sábado, 28 de janeiro de 2012

Matemática e História: um exemplo de interdisciplinaridade no ensino médio

Apresentamos aqui um exemplo muito simples de atividade interdisciplinar que pode ser desenvolvida em uma turma de pré-universitários com conhecimentos muito básicos de geometria plana, geometria espacial e trigonometria. Originalmente desenvolvi este exemplo em 1981, quando eu era aluno do segundo ano do ensino médio. Espero que aproveitem.


Considere um polígono regular de n lados medindo k (cada um), área T e apótema a. Vale lembrar que o apótema de um polígono regular é o raio da circunferência inscrita ao polígono. 


Considere agora uma pirâmide regular reta com n faces laterais, área total T (área da base B somada à área lateral L) e apótema a, lembrando que o apótema de uma pirâmide regular reta é a altura de cada face lateral que, por sua vez, é um triângulo isósceles. 


É possível provar que, se b denota a aresta da base da pirâmide, então b/k = B/L = L/T = número de ouro.


A imagem abaixo ilustra o enunciado para o caso particular em que n = 5. Portanto, o polígono ilustrado é um pentágono regular. As faces laterais da pirâmide estão representadas em verde. Toda a parte branca da imagem tem uma área total igual à área da base da pirâmide.
Para quem não lembra, o número de ouro pode ser definido como o número real positivo cujo inverso é igual a ele mesmo somado de um. Tal enunciado admite duas soluções, a saber, uma positiva e uma negativa. Estamos interessados apenas na solução positiva, que é igual à metade da diferença entre a raiz quadrada de cinco e um. Isso corresponde a aproximadamente 0,618. É um número irracional, porém não transcendente.


Na internet é muito fácil encontrar informações sobre o número de ouro, o qual é empregado para definir proporções esteticamente atraentes em desenho, arquitetura e até mesmo na música.


Todas as pirâmides definidas como no enunciado acima têm as faces laterais com a mesma inclinação em relação à base. Essa inclinação é de aproximadamente 51 graus, 49 minutos e 38,25 segundos de arco. Este é o arco cujo co-seno é o número de ouro.


No caso especial em que n = 4, temos uma pirâmide com as mesmas proporções da Grande Pirâmide do Egito, a de Quéops. Na verdade essa coincidência de proporções é apenas aproximada (com uma margem de erro de aproximadamente um minuto de arco), pois a Pirâmide de Quéops foi severamente danificada ao longo dos milênios de sua existência. Originalmente ela contava com uma guarnição que a revestia, a qual foi destruída pelo próprio povo egípcio para a construção de casas. 


Do ponto de vista matemático, este problema é bastante rico, apesar de exigir poucos conhecimentos. A partir de área de triângulo, pode-se deduzir a área de qualquer polígono regular. Além disso, o aluno deve conhecer proporcionalidade entre lados de triângulos semelhantes e noções básicas de trigonometria. Saber resolver equações de segundo grau também é fundamental para lidar com o problema aqui proposto.


Do ponto de vista histórico, fica um pouco mais fácil compreender e apreciar os avançados conhecimentos matemáticos, arquitetônicos e de engenharia da antiga civilização egípcia, a qual também cultivava astronomia e medicina. E outros exemplos históricos podem ser apresentados sobre o uso de proporções áureas entre povos antigos. 


Se o leitor quiser, pode estender o resultado acima para círculos e cones. Ou seja, dado um círculo de raio r e área S, é possível definir um cone reto com área total S, raio da base s e geratriz r, de modo que necessariamente s/r = B/L = L/S = número de ouro, sendo B e L as áreas lateral e da base do cone, respectivamente.


Ou seja, levando em conta que a mesma estética áurea é aplicável a pirâmides retas regulares quaisquer (e até mesmo a cones), fica a pergunta: por que os egípcios optaram apenas por bases quadradas?

9 comentários:

  1. Fantástico!!

    Adonai, você tem alguma ideia da resposta de última pergunta?

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    1. Oi Susan, o número 4 era sagrado para os egipcios antigos, pois representava a própria posse da terra e depois com os gregos o mesmo símbolo passou a ser associado astrologicamente com o planeta. Trata-se de um círculo dividido em quatro partes iguais, como um sinal de "mais" inscrito na circunferência.

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    2. Obrigada Alex... eu sabia que o 4 era sagrado para eles... mas não sabia porquê.

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  2. Susan

    Até onde sei, esta é uma questão ainda em aberto.

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  3. Já li algo a respeito do número áureo e do seu uso não somente em engenharia e arquitetura, mas se não me engano a proporção áurea aparece também em muitas obras de arte, estudos geométricos e mesmo algumas pinturas e outras obras famosas, incluindo alguns esboços de Da Vinci!!!!!

    Talvez não tão fantástico quanto o número áureo, mas igualmente curioso, é a história do desenvolvimento dos logaritmos e suas aplicações geométricas, como na descrição de desenhos em espiral, por exemplo.

    A história dos logaritmos já renderia, por si só, um exemplo de mais uma postagem interdisciplinar, uma vez que os logaritmos parecem ter sido desenvolvidos como um método prático para facilitar extensos cálculos aritméticos, cujos resultados passaram a ser facilmente deduzidos por meio de tábuas bem descritas, ao invés da longa e exaustiva operação aritmética (principalmente de multiplicação).

    Imagino que, neste contexto, haja alguma conexão com a Contabilidade, pois esta última também lida com números e operações aritméticas extensas.

    Não seria isto um exemplo de interdisciplinaridade entre Matemática e Contabilidade?????

    Além disso, se não me engano, um outro exemplo interessante seria um método alternativo para o cálculo do volume de alguns poliedros (inclusive para a esfera), por meio de um arranjo experimental que remete à lei das alavancas de Arquimedes!!!!!

    Vou ver se ainda tenho disponível este material, pois faz tempo que li algo sobre. Se eu ainda tiver, faço questão de postá-lo aqui.

    Seria um bom exemplo de interdisciplinaridade entre Matemática e Mecânica, embora já existam muitos exemplos nesse sentido.

    Quanto a esta postagem, precisarei lê-la com mais cuidado depois, pois acabei de chegar de viagem e ainda não deu tempo de organizar as ideias.

    Tomara que não surjam muitas dúvidas, visto que o tema parece bem básico, e seria muito estranho ter problemas com ele, rsrsrsrsrsrsrsrsrs

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  4. Leandro

    Tenha em mente que coloquei esta postagem porque jamais vi na literatura este resultado sobre pirâmides. Fala-se muito sobre a razão áurea na Grande Pirâmide do Egito, mas nunca vi qualquer generalização para pirâmides regulares retas quaisquer.

    No entanto, toda colaboração é naturalmente bem-vinda. Principalmente se trouxer um foco novo, mesmo para assuntos já conhecidos.

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  5. Adonai


    sobre o método de cálculo do volume de uma esfera pela Lei das Alavancas, tenho aqui disponível uma monografia de um curso de especialização em Matemática para professores, da UFMG, realizada por Alessandra Pereira da Silva, sob orientação do professor Antônio Zumpano Pereira Santos em 2005.

    Creio que me enganei ao afirmar que se trata de um método para cálculo do volume de poliedros, uma vez que o material em questão faz a abordagem para o caso de uma esfera, e não para poliedros em geral. No entanto, talvez pelo Princípio de Cavalieri seja possível estender o raciocínio para poliedros como um todo.

    Entretanto, não parei para verificar isso e não sei se seria possível. Quem sabe vc possa posicionar-nos melhor sobre isso!!!!!

    Felizmente eu havia guardado este material em meu computador, devido ao grande interesse que tenho pelo assunto (principalmente por Geometria Espacial), pois na época do meu ensino médio, era comum os professores deduzirem as equações para o cálculo de áreas de polígonos e volume de muitos poliedros, mas quando chegava no cálculo do volume da esfera todos agiam de modo fugidio!!!!!!

    Naturalmente pensei: "puxa vida, por que quando o assunto é esfera os professores fogem do assunto como o diabo foge da cruz?????"

    Para piorar, o livro que minha escola adotava na época era o "Matemática Fundamental - 2º grau", do Giovanni Bonjorno, Volume Único. Trata-se de um livro que simplesmente "vomita os assuntos" e não prova quase nada daquilo que afirma!!!!!

    As poucas provas neste livro remetiam a comentários práticos e rápidos dos assuntos, e ainda só era "provado" o que de mais simples e óbvio havia para ser "provado"!!!!!

    Por outro lado, quando se falava em cone, esfera e análogos, a metodologia era do tipo "engula isto como verdade absoluta e não se atreva a questionar"!!!!!!

    Daí surgiu o meu interesse em algo relacionado com Geometria Espacial!!!!!

    Dizem que a coleção do Gelson Iezzi é ótima neste sentido, mas infelizmente não tive oportunidades para averiguar a fundo a veracidade disso!!!!!

    Enfim, como faço para postar neste blog o arquivo em formato pdf, que tenho aqui no computador, desta monografia sobre a Esfera e a Lei das Alavancas??????

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  6. Oi, Leandro

    Acho que o melhor caminho é você disponibilizar o material em algum site e então faço o link por aqui. É o que farei quando disponibilizar futuramente arquivos pdf meus.

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  7. Felizmente, após fazer uma busca pela internet, encontrei um link da própria UFMG com o texto da monografia sobre Arquimedes, a Lei das Alavancas e o Volume da Esfera, ainda disponível para consulta.

    O link é:

    www.mat.ufmg.br/~pgmat/monografias/Mono001.pdf

    Tenho outros materiais aqui envolvendo o tema, inclusive uma análise crítica feita por um professor aos livros de Física do ensino médio, apontando os erros considerados ao se ensinar para alunos secundaristas a lei das alavancas de Arquimedes.

    Vou ver se encontro os links ainda disponíveis na internet e, em caso positivo, colocarei os links aqui!!!!!!

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