Matemática é uma ciência exata?

Nomes não são meras arbitrariedades humanas. Nomes desempenham um papel relevante do ponto de vista social e até individual, sejam dados a pessoas, produtos ou ramos do conhecimento.

De acordo com o Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa, "exato" significa "que não contém erro", "que tem grande rigor ou precisão", "perfeito", "irretocável". E é um costume dominante se referir à matemática como uma ciência exata. Este nome, "ciência exata", frequentemente tem levado pessoas - entre leigos e até profissionais - a crerem que matemática é uma ciência livre de erros, com grande rigor e precisão, perfeita e irretocável. 

Mas uma coisa é a impressão que o nome "ciência exata" pode passar, do ponto de vista meramente intuitivo. E outra é o que a prática matemática mostra no cotidiano de experientes cientistas e investigadores. 

Antes de mais nada, é preciso lembrar que matemática é uma atividade intelectual desenvolvida por seres humanos. E seres humanos, como bem mostra a prática, são criaturas falíveis. 

Pensando nisso, Vladimir Voevodsky, matemático russo ganhador da Medalha Fields em 2002, tem sido um dos mais importantes defensores do uso de computadores para a verificação e até o desenvolvimento de demonstrações de teoremas. Usando um formalismo hoje conhecido como Fundamentos Univalentes, Voevodsky defende uma maior proximidade entre linguagens formais da matemática e linguagens de programação de computadores. Uma reportagem sensacionalista e altamente tendenciosa publicada em Quanta Magazine chega a se referir a esta proposta como uma tentativa de eliminar a possibilidade de erro humano. E, mais que isso, afirma-se que o emprego de computadores pode determinar se uma demonstração matemática está correta, com absoluta certeza. Parte deste sensacionalismo é responsabilidade do próprio Voevodsky, o qual abraça esta causa com grande fervor. 

Ora, além do fato de linguagens e programas de computador ainda serem criados e desenvolvidos por seres humanos, deve ser ponderado também que o desempenho de qualquer máquina não trivial apresenta limitações matemáticas intrínsecas já antecipadas décadas atrás pelo pai da atual teoria da computação, Alan Turing. Ou seja, é ingenuidade confiar cegamente na impossibilidade de erro, no que se refere ao desempenho de um computador destinado à verificação de correção de demonstrações. E muito menos se pode confiar em computadores para uma devida fundamentação de ramos específicos da matemática, como se sugere na reportagem de Quanta Magazine. 

A proposta de Fundamentos Univalentes tem naturalmente o seu mérito. Matemáticos, como bons humanos que são, cometem erros muitas vezes não detectados sequer por referees, antes da publicação de artigos científicos. O próprio Voevodsky já foi vítima disso. Em 1999 ele descobriu um erro de demonstração em artigo publicado por ele mesmo sete anos antes. Além disso, hoje já se desenvolve matemática experimental, ramo do conhecimento que tem como meta a investigação de objetos, propriedades e padrões matemáticos através do emprego de recursos computacionais e demais métodos semelhantes. No entanto, assim como lápis e papel, computadores ainda devem ser vistos como meras ferramentas de auxílio investigativo e não como soluções definitivas para se desenvolver matemática. 

Durante minha estada na Universidade Stanford, nos anos 1990, Patrick Suppes, Acácio de Barros e eu tínhamos que calcular derivadas de ordem superior de uma função dependente de uma integral imprópria, para determinar a força de Casimir entre duas placas sob certas condições bem específicas. Usando um software de computação algébrica, a resposta impressa foi um relatório de três páginas quase incompreensíveis. Fazendo exatamente as mesmas contas sem auxílio de máquina alguma, a resposta que obtive se resumiu a meia página e uma expressão muito clara. Para detalhes, ver o Apêndice deste artigo.

No Brasil o estudo de Fundamentos Univalentes ainda caminha lentamente. Uma dissertação interessante sobre o tema pode ser encontrada aqui. Mesmo assim, é aconselhável que jovens interessados nesta fascinante e bem sucedida área interdisciplinar não se deixem levar fácil pelo exagerado entusiasmo de respeitáveis autoridades como Voevodsky. Matemática ainda é uma atividade social que demanda crítica. E computadores, por melhores que sejam, não devem ser percebidos como inteligências acima da crítica. 

Mesmo em ramos da matemática que naturalmente demandam considerável nível de formalismo e rigor, como lógica e fundamentos, existem indispensáveis métodos não dedutivos de investigação. Um exemplo é a geração de conjecturas. Criar conjecturas não é uma tarefa difícil para um ser humano. Mas é algo ainda inacessível a máquinas. E mesmo que uma conjectura seja formulada (por máquinas do futuro ou por seres humanos) como definir se ela vale a pena ser investigada? Devemos adotar critérios meramente matemáticos e formais? Devemos adotar critérios dependentes de potenciais aplicações? Ou devemos levar em conta prazos determinados por burocratas que controlam a distribuição de verbas para pesquisa? Computadores conseguem responder a essas questões sem errar? Como garantir, sem erro, se uma conjectura vale a pena ser investigada? 

Matemática não se resume àquilo que já está pronto e publicado em livros e artigos. Matemática é também uma atividade em andamento. E é uma atividade em andamento que depende fundamentalmente de ideias, inspirações, intuições.

A própria visão intuitiva sobre a natureza da matemática, enquanto produto final de um esforço coletivo, é algo que muda com o tempo. Houve época em que axiomas eram considerados afirmações auto-evidentes. Essa visão deriva, em parte, da geometria apresentada por Euclides, dois milênios atrás. Hoje se sabe que um sistema axiomático pode contar com operações binárias que podem ou não ser comutativas. Ou seja, é auto-evidente que uma operação binária deva ser comutativa? Portanto, nos dias de hoje, axiomas são simplesmente fórmulas usadas como ponto de partida para a inferência de novas fórmulas em uma dada teoria, desde que regras de inferência sejam estipuladas. 

Outro exemplo de flexibilidade de ideias reside nas próprias regras de inferência da lógica matemática. A mais usual é Modus Ponens. Trata-se de um argumento que permite inferir uma sentença "B" a partir de duas outras sentenças: "A" e "A implica B". Mas e se algum matemático quiser criar uma teoria na qual "A" e "A implica B" permita inferir a negação de "B"? Do ponto de vista lógico nada impede que se desenvolva toda uma nova matemática a partir disso. Neste momento entra outro método não dedutivo para o desenvolvimento da matemática: justificativa. 

A arte de justificar uma ideia matemática depende de contextos que podem transcender a própria matemática. Por exemplo, há alguma perspectiva realista de aplicação de uma regra de inferência tão bizarra? Há alguma justificativa filosófica para a adoção desta nova regra de inferência? 

Fica claro então que matemática e filosofia são atividades intelectuais complementares. Uma depende da outra. E se filosofia é o exercício da dúvida, por que matemática seria diferente? 

Quando Georg Cantor apresentou sua teoria de conjuntos, no final do século 19, houve considerável resistência de matemáticos de renome da época. Isso aconteceu em virtude de posições filosóficas pessoais sobre o que deve ser matemática. Fenômeno social semelhante aconteceu com a proposta do Axioma da Escolha, na teoria formal de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Alguns matemáticos consideravam que o Axioma da Escolha era obviamente verdadeiro, enquanto outros o consideravam obviamente falso. Por que isso? Porque matemática é uma ciência feita por homens e mulheres, pura e simplesmente. E homens e mulheres estão sim sujeitos a erros em suas visões.

Certamente matemática tem um elevado grau de formalismo e, principalmente, rigor. Mas o que significa a expressão "elevado grau"? Quão rigorosos são os matemáticos? Quão rigorosas são as ideias matemáticas? O que há de tão especial nos dias de hoje, para considerarmos que matemática é uma ciência livre de erros, com grande rigor e precisão, perfeita e irretocável? 

Para uma visão detalhada sobre métodos não dedutivos em matemática, recomendo este link.

Se esta visão da falibilidade de ideias fosse estimulada em salas de aula, alunos ficariam menos preocupados com suas próprias limitações pessoais para aprender este ramo do conhecimento e se concentrariam mais na análise crítica da matemática em si. É claro que existem ideias consagradas na matemática! Mas a geometria euclidiana foi um conhecimento consagrado por mais de dois mil anos. E hoje se sabe que geometria euclidiana é apenas uma das facetas de área muito mais ampla e difícil de isolar em um receptáculo mental, chamada simplesmente de geometria.

Este termo "ciência exata" deve ser percebido mais como uma manobra de burocratas para definir critérios de distribuição de verbas científicas do que um termo que descreva em duas palavras a natureza da matemática e de outros ramos do conhecimento também associados a uma noção de exatidão.

Vivemos em um mundo que parece se esforçar a extremos ridículos para abandonar a magia. Existe sim magia nos atos de criação, da justificativa, da análise crítica, da reflexão, da filosofia. Fazer matemática é promover uma visão não sensorial de mundo. É um contato com um lado mágico de mundo. 

Aquele (ou aquela) que se condena a uma visão clara de mundo, prática, inquestionável, inexorável, exata, está perdendo contato com o que há de mais fundamental em cada um de nós: somos todos seres humanos. Matemática não é uma atividade extraterrestre, desumana, mecânica, previsível, inquestionável. Matemática somos todos nós. Matemática é magia.
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Dedico este texto a Helena.

Mais um exemplo insano de ensino a distância

Aviso Importante: O site Descomplica substituiu todos os vídeos analisados nesta postagem por um comercial de televisão. Fui informado sobre isso no dia 03/04/2017.
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Recentemente recebi um e-mail, de um colaborador de pesquisa, sobre o site Descomplica. Trata-se de uma iniciativa de ensino a distância, cuja meta é preparar pessoas para o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) e vestibulares. A proposta é "Descomplicar as matérias para os alunos que tem dificuldades e para aqueles que querem relembrar alguns assuntos." Sim, há vários erros de português no site. Mas não quero discutir aqui sobre o insistente desrespeito à língua oficial de nosso país. Quero apenas fazer uma lista de alguns dos graves problemas que encontrei em vídeos disponibilizados gratuitamente pelo Descomplica.

Falta de roteiros. Claramente os vídeos que examinei não seguem qualquer roteiro. Um exemplo que ilustra o que digo está neste vídeo sobre conjuntos. O apresentador afirma "Conjunto é. A primeira dificuldade que a gente tem em falar sobre esse tema [...]". Outro exemplo que ilustra a falta de roteiros para a gravação dos vídeos está aqui. O apresentador, diante de uma lousa, improvisa após três minutos e vinte e três segundos, apagando com uma das mãos parte do que já estava escrito com giz. Ou seja, esses vídeos são meras gravações de aulas típicas. Nada de novo oferecem, em termos de linguagem, para alunos que já bem conhecem as improvisações de professores em sala de aula. Este é um problema recorrente em muitos vídeos destinados ao ensino a distância espalhados em diferentes endereços da internet. Todo vídeo educativo sério precisa de roteiro! Isso é básico!

Erros e inconsistências. Conteúdos de matemática divulgados no site Descomplica estão gravemente errados e, por vezes, são até inconsistentes. Neste vídeo, por exemplo, o suposto professor que introduz a noção de função, confunde os elementos de um produto cartesiano entre dois conjuntos A e B com o conceito de relação, em teoria de conjuntos. Chega a afirmar que o número total de relações entre um conjunto A com três elementos e um outro conjunto B com três elementos é nove, sendo que o número total de possíveis relações entre esses dois conjuntos é a cardinalidade da potência de A cartesiano B, ou seja, 512. Com efeito, uma relação entre um conjunto A (domínio) e um conjunto B (co-domínio) é qualquer subconjunto do produto cartesiano entre A e B. Já neste vídeo o apresentador afirma que ponto, em geometria, não tem tamanho. Logo em seguida afirma que ponto tem tamanho zero. Afinal, ponto tem tamanho ou não? "Vermelho" é um conceito sobre o qual não faz sentido aplicar qualquer noção de tamanho. Neste sentido, vermelho não tem tamanho. Mas também não faz sentido dizer que o tamanho de vermelho é zero. Além disso, afirmar que ponto, em geometria, tem tamanho zero é um disparate. Essa ideia está em completo desacordo com a atual visão matemática sobre geometria.

Falta de seriedade. Neste vídeo um bando realmente ruidoso, desorientado e confuso faz piadas, danças e gestos que nada têm a ver com educação. No mesmo vídeo uma equação é escrita na lousa e um dos "profissionais" se refere a ela como equação de movimento uniforme, sem qualificar os termos empregados. Ou seja, além de passar a ideia de que matemática é uma atividade de palhaços, ainda sugere que somente palhaços dogmáticos podem compreender este ramo do conhecimento.

Falta transposição de conhecimentos. Neste vídeo o apresentador afirma que, no estudo sobre conjuntos, existem três noções primitivas: conjunto, elemento e pertinência. Obviamente ele demonstra jamais ter lido tratados originais sobre o tema, pois ignora o papel fundamental da noção de igualdade. Georg Cantor, criador da teoria de conjuntos, dizia que um conjunto é uma coleção de objetos distintos entre si. Ou seja, apesar de Cantor jamais ter definido o conceito de conjunto, ele deixou clara a importância da igualdade. Se x e y são objetos distintos, isso significa que não é o caso de x = y. Esta visão é fundamental para definir par ordenado como um caso particular de par não ordenado. E, sem a noção de par ordenado, não se pode qualificar relações e funções, pelo menos do ponto de vista conjuntista usual. O que se fez neste e em outros vídeos do site Descomplica foi uma mera repetição (repleta de ruídos) de erros persistentes em salas de aula de nosso país. Os criadores desses vídeos jamais se deram ao trabalho de transpor conhecimentos avançados de matemática para uma linguagem acessível a adolescentes. O apresentador também afirma que noções primitivas, em matemática, são simplesmente aceitas. Isso confere um caráter esotérico à matemática, algo que definitivamente nada tem a ver com esta ciência. Mais assustador ainda é o fato do apresentador afirmar que todo mundo sabe o que é um conjunto. Bem, ele mesmo não sabe! Se soubesse, não teria afirmado que não existe definição formal para conjunto. 

Doentio desestímulo à interdisciplinaridade. Neste vídeo sobre filósofos pré-socráticos a apresentadora afirma não gostar de Pitágoras. O argumento é realmente doentio. Ela diz que Pitágoras gostava de números. Como ela mesma confirma não gostar de números, portanto não gosta de Pitágoras. Segundo essa suposta professora de filosofia, números servem somente para numerologia e para contar dinheiro. Ou seja, temos aqui um vídeo de ensino a distância que promove não apenas o ignorante distanciamento entre matemática e filosofia como também procura ridicularizar um dos pensadores mais influentes da história. Os vídeos sobre matemática no site Descomplica são terríveis. Mas os vídeos sobre filosofia são de uma miséria intelectual como raras vezes testemunhei em toda a minha vida. Até mesmo o vocabulário empregado é chulo e, portanto, inadequado para fins de educação filosófica. 

Mais de dois anos atrás publiquei neste blog uma postagem sobre duas empresas que vendem teses de doutorado. O site original de uma delas já sumiu. O outro continua. Dei a ambas o direito de resposta neste blog. O mesmo farei com o Descomplica. No momento em que esta postagem for publicada, encaminharei este link para o serviço Fale Conosco, do Descomplica. Se algum leitor deste blog quiser colaborar com mais críticas ao Descomplica, peço que o faça. Não tive paciência para acompanhar todos os vídeos. Há uma quantia absurda de insanidades nos poucos que vi. 

Como escrever artigos científicos

Recentemente descobri algo que me deixou perplexo. A internet está repleta de cursos sobre escrita científica. Descobri, por exemplo, que a Universidade Stanford é uma das instituições de renome que oferece curso sobre como escrever artigos científicos. No Brasil, a Universidade de São Paulo também oferece algo parecido. Fiquei sonolento quando acompanhei um dos vídeos. Isso tudo me faz lembrar do péssimo livro de Umberto Eco, intitulado "Como Se Faz Uma Tese". Este texto de Eco pode ser uma ótima referência para aqueles que não têm a menor aptidão para a atividade científica, mas que desejam se tornar sócios do Clube da Ciência, publicando textos desinteressantes que apenas acumulam pó em prateleiras de bibliotecas. É o tipo de público que fica fascinado com as normas da ABNT. Mas o autor nada discute sobre aquilo que realmente interessa: o ato da criação. E nem poderia! 

Preocupar-se sobre como escrever um artigo científico é equivalente à preocupação sobre o que vestir no dia do próprio casamento. É claro que a roupa usada no casamento trata-se de uma demonstração de respeito e seriedade perante a cerimônia. Mas o que realmente importa, no final das contas, ainda é o casamento. Évariste Galois que o diga! Seus artigos eram definidos por afirmações ambíguas, com problemas de pontuação e um estilo irregular. Em um trabalho publicado em 1830 no Annales de Mathématiques, até mesmo o nome de Galois estava escrito errado. No entanto, a obra deste grande cientista francês se consagrou como um monumento incontestável na história da matemática. 

Os inúmeros cursos que existem por aí sobre escrita científica são um mero sintoma de um fenômeno muito grave que assola o planeta: a crise na ciência. 

Temos, hoje em dia, teses repletas de plágios, artigos com erros graves, ideias absurdas defendidas por pesquisadores que escrevem muito bem, periódicos de acesso livre que publicam qualquer coisa que autores escrevam (desde que paguem), insanos movimentos de dissidência científica, filósofos que não filosofam, e pelo menos um Membro da Academia Brasileira de Ciências que defende o Criacionismo. 

Pois bem. Aqui vai o meu "curso" sobre escrita científica. 

A pessoa interessada em publicar artigos científicos precisa de apenas duas aptidões:

1) Saber desenvolver uma ideia científica relevante e inédita.

2) Saber escrever de forma persuasiva.

Como desenvolver ideias científicas relevantes e inéditas? Bem. Se milhares de exemplos históricos, ao longo de séculos de atividade científica sistemática, ainda não deixaram claro o suficiente o processo de criação, eis as três informações-chave: estudo, troca de ideias e busca por soluções. 

Sem conhecer ciência profundamente, não é possível desenvolver ciência inédita e relevante. E, para conhecer ciência, é necessário muito estudo. Livros clássicos e artigos recentes veiculados nos melhores periódicos são um excelente ponto de partida. 

Mas não adianta apenas estudar. É necessário trocar ideias com experientes pesquisadores e cientistas, periodicamente. A experiência dos mais velhos precisa ser confrontada com a ousadia e a criatividade dos mais jovens. "Pensar fora da caixinha" é fundamental. Mas saber ouvir é igualmente importante. 

A busca por soluções é a parte mais difícil. Um problema genuinamente importante e difícil só pode ser resolvido diante de um compromisso ininterrupto com o mesmo. Problemas científicos sérios não são necessariamente resolvidos em horas estipuladas para reflexão. Não basta agendar: "durante este horário do dia eu penso". Cito o famoso exemplo de William Rowan Hamilton. Este célebre cientista irlandês sabia que os números complexos podiam ser compreendidos como pontos em um plano e que as operações algébricas sobre eles eram associadas a operações geométricas. Pensou, então, em estender esses resultados para pontos em um espaço tridimensional. Mas sempre fracassava quando tentava definir multiplicação entre triplas ordenadas. Foi durante um passeio com a esposa, sobre uma ponte de Dublin, que Hamilton vislumbrou a solução para o seu problema: basta considerar quádruplas ordenadas ao invés de triplas. E assim nasceram os quatérnions. Um agradável passeio com a esposa não é o bastante para alienar a mente de um cientista. Ciência é uma atividade extraordinária. Problemas científicos acompanham a mente do pesquisador nos momentos mais inesperados, pelo menos aos olhos daqueles que não são cientistas. 

Agora vamos à aptidão número 2: escrita persuasiva. 

Textos científicos, assim como a maioria dos textos não-ficcionais, devem ser persuasivos. Textos científicos devem convencer seus leitores. Esta é a arte da eloquência, a arte de bem argumentar, a arte da palavra, também conhecida como retórica. E a história da retórica, como bem coloca o físico Anthony Garrett, não é a história da ciência. 

Quem não sabe escrever artigos científicos, também não sabe ser persuasivo. É possível sim aprender as técnicas da retórica. Mas há pessoas muito persuasivas que jamais estudaram retórica. E isso é algo interessante, uma vez que não é possível fazer ciência sem conhecer ciência. 

Nos ensinos fundamental e médio estuda-se português, inglês e filosofia. E há um motivo para isso: para aprendermos a ler, escrever e argumentar. 

Não sabe escrever um artigo científico? Então escreva uma ideia qualquer e procure defender esta ideia da melhor maneira possível! Em seguida mostre o seu texto para outras pessoas e acompanhe as críticas. A internet é uma oportuna ferramenta de exposição de ideias e que jamais esteve à disposição da maioria das grandes mentes da ciência. Algumas críticas serão absurdas. Outras serão inócuas. Mas eventualmente alguém apresentará uma crítica que aponte para os seus erros. Errar dói. Mas é aquela história: errando se aprende.

Quando eu era aluno de ensino médio, submeti um artigo para um periódico científico. O resultado foi um desastre. O artigo foi recusado. Anos depois percebi: "onde eu estava com a cabeça, para escrever uma coisa daquelas?" 

Durante o mestrado escrevi um artigo em parceria com meu orientador, Germano Bruno Afonso. O texto foi aceito e publicado. Era algo pequeno, mas eu estava no caminho. Jamais teria conseguido realizar aquele trabalho, naquela época, sem o senso crítico e a experiência de meu orientador. E é justamente esta a função do orientador: orientar.

Durante meu pós-doutorado em Stanford, aventurei-me com o primeiro artigo solo escrito seriamente. Era um trabalho sobre mecânica de Hertz. Escrevi com extremo cuidado, mostrei versões preliminares para colegas, recebi críticas, apliquei minhas próprias críticas, procurei ser convincente, evitei redundâncias e ambiguidades, procurei demonstrar familiaridade com o tema. Tudo o que eu queria era descrever as ideias de Hertz sobre mecânica em uma linguagem formal axiomática. Isso contrastaria com a usual noção de que forças são indispensáveis em mecânica newtoniana. Consultei pesquisadores experientes a respeito de opções de periódicos adequados para submissão. Apresentei o trabalho em um evento na Itália, para uma plateia de físicos e filósofos de diferentes cantos do mundo. E somente então submeti o artigo. Foi aceito, sem necessidade de fazer modificações. Hoje este trabalho é citado por Max Jammer, em seu clássico livro sobre conceitos de massa em física. 

Patrick Suppes dizia: "Jamais termino de escrever livro algum, artigo algum. Apenas os abandono." Resultado: centenas de publicações científicas e filosóficas que transformaram o século 20.

Conheço minhas limitações. Então, o que faço? Parcerias com profissionais de altíssimo nível e extremamente exigentes. Raramente publico artigos solo. Por quê? Porque assim recebo críticas. Críticas impulsionam resultados melhores, quando sabemos ouvir. Meus trabalhos mais citados são, em sua maioria, artigos feitos em parceria. 

Como se aprende a namorar? Namorando! Como se aprende a escrever? Escrevendo! Como se aprende a pensar? Pensando! 

Se quiserem discursar sobre como discursar, fiquem à vontade. Mas acho que existem coisas mais importantes para se fazer. Casei com a ciência, sem terno e sem sapato italiano. Mas vivo uma relação estável e relativamente afetuosa.

Quantas dimensões você enxerga?

Nunca vi exceção. Todos os alunos que tive, até hoje, dizem que não conseguem imaginar um espaço com mais de três dimensões. Inerente a este discurso, existe a crença de que eles conseguem imaginar e até enxergar em um espaço tridimensional. Até mesmo experientes profissionais da área de ciências exatas alegam serem capazes de enxergar em três dimensões. Nesta postagem quero desfazer o mito do mundo tridimensional em que vivemos.

Uma das descobertas científicas mais espetaculares da história foi a concepção das geometrias não euclidianas, no século 19. A partir do trabalho pioneiro de Lobatchevsky ficou clara a seguinte ideia, entre outras: Geometria é um ramo da matemática independente de modos de percepção visual.

O conceito de dimensão, em matemática, é abstrato. E mesmo conceitos comuns da geometria são também abstratos, como ponto, reta, plano e espaço.

No entanto, teorias matemáticas sustentadas em conceitos abstratos são comumente aplicadas para modelar o mundo físico. Mas, de forma alguma devemos entender com isso que o caráter ontológico de uma teoria matemática necessariamente espelha o caráter ontológico do mundo físico. 

Cito dois exemplos: mecânica corpuscular clássica e mecânica quântica.

Mecânica corpuscular clássica é parcialmente desenvolvida em espaços tridimensionais. O que isso significa? Significa que posições e velocidades de partículas são descritas como funções sobre um espaço vetorial de três dimensões. Ou seja, partículas e espaço são meramente conceitos matemáticos. 

Surpreendentemente, é possível corresponder esses conceitos abstratos a objetos do mundo real. Neste sentido, não basta para o físico ter em mãos uma teoria matemática. É necessário ele fazer uma correspondência entre os conceitos matemáticos disponíveis e aquilo que ele pode efetivamente medir no mundo real. Por conta disso que existem aqueles que definem teoria física como uma tripla ordenada (M, D, r), sendo que M é uma teoria matemática, D é o domínio de aplicação (mundo real) e r é um conjunto de relações entre M e D. 

Muito se sabe sobre M e D. Mas a literatura sobre as relações r é ainda muito pobre. Nada se sabe sobre elas. Por conta disso que existem tantas discussões sobre o caráter ontológico de teorias físicas. Justamente porque ainda não se sabe o quão fiel a matemática é, para informar sobre a natureza íntima do mundo real. 

No caso da mecânica corpuscular clássica, diz-se que uma partícula pode ser localizada em um espaço tridimensional. E, a partir disso, cria-se uma intuição física na qual se fala de posições horizontais, verticais e de profundidade, relativamente a um observador físico.

No entanto, o fato de podemos criar uma intuição física para um espaço tridimensional exclusivamente matemático não significa que vivemos em um mundo tridimensional. Afirmar isso retrata a pretensão de conhecermos a natureza íntima do espaço físico. A bem da verdade, não sabemos sequer se existe algum espaço físico. 

Na mecânica quântica a posição de um objeto físico (como um elétron) é descrita em um espaço vetorial conhecido como espaço de Hilbert. E este espaço de Hilbert tem infinitas dimensões. 

Observe que o propósito é ainda o mesmo: localizar uma partícula. No entanto, para acomodar características atípicas de certas partículas, físicos perceberam que não podem mais usar espaços vetoriais de três dimensões para dizer onde, por exemplo, um elétron está.

Um espaço vetorial de três dimensões é usualmente descrito como um caso particular de conjunto. E um conjunto é um conceito abstrato. É simplesmente impossível enxergar um conjunto. Ainda que os elementos de um conjunto pudessem ser objetos do mundo real (como pessoas ou canecas), o conjunto em si não pode ser percebido pelos sentidos físicos. O conjunto das pessoas que já leram alguma postagem deste blog é um conceito abstrato que persiste mesmo quando todas essas pessoas já tiverem morrido daqui a cem milhões de anos. É possível, por enquanto, ver essas pessoas. Mas o conjunto em si não pode ser visto, apesar de poder ser matematicamente definido. 

Se físicos trabalham com espaços de dimensão infinita, para realizar a simples tarefa de dizer onde um elétron está, é porque esses mesmos físicos estão se empenhando em desenvolver uma intuição diferente daquela explorada em mecânica corpuscular clássica. 

A verdade é que nada sabemos sobre o suposto espaço físico que parece nos envolver. Se você acha que enxerga em três dimensões, precisa rever o que entende por "dimensão". Se a palavra "dimensão" for empregada no sentido matemático usual, você está enganado. Não é possível enxergar em dimensão alguma. Se a palavra "dimensão" é usada em outra acepção, então esclareça sobre o que, afinal, você está falando. 

Quando vídeos são exibidos na internet para criar uma visão intuitiva sobre espaços de dimensão superior, eles invariavelmente estão comprometidos com um único caráter ontológico. Intuições não precisam ser desenvolvidas apenas de um ponto de vista geométrico, antenado com preconceitos com os quais estamos simplesmente acostumados. Intuições podem também ser desenvolvidas sob outras perspectivas. Por que não desenvolver, por exemplo, uma intuição algébrica sobre dimensões?

Observe que até mesmo a linguagem natural que emprego nesta postagem é impregnada de preconceitos que apenas estreitam a capacidade de compreensão sobre matemática. Afinal, usei a expressão "outras perspectivas" no parágrafo acima. E "perspectiva" é um termo comumente associado a geometria.

Em suma, se você deseja se libertar de graves preconceitos sobre seus modos de percepção do mundo, estudar matemática é uma alternativa interessante. Pelo menos você começa a se acostumar com outras formas de percepção.

Paulo Freire e a matemática do oprimido

Recentemente um amigo meu mencionou a respeito de uma tese de doutorado defendida na Universidade de São Paulo (USP), sobre a influência de Paulo Freire e Ubiratan D'Ambrosio na formação do professor de matemática no Brasil. Na tese defende-se que "os atuais processos de formação de professor de matemática ainda são fortemente sedimentados numa formação alienada aos ditames de uma sociedade de classes, que não permite ao futuro professor compreender e fazer uso da necessária autonomia inerente à sua atuação, o que o faz atuar como um intelectual orgânico a serviço da consolidação da hegemonia da classe dominante." 

Pois bem. Nesta postagem foco exclusivamente na influência de Paulo Freire sobre a educação brasileira, com ênfase na matemática. Sobre a obra de D'Ambrosio pretendo discutir em outro momento, apesar de haver importantes pontos em comum entre ambos os autores. 

Paulo Freire foi, sem dúvida alguma, um educador e um pensador. Não foi uma pessoa que apenas teorizava a respeito de educação, mas alguém que efetivamente alfabetizou, um indivíduo que fez a diferença em nosso país e fora dele. Além disso, sua extensa obra sobre educação o projetou internacionalmente, como um nome respeitável. 

No entanto, não podemos ignorar a exagerada, deturpada e aparentemente doentia veneração que existe em nosso país, quando o nome de Paulo Freire é lembrado. 

O livro mais famoso de Freire é Pedagogia do Oprimido, com dezenas de milhares de citações, tanto do texto original quanto de suas traduções para inglês, espanhol e hebraico. Neste texto Freire faz uma intrincada discussão sobre reflexos sociais e individuais de relações entre (socialmente) oprimidos e opressores. Seu foco é o processo educacional, o qual é um poderoso agente que pode ser usado tanto para exercer mudanças sociais como para simplesmente manter aquilo que muitos chamam de status quo. 

Antes de discutirmos de maneira mais detalhada algumas das teses de Freire, é importante esclarecer dois pontos comumente ignorados em nossa nação:

1) Freire deixa claro que Pedagogia do Oprimido é um aprofundamento de discussões promovidas em seu livro Educação Como Prática da Liberdade. No entanto, também deixa claro que o tema abordado é amplo, e que sua obra deve ser entendida como mera introdução. 

2) Freire também deixa claro que suas teses defendidas em Pedagogia do Oprimido são o resultado de simples observações feitas no Brasil e, posteriormente, no Chile, durante seu período de exílio político. Ou seja, ele não se sustentou em estudos científicos ou filosóficos para qualificar, por exemplo, como é possível "roubar a humanidade" de alguém. Neste sentido Freire combina, em seu livro, pensamento crítico, sobre o que observou, com uma visão pessoal (e, portanto, restrita às suas próprias limitações) sobre humanidade. 

Já chamei atenção, recentemente, para falhas graves de Jean Piaget, quando este importante pensador suíço afirmou que crianças são incapazes de pensar sobre o pensar. Por que Piaget errou? Porque pessoas, por mais inteligentes que sejam, estão sempre sujeitas ao auto-engano. Até mesmo a NASA já foi (coletivamente) vítima do auto-engano, resultando em uma das maiores tragédias da história da exploração do espaço.

Como o nome de Paulo Freire está fortemente associado a marcantes ideologias políticas, o auto-engano se torna ainda mais provável. É neste momento que boas ideias e discussões pertinentes passam a ser possíveis referências para visões preguiçosas e distorcidas sobre sociedade e educação. 

Assim como Piaget, Paulo Freire foi um precursor. Mas suas palavras não devem, em hipótese alguma, ser consideradas como conclusivas. 

O livro em questão, de Paulo Freire, pode ser facilmente interpretado como uma visão dicotômica da sociedade, dividindo-a em duas classes: opressores e oprimidos. Os opressores são violentos (podendo exercer violência até mesmo de forma mascarada por uma falsa generosidade) e os oprimidos temem a liberdade (não poderá a consciência crítica conduzir à desordem?). Esta é a leitura mais usual da obra de Freire. Exemplo disso é a tese acima citada, no primeiro parágrafo. 

No entanto, há uma outra maneira de ler Pedagogia do Oprimido. A relação entre opressor e oprimido, para Paulo Freire, é de notável riqueza. Segundo o próprio autor, "o ser menos leva os oprimidos, cedo ou tarde, a lutar contra quem os fez menos. E esta luta somente tem sentido quando os oprimidos, ao buscar recuperar sua humanidade, que é uma forma de criá-la, não se sentem idealistamente opressores, nem se tornam, de fato, opressores dos opressores, mas restauradores da humanidade em ambos."

Este é um ponto importantíssimo que Freire detalha em várias passagens do livro. 

A aparente dicotomia opressor-oprimido de Freire pode ser entendida como um ponto de partida para despertar atenção, um simbolismo, uma inspiração para apenas iniciar análises críticas sobre o espírito humano e a repercussão deste sobre a sociedade. Caso contrário, a leitura da obra de Freire se torna uma mera caricatura social. Isso porque existe uma riqueza fenomenal de classes sociais em nosso país, que não se reduzem a apenas duas. E isso se deve, em parte, ao fato de que o Brasil se insere em uma realidade maior do que ele próprio, chamada de mundo. 

Aqueles que estudam em escolas consideradas de elite em nosso país, não fazem parte de qualquer elite mundial. Tanto é verdade que há inúmeros exemplos de conteúdos matemáticos estudados de forma fragmentada e até errada em livros, apostilas e sala de aula, independentemente de classe social. Exemplos são encontrados em trigonometria, cálculo diferencial e integral, aritmética elementar, lógica e até história da matemática, entre muitos outros. Em nossas universidades há também uma resistência aparentemente intransponível para que professores estrangeiros possam lecionar em inglês. E como aprender matemática sem conhecimentos básicos de inglês? 

Esta semana houve um show em Porto Alegre, RS, de Jack White. Todos os milhares de fãs que acompanharam a apresentação do mestre de cerimônias dispensaram o tradutor. Eram mais de três mil jovens que reagiam instantaneamente à apresentação feita em inglês. Houve momento em que o tradutor se sentiu deslocado, pois todos ali entendiam o que era dito. Por que isso? Porque os fãs de Jack White são realmente fãs. Procuram entender toda a cultura associada à sua imagem artística e não apenas as músicas. É uma questão de motivação. Uma matemática lecionada de forma fragmentada e dogmática (com persistentes erros que causam uma desagradável impressão de arbitrariedade) é uma matemática que não motiva pessoa alguma. E se não há motivação, por que conhecer a cultura matemática mundial? Por que conhecer, por exemplo, inglês?

A condição de opressão, ressaltada por Paulo Freire, somente pode ser combatida, segundo ele mesmo, com a busca pela liberdade. O oprimido de Freire é uma pessoa sem liberdade. Porém, o autor ressalta que o medo da liberdade (comum ao oprimido) não apenas pode manter seu estado social de oprimido como pode, também, conduzi-lo a pretender ser um opressor. E este é um ponto que educadores, professores e pedagogos simplesmente não demonstram entender, quando o objetivo é discutir educação matemática. Isso porque a essência da matemática radica em sua liberdade. E essas palavras não são minhas, mas de Georg Cantor, o criador da teoria de conjuntos. Teoria de conjuntos é provavelmente a teoria mais massacrada pela ignorância de nossos educadores, professores e pedagogos. A prática mostra que a contagiante ignorância de nossos educadores é sim uma opressão contra o espírito livre da matemática. Consequentemente, é uma opressão sobre praticamente todos os inúmeros segmentos sociais de nosso país. Do ponto de vista da educação matemática, o Brasil inteiro é um estado oprimido por ele mesmo. Uma instituição como o IMPA não é um segmento social. É apenas uma instituição que luta para construir um segmento social.

Freire não conhecia matemática. E nem precisava. Mas se educadores pretendem aplicar ideias de Freire no ensino e na educação matemática de nosso país, certamente precisam conhecer muito bem esta área do saber. Caso contrário, estarão desrespeitando o espírito livre defendido pelo próprio Freire, como forma de combate à opressão. Matemática não é aquilo que se ensina em nossas escolas.

Ignorância é um agente de opressão. Mas um agente muito pior é a ilusão de conhecimento, a qual assola nosso país, especialmente as universidades. 

Cito um exemplo de ilusão de conhecimento no próprio livro de Freire. Segundo ele, "Quem melhor, que os oprimidos, se encontrará preparado para entender o significado terrível de uma sociedade opressora? Quem sentirá, melhor que eles, os efeitos da opressão?"

A primeira pergunta, de caráter retórico, sugere que o oprimido está melhor qualificado para compreender o significado de uma sociedade opressora. Isso, claro, é falso. Afinal, o oprimido de Freire pode ser facilmente compreendido como um ignorante, uma pessoa praticamente cega diante de questões sociais, educacionais, culturais, artísticas, científicas, religiosas, históricas. 

Já a segunda pergunta sugere que o oprimido sente de forma mais marcante os efeitos da opressão. Isso sim faz sentido. Afinal, uma pessoa com câncer sente os sintomas de sua doença. Mas isso não a qualifica para compreender o que exatamente é o câncer que invade o seu corpo. 

Freire defende um diálogo crítico e libertador com os oprimidos. Analogamente, um médico deve conversar com seu paciente, para melhor diagnosticá-lo. Mas não pode se limitar ao diálogo. Precisa de muito mais do que uma simples conversa. O médico precisa de ciência do mais alto nível para poder tratar o paciente.

Por um lado, cabe ao oprimido a busca pela liberdade sugerida por Freire. E, por outro, cabe ao opressor o real estímulo à liberdade de todos os segmentos sociais, começando pela sua própria. 

A ilusão que ameaça nosso sistema educacional e, particularmente, o ensino de matemática, é a crença de que noções superficiais sobre sociedade bastam para escrever teses e gritar em favor de movimentos políticos ingênuos e frequentemente mal intencionados. 

Estudemos Paulo Freire sim. Mas filtremos o que ele diz. E, mais importante, avancemos o que ele começou. 

É bem sabido que o conhecimento científico não é ainda acessível de forma democrática, seja no Brasil ou no mundo. Isso porque a indústria de periódicos científicos movimenta bilhões de dólares ao ano, sendo altamente lucrativa. É contra esse tipo de problema que devemos todos lutar. Não importa se uma pessoa estuda mecatrônica na USP ou separação silábica em uma aldeia no meio da floresta amazônica, todos devem ter acesso ao conhecimento. 

Pedagogia matemática sem matemática? Não, por favor. Isso não é conhecimento. 

Autoconhecimento e auto-ilusão

Desde a filosofia de René Descartes até estudos neurológicos sobre a formação de falsas memórias, passando pelos estudos pioneiros de Sigmund Freud, filósofos, psicólogos, psicanalistas, neurologistas e demais pesquisadores têm se dedicado a estudos sobre autoconhecimento e auto-ilusão. E o surpreendente é que pouco consenso existe sobre esses temas. 

Nesta postagem quero colocar em discussão o que hoje se sabe sobre autoconhecimento e auto-ilusão. E quero aproveitar para discutir sobre relações naturais entre autoconhecimento e auto-ilusão e fenômenos sociais bem conhecidos: educação, ciência e até tecnologia.

A maioria dos filósofos faz uma distinção entre autoconhecimento e conhecimento a respeito do mundo externo a nós mesmos. Autoconhecimento usualmente se refere ao conhecimento que uma pessoa tem a respeito de seus próprios estados mentais, incluindo crenças, desejos, emoções e sensações em geral. No entanto, não parece haver acordo sobre como se adquire autoconhecimento. Alguns dos mais conhecidos modelos para explicar a aquisição de autoconhecimento são a observação não mediada de Descartes, o sentido interior de Locke, o modelo de transparência de Dretske, o modelo de racionalidade (em suas diferentes formas), bem como demais propostas. Para uma revisão dos principais modelos recomendo a leitura deste link. 

Associada à definição de autoconhecimento existe inevitavelmente o conceito de auto-ilusão. Em linhas gerais, auto-ilusão (ou auto-engano) é a aquisição e manutenção de uma crença - mesmo diante de fortes evidências contrárias - motivada por desejos ou emoções. No entanto, filósofos não conseguem decidir de forma unânime se o processo de auto-ilusão é voluntário ou não, ou sequer se o indivíduo auto-iludido é moralmente responsável por suas crenças. Uma vez que auto-ilusão pode tornar uma pessoa estranha para ela mesma e cegá-la quanto às suas falhas morais, o tema é naturalmente de grande importância, não apenas filosófica, mas também psicológica e até mesmo social. 

YouGov, por exemplo, é uma empresa de pesquisa de mercado que promove inúmeras avaliações de opinião pública, com escritórios espalhados em diferentes partes do mundo. Em uma pesquisa recentemente divulgada, YouGov apontou que 55% da população dos EUA se considera mais esperta do que a média. Como já foi dito por alguns, o norte-americano médio se considera mais inteligente do que o norte-americano médio. Esta é uma evidência muito forte de que a auto-ilusão é um fenômeno bastante comum. 

E mais preocupante ainda é o fato de que existem estudos sistemáticos sobre auto-ilusão coletiva mas não sobre autoconhecimento coletivo. Uma vez que a auto-ilusão coletiva se refere a grupos de auto-iludidos semelhantes entre si ou até mesmo a coletividades que se auto-enganam, fica aqui a sugestão de que ilusões coletivas são mais prováveis de ocorrer do que o compartilhamento de um mesmo auto-conhecimento. E isso faz muito sentido. Por quê? Porque o processo de autoconhecimento é individual. Cada pessoa deve ter um conhecimento único a respeito de seus próprios processos mentais. No entanto, uma mentira (ou ilusão) certamente pode ser compartilhada por coletividades, como a crença dominante do povo norte-americano de que cada um (em média) é mais inteligente do que a média. 

Neste contexto, quais são as relações entre autoconhecimento e o conhecimento a respeito do mundo externo a nós mesmos? Bem, se uma pessoa se considera mais inteligente do que outros, existe a tendência natural de ignorar opiniões ou até mesmo conhecimentos daqueles tidos como menos inteligentes. 

Um exemplo interessante de auto-ilusão coletiva é relatado por Robert Trivers, neste artigo. O autor argumenta que a auto-ilusão de um indivíduo pode estimular a ilusão em outras pessoas. E coloca a própria NASA (Agência Espacial Americana) como vítima deste processo. Segundo Trivers, foi o auto-engano institucional da NASA que levou à falha de avaliar com precisão os riscos de uma peça de vedação responsável pela tragédia do ônibus espacial Challenger, em 1986.

Um dos possíveis ingredientes para o fomento de auto-ilusão coletiva é lealdade. É justamente a lealdade de um grupo de indivíduos, perante seu líder, que pode desenvolver uma mesma postura coletiva de auto-engano. E indivíduos desprovidos de autoconhecimento estão naturalmente mais sujeitos à auto-ilusão. 

Em outras palavras, apesar de filósofos estabelecerem que autoconhecimento e o conhecimento sobre o mundo externo a nós mesmos sejam de natureza distinta, isso não impede relações íntimas entre ambas as formas de conhecimento. Afinal, por que uma pessoa acredita em uma teoria científica? Existe justificativa independente de seus estados mentais? Questões semelhantes podem ser feitas sobre crenças religiosas ou até mesmo políticas. Por que uma pessoa confia (ou não confia) no governo federal? Essa confiança (ou desconfiança) é decorrente de justificativas independentes de seus estados mentais? Aquele que crê em algo conhece seus estados mentais, bem como aquilo que os estimula?

Em diferentes partes do mundo tem surgido a crescente preocupação com o papel da universidade perante a sociedade. Há aqueles que defendem que universidades estão ensinando jovens no que pensar e não como pensar. Até mesmo nos Estados Unidos já se percebe a formação de ativistas em universidades, no lugar de acadêmicos. Como distanciar o ativismo político do auto-engano coletivo?

No Brasil jovens estão sendo tratados cada vez mais como criaturas frágeis, delicadas, incapazes de qualquer forma de autonomia. Exemplo marcante são as faculdades particulares que promovem reuniões de pais e mestres. Essa fragilidade pode ser assimilada por gerações inteiras de maneira muito rápida. É um auto-engano coletivo sustentado por comodidade garantida pelos pais desses jovens, os quais também demonstram sinais de auto-ilusão. 

Como evitar o auto-engano coletivo? A verdade é que ninguém sabe. Mas não pensar sobre essas questões e não discuti-las abertamente, sem dúvida, é uma péssima ideia. 

O que você realmente sabe?

Alguma vez você jogou Vish? Quer jogar?

Em seu famoso livro Science: Sense and Nonsense, o matemático dublinense John Lighton Synge descreve um fascinante jogo chamado Vish (abreviação para "círculo vicioso" em inglês). O jogo consiste em encontrar círculos viciosos no significado de palavras dicionarizadas. Vejamos o exemplo da palavra "homem".

De acordo com o Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa, "homem" é "mamífero da ordem dos primatas [...] caracterizado por ter cérebro volumoso, posição ereta, mãos preênseis, inteligência dotada da faculdade de abstração e generalização, e capacidade para produzir linguagem articulada". 

De acordo com o mesmo dicionário, "primata" é "ordem de mamíferos que compreende o homem, os macacos, os lêmures e formas relacionadas". Ou seja, "homem" foi definido a partir de "primata" e "primata" a partir de "homem". Temos assim uma circularidade. Já "linguagem" (termo usado na definição de homem) é colocada como "meio sistemático de comunicar ideias ou sentimentos através de signos convencionais", sendo que "signos" é plural de "signo" que, por sua vez, é sinônimo de "símbolo". "Símbolo", entre outras coisas, é uma "palavra ou imagem que designa outro objeto ou qualidade". E "palavra" é "unidade da língua escrita", sendo que "língua escrita" é uma "representação de natureza visual de uma língua". "Língua", por sua vez, é um "sistema de representação constituído por palavras". Nova circularidade! Ou seja, temos circularidades dentro de circularidades. 

Não é surpresa que um dicionário apresente circularidades para qualificar o significado de palavras e demais expressões. Afinal, dicionários devem qualificar o significado e o emprego de palavras, usando como referência as próprias palavras. Como linguagens naturais contam com uma quantia limitada de palavras e não adotam metodologias rigorosas de semântica, circularidades são simplesmente inevitáveis. E isso gera uma limitação cognitiva. Não é possível conhecer significados de palavras a partir de dicionários.

É neste momento que entram a matemática, a filosofia e a própria linguística.

Uma solução encontrada por filósofos para qualificar o significado de certos termos linguísticos é a noção de definição ostensiva. Filósofos reconheceram que o significado de certos termos empregados em linguagem natural não pode ser qualificado a partir da própria linguagem. Definições ostensivas se aplicam em inúmeras situações como, por exemplo, na qualificação de cores. Para qualificar o conceito de "vermelho" aponta-se objetos que são vermelhos. Definições ostensivas são dadas através de exemplos sensoriais. Tratam-se de uma correspondência entre linguagem e mundo real. Naturalmente, definições ostensivas apresentam consideráveis limitações cognitivas. Afinal, não são raros os exemplos de pessoas que não conseguem concordar entre si sobre a identificação de uma dada cor. Qualquer processo de generalização a partir de exemplos somente pode ser feito de forma indutiva e não dedutiva. Logo, sempre há riscos de múltiplas visões sobre um mesmo conceito definido ostensivamente.

Outra solução encontrada por filósofos é a definição operacional. Percy Williams Bridgman foi um físico que exerceu um papel filosófico importante ao propor definições operacionais em física. Segundo o operacionalismo de Bridgman, todo conceito é sinônimo de um conjunto de operações. E ele teve a pretensão de aplicar este princípio até mesmo em condições coloquiais, não necessariamente comprometidas com física teórica ou experimental. O peso de um objeto, por exemplo, é o número que aparece em uma balança quando este objeto é colocado sobre ela. Ou seja, uma operação é realizada (colocar um objeto sobre uma balança) para qualificar um conceito que se expressa linguisticamente (peso). As críticas às ideias de Bridgman são inúmeras, apontando diversas limitações em sua visão. Detalhes podem ser vistos aqui. Resumidamente, definições operacionais não esclarecem todo e qualquer significado.

Matemáticos adotaram uma estratégia muito diferente. Como matemáticos desenvolvem ideias sem compromisso com o mundo real, eles não poderiam seguir exemplos inspirados em problemas semânticos de linguagens naturais. Foi então que desenvolveram linguagens próprias, chamadas de linguagens formais. Em parceria com o método axiomático, linguagens formais são usadas de modo a se admitir que certos conceitos não são definidos e sequer definíveis, em contextos muito específicos. O significado intuitivo de conceitos não definíveis fica marcado pelas relações existentes entre esses conceitos através de axiomas (postulados).

Um dos problemas dessa estratégia é o fato de que o conceito de linguagem formal não pode ser qualificado a partir da própria linguagem formal, sem cair no velho problema da circularidade. Na prática, o que se faz é qualificar linguagem formal a partir de uma linguagem natural, como ocorre, por exemplo, no livro de Mendelson (página 34). Logo, essa estratégia fragiliza o alcance cognitivo de teorias formais. Sobre o que, afinal, estamos falando quando empregamos linguagens formais?

Outro problema do emprego de linguagens formais é o seu descomprometimento com o mundo real. No entanto, surpreendentemente as linguagens formais da matemática têm sido muito bem sucedidas para modelar fenômenos do mundo real, incluindo até mesmo linguagens naturais. Um exemplo é a teoria semântica de Richard Montague. Montague usa lógicas de ordem superior para explicar semântica em linguagens naturais. Resumidamente, usando linguagem natural para definir linguagem formal, emprega-se linguagem formal para compreender linguagem natural. Divertido, não?

Mas linguistas nem sempre apreciam o emprego de matemática. Muitos preferem visões diferentes, como aquelas que estabelecem de forma intuitiva relações entre semântica, sintática e pragmática. Semântica se refere ao estudo do significado de palavras. Sintática trata da maneira como palavras são ordenadas para formar frases e sentenças. E pragmática se refere ao estudo de contextos sociais nos quais palavras, frases e sentenças são usadas na prática e como esses contextos alteram significados. Para linguistas, não há como conhecer semântica sem levar em conta sintática e pragmática. No entanto, contextos sociais são muito variados, mesmo entre povos que supostamente compartilham a mesma língua. Portanto, temos novamente uma limitação cognitiva na compreensão sobre o que, afinal de contas, realmente sabemos, principalmente quando tentamos expor nossos conhecimentos através de linguagens naturais. 

Ou seja, se você entendeu o que está escrito nesta postagem, possivelmente compreendeu algo muito diferente do que eu gostaria de dizer. Mas será que eu sei o que eu gostaria de dizer?

Usando matemática para combater fanatismo

George Santayana é um dos nomes mais importantes da filosofia da primeira metade do século 20. O foco de sua obra reside nos processos criativos humanos em diferentes manifestações culturais, incluindo artes, filosofia, literatura, religião e ciências. Diferente de Russell, que percebia a religião como algo agressivamente nocivo à sociedade, Santayana entendia a religiosidade como uma postura que poderia ser benéfica.

Na visão de Santayana a ciência oferece explicações para fenômenos naturais. Já a poesia e a religião são celebrações festivas da vida humana. Se poesia ou religião forem confundidas com ciência, a arte da vida se perde junto com a beleza da poesia e da religião. Vale observar que Santayana não era religioso. Alguns até sugerem que ele era agnóstico. Isso demonstra claramente que Santayana tinha uma mente aberta para possíveis modos de percepção do mundo. Para este filósofo espanhol, radicado nos Estados Unidos, fanático é aquele que redobra seus esforços, perdendo de vista seus objetivos. E é esta visão que quero usar nesta postagem.

Uma postura consistente com o fanatismo discutido por Santayana é a adoção de padrões inflexíveis de julgamento, aliados à intolerância por ideias contrárias àquelas defendidas pelo fanático. De forma alguma isso sugere que o fanático seja uma pessoa que tenha a intenção de ser desonesta. Pelo contrário, a prática parece demonstrar que as ideias defendidas por um fanático são comumente expressas de uma maneira que jamais podem ser mostradas como falsas. Isto é, o fanático mergulha em um mundo que ignora a discussão crítica. Aliás, esta percepção sobre fanatismo já foi colocada por Neil Postman, um profissional da educação que defendeu ideias bastante radicais (fanáticas?).

Geralmente, quando se fala em fanatismo, pensa-se em apenas dois aspectos culturais: política e religião. No entanto, defendo aqui que o fanatismo se manifesta até mesmo em atividades culturais que deveriam (por natureza própria) evitá-lo: ciência, filosofia e educação. Neste texto quero dar especial ênfase à ciência e à educação, usando como exemplo crítico a matemática. 

Quando um professor de matemática defende que é impossível dividir um número real por zero, ele está sendo fanático. Isso porque redobra seus esforços (reprovando o aluno que pensa diferente) para impor um preconceito, perdendo de vista seu objetivo. Qual deveria ser o objetivo de um professor de matemática? Ensinar e educar matemática! Até mesmo o excelente site Wolfram erra gravemente, ao discutir sobre divisão por zero, ignorando discussões extremamente pertinentes promovidas em lógica. Veja, por exemplo, a página 163 deste livro. 

Quando um professor de matemática defende a inquestionabilidade da demonstração por redução ao absurdo, ele está sendo fanático. Isso porque redobra seus esforços (afirmando que matemática é uma ciência exata) para impor um preconceito, perdendo de vista seu objetivo. Afinal, matemática não se faz de uma única maneira. Existem múltiplas posturas filosóficas sobre como matemática deve ser desenvolvida. A lógica intuicionista de Brower, por exemplo, rejeita o princípio do terceiro excluído, fundamental para demonstrações por redução ao absurdo (do ponto de vista da lógica clássica). Brower era contrário ao preconceito de que todo problema matemático admite solução. E esta visão filosófica se confirmou mais de duas décadas depois, com os resultados de incompletude de Gödel. 

Muitos outros exemplos poderiam ser citados. Mas creio que isso já basta para o próximo passo desta postagem. 

Matemática lida com conceitos abstratos, tratados por meio de linguagens e lógicas rigorosamente definidas. Matemática, portanto, lida com universos de discurso supostamente controlados por aqueles que a concebem e desenvolvem. No entanto, os próprios matemáticos perceberam que este ramo do conhecimento é extraordinariamente aberto a visões filosóficas conflitantes entre si. Ou seja, por mais que se tente controlar o ambiente matemático com rigor e formalismo, jamais estamos livres da possibilidade de trabalharmos com novos universos, novas matemáticas. Exemplos disso são inúmeros, incluindo principalmente as geometrias não-euclidianas (que romperam com a milenar visão euclidiana sobre geometria) e as lógicas paraconsistentes (que evidenciaram um novo universo de lógicas nas quais contradições não implicam na trivialização de teorias). E mesmo que o matemático tenha a pretensão de ignorar visões alternativas sobre matemática, eventualmente até ele é pego de surpresa em seu próprio universo de estudos. Um exemplo bem conhecido é a postura formalista de Hilbert, que foi abalada pelo segundo teorema de incompletude de Gödel (apesar de alguns matemáticos ainda discordarem disso). Ou seja, matemática não é uma ciência tão exata assim. Ela é tão digna de discussões e controvérsias quanto qualquer outro ramo do conhecimento, apesar de suas controvérsias terem uma natureza ideológica diferente do que normalmente se encontra em política e religião. Usualmente pessoas não matam em nome da matemática. Mas matam em nome da política e da religião. Por quê?

Já um cientista político jamais pode ter a pretensão de lidar com ambientes controlados, como eventualmente o matemático sonha. Um cientista pode estudar matemática sem se preocupar com aspectos de ordem psicológica, social ou até mesmo prática. Já um cientista político não pode ignorar aspectos de caráter interdisciplinar. E, especialmente, não pode deixar de lado fenômenos sociais do mundo real. Neste sentido, a compreensão de política exige uma responsabilidade muito maior do que aquela demandada por uma compreensão da matemática. Tanto é verdade que hoje já se sabe que somente grupos de pessoas treinadas são capazes de fazer previsões políticas precisas. Cientistas políticos e demais especialistas, sozinhos, são incompetentes para prever o futuro político de nações, segundo pesquisas recentes de Philip Tetlock. 

Já religião toca em aspectos muito mais sutis, supostamente intangíveis pela racionalidade. Enquanto um matemático e um cientista político podem e devem apelar à racionalidade (sob diferentes formas), a fé religiosa não está compromissada com qualquer forma de razão, nos sentidos usuais do termo. Portanto, refletir de maneira responsável e aberta sobre religião é um desafio realmente monumental. 

Agora podemos tratar da questão proposta no título da postagem. Ciência e educação devem caminhar juntas. Cabe à ciência, entre outras coisas, a compreensão e a respectiva divulgação dos processos educacionais e cabe à educação o acompanhamento da ciência. Não se pode lecionar matemática, por exemplo, sem sintonia com a matemática que hoje se pratica. Se alunos forem expostos às incertezas e à multiplicidade de ideias matemáticas, eles deverão perceber que mesmo em universos idealizados não se tem controle absoluto sobre o que se faz. E se em universos sonhados por matemáticos nem sempre sabemos o que estamos fazendo, quem dirá em outras atividades culturais, como política e religião. 

Um mundo aberto a incertezas é um mundo livre de fanatismos. É claro que isso soa como uma utopia. Mas, assim como religiosos buscam o contato com Deus, é natural que busquemos idealizações. O sonho por um mundo livre de ideologias é também uma ideologia. E é justamente com essa contradição que precisamos aprender a lidar. Um professor que impõe conhecimentos supostamente matemáticos está apenas contribuindo para uma sensação gradualmente inserida de que há verdades inquestionáveis. Impossibilidade de dividir por zero não é uma verdade inquestionável. Usualmente não se define divisão por zero (no escopo dos números reais) por mera convenção. Deus não é uma verdade inquestionável, assim como Deus não é uma falsidade irrefutável. Democracia não é infalível, assim como ditadura não é inevitavelmente desastrosa. 

Defender ideologias é natural e fundamental. Mas quando a ideologia se torna irrefutável, com base em argumentos dela mesma, temos aqui a possibilidade muito real de puro fanatismo. E fanatismo é um fenômeno social que isola pessoas ou grupos de pessoas. Fanatismo desestabiliza sociedades. 

Ao contrário do que dita o senso comum, o fanatismo nem sempre está associado a entusiasmo exagerado, mas pode se manifestar também por um zelo irracional ou por simples noções extravagantes a respeito de um assunto. O zelo de um professor de matemática por um conteúdo específico (como a impossibilidade de dividir por zero) pode ser perigosamente confundido com uma atitude racional. Afinal, o professor de matemática usa o argumento de que o número real r não pode ser dividido por zero porque é impossível exibir um número real s tal que s vezes zero resulte em r. Com efeito, s vezes zero é sempre zero. Mas esta estratégia de argumentação ignora a visão da teoria de definições. É neste momento que o professor jamais olha para fora do conteúdo imposto, limitando sua visão e tornando-se um fanático. Não é necessariamente um fanático que grita e briga. Pode ser um fanático que apenas ri do aluno questionador, sugerindo que este seja um mero ignorante. Mas ainda é um fanático.

Nossas escolas, com suas lições de respostas definitivas para questões de múltiplas escolhas, apenas contaminam o senso crítico de nossos jovens. E jovens sem senso crítico se transformam em adultos sem senso crítico. Se existe a ideologia de transformar o Brasil em uma democracia, este sonho jamais será realizado com o atual sistema de ensino. E um ótimo ponto de partida para começar qualquer revolução no ensino brasileiro é a matemática. 

Filosofia e Sociedade

Filosofia pode ser útil? Faz sentido falar a respeito de filosofia aplicada?

Em postagem recente fiz uma discussão preliminar sobre algumas das diferenças entre física e filosofia da física. Foi defendida a ideia de que a filosofia da ciência de hoje está perigosamente desatualizada sobre a prática científica, especialmente no caso da física teórica e experimental. Nesta postagem coloca-se uma perspectiva diferente.

Talvez o nome mais importante associado nos dias de hoje à filosofia aplicada seja o de Ayn Rand. Rand foi uma romancista, dramaturga e roteirista (de Hollywood), autora de obras de grande impacto (algumas traduzidas para o português). E no conjunto de seus escritos - os quais incluem não apenas ficção, mas também ensaios - Rand desenvolveu aquilo que hoje se conhece como Objetivismo. Esta linha de pensamento filosófico é reconhecida e discutida detalhadamente, por exemplo, na Stanford Encyclopedia of Philosophy, onde até mesmo uma entrevista à revista Playboy é citada. 

Quando se fala a respeito de aplicações da filosofia nos dias de hoje, normalmente se pensa sobre Ética. Códigos de ética são exemplos muito conhecidos de aplicações da filosofia, pois permitem estabelecer normas de conduta, por exemplo, para profissionais de diferentes áreas. Neste sentido, questões éticas são inevitáveis na visão de Rand sobre política, sociedade e indivíduo. No entanto, a filosofia de Rand trata também das origens metafísicas e epistemológicas de fenômenos sociais como o racismo, a dicotomia entre liberdade pessoal e econômica e visões compartimentalizadas que levam ao dualismo mente-corpo. Rand demonstrava uma forte aversão à compartimentalização do conhecimento, principalmente no que se refere ao desenvolvimento intelectual do indivíduo (outra aplicação!). 

Preciso deixar claro que não estou aqui defendendo qualquer postura filosófica de Rand. Apenas coloco o fato de que, através de obras ficcionais e ensaios, ela conseguiu provocar um impacto social e filosófico inegável em diferentes partes do mundo. Até mesmo um partido político foi concebido nos Estados Unidos, por iniciativa de admiradores. E hoje existe o periódico The Journal of Ayn Rand Studies, publicado pela Pennsylvania State University Press.

Mas o exemplo de Rand e discípulos não é isolado. O periódico Journal of Applied Philosophy, publicado pela Wiley, conta com um fator de impacto de 0,551. Entre as publicações mais recentes encontramos discussões extremamente pertinentes sobre ética e responsabilidade no emprego de robôs na guerra, bem como a atitude comumente justificada em favor da tortura para obter informações que previnam ataques terroristas. O Journal of Applied Philosophy chega a oferecer um prêmio de mil libras esterlinas para o melhor artigo publicado naquele veículo em cada ano. Esta é uma iniciativa muito rara entre periódicos acadêmicos, evidenciando um movimento que busca, com certa urgência, vencer o preconceito de que a filosofia é um ramo do conhecimento não compromissado com aplicações relevantes à sociedade.

Os exemplos históricos do impacto social da filosofia são inúmeros. Na área de ciências, por exemplo, o mais conhecido é a Royal Society. Fundada em 1660, a Royal Society é a mais antiga sociedade científica interdisciplinar ainda em atividade e é conhecida como a instituição que marcou o nascimento da ciência moderna. Concebida a partir dos preceitos filosóficos de Francis Bacon, esta iniciativa estabeleceu a língua inglesa como principal idioma para comunicações científicas e criou os critérios editoriais até hoje empregados por periódicos especializados do mundo todo. Isaac Newton foi um dos presidentes da Royal Society. E isso, por si só, já diz muito.

Portanto, a influência da filosofia sobre a própria ciência tem se demonstrado perene. O que resta, agora, é avaliar como a filosofia pode se manter ainda impactante, sob o ponto de vista social. Não é apenas com os louros do passado que a prática filosófica se manterá viva e relevante. 

Outros exemplos poderiam ser citados, como as concepções filosóficas que deram origem a diferentes formas de governo, incluindo a democracia, a república, o comunismo e a monarquia. As teorias filosóficas do Estado de Platão, Hobbes, Locke e Rousseau, bem como suas repercussões práticas, são bem conhecidas. No entanto, exemplos como o de Ayn Rand devem ser avaliados com especial atenção, principalmente nos dias de hoje. Esta mulher representou um contato direto entre filosofia e sociedade. E o fato é que existe particularmente em nosso país uma mentalidade de que filosofia é a mera exegese de obras consagradas ou a irresponsável reflexão baseada em senso comum e pouca informação. Como o Brasil definitivamente não tem tradição filosófica alguma, precisamos reconhecer com urgência nossos erros e decidir se queremos realmente filosofar em nossas terras ou se apenas queremos posar como pensadores que, na prática, não somos perante o mundo.

Assim como tento promover neste blog discussões sobre matemática e ciência perante a sociedade, por que não encontramos fórum parecido que promova discussões sobre filosofia e sociedade? 

O que encontro em sala de aula são alunos com visão completamente fragmentada de mundo. Lecionar na Universidade Federal do Paraná, por exemplo, é como executar a música Quadros de uma Exposição, de Modest Mussorgsky, para um público cego, incapaz de ver os quadros de Viktor Hartmann. É essa compartimentalização de conhecimentos que está envenenando a capacidade de pensar de nossos jovens, os quais compartimentalizam até mesmo disciplinas muito específicas, como cálculo diferencial e integral: limite é uma coisa e derivada é outra.

A diferença entre física e filosofia da física

Em função de discussões recentes neste blog, sobre física e filosofia da física, creio que esta seja uma ótima oportunidade para esclarecer, da melhor maneira possível, o que são essas áreas do conhecimento.

Justamente por não existir uma definição rigorosa que caracterize o que é o ramo do conhecimento usualmente chamado de física, a distinção entre física e filosofia da física fica bastante comprometida. No entanto, alguns pontos importantes podem ser salientados para evitar confusões bastante frequentes, principalmente entre aqueles que não têm familiaridade com essas atividades de investigação. 

De acordo com a usual visão dicionarizada, a física é o ramo do conhecimento que se ocupa do estudo da matéria, de energia e das interações entre matéria e energia. Essa noção por si só já abre espaço para muita discussão, uma vez que não existe um conceito claro para energia. Cada teoria física, em cada formulação, adota noções específicas sobre o que, afinal, é energia. Até mesmo o conceito de matéria é vago, uma vez que hoje em dia já se fala sobre a suposta existência de uma matéria escura (que pode estar permeando nossa própria galáxia) a qual interage com campos gravitacionais. No entanto, como campos gravitacionais exercem influência sobre matéria (no sentido tradicional da expressão), logo este conceito ainda hipotético atrai a atenção de físicos do mundo todo. 

Por que os físicos (indivíduos que desenvolvem a física) adotam uma noção tão vaga quanto a de energia? O motivo é ardiloso e parece remeter a uma necessidade humana de identificação de padrões matemáticos na natureza. Todas as teorias físicas são fundamentadas em princípios de invariância. Se um físico deseja estudar, por exemplo, colisões entre partículas, ele pode assumir que a energia total de um dado sistema de partículas é invariante (não se altera com o passar do tempo), apesar de outras grandezas físicas poderem mudar, como posição, velocidade ou momento linear. Ou seja, um princípio de invariância de energia pode ser adotado quando outros princípios de invariância não podem ser assumidos no contexto de uma dada teoria ou de um modelo que vise explicar um fenômeno físico em particular. Para uma inspirada visão intuitiva sobre o conceito de energia em física teórica, recomendo este link.

O leitor poderia questionar o que é um fenômeno físico. É justamente neste ponto que a física vive hoje em uma armadilha aparentemente criada pelos próprios físicos. De acordo com Karl Popper, famoso filósofo da ciência do século passado, toda teoria científica deve ser falseável. Em outras palavras, teorias científicas devem fazer previsões de risco. Neste contexto, se assumirmos que toda teoria física é uma teoria científica, então toda teoria física deve fazer previsões que possam ser contrastadas com observações ou experimentos realizáveis em laboratório. Se uma teoria física como a gravitação newtoniana prevê que uma pluma e uma bola de chumbo devem chegar ao solo no mesmo instante, quando largados de uma mesma altura, então o físico experimental deve ser capaz de fazer testes em laboratório para corroborar esta previsão. É claro que, para testar tal previsão, o físico experimental precisa realizar essa experiência em condições próximas de ideais (antecipadas pelo físico teórico), nas quais pluma e bola de chumbo não sofrem resistência do ar ou demais interferências. E, é claro, o físico experimental deve estar ciente de que todas as suas medições estão sujeitas a erros. Daí a necessidade do estudo de teoria dos erros, a qual é (em princípio) inerente a toda e qualquer teoria física. 

No entanto, a física atingiu nos dias de hoje certos níveis de abstração que desafiam a testabilidade de várias teorias, como a do Big Bang e as de cordas. A teoria do Big Bang se sustenta na tese de que o Universo foi criado bilhões de anos atrás, a partir de uma grande explosão que teria dado origem à matéria e até mesmo ao espaço-tempo. Mas como testar em laboratório a origem do Universo, uma vez que vivemos nele? O Big Bang foi um fenômeno físico? Já as teorias de cordas preveem a existência de dimensões extras (além das quatro dimensões do espaço-tempo antecipadas por outras teorias, como a relatividade geral) que são impossíveis (pelo menos nos dias de hoje) de serem verificadas como existentes ou inexistentes. Até mesmo a detecção do famoso bóson de Higgs (que rendeu o Prêmio Nobel para o seu idealizador) é confirmada apenas por evidências indiretas, sustentadas por muita análise estatística. Ninguém até hoje viu uma partícula (da mesma forma como é possível ver uma maçã) que pudesse ser imediatamente identificada como o bóson de Higgs. Isso ainda não é possível ser feito, sequer em princípio. 

Portanto, de duas uma: ou o critério de falseabilidade de Popper, para identificar teorias científicas, precisa de uma severa revisão ou várias teorias físicas (em um sentido social) amplamente estudadas hoje em dia simplesmente não são teorias físicas (em um sentido filosófico). Se existe uma distinção supostamente oficial entre física e filosofia da física (ou, como insistem alguns, entre os objetos de estudos da física e da filosofia da física), tal diferença serve muito mais aos propósitos burocráticos de políticas de financiamento de pesquisas do que aos propósitos de uma legítima e clara diferenciação entre ramos do conhecimento. 

Logo, o principal problema para caracterizar o que é uma teoria física reside na decisão de uma postura a ser adotada: devemos entender teorias físicas em um contexto social ou filosófico?

O contexto social é bem mais claro do que o filosófico: teorias físicas são aquelas que rendem publicações em periódicos especializados de alto nível (de acordo com critérios editoriais bem conhecidos) tradicionalmente identificados como publicações de física. Ou seja, é a prática social de pessoas formalmente contratadas como físicos em universidades e institutos de pesquisa que supostamente define o que são teorias físicas. 

Já o contexto filosófico é ainda um desafio muito grande. Existem aqueles que defendem que a postura popperiana depende apenas de muito trabalho ao longo de muito tempo para que ideias abstratas de hoje sejam corroboradas no futuro. Existem aqueles que creem que basta uma teoria física ser suficientemente elegante (do ponto de vista teórico) para que seja reconhecida como verdadeira. E existem aqueles que creem que teorias físicas devem apenas salvar as aparências, no sentido de que toda teoria física é quase-verdadeira. Esta última visão contrasta claramente com a postura popperiana. 

A postura social para qualificar teorias físicas é, hoje em dia, mais objetiva do que a filosófica. Isso porque a postura social depende da prática de editores e referees, em primeira instância, e de citações e aplicações tecnológicas, em segunda instância. No entanto, ela é altamente questionável. Isso porque podemos facilmente identificar ideias polêmicas publicadas em excelentes periódicos de física. Já a postura filosófica para qualificar o que é uma teoria física tem encontrado uma considerável dificuldade para acompanhar os avanços mais recentes e impactantes publicados nos periódicos de mais alto nível. Ou seja, Popper está ficando para trás, apesar de ser a mais conhecida referência filosófica sobre o que deve ser identificado como uma teoria científica. 

Como o estudo de física é uma atividade social (são pessoas e grupos de pessoas que investigam teorias físicas), é natural que a postura social para qualificar teorias físicas seja dominante sobre a filosófica. Ou seja, são os filósofos da física que devem se adaptar às práticas sociais dos físicos e não o contrário. Quem não concordar com esta visão, não tem escolha a não ser se empenhar em uma visão filosófica que seja socialmente aceita pelos físicos. Mas, para que isso ocorra, é ironicamente necessário que o filósofo se renda a uma postura social. Caso contrário, ele jamais será ouvido por físicos. Enquanto a filosofia da física for objeto de estudos apenas de filósofos (e não de físicos) ela jamais merecerá seu nome. Como promover filosofia da física sem contato com a física? Filosofia da física que não seja socialmente recebida por físicos é filosofia do faz-de-conta. 

O que é filosofia da física? Tradicionalmente é o estudo do caráter metodológico, epistemológico e ontológico de teorias físicas. Mas nas últimas décadas o papel do filósofo da física tem se modificado para algo novo, além da visão tradicional. Roger Penrose, por exemplo, especulou anos atrás que os únicos fenômenos físicos não computáveis ocorriam apenas em escalas quânticas. Esta especulação, de caráter claramente filosófico, foi baseada na experiência profissional de Penrose, intuitivamente compartilhada por muitos outros físicos. No entanto, da Costa e Doria provaram que a conjectura de Penrose precisava ser melhor qualificada, apresentando exemplos de não-computabilidade em teorias físicas clássicas. Este é um exemplo que sustenta a tese de Max Jammer de que certas especulações filosóficas em física teórica somente podem ser respondidas com o emprego do método axiomático, ou seja, com muita conta. Em contextos como este os papeis do físico e do filósofo da física comumente se confundem. Um físico, no sentido estrito do termo, pode legitimamente desempenhar um papel filosófico em seu trabalho, assim como um filósofo pode efetivamente contribuir para o avanço tanto da física teórica quanto experimental. Um exemplo muito elegante dessa nebulosa fronteira entre física e filosofia da física é a medição sem interação. Um artigo essencialmente especulativo publicado em Foundations of Physics deu origem a técnicas de fotografia nas quais luz jamais incide sobre o objeto fotografado.

Para que uma pessoa promova filosofia da física, é fundamental que ela esteja familiarizada com a contraparte matemática das teorias físicas, mesmo que sua filosofia seja meramente especulativa. 

Considere como exemplo a Terceira Lei de Newton. Em linguagem natural costuma-se dizer que a toda força de ação de um corpo A sobre um corpo B corresponde uma força de reação de B em A de mesma direção e intensidade, mas com sentido contrário ao da ação. No entanto, em formulações axiomáticas usuais da mecânica newtoniana não existe qualquer distinção entre uma força de ação e uma de reação. Isso porque ambas as forças atuam em um mesmo instante, não sendo possível estabelecer uma relação de causalidade que diferencie ação de reação, como a linguagem natural sugere. Como o filósofo pode perceber isso se ele especular filosoficamente a partir do que lê apenas em linguagem natural, sem conhecimentos detalhados sobre a matemática empregada em diferentes formulações da mecânica newtoniana? 

Todas as teorias físicas desenvolvidas nos últimos dois séculos são fortemente sustentadas por matemática, apesar de serem também alicerçadas por intuições que escapam do domínio matemático. E mesmo físicos experimentais são obrigados a se render à matemática da teoria de probabilidades e técnicas estatísticas. Ou seja, sem matemática não se concebe física, seja teórica ou experimental. Mas insisto: não basta matemática para se desenvolver teorias físicas.

Quando um filósofo especula em linguagem natural a respeito de alguma teoria física, ele naturalmente corre grandes riscos. Isso porque físicos adotam várias práticas contraditórias entre si, apesar de usualmente dependerem de teorias matemáticas clássicas (que supostamente evitam contradições). Há diversos exemplos na literatura especializada:

1) Neste link há uma discussão sobre um trabalho no qual os autores especulam a existência de partículas virtuais no estado de vácuo quântico. No entanto, todas as contas são feitas no escopo de uma teoria de campos e não de partículas. 

2) O célebre átomo de Bohr é um modelo físico para a estrutura do átomo que assume pressupostos contraditórios entre si (consegue identificar as contradições?).

3) Em mecânica quântica se emprega teoria de probabilidades para tratar do colapso de estados puros para auto-estados sem que seja explicitada a álgebra de eventos. Ou seja, físicos quânticos adotam probabilidades ou não?

Portanto, a especulação filosófica sobre qualquer teoria física é altamente questionável justamente porque a prática do físico teórico também é. E o perigo da especulação filosófica sobre uma teoria física se torna muito maior quando ela é sustentada por outra especulação filosófica. Esta, aliás, é uma prática indesejavelmente frequente. 

É bem conhecido que Ernst Mach especulou filosoficamente sobre a obra de Isaac Newton. Podemos, portanto, especular filosoficamente sobre as especulações de Mach? Esta é uma questão extremamente delicada. Por um lado, Isaac Newton abriu mão de muitas ferramentas matemáticas que ele mesmo criou, ao escrever sua obra máxima Principia, a qual retrata em primeira mão suas ideias que deram origem à mecânica newtoniana. Em segundo lugar, a vaguidade das ideias de Newton deu origem a múltiplas visões sobre o que é, afinal, mecânica newtoniana. Exemplos bem conhecidos são as formulações de McKinsey-Sugar-Suppes, Noll e Arnol'd que, por sinal, não são equivalentes entre si. Em terceiro lugar, as críticas de Mach sobre o conceito de inércia na obra de Newton também deram origem a múltiplas visões teóricas. Exemplos são as formulações de Assis e Sant'Anna-Maia, as quais são contraditórias entre si. Portanto, como especular sobre um especulador? Só existe uma maneira para fazer isso: com muito cuidado.

Se alguém deseja criticar (em linguagem natural) parte da obra de Newton, usando como referência Mach, deve deixar claro sobre o que está especulando. Isso porque esse tipo de atividade filosófica não recai apenas sobre uma teoria física, mas sobre uma visão histórica e parcial de uma teoria física que não atende aos conceitos atuais de rigor científico. Para que se especule filosoficamente sobre uma visão machiana da obra de Newton, é necessário que se leia com extremo cuidado tanto a obra original de Mach quanto a de Newton. E como fazer isso sem conhecimentos profundos de alemão e latim? Se se pretende resgatar uma visão histórica, o conhecimento desses idiomas é imprescindível. 

Se, porém, o objetivo é filosofar sobre uma interpretação específica e usual da visão machiana sobre inércia, não há necessidade da leitura do texto original de Mach (apesar de ser evidentemente desejável). Mas há a necessidade da leitura do texto original que aponta para aquela interpretação específica, com a devida citação, seja em artigo técnico (formal) ou de divulgação (informal). 

Cito um exemplo. Clovis Maia e eu publicamos um artigo no qual mostramos que uma conjectura de Andre Assis sobre inércia precisava ser melhor qualificada. Segundo Assis, a gravitação newtoniana (no sentido atual) é incompatível com a explicação da inércia dos corpos a partir de uma casca esférica com distribuição isotrópica de massa. O que Maia e eu fizemos foi mostrar que uma fórmula de gravitação com a mesma forma da newtoniana é compatível com um princípio de inércia baseado em uma casca esférica com distribuição isotrópica de massa, à qual Assis se refere como Princípio de Mach. Ou seja, fizemos um trabalho a partir de certas ideias de Assis e não de Mach. O que Assis afirma categoricamente sobre Mach é questionável. E o que Assis afirma categoricamente sobre sua própria visão a respeito de inércia também é altamente questionável. 

Trabalho semelhante fiz sobre uma conjectura altamente especulativa do filósofo Nick Huggett. 

A filosofia da ciência que consigo praticar, por conta de limitações pessoais, é aquela que envolve contas. Admito que tenho extrema dificuldade para lidar com filosofia especulativa. Mas essa dificuldade decorre do fato de que a filosofia especulativa demanda uma profundidade de conhecimentos que é muito mais rara do que usualmente se pensa. Não creio que exista no Brasil algum filósofo da física (ou qualquer outra pessoa) que consiga especular com responsabilidade sobre a obra de Isaac Newton, sem fazer confusões de contextos social, histórico, epistemológico, metodológico e ontológico. Para que uma especulação séria fosse feita, seria necessário um profundo conhecimento dos textos originais de Newton, do contexto histórico em que Newton produziu suas ideias, dos textos originais de seus mais conhecidos críticos e dos textos originais que traduziram matematicamente as ideias deste grande físico britânico ao longo dos séculos. Isso porque a obra original de Newton ramificou-se de uma maneira excepcional. Ignorar essas ramificações em um trabalho exegético sobre a obra de Newton se qualifica, na melhor das hipóteses, como uma análise histórica e não filosófica. Grandes mentes perceberam a obra de Newton de múltiplas formas. E é isso que faz de Newton uma das mais brilhantes mentes que já existiram. Sua obra transcendeu a qualquer expectativa que o próprio Newton poderia ter.

Uma das mais perigosas práticas dos filósofos da física de hoje é a persistente publicação de artigos escritos a duas mãos. Para que a filosofia da física atinja os níveis de excelência que teve no passado, é necessária a colaboração, a parceria. Teorias físicas antigas e consagradas ramificaram-se de múltiplas formas. Teorias físicas novas demandam conhecimentos matemáticos de extraordinária sofisticação. Quem consegue dominar múltiplos idiomas, história, sociologia, matemática, física teórica, física experimental e filosofia, para que possa especular filosoficamente sobre teorias físicas ou, pior, sobre teorias físicas antigas? Sem diálogo real entre especialistas de diferentes áreas, o filósofo da física está praticamente condenado a um mundo no qual se confunde especulação filosófica, científica e histórica com fantasia e devaneios. Aliás, um exemplo bem conhecido disso aconteceu surpreendentemente com o próprio Popper. 

Em uma palestra realizada na Itália, Popper defendeu ser possível a comunicação instantânea entre dois indivíduos, supostamente usando um princípio de não-localidade da mecânica quântica. Gian Carlo Ghirardi mostrou a Popper, na lousa, que essa ideia simplesmente não funciona. Popper teria respondido: "Não entendo as suas contas, mas eu sinto que isso funciona." Essa história está reportada neste livro. 

Se uma mente brilhante como a de Popper conseguiu cometer erro tão primário, quem é capaz de se julgar como um especulador infalível?

Escrevi esta postagem em virtude de manifestações recentes e eventualmente convulsivas de Olavo de Carvalho e de alguns bizarros seguidores a respeito de uma postagem minha neste blog. Pois bem, segundo Carvalho, ser filósofo é "acreditar piamente na capacidade humana de compreender a realidade e apostar a vida nessa crença." Já Bertrand Russell afirmou algo completamente diferente: "Eu jamais morreria pelas minhas crenças, pois eu poderia estar enganado." Por que esta posição de Russell? Porque este sim foi um filósofo.