é este tipo de linguagem que seres humanos usam para fins de comunicação todos os dias. Elas correspondem àquilo que conhecemos como Português, Inglês, Francês, Russo, Italiano, entre outras. Mesmo linguagens artificiais como Esperanto e Latim Sem Flexão ainda se identificam como linguagens naturais, uma vez que elas apresentam atributos básicos que assim as caracterizam, como as dimensões sintática, semântica e pragmática. 

Já as linguagens formais foram criadas exclusivamente para o desenvolvimento da matemática e da lógica formal. Isso porque as linguagens naturais se mostram inadequadas para lidar com essas áreas do conhecimento. 

Neste sentido, a contraparte semântica de uma linguagem formal usual (como a linguagem do cálculo predicativo de primeira ordem) de forma alguma se refere a qualquer relação entre elementos linguísticos (como sequências de símbolos) e objetos do mundo real. Cito um exemplo no parágrafo abaixo.

A palavra "roda", em Português, pode se referir a um "objeto, peça ou máquina circular que se move ao redor de um eixo ou de seu centro, com diversos usos" (Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa). Já o conceito de "circunferência", em geometria euclidiana, tem um caráter completamente diferente. Se a geometria euclidiana for fundamentada em uma linguagem formal, como aquela da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, uma circunferência é simplesmente um conjunto de pontos do plano euclidiano, que satisfaz a determinadas condições.

Portanto, uma circunferência não corresponde a objeto algum do mundo real, pelo menos do ponto de vista das concepções usuais sobre semântica em linguagens formais. 

Além disso, a dimensão pragmática das linguagens naturais leva em conta supostas intenções de falantes e ouvintes, bem como contextos sociais. Por exemplo, a frase "Você sabe que horas são?" pode ser interpretada como um pedido de informação ou como um convite para que alguém se retire. Portanto, nas linguagens naturais a dimensão pragmática afeta diretamente a contraparte semântica. Já nas linguagens formais esse tipo de dependência entre sequências de símbolos e intenções de falantes e ouvintes simplesmente não existe. Logo, o caráter pragmático das linguagens formais é completamente diferente do caráter pragmático de linguagens naturais.

Existe sim um ponto de contato entre linguagens naturais e linguagens formais: as chamadas gramáticas gerativas. Há décadas se sabe que certos aspectos das linguagens formais capturam porções significativas das linguagens naturais. Para ver detalhes sobre isso clique aqui. No entanto, é também sabido que uma mesma linguagem obtida a partir de uma gramática gerativa pode ser gerada por outras gramáticas distintas.

Mas, apesar das consideráveis diferenças entre linguagens naturais e formais, matemáticos comumente empregam ambas em suas atividades profissionais. Se um professor de matemática usar apenas linguagem natural para explicar a seus alunos um conteúdo matemático, ele está inevitavelmente fadado ao fracasso. Isso porque as linguagens naturais não conseguem capturar aspectos fundamentais da matemática, como o simples conceito de "circunferência" em geometria euclidiana. E se um professor de matemática usar apenas linguagens formais para lecionar, quase que inevitavelmente seus alunos não compreenderão coisa alguma. 

Mesmo um pesquisador ou cientista é obrigado a empregar elementos tanto de linguagem formal quanto de linguagem natural para reportar um resultado de pesquisa na forma de artigo ou livro. Essa obrigatoriedade ocorre simplesmente porque o mundo editorial científico é assim. Ou seja, estamos sempre fadados a ler afirmações como a que se segue: "Seja S um conjunto", a qual combina elementos da língua portuguesa com o conceito de "conjunto", típico de linguagens formais.

Feita esta breve introdução, levanto a seguinte questão: 

"Como concatenar o emprego de linguagens formais com o uso de linguagens naturais no estudo e no desenvolvimento da matemática?"

Esta é uma questão extremamente complicada para responder, uma vez que existem conflitos evidentes entre o discurso informal do matemático (escrito em linguagem natural) e as contas que ele efetivamente faz (escritas em linguagem formal). 

Já vi muitos matemáticos criticarem físicos por conta de conflitos entre o que estes escrevem e falam e o que efetivamente calculam. Mas matemáticos também cometem o mesmo pecado, apesar de o fazerem de forma muito diferente.

