segunda-feira, 23 de janeiro de 2012

Ética!


Uma das mais graves falhas de professores de matemática em nosso país é a incapacidade de fazer perguntas inteligentes aos seus alunos. E essa constatação cabe à maioria dos docentes, desde a pré-escola até a pós-graduação. Cito exemplos.

Uma pergunta típica que professores de matemática dirigem a seus alunos é a seguinte: o que é uma função? A maioria dos supostos mestres que levanta essa questão simplesmente não tem ideia do que está perguntando, principalmente nos casos em que se espera de fato por uma resposta.

Nas teorias intuitivas usuais de conjuntos, uma função f é um conjunto de pares ordenados (a, b) tais que, se (a, b) e (a, c) pertencem a f, então b = c

O domínio de f é o conjunto de todos os a tais que (a, b) pertence a f

Um dos problemas deste conceito reside na noção de conjunto, a qual usualmente não se qualifica. Costuma-se dizer, neste contexto, que um conjunto é uma coleção de objetos distintos entre si. Mas esta, evidentemente, não se trata de uma definição formal ou sequer rigorosa de conjunto. Afinal, o que é uma coleção? Além disso, o que são objetos distintos entre si? E, pior, o que são objetos? 

Matemática não se faz com discursos não qualificados.

Na formulação axiomática de Zermelo-Fraenkel (ZF, a mais popular teoria axiomática de conjuntos) a noção de conjunto sequer faz parte dos conceitos primitivos da teoria. Além disso, conjuntos não podem ser definidos em ZF. No entanto, é possível definir função como um conjunto f de pares ordenados (a, b) tais que, se (a, b) e (a, c) pertencem a f, então b = c. Fazer alunos compreenderem isso não é fácil. Demanda estudos muito aprofundados sobre as sutilezas da lógica matemática.

Em certas formulações muito usuais das teorias abstratas de categorias, funções não são conjuntos. E uma das características mais notáveis dessas formulações é o fato de que o domínio de uma função é também uma função. Por conta disso, geralmente essas funções são chamadas de morfismos.

Na teoria de conjuntos de von Neumann, conjuntos são efetivamente definidos como casos particulares de funções. E, nesta formulação, funções não têm domínio.

Ou seja, a pergunta "o que é uma função?" simplesmente carece de sentido. Responder a essa questão é assinar um pacto com a incipiência intelectual. Existem, na literatura especializada, muitas acepções radicalmente distintas entre si para o conceito de função. Apresentei apenas algumas delas. Existem, virtualmente, infinitas acepções. Isso leva, portanto, a uma pergunta natural: como um professor responsável deve conceituar função?

Se o docente lecionar para o ensino médio ou a graduação, a melhor solução que vejo para iniciantes é a seguinte: uma função f é um conjunto de pares ordenados (a, b) tais que, se (a, b) e (a, c) pertencem a f, então b = c; no entanto, esta é apenas uma noção extremamente usual, entre muitas outras. 

É fundamental que os verdadeiros mestres deixem claro que artigos definidos raramente se aplicam à matemática. Não existe a teoria de conjuntos. Não existe o conceito de função. Existem infinitas acepções para conceitos como os de conjunto e função. Para fins pragmáticos, em salas de aula de ensino médio ou de calouros de graduação, geralmente se trabalha apenas com uma acepção usual e meramente intuitiva.

Ou seja, uma pergunta que faria sentido seria a seguinte: no contexto da teoria intuitiva usual de conjuntos, o que é uma função?

Mesmo assim existem muitas tolices sobre funções, escritas em livros e apostilas e vomitadas em sala de aula por profissionais incompetentes do ensino. Uma delas é a velha história de que uma função se define a partir de um domínio (conjunto), um contradomínio (também conjunto) e uma regra que associa cada elemento do domínio a um único elemento do contradomínio. 

Esta lamentável e corrompida visão está em completo desacordo com todas as noções usuais sobre funções em matemática. Há, pelo menos, dois problemas graves em tal noção. 

Um deles é o conceito de regra. 

O que é uma regra? É um procedimento efetivo que pode ser descrito através de um algoritmo? Se for, então estamos automaticamente excluindo uma vasta gama de funções ditas não computáveis. E se a tal da regra não puder ser descrita por um algoritmo, então não deveria ser chamada de regra! Além disso, como conceituar regra no escopo das teorias usuais de conjuntos? É possível definir o conceito de regra a partir das noções conjuntistas usuais de pertinência e igualdade? 