Neste texto foco um problema em especial: a formulação de certas definições em matemática. 

O papel de definições em matemática é simplesmente a introdução de terminologia nova a uma dada linguagem formal. Há diversas teorias da definição na literatura especializada. As mais conhecidas são as teorias de Lesniewski e de Tarski. Mas existem alguns pontos em comum entre todas essas teorias da definição. E um dos pontos mais importantes em comum é o seguinte: toda definição deve ser eliminável. Na prática isso significa que sempre (em qualquer fórmula ou sentença de uma dada teoria) deve ser possível substituir o termo definido (definiendum) por uma fórmula da linguagem que não faça referência a este termo (definiens). 

Agora consideremos a definição usual de limite de uma função real de uma variável real, como normalmente se apresenta na literatura de cálculo diferencial e integral ou mesmo análise matemática. 

É bem sabido que nem sempre existe o limite de uma função. E é igualmente conhecido que, quando existe, o limite é único. 

Pois bem. O fato de que nem sempre existe o limite significa que as alegadas definições para a operação de limite violam o critério de eliminabilidade (exigido para qualquer definição). Com efeito, se não existir o limite, não há como eliminar o símbolo "lim" de limite em uma fórmula como a que se segue abaixo:

lim_{x->0} 1/x = lim_{x->0} 2/x

Espero que o leitor perdoe os limitados recursos de notação matemática neste blog.

O fato do limite ser único, quando existe, garante que, na prática, as supostas definições para limite são simplesmente definições condicionais. Para compreender bem este problema recomendo que o leitor confira as regras para definições condicionais no livro Introduction to Logic, de Patrick Suppes (van Nostrand, 1966, página 165). 

Definições condicionais, apesar de violarem o critério de eliminabilidade, são muito usadas por matemáticos do mundo inteiro. 

Mas o problema da "definição" de limite fica mais complicado quando são introduzidos os limites envolvendo infinito. 

Quando se diz que o limite de uma função real é igual a infinito ou a menos infinito, esses dois não passam de casos particulares de limites que não existem. Com efeito, afirmar que o limite de uma função real é infinito (ou menos infinito) implica que não existe número real L tal que o limite seja igual a L. Porém, a recíproca desta última afirmação não é verdadeira.

E, para piorar a situação, o matemático chega a usar uma notação na qual se afirma que o limite de uma função é igual a infinito (ou menos infinito). Como infinito não é número real, essa notação tem sido responsável por muitas confusões entre alunos e até mesmo professores e pesquisadores. Anos atrás, por exemplo, recusei um artigo para publicação no Journal of Mathematical Physics justamente porque os autores tratavam o infinito como se fosse um número real, comprometendo o conteúdo do artigo inteiro.

Em função disso tudo, defendo a seguinte tese: a notação amplamente empregada de que um limite pode ser igual a infinito (menos infinito) espelha uma confusão que se faz entre linguagens formais da matemática e linguagens naturais empregadas pelo matemático. 

Quando o matemático afirma que o limite de uma função real é infinito, formalmente ele está apenas afirmando que as imagens da função crescem arbitrariamente, sob certas condições. No entanto, parece haver uma necessidade inerente de afirmar que, neste caso, o limite é igual a alguma coisa. E a melhor solução notacional encontrada foi o emprego do símbolo universal para infinito. Aquilo que deveria ser apenas uma façon de parler do matemático parece espelhar uma necessidade intrínseca de se afirmar que o limite infinito é igual a alguma coisa, como se o matemático quisesse identificar, ou rotular, o conceito de infinito (no sentido de uma função cujas imagens eventualmente crescem de forma arbitrária). 

Em suma, sabendo que a igualdade é uma relação binária entre termos (de uma linguagem formal) e sabendo que infinito definitivamente não é um termo, a notação usual para limites infinitos denuncia uma inconsistência entre o conceito formal de limite infinito e a notação empregada. Por isso retomo a pergunta: "Como concatenar o emprego de linguagens formais com o uso de linguagens naturais no estudo e no desenvolvimento da matemática?" Insisto nesta questão em função da tese que defendo: a de que matemáticos frequentemente se atrapalham quando tentam conciliar linguagens formais da matemática com a linguagem natural usada para reportar resultados matemáticos. E, assumindo que essa tese seja verdadeira, tal situação compromete seriamente o aprendizado de matemática, principalmente entre os mais inexperientes.

Para quem ainda não se convenceu desta confusão, cito dois exemplos bem mais simples de compreender:

1) Frequentemente profissionais da matemática usam expressões como "retas iguais", "números iguais" ou "comprimentos iguais". No entanto, nas linguagens formais mais usuais, um termo somente pode ser igual a ele mesmo. Portanto, jamais cabe o emprego de plural. Em formulações usuais da geometria euclidiana, é impossível existirem duas ou mais retas iguais. Um reta somente pode ser igual a ela mesma.

2) Centenas de livros de geometria apelam para o emprego de desenhos, como recurso didático. No entanto, conceitos geométricos como os de reta, segmento de reta, circunferência, ponto, plano, entre outros, jamais podem ser desenhados. Isso porque, nas formulações usuais, tais conceitos são meramente linguísticos, abstratos. E desenhos são objetos concretos. Simplesmente não é possível desenhar um ponto (no sentido, por exemplo, da formulação que David Hilbert apresenta em seu clássico Grundlagen der Geometrie) em uma folha de papel.

Retomando o problema da definição de limites infinitos, apresento a seguir uma proposta de pesquisa, conforme anunciado no primeiro parágrafo deste texto.

Os conflitos entre linguagens naturais e linguagens formais empregadas por matemáticos não repousam apenas nos méritos de tais linguagens. Se existe este conflito é porque provavelmente as linguagens formais hoje empregadas não estão resgatando as intuições compartilhadas por matemáticos do mundo todo. Como em matemática não se deve empregar a expressão "Você sabe o que eu quis dizer.", precisamos reavaliar as atuais linguagens formais. Ou seja, existe uma intuição a respeito de definições, as quais devem ser elimináveis. E matemáticos parecem pretender que o conceito de limite (envolvendo infinito ou não) possa ser definido. Portanto, é possível trabalhar com alguma linguagem formal que permita conciliar essas duas intuições? A resposta, acredito, é positiva.

Otávio Bueno e eu publicamos recentemente um artigo no qual foi desenvolvida uma nova teoria de conjuntos que privilegia o conceito de função sobre o de conjunto. Em outras palavras, conjuntos são casos especiais de funções (ao contrário do que ocorre em Zermelo-Fraenkel, na qual funções são casos especiais de conjuntos). Chamamos essa teoria de N. Para uma visão informal sobre N, clique aqui.

Originalmente nosso foco foi a formulação axiomática de teorias da física e da matemática. A teoria N oferece uma linguagem formal que naturalmente permite axiomatizações com menos conceitos primitivos para diversas teorias usuais da física e da matemática. 

Uma das características formais da teoria N é a presença de termos que não são conjuntos e nem mesmo classes próprias, apesar de conjuntos (no sentido usual de Zermelo-Fraenkel) estarem todos presentes em N. Neste mesmo contexto, todas as funções da teoria N têm como domínio o universo de discurso de N. Essa característica em si permite, por exemplo, que um limite de uma função real possa ser definido como um caso especial de função, a qual sempre teria uma imagem. Ou seja, o limite de uma função (em N) sempre existiria! A única questão é se o limite é um número real ou não (isso se entendermos um número real como uma classe de equivalência de sequências de Cauchy de números racionais). No caso particular em que o matemático deseja expressar que as imagens de uma função real crescem arbitrariamente (por exemplo, na vizinhança de um número real) bastaria igualar o limite a um termo que não corresponda a qualquer conjunto ou classe. E tais termos ocorrem em abundância na teoria N. Portanto, em N é perfeitamente natural apresentar uma definição de fato para limite, sem ter que apelar para definições condicionais, como usualmente se faz. 

Análises semelhantes podem ser feitas para os conceitos de derivada (incluindo derivadas de ordem superior, parciais e direcionais), integrais (de Riemann, de Lebesgue, de Haar, entre outras) e até mesmo divisão por zero. Uma vez definida uma operação (no sentido intuitivo da palavra) jamais há a necessidade de se afirmar que eventualmente pode não existir um resultado para aquela operação, quando aplicada a certos termos. O que precisa ser qualificado é apenas a natureza da imagem de tais termos perante a aplicação da operação: se a imagem é um conjunto, uma classe ou um termo que não se enquadra em qualquer uma dessas categorias. E este universo de termos está disponível na teoria N, a qual é uma extensão muito natural da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (conforme Bueno e eu demonstramos em nosso artigo).

Sempre existiu uma distância muito grande entre lógicos e demais matemáticos. Aqui no Brasil, por exemplo, o CNPq classifica lógica como um ramo da álgebra. Isso por si só demonstra claramente que a comunidade matemática brasileira desconhece o que é lógica. E demonstra também que os lógicos brasileiros não conseguiram dialogar com os demais matemáticos de nosso país. Tal distância entre lógicos e demais matemáticos não existe apenas no Brasil. Um exemplo curioso é o livro Categories for the Working Mathematician, de Saunders MacLane. MacLane sempre foi conhecido como um lógico, criador da teoria de categorias (em parceria com Samuel Eilenberg). No entanto, sua mais conhecida obra tem o título que pode ser traduzido como "Categorias para o Matemático Profissional". Ou seja, implicitamente se assume que, por tradição, lógica encontra pouco interesse entre matemáticos. Afinal, quantos são os livros intitulados Calculus for the Working Mathematician?

Otávio Bueno e eu investimos na teoria N com o propósito de conciliar linguagens, aproximar profissionais de diferentes áreas. Se seremos bem sucedidos ou não, só o tempo responderá. 

Escrevo esta postagem porque eu mesmo (por motivos pessoais) não estou em condições da dar prosseguimento a demais estudos sobre a teoria N. Mas espero que alguém das novas gerações possa dar continuidade a este projeto que julgo importante. Tenha em mente, leitor, que o periódico Erkenntnis (onde publicamos nosso trabalho) impõe restrições sobre o tamanho máximo para qualquer artigo. E mesmo escrevendo um texto que conta com quase o dobro desta limitação, ainda assim o artigo foi aceito. Isso demonstra (pelo menos parcialmente) a relevância de nossa proposta.

Se alguém precisar de estímulo maior para abraçar um projeto como este, recomendo que leia a postagem sobre o desenvolvimento da matemática na Polônia. Um país intelectualmente pobre como o nosso pode seguir estratégias semelhantes àquelas adotadas pelos polacos, décadas atrás.

Você quer contribuir seriamente para a educação?

A educação, no Brasil, é frequentemente tratada a partir de meras intuições, muitas vezes associadas a uma espécie de senso comum. Cito um exemplo. Frequentemente ouço profissionais afirmarem que o rendimento de alunos é melhor em turmas pequenas do que em turmas de, digamos, trezentos alunos. No entanto, não existem estudos conclusivos que apontem para esta ideia como um fato. E este é um fato já apontado por Steven Krantz, em seu magnífico livro How to Teach Mathematics (cuja leitura deveria ser obrigatória para todos os profissionais de ensino deste país).

Educação não se promove a partir de meras opiniões. Pelo contrário, decisões educacionais, como quaisquer outras decisões, devem ser sustentadas na razão. Em outras palavras, o estudo sobre educação deve ser tratado como uma ciência. E decisões sobre políticas educacionais devem ser meras aplicações práticas de tais estudos, quando eles forem conclusivos.

Em várias partes do mundo (incluindo nosso país) tem crescido de maneira significativa o emprego de recursos de multimídia no processo educacional, desde computadores em sala de aula até programas de ensino a distância. No entanto, estudos que fundamentem o emprego dessas tecnologias ainda não atingiram o necessário amadurecimento para efetivas aplicações. Portanto, está ocorrendo uma irresponsável precipitação em diversas instituições de ensino do Brasil e do mundo. Cito abaixo dois exemplos.

Múltiplas Tarefas

Um ano atrás foi publicado um artigo no periódico Computers & Education sobre os efeitos de atividades de múltiplas tarefas em sala de aula, com acesso a laptops para todos os alunos. A motivação para tal pesquisa de psicologia experimental é simples: alunos com acesso a computadores pessoais em sala de aula têm também acesso a elementos de distração, como bate-papos no facebook ou vídeos no YouTube. Foram dois os resultados principais desta pesquisa: 

1) Alunos envolvidos em atividades de múltiplas tarefas apresentaram rendimento escolar inferior àqueles que usaram os laptops apenas para tomar notas sobre conteúdos expostos em sala de aula. 

2) Entre os alunos não envolvidos em atividades de múltiplas tarefas foram identificados mais dois grupos: aqueles que estavam sentados próximos a alunos envolvidos em atividades de múltiplas tarefas e os que não estavam. O primeiro grupo teve rendimento escolar inferior ao segundo. 

Esse tipo de resultado certamente deve ajudar a fundamentar políticas sobre o uso de computadores pessoais por parte dos alunos. 

No entanto, um estudo ainda não realizado sobre este tema é o seguinte: quais são os efeitos de atividades de múltiplas tarefas sobre retenção de longo termo? Afinal, o estudo em questão se refere somente a aprendizado imediato. Se você, leitor, quer efetivamente contribuir com educação, por que não investir em uma pesquisa desta natureza?

Livros impressos versus computadores

Novamente em 2013 foi publicado um estudo no periódico International Journal of Educational Research sobre o tema do emprego de multimídias em educação. A conclusão da pesquisa é a seguinte: alunos que estudam a partir de material impresso têm rendimento escolar consideravelmente superior àqueles que estudam a partir de telas de computadores. E o mais notável é que diferenças de aprendizado ocorrem até mesmo sobre textos curtos, de uma só página. 

Esta pesquisa, recentemente divulgada na página facebook deste blog, representa uma séria ameaça contra formas usuais dos programas de ensino a distância no Brasil e em outros países.

No entanto, há pelo menos uma ressalva importante a ser feita sobre o artigo em questão: ele se refere apenas à uma realidade local norueguesa. 

Portanto, novas pesquisas precisam ser feitas sobre outras realidades locais e até mesmo sobre a realidade global. Há alguma diferença social significativa entre estudantes noruegueses e brasileiros a ponto das conclusões desta pesquisa não serem aplicáveis no Brasil? Ninguém sabe!

Portanto, se você, leitor, quer contribuir com a educação brasileira, por que não se empenhar em uma pesquisa desta natureza? Por que não responder objetivamente, a partir de fatos, contra os meros opinadores sobre educação que contaminam políticas educacionais e comprometem o futuro do Brasil?

______

Técnicas de análise de dados são bem conhecidas, mesmo em nosso país. Para isso recomendo o livro de Joseph Hair e colaboradores, que traduzi anos atrás. E tais técnicas constituem ferramenta fundamental para responder a questões básicas sobre educação ainda não estudadas com a necessária responsabilidade. Nesta postagem, desde o primeiro parágrafo, são colocadas algumas dessas questões. Naturalmente outras ainda podem ser formuladas.

No entanto, é claro que a carência de iniciativas como estas aqui propostas não deixa de apontar para outro potencial fato no futuro: o absoluto desinteresse do brasileiro sobre educação.

Quase-Poesia

Enquanto aguardamos as novidades para o início de 2013, que tal mais um exemplo de interface entre matemática, física e filosofia?

Entre as óperas do século 20, as que mais aprecio foram todas compostas por Andrew Lloyd Webber: The Phantom of the Opera, Jesus Christ Superstar, Sunset Boulevard, Starlight Express, Joseph and the Amazing Technicolor Dreamcoat, entre outras. Tive a sorte de testemunhar o negro brilho de The Phantom of the Opera no teatro Majestic, na Broadway, em New York, New York.

No entanto, é na ópera Cats (disponível no Brasil em DVD e CD), também de Webber, que há uma leitura excepcional de um dos grandes nomes da literatura mundial: T. S. Eliot. Reproduzo abaixo o único trecho que, de tão extraordinário, simplesmente não foi musicado:

But above and beyond there's still one name left over

And that is the name that you never guess:

The name that no human research can discover

But the cat himself knows, and will never confess.

When you notice a cat in profound meditation

The reason, I tell you, is always the same:

His mind is engaged in a rapt contemplation

Of the thought, of the thought, of the thought of his name

His ineffable, effable, effaninefable

Deep and inscrutable singular name

Name, name, name, name, name, name.

Este é o segredo do nome dos gatos! Segundo Eliot, todo gato tem três nomes: aquele que é dado pelos homens, aquele que é de uso corrente entre os próprios gatos, e um nome oculto e único, que somente o felino realmente o conhece e jamais o revelará a quem quer que seja. É um nome absolutamente insondável. 

O trecho acima reproduzido da obra do magistral poeta e dramaturgo de língua inglesa introduz o Capítulo 5 do livro Identity in Physics (Oxford University Press, 2006), do britânico Steven French e do carioca (quase-curitibano) Décio Krause. 

A referência a The Naming of Cats é perfeita. Isso porque o livro em questão trata do célebre problema da identidade em ciência. 

Quando Heráclito de Éfeso afirmou que o mesmo homem não pode se banhar no mesmo rio mais de uma vez, o mundo ocidental praticamente jogou esta ideia ao próprio rio. A profunda e ampla filosofia de Aristóteles triunfou brilhantemente, com repercussão até os dias de hoje, e Heráclito passou quase que completamente despercebido por filósofos e cientistas. Ainda acreditamos que homem e rio são definidos por algo que os identifica, apesar de ambos mudarem significativamente, com o passar do tempo.

Mas a noção de identidade perdeu significativamente seu status de conceito inquestionável no momento em que surgiu a polêmica mecânica quântica na primeira metade do último século. De acordo com as interpretações usuais desta conturbada área do conhecimento físico, não faz sentido atribuir identidade a partículas elementares, principalmente quando estas se encontram em sistemas cujos estados são descritos através do conhecido emaranhamento quântico. 

Não posso detalhar o formalismo envolvido, pois demanda conhecimentos avançados de análise funcional, o estudo de certos espaços vetoriais conhecidos como espaços de Banach e de Hilbert. E isto escapa aos propósitos deste blog.

Mas espero motivar o leitor para problemas ainda não resolvidos e que parecem merecer atenção. 

Um exemplo bem conhecido é o do átomo excitado. Se um átomo em estado fundamental é excitado por um elétron, ao retornar ao estado fundamental ele libera justamente um elétron. Mas não há experimento que permita determinar se o elétron liberado é o mesmo que foi utilizado para excitar o átomo. Tal limitação no conhecimento físico ocorre tanto no âmbito experimental quanto teórico. Afinal, é impossível rastrear a trajetória de elétrons. É impossível rotulá-los. Como dizia Erwin Schrödinger (talvez o principal criador da mecânica quântica), não se pode pintar um elétron de vermelho. 

Esta ocasional indiscernibilidade entre partículas elementares que compartilham as mesmas propriedades intrínsecas (massa de repouso, carga elétrica, valor absoluto de spin e número de estranheza) é ingrediente fundamental para compreender o comportamento estatístico dos chamados gases quânticos. A mecânica estatística clássica (com distribuições como a de Maxwell-Boltzmann ou de Tsallis) simplesmente não se aplica no domínio quântico. 

O grande matemático russo Yuri Manin chegou a questionar, em conferência patrocinada pela American Mathematical Society, em 1974, que ainda vivemos sob o domínio do lugar-comum (herdado de nossas percepções usuais sobre física clássica), ao assumirmos que podemos distinguir objetos. Isso porque a mecânica quântica sugere que uma coleção de partículas elementares (como fótons ou elétrons) tem um caráter muito menos cantoriano do que um punhado de grãos de areia. 

Para aqueles que não estão familiarizados com o termo "cantoriano", explico. "Cantoriano" deriva de Georg Cantor, criador da teoria intuitiva de conjuntos, no final do século 19. E, para Cantor, um conjunto é uma coleção de objetos distintos entre si, do ponto de vista de nossa intuição. 

No entanto, se quisermos determinar a função-de-onda que descreve o átomo de Hélio (para prever seu comportamento em certos experimentos) jamais podemos nos limitar ao fato de que este átomo é formado por dois elétrons e dois prótons. Se fosse este o caso, bastaria considerar que a função-de-onda do átomo de Hélio é o produto entre duas funções-de-onda do átomo de Hidrogênio (o qual tem apenas um próton e um elétron). Mas não é este o caso! É fundamental levar em conta que as partículas que formam a eletrosfera do átomo de Hélio são fundamentalmente indistinguíveis entre si. Permutações entre elétrons que compõem esta eletrosfera jamais devem interferir na descrição da função-de-onda do átomo, mesmo quando este se encontra em estado excitado.

Procurando investir em uma solução para o problema de Manin, Décio Krause publicou em 1992 um artigo no tradicional Notre Dame Journal of Formal Logic sobre os bizarros quase-conjuntos.

A teoria de quase-conjuntos abre mão da identidade usual e a substitui por uma relação mais fraca, conhecida como indistinguibilidade, a qual é reflexiva (todo termo é indistinguível de si mesmo), transitiva (se o termo a é indistinguível de b e b é indistinguível de c, então a é indistinguível de c) e simétrica (se a é indistinguível de b, então b é indistinguível de a). A principal diferença entre igualdade e indistinguibilidade reside em uma propriedade conhecida entre os lógicos matemáticos como substitutividade. 

Em 1999 Décio Krause, Analice Gebauer Volkov e eu aplicamos, pela primeira vez, a teoria de quase-conjuntos para modelar tanto as estatísticas quânticas de Bose-Einstein e de Fermi-Dirac, quanto o estado excitado do átomo de Hélio.

Apesar da teoria de quase-conjuntos ser capaz de reproduzir todos os resultados da teoria usual de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (a mais conhecida, entre as teorias atuais), ela ainda consegue antecipar um mundo no qual múltiplos objetos podem ser explicitamente indistinguíveis entre si. 

É justamente aí que reside parte da excentricidade da teoria de quase-conjuntos. Do ponto de vista formal, ela trata de um escopo maior do que o universo de discurso da teoria de Zermelo-Fraenkel. No entanto, paga o pesado preço de ser uma teoria na qual é muito difícil de trabalhar, tanto do ponto de vista formal quanto intuitivo. 

Durante minha curta estada no Programa de Pós-Graduação em Física da UFPR, lecionei uma disciplina sobre quase-conjuntos e orientei uma dissertação de mestrado sobre o tema, a qual rendeu artigo em Foundations of Physics. Alexandre Magno Silva Santos (rapaz com estranho senso de humor e que adorava imitar o apresentador de televisão Silvio Santos) e eu mostramos que apesar de distinguibilidade ser condição suficiente para deduzir a estatística clássica de Maxwell-Boltzmann, não era uma condição necessária. Ou seja, mostramos que a estatística usualmente empregada em física clássica era compatível com um universo de objetos indistinguíveis (no escopo da teoria de quase-conjuntos). Portanto, indistinguibilidade não implica necessariamente apenas em estatísticas quânticas. 

Mais tarde, em artigo publicado em Foundations of Physics Letters, mostrei que mesmo na teoria de quase-conjuntos, sempre era possível rotular termos quaisquer, desde que fossem elementos de uma coleção finita. 

Estes resultados, aliados a certas críticas feitas por Nicholas J. J. Smith, colocam em xeque a ideia de que a noção de quase-conjuntos resolve de alguma forma o problema proposto por Yuri Manin em 1974. Afinal, qualquer sistema físico de partículas deve ser, na prática, finito. Neste sentido, o que haveria de não-cantoriano em coleções finitas de objetos contemplados pela teoria de quase-conjuntos? 

Desconheço também quaisquer trabalhos que mostrem aplicações quase-conjuntistas em certos problemas-chave da mecânica quântica. Um deles é o teorema da não-clonagem. É bem sabido que o estado de uma partícula elementar pode ser teletransportado, mas jamais pode ser clonado. Ou seja, é impossível "copiar" o estado de uma partícula em outra, sem modificar o estado da primeira. Isso poderia ser interpretado como uma impossibilidade de se obter certos casos de indistinguibilidade? Existem diferentes hierarquias de indistinguibilidade? 

Outro problema interessante é a relação entre indistinguibilidade e não-localidade, conforme antecipado por Leonard Mandel (em artigo publicado no periódico Optics Letters, em 1991). Qual seria a versão quase-conjuntista deste resultado? Há consequências não-triviais desta relação em teoremas como o de Bell ou de Kochen-Specker?

Mas o problema que me parece mais importante para resolver é o seguinte: será possível honestamente abrir mão da identidade, aquela relação que permite distinguir objetos entre si? Afinal, quando se afirma que todo termo é indistinguível de si mesmo (na teoria de quase-conjuntos), o que significa este "si mesmo"? Do ponto de vista metamatemático ainda estamos assumindo individualidade, mesmo na teoria de quase-conjuntos. Do ponto de vista metalinguístico (ao avaliarmos a teoria formal), ainda se afirma que este a é indistinguível deste mesmo a. Como descaracterizar a noção de individualidade em uma coleção de um único objeto? Portanto, a herança aristotélica ainda está fundamentalmente enraizada em nossa maneira de ver o mundo e em nossos modos de discursar sobre ele, dia após dia, minuto após minuto. 

Ou seja, será honestamente possível descrever de maneira formal a poesia de Heráclito? Ou será que ainda viveremos sob a impressão de que todos os dias acordamos pela manhã como a mesma pessoa que foi dormir ontem?

Enfim, até quando vamos assumir que o terceiro nome do gato de Eliot é apenas uma fábula?

Que tal um olhar matemático sobre a medicina brasileira?

Em 2001 S. Ramsey publicou um artigo na prestigiadíssima Lancet sobre o Doutor Harold Shipman. 

Aqueles que se referem a Jack Kevorkian como o Doutor Morte deveriam conhecer melhor o trabalho de Shipman. Este médico britânico, ao longo de sua carreira de 24 anos como clínico geral, assassinou algo em torno de duzentos e trezentos idosos que estavam sob seus cuidados. A estratégia era muito simples. Naturalmente se espera que uma pessoa idosa e com problemas de saúde venha a falecer em algum momento não muito distante. Shipman envenenava seus pacientes de forma a não levantar suspeitas. E como na Inglaterra simplesmente não existia qualquer sistema de controle de número de óbitos entre pacientes de clínicos gerais, as condições se demonstravam extremamente favoráveis para satisfazer às necessidades homicidas de Shipman. Foi simplesmente o excesso de confiança que o deixou descuidado e acabou trazendo a verdade à tona, resultando em sua prisão em 1998.

O mais incrível é que as autoridades inglesas reconheciam que o controle de número de óbitos entre pacientes de clínicos gerais é extremamente difícil de ser realizado. Tanto é verdade que ninguém foi capaz de determinar o número certo de vítimas de Shipman. Nem ele próprio. 

Como a saúde pública inglesa é um modelo internacional de eficiência e profissionalismo, pergunto o seguinte: e no Brasil?

No Sistema Único de Saúde (SUS) ocorrem sistematicamente casos de pacientes que são atendidos por médicos diferentes em cada consulta. Isso significa que nosso sistema de saúde, que atende à grande maioria da população, não tem controle algum sobre certos dados, como o número de óbitos por médico. Muitos profissionais podem estar prejudicando pacientes por imperícia, descuido, estresse causado por excesso de carga de trabalho ou simples irresponsabilidade, sem que tal informação consiga ser detectada. Levando em conta o ridículo pagamento que cada médico recebe por atendimento no SUS, não me parece exagero supor o pior, incluindo atividades criminosas. Isso significa que a saúde brasileira pode estar matando homens, mulheres e crianças (e não apenas idosos) sem ter a mínima ideia a respeito de quaisquer estatísticas. Somos matematicamente cegos sobre nossa saúde pública.

Existem modelos matemáticos que podem ser empregados para lidar com grandes quantidades de informações, com o objetivo de transformar dados em conhecimento. Isso é extremamente importante para fins de identificação de padrões e de casos atípicos em grandes amostras, como um eventual excesso de número de óbitos por médico. Este é o papel de áreas do conhecimento como a análise multivariada. Mas para um modelo desses ser implementável, faz-se necessário o levantamento de informações, algo que ainda não tem sido feito. 

O Brasil é referência mundial em algumas iniciativas louváveis, como o sistema eletrônico de votação e a rápida e eficiente apuração de resultados eleitorais, usados com sucesso em todo o território nacional. Os Estados Unidos, por exemplo, tem um sistema de apuração de votos simplesmente vergonhoso. Por que uma iniciativa competente como a nossa coleta e apuração de votos não pode se estender para algo de importância estratégica como a saúde do povo brasileiro? O que é mais importante, votos ou saúde?