O segundo problema é igualmente grave. Nos tratamentos conjuntistas usuais, o domínio de uma função se define a partir da própria função, e não o contrário! Quase sempre vejo a infelicidade de se definir função a partir de um domínio e um contradomínio. Por que autores e professores se resumiram a papagaios que apenas repetem aquilo que foi dito por outros papagaios? Onde está o estudo das fontes originais? Onde está a aplicação da transposição de conhecimentos?

Outra aberração comum em livros de matemática se refere a exercícios com enunciados do seguinte tipo: Dada a função (por exemplo) f(x) = 1/x, determine o domínio de f

Ora, f(x) = 1/x não é uma função! É apenas uma igualdade. Uma função f é um conjunto de pares ordenados, nas formulações usuais. A partir deste conjunto é possível definir o domínio de f. Uma igualdade entre dois termos não é um conjunto. Não é por acaso que alunos confundem função com equação! Responder a questões como esta é um exercício compreensível apenas entre indivíduos com tendências à fantasia ou pessoas de extraordinária ingenuidade e irresponsabilidade intelectual.

O estudo bem sucedido de matemática não é aquele que conclui com respostas, mas aquele que abre universos de questionamentos qualificados. Um professor de matemática que apresenta qualquer tema de sala de aula como assunto fechado, conclusivo, é necessariamente um tolo. Praticamente todos os livros e apostilas de matemática cometem o erro do uso de artigo definido em conceitos e definições. E um professor cujo conhecimento está confinado a esses textos é um profissional medíocre, que não pode e não deve ser levado a sério.

Pois bem. O que isso tudo tem a ver com o título da postagem?

Alguns leitores deste blog têm insistido em questões sobre ética, principalmente em função da postagem sobre a APUFPR (que é recordista de visualizações e hoje citada ou reproduzida em vários blogs do país). Criaturas precipitadas e desinformadas me acusaram de não ser ético naquele texto. Como raramente percebo pessoas que demonstrem minimamente saber o que é ética (recomendo que referências sérias sobre o tema sejam consultadas e que não se confie apenas na infeliz sabedoria popular do senso comum), aqui vai um conselho útil.

Precisamos criar um código de ética para professores no Brasil!

Isso poderia viabilizar punições reais aos docentes que meramente copiam conteúdos de livros no quadro-negro. Eu adoraria ver professores com suas licenças cassadas por incompetência ou sistemáticos atos de má fé que frequentemente testemunho. Eu adoraria ver o Brasil se livrando da alcatéia de professores insanos, arrogantes e ignorantes que influenciam nossos jovens, tornando-os verdadeiros zumbis. 

Por que médicos podem ter suas licenças cassadas e professores não? O que há de tão especial entre os professores? Eles são incapazes de errar? Ou será que seus erros são menos significativos do que imperícia médica? O câncer social de uma educação falida é menos prejudicial para a sociedade do que um médico que esquece equipamento cirúrgico dentro do paciente? Se for, eu gostaria de saber o por quê. 

Um código de ética poderia finalmente alavancar a carreira docente. A tão sonhada valorização desta atividade profissional poderia finalmente se tornar uma realidade. Mas, honestamente, duvido que isso aconteça, diante do atual momento que vivemos. Não vejo articulação inteligente e séria entre profissionais do ensino de nosso país. O que vejo são pessoas que jamais discutem com propriedade sobre ética (apesar de muitos insistirem na verborréia pseudo-intelectual sustentada em frases prontas creditadas ao maldito senso comum) e que continuam a mendigar por salários melhores sem realmente merecerem.

Ética e moral não são sinônimos, professores! Condutas de moral contam frequentemente com dilemas. Já os códigos de ética devem obedecer a princípios da lógica deôntica e, pelo menos em princípio, podem ser protegidos contra a existência de dilemas. 

Condutas sustentadas em moral são confusas, frágeis, contraditórias, excessivamente flexíveis e de apelo fortemente individual. 

Códigos de ética são desenvolvidos racionalmente e representam e protegem categorias profissionais inteiras. 

É claro que há extensas discussões na literatura especializada sobre os conflitos entre ética e moral. Mas essas discussões existem justamente porque ética é uma coisa e moral é outra. Parem de confundir os termos, professores!

Para finalizar, aproveito para anunciar que continuarei a postar a respeito de graves erros em textos de materiais didáticos específicos e amplamente usados no país. Esse projeto inclui apostilas de cursos preparatórios para vestibular. E pretendo também gravar aulas de professores em video e exibi-las a partir deste blog, acompanhando as imagens com críticas e sugestões. 

Talvez isso finalmente motive a concepção de um código de ética para a prática da docência. Afinal, eu adoraria que um código de ética para professores me impedisse de expor publicamente a mediocridade de meus colegas de profissão. Isso porque, havendo um código de ética e um consequente Conselho Nacional de Professores, finalmente existiria um fórum adequado para julgar e eliminar de uma vez por todas a massa incompetente de educadores que estão matando a esperança de um futuro melhor para a nação.

Valorização da docência não se conquista com greves e discursos primários, como aqueles defendidos pela lamentável APUFPR e outros sindicatos igualmente questionáveis. Valorização da prática docente se conquista com ações inteligentes, bem fundamentadas e estratégicas.

27 comentários:

  1. CÓDIGO DE ÉTICA PARA PROFESSORES!!! JÁ!!!

    "Precisamos criar um código de ética para professores no Brasil!
    Isso poderia viabilizar punições reais aos docentes que meramente copiam conteúdos de livros no quadro-negro. Eu adoraria ver professores com suas licenças cassadas por incompetência ou sistemáticos atos de má fé que frequentemente testemunho. Eu adoraria ver o Brasil se livrando da alcatéia de professores insanos, arrogantes e ignorantes que influenciam nossos jovens, tornando-os verdadeiros zumbis.
    Por que médicos podem ter suas licenças cassadas e professores não? O que há de tão especial entre os professores? Eles são incapazes de errar? "

    Concordo com tudo que foi exposto!!!

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  2. Espero não ter sido eu a confundir *ética* com *moral*!!!!!

    Pelo que aprendi em Filosofia no ensino médio (e já vou imaginando que deve estar errado), a *ética* representaria uma espécie de "padrão estético", ou seja, um modo coerente, sistemático e profissional para julgar uma determinada atitude profissional, tendo por base algum conjunto pré-estabelecido de normas de conduta a serem seguidas.

    A essas normas de conduta sim, daria-se o nome de *moral*, sendo que a ética poderia ou não pautar-se na moral para efetuar a avaliação de atitudes profissionais.

    Bom, pelo menos foi assim que aprendi, e como pareciam se tratar de duas ideias claramente distintas, isto bastou para o meu contento intelectual, pelo menos na época.

    Quanto a esta problemática sobre funções, se o Adonai escandalizou-se com estas conceituações sobre funções dadas por alguns professores, esperem até eu dizer como foi que aprendi o conceito de função!!!!!!

    Mais tarde escreverei o absurdo em questão por aqui!!!!!

    P.S.: após ler esta postagem do Adonai, agora sim eu de fato entendi e consegui discernir entre uma equação e uma função, pois até então a dúvida permanecia!!!!!

    Quanto mais o tempo passa, mais vontade tenho de começar do zero e nascer novamente!!!!!

    :(

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  3. Leandro

    A noção de ética que você aprendeu no ensino médio não está errada. Só está incompreensível. Recomendo que procure informações em
    http://plato.stanford.edu/
    É uma excelente referência.

    Com relação à sua ideia de "começar do zero e nascer novamente", não tenho certeza se compreendi. O processo de aprendizado não ocorre na forma de degraus. Existe uma ideia em nosso sistema educacional de que conhecimentos básicos devem anteceder os mais avançados. Mas a coisa não funciona dessa forma. Aquilo que você aprendeu na escola ou na graduação tem sim o seu valor. O que se faz necessário agora é um refinamento deste conhecimento. E tal refinamento ocorre com: (i) consulta às fontes originais do conhecimento; (ii) troca de ideias com aqueles que conhecem muito mais do que você sobre seus assuntos de interesse; (iii) uso do tirocínio crítico; (iv) coragem para se submeter a críticas, por mais agressivas que possam parecer.

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  4. Ok, entendi quase tudo.

    Só me resta uma dúvida.

    Se formos iniciar o processo de aprendizagem partindo de ideias e conceitos mais avançados, não corremos o risco do aluno não entender absolutamente nada no início e acabarmos provocando um desânimo acentuado nele ao ponto de fazê-lo desistir de prosseguir por este caminho?????

    Pergunto isso por duas razões:

    1) Eu mesmo, como aluno, precisava entender pelo menos algo do que me era ensinado para ter o mínimo de ânimo para seguir em frente. Se eu entendesse, digamos, 1% do que me diziam ou ensinavam, isto já bastava para eu correr atrás do conteúdo.

    No entanto, se a única compreensão que eu tivesse se restringisse às frases e escritos em geral, de modo que absolutamente nada do conteúdo eu conseguisse entender, isto já bastava para desanimar e buscar por alguma outra área que supostamente eu pudesse compreender minimamente.

    Esta foi, aliás, a causa de eu nunca me interessar por áreas como Direito e boa parte das Ciências Humanas, pois o que eu via muitas vezes parecia tender para uma divagação e isto bastou para eu eliminar estas áreas como escolha profissional. As únicas exceções eram História e Geografia.

    Ao menos quando o assunto era Exatas, eu sabia pelo menos alguma coisa que era diferente de 0%!!!!!!


    Sei que, por um lado, isto é um exemplo pessoal e não necessariamente encontra-se de acordo com a realidade dos alunos, mas imagino que não seja muito diferente, dada a natureza do ser humano em se apegar àquilo que mais lhe parece compreensível.


    Não é à toa que nos livros-texto é comum os exercícios mais fáceis aparecerem por primeiro para os alunos resolverem, de modo que o grau de dificuldade aumenta à medida que o estudante vai fazendo os exercícios!!!!!

    Se a lista de exercícios começa com algum problema "cabeludo", a pessoa já desanima de início, pois pensa que não será capaz de resolver o resto.

    Já se os primeiros exercícios mostram-se à altura do estudante, isto confere confiança a ele, de modo que ele vai se sentindo capaz e psicologicamente preparado para encarar problemas mais difíceis.

    Estes detalhes psicológicos devem, pois, ser levados em conta ao elaborar um caminho diferente para ensinar.

    Sendo assim, no caso específico da Matemática, tem como ensinar conteúdos mais avançados antes dos básicos de modo tal que a compreensão por parte do aluno seja possível, dado sua falta de pré-requisitos maiores para uma maior compreensão dos assuntos mais avançados?????

    2) Se iniciarmos com conteúdos mais avançados, não corremos o risco de criar uma série de obstáculos epistemológicos e dificultar a conexão lógica das ideias na mente dos alunos, justamente pela falta de subsídios mais básicos??????

    Estas são as minhas duas dúvidas que ainda persistem!!!!!!

    Grato pelos esclarecimentos.

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  5. Adonai

    então, se não entendi errado, mesmo naquele discurso verborrágico de "vetores tendo módulo, direção e sentido" pode-se dizer que alguma coisa, mesmo que pouco, pode ser resgatado disso, não sendo algo completamente errado ou descartável, é isso?????

    Pergunto isto, pois do modo como vc discursa em suas postagens, passa-se a impressão de que devemos simplesmente jogar tudo o que aprendemos no lixo e começar tudo novamente, do zero!!!!!!!

    Talvez seja necessário esclarecer este ponto, pois pode ser que eu não seja o único a interpretar desse modo.

    Só não questiono mais a fundo os conteúdos envolvendo vetores, pois meus conhecimentos são bastante limitados neste sentido, mesmo tendo tido disciplinas como Geometria Analítica e Álgebra Linear na graduação.

    Entretanto, o enfoque era tão somente voltado para a resolução de exercícios, quase nada era discutido em termos teóricos e de definições (se é que eram realizadas definições acerca do conteúdo) e apenas uma "pincelada" nos seguintes assuntos: espaços vetoriais, sub-espaços vetoriais, autovalores e autovetores.

    No curso de Álgebra Linear foi gasto muito tempo com matrizes, determinantes, escalonamento e sistemas de equações lineares e pouco com espaços vetoriais e análogos.

    No mais, creio que questionar por questionar não parece ajudar muito, pois às vezes alguns de nossos questionamentos podem ser resolvidos pela leitura de alguns trechos de livros introdutórios do assunto.

    Se eu soubesse mais acerca de vetores, certamente o questionaria de modo mais intenso e com mais propriedade!!!!!

    A menos que seja normal o ato de questionar sem dominar tanto do assunto. Se for assim, tenho "toneladas" de dúvidas, questionamentos e possíveis lorotas que aprendi e ouvi nas minhas épocas de ensino médio e graduação que até hoje não consegui "engolir" e que só não expus tais questionamentos pois na minha época de estudante a regra era "perguntar menos para o professor cobrar menos na prova ou então ser perseguido pelos próprios colegas de faculdade"!!!!!!!

    No entanto, não sei se vc conseguiria ser paciente com meus questionamentos, pois frequentemente costumam gerar polêmicas e "a bomba estourar no meu lado"!!!!!!!!

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  6. Quanto ao refinamento, imagino estar em pleno exercício do item (ii) sempre que possível (além de vc, costumo interagir com outros matemáticos que, acredito, sabem mais do que eu).

    Alguma atitude do item (i) (vou ver se adquiro a obra do Halmos sobre a teoria ingênua dos conjuntos e quero sim o seu terceiro livro, mas gostaria de pagar por ele).

    Quanto ao item (iii) eu preciso primeiro encontrar mais respostas para outras críticas anteriores que há muito tenho formulado para partir para outras.

    No entanto, preciso me adaptar ao item (iv), pois ainda estou me acostumando com a ideia de que o meu conhecimento não é bom o bastante.

    Ter esta percepção é extremamente desconfortável, principalmente levando em conta que nunca obtive qualquer grau de sucesso em outras peculiaridades da vida (como ser uma pessoa sociável e muito bem quista pelos outros, por exemplo), de modo que a única coisa de bom que restava para mim era justamente o aspecto cultural.

    Entretanto, percebo que até isto é questionável.

    Naturalmente eu penso: não sou sociável, não sou nenhum Don Juan com a mulherada, não tenho grandes habilidades em áreas como música, teatro, idiomas, informática e, agora, nem na parte cultural e na matemática, então o que sobra?????

    Portanto, talvez ainda demore um pouco para me adaptar melhor com as críticas, mas felizmente estou conseguindo aos poucos lidar melhor com elas.

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  7. Com relação ao seu livro, faço muita questão de pagar por ele, nem que eu tenha que buscá-lo pessoalmente, pois se eu tenho a cara de pau de pagar R$ 5,50 por um sorvete "Top Sundae" de chocolate no Mc Donald´s, que nada acrescenta para o meu crescimento pessoal, pelo contrário, contribui para o entupimento de meus vasos sanguíneos, vou deixar de pagar por um material que efetivamente contribuirá para meu crescimento pessoal e, dessa forma, nada considerar pelo esforço que vc teve para escrevê-lo??????

    Como dizem pelo ditado popular: "Nem a pau, juvenal".

    Aproveitando, vc já pensou em publicar seu terceiro livro por meio da editora da UFPR mesmo?????

    Pena que não sou dono de nenhuma editora, pois eu faria questão de editar seu livro, mas com uma condição: que vc escrevesse os livros que já sugeri para vc!!!!!!!

    Isto sim seria uma chantagem que valeria a pena, rsrsrsrsrsrs

    :)

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  8. "Por que autores e professores se resumiram a papagaios que apenas repetem aquilo que foi dito por outros papagaios?"
    RESPOSTA: Porque eles acreditam no que dizem (poderá ser que nem todos acreditem, mas arrisco dizer que a maioria, em sua ingenuidade, conformismo com o estado de ignorância e postura não crítica, acreditam).


    "Onde está o estudo das fontes originais?"
    RESPOSTA: Restrito à comunidade acadêmica poliglota e endinheirada (curiosamente esta sociedade não está muito interessada na profissão professor de educação básica e não fazem muito para contribuir com aqueles que não tem acesso a bom material).


    "Onde está a aplicação da transposição de conhecimentos?"
    REPOSTA: não sei, mas sei onde não está: não está em abrir mão da intuição e do abuso de linguagem em prol da precisão lógica com a qual, algumas vezes, nem mesmo o matemático se preocupa. [aqui me refiro à educação básica].


    Vejo que para a matemática, uma definição lógica precisa de função (que formaliza a "definição espontânea e intuitiva" - ou "errada" se preferir) é importante para conferir a segurança de que o trabalho repousa sobre fundamento sólido e não para ensinar crianças no ensino médio. Por que estou errado?


    Obs: com este comentário estou tentando praticar o item (ii) que o sr. sugeriu ao Leandro para refinar o conhecimento. Aguardo uma manifestação sua que toque nos pontos que o sr. julgar + importantes.

    AAnooniimoo

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  9. Em cometário precedente, quando disse que nem os matemáticos se preocupam com algumas coisas eu tinha em mente um fragmento e muito me agradaria que o sr. se posicionasse com respeito a ele (pois apesar de ter sito escrito bem antes do seu texto (suponho eu) parece ser uma resposta perfeita para a sua exposição):

    "Praticamente todos os textos escolares em uso no nosso país definem uma função f:X->Y como um subconjunto do produto cartesiano XxY [...]. Essa definição apresenta o incoveniente de ser formal, estática e não transmitir a ideia intuitiva de função como correspondência, transformação, dependência (uma grandeza em função de outra) ou resultado de um movimento. Quem pensaria numa rotação como um conjunto de pares ordenados? Os matemáticos e (principalmente) os usuários da Matemática olham para uma função como uma correspondência, não como um conjunto de pares ordenados. Poder-se-ia talvez abrir uma exceção para os lógicos, quando querem mostrar que todas as noções matemáticas se reduzem, em última análise, à ideia pura de conjunto. Mas certamente não é o caso aqui. Se definimos uma função f:X->Y como um subconjunto particular do produto cartesiano XxY, qual seria a definição matemática do gráfico de uma função? Em suma, a terminologia que consideramos adequada é a seguinte: um subconjunto qualquer de XxY é o 'gráfico' de uma relação de X para Y. Se esse conjunto cumpre as condições estipuladas, ele é o 'gráfico' de uma função.”

    [extraído de “a matemática do ensino médio, v.1”. Elon e outros.]

    Obs: no clchete […] ele faz referência a uma definição dada antes (muito parecida com a sua) sendo justamente estas as “condições estipuladas” a que ele se refere no fim, ou seja, ele está falando da definição que o sr. propõe.

    Quando o autor diz “não é o caso aqui” julgo que se refere a um livro destinado ao ensino médio (isso mostraria que sua proposta é inadequada).

    Sua intenção aqui é a mesma dos lógicos citados no fragmento?

    Posicione-se por favor para que eu me convença de que sua proposta é mais adequada.

    AAnooniimoo

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  10. Leandro

    Certa vez orientei um aluno de iniciação científica chamado Daniel Freitas. Foi um dos mais brilhantes alunos que tive. Eu queria desenvolver com ele um trabalho sobre eletrodinâmica quântica. Mas como conhecer os fundamentos da eletrodinâmica quântica sem um volume considerável de pré-requisitos? Como o fator tempo era importante, foi neste momento que entrou a orientação. Eu disse a ele para simplesmente aceitar certos fatos da teoria, sem questioná-los. E, a partir disso, fizemos trabalhos que foram publicados no International Journal of Applied Mathematics e em um livro no Brasil. É claro que se ele quisesse continuar por conta própria e seriamente seus estudos sobre eletrodinâmica quântica, deveria seguir esses estudos por conta própria, para preencher lacunas de formação. Mas, em certas situações, problemas avançados podem ser muito estimulantes para o aluno. Por isso insisto tanto no papel da orientação.

    Não sou capaz de apresentar uma fórmula de aprendizado que funcione universalmente para todos. Mas o fato é que mesmo o nosso sistema de ensino (e das demais nações) não segue a visão de que conhecimentos mais básicos devem anteceder os mais avançados. Um exemplo simples é o das quatro operações da aritmética. Crianças de pré-escola aprendem a somar, ignorando por completo os axiomas de Peano. E não vejo como fazer diferente. As pessoas têm limites sobre suas capacidades de aprendizado. E esses limites devem ser respeitados. Mas isso não significa que o conhecimento opere como uma escada na qual sempre subimos. O conhecimento se parece mais como um oceano no qual podemos navegar.

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  11. Leandro

    Com relação a vetores como entes (coisas, trecos, objetos, seja o que for), com módulo, direção e sentido: esta visão corresponde àquilo que alguns chamam de modelo pretendido. É claro que uma tripla ordenada de números reais pode ser considerada um vetor (se certos cuidados forem tomados). E essa tripla ordenada tem norma (módulo), direção e sentido. Ou seja, tal conhecimento pode e deve ser aproveitado! Mas o que não pode ser feito é se escravizar a essa visão. O próximo passo é estudar espaços vetoriais e verificar que espaços de vetores com módulo, direção e sentido são modelos de espaço vetorial.

    Se em sua disciplina de álgebra linear você estudou apenas sobre matrizes, escalonamento e sistemas lineares, lamento. Mas este conhecimento não foi perdido, pois espaços de matrizes podem ser modelos de espaços vetoriais.

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  12. Leandro

    Com relação à sua vida pessoal, apenas digo algo que ouvi um dia: viver é prejudicial à saúde. Não gosto de frases soltas, sem qualquer contexto que as justifique. Mas acho esta frase em especial notável. Não é fácil viver. E viver não se resume a respirar, comer, dormir, beber, morar e outras atividades primárias mas fundamentais. Viver é ter a coragem de se expor (como você está fazendo) e aprender com isso (como novamente você está fazendo).

    Com relação ao livro O que é um Conjunto, Padilha se ofereceu para bancar a obra. Ele tem formação matemática e adorou o texto. Neguei porque essa era obrigação da editora e não de terceiros. E não cobrarei dinheiro algum de você porque já distribuí este livro gratuitamente para muitas outras pessoas.

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  13. AAnooniimoo

    Acredito que entendo seu primeiro questionamento, mas não é fácil responder em poucas linhas. Tentarei.

    É claro que não podemos ser permanentemente formais em aulas de matemática, seja qual for o nível escolar. Mas rigor é fundamental. Se um professor define função de forma meramente intuitiva, a princípio não há problema. Mas a honestidade intelectual demanda que este professor complemente aquele conceito com a seguinte observação: "Esta é apenas uma visão intuitiva sobre funções. Quem quiser saber mais, converse comigo fora da sala de aula." Ou seja, professores devem evitar a extremos insinuações ou afirmações de que os assuntos abordados em sala de aula estão apresentados de forma definitiva e inquestionável.

    Com relação ao trecho extraído do livro de Elon Lages Lima, o autor foi bastante prudente e claro. Mas a abordagem dele ainda está muito incompleta.

    Anos atrás publiquei na Foundations of Physics e na Foundations of Physics Letters (EUA) dois artigos (em parceria com Newton da Costa) nos quais provamos que tempo e espaço-tempo são conceitos elimináveis de várias teorias físicas usuais. Do ponto de vista matemático nosso resultado era trivial. Mas as pessoas não sabiam disso simplesmente porque alimentam a visão de função como aquela defendida por Lima. Lembro de um físico norte-americano que passou uma noite sem dormir por causa de nosso artigo.

    Ou seja, a visão de função advogada por Lima é muito sensata. A visão de função que defendo também é sensata. Nenhuma delas é melhor ou pior. A que defendo é apenas a usual, de fato fundamentada em teoria de conjuntos. A que Lima defende é intuitiva, mas prática. Como a matemática é multifacetada, somos obrigados a conhecer e levar a sério ambas. Caso contrário, estaremos mutilando a matemática.

    Em meados do século passado, muitos matemáticos tentaram escrever formalmente essa noção de função como algo que resgata a visão intuitiva de movimento (como defendido por Lima). Isso resultou na matemática categorial, ferramenta incrivelmente útil. Quem defende que funções devem resgatar as noções intuitivas de movimento, dinâmica, operação, talvez devesse conhecer melhor as maravilhas da teoria de categorias. Trabalhei muito com categorias.

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  14. Adonai


    felizmente imagino que "as peças estão se encaixando" no meu raciocínio.

    Entendo o que vc diz acerca do processo de aquisição do conhecimento e, de fato, também é possível que se aprenda por meio de caminhos não tão lineares, como muito se prega por aí.

    No entanto, se eu fosse seu aluno e vc me pedisse para aceitar certas prerrogativas da eletrodinâmica quântica sem questionar, eu até conseguiria realizar isto em uma primeira aproximação, mas que esta abordagem me geraria bastante incômodo e me deixaria "com um formigueiro atrás da orelha", com certeza isto aconteceria.

    Talvez este seja justamente um dos motivos que levou eu ser rejeitado pela maioria esmagadora dos orientadores de iniciação científica na época da graduação, pois a abordagem usual é justamente esta mesma, de não seguir por um caminho linear, de ordem crescente de dificuldade.

    Neste sentido, gostaria de perguntar:

    todos os melhores orientadores no exterior seguem por caminhos não-lineares, ou existiriam bons orientadores lá fora que optam por abordagens mais lineares, nos moldes que imagino?????

    Pergunto isso pois, pessoalmente, acho extremamente desconfortável efetuar determinadas atividades sem sequer saber o que estou efetivamente fazendo!!!!!!

    Além de nos sentirmos completamente perdidos, estas abordagens não-lineares parecem ir de encontro ao estímulo pelo raciocínio crítico, uma vez que, para funcionar, parece fazer-se necessário que o indivíduo praticamente aceite algo, simplesmente para que as "coisas funcionem".

    Isto acaba por provocar uma espécie de "apelo" ao não questionamento, uma vez que as pessoas precisam simplesmente "engolir" certas premissas para que "a coisa ande".

    Não estaria aí também uma possível causa para a passividade das pessoas e falta de senso crítico, visto que as pessoas acabam por acatar esta metodologia?????

    Obs.: apesar do formato da pergunta, a intenção não é a de uma pergunta retórica, mas, quando muito, o levantamento de uma possível hipótese baseada na visão intuitiva anterior, descrita nesta mesma mensagem!!!!!

    Ainda preciso aprender a escrever de modo tal que a pergunta não pareça tendenciosa, ou mesmo preconceituosa, mas isto não parece ser muito fácil!!!!!

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  15. Ademais, concordo completamente e sem precisar questionar, no que diz respeito a esta necessidade do professor esclarecer aos seus alunos que aquele conceito intuitivo e por vezes primitivo por ele apresentado em sala de aula requer um maior refinamento e aprimoramento, não podendo ser simplesmente aceito e encerrado daquela maneira, pois isto mutilaria a boa matemática em geral.

    Se os professores fossem, ao menos todos, praticantes da honestidade intelectual, já faria algum diferencial perceptivel para a sociedade como um todo!!!!!!

    Também compartilho da mesma repulsa de pessoas que agem como se o conhecimento fosse uma "caixinha fechada" de conceitos, ideias e definições imutáveis, consolidadas para todo o sempre e, pior, por mais erradas que estejam parecem agir como se fossem os maiores sábios do planeta, e seguem intocáveis!!!!!!

    Ciência não é metafísica e, mesmo nesta última, tenho minhas dúvidas se tal corpo de conhecimentos é tão imutável como descreviam alguns professores que tive!!!!!!

    Pessoas assim agem de forma ridícula e deveriam ser ceifadas das escolas!!!!!

    Também me parece estranho esta ideia da noção de função como algo que resgata a visão intuitiva de movimento, visto que, pelo menos em minha percepção, seria a realidade física a se adaptar ao contexto matemático, e não o contrário, apesar de que provavelmente nos primórdios da humanidade a Matemática talvez seguisse por caminhos puramente intuitivos e exclusivamente práticos, no contexto da sobrevivência.

    Mas hoje, a Matemática é independente da intuição e do senso comum, podendo u não concordar com ele.

    Talvez escandaloso mesmo seja o modo como fui apresentado aos conceitos de equação e função.

    CONTINUA

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  16. Foi-me ensinado que:

    Equações representam igualdades que possuem uma ou mais variáveis independentes entre si, mas que são relacionadas por meio da igualdade.

    Funções, por outro lado, representam relações em que se tem uma variável independente e uma variável dependente, que só pode ser conhecida desde que a variável independente seja conhecida, uma vez que a variável dependente se daria em função das variações que ocorrem com a variável independente.

    É natural que surgiram questionamentos como:

    1) mas e se eu dispuser do valor da variável dependente, então posso também calcular o valor da variável independente. Então, não seria esta relação "variável independente-variável dependente" uma espécie de "caminho de mão dupla", na qual "f(x)" representa ora uma "variável dependente", ora "independente", dependendo dos dados dos quais dispomos e do que se quer calcular??????

    2) Pior: faria sentido falar em "variavel dependente" ou "independente" no contexto da pergunta 1?????

    3) Mas, dadas as definições anteriores, não seriam funções e equações "farinha do mesmo saco", já que ambas são, segundo as definições que aprendi, igualdades??????

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  17. Puxa... parece que só eu considero importante os professores fomalizarem um código de ética... Será que a classe é tão desunida assim? será que só nos interessa poder dar aulas, independente do nível que nós temos? será que apenas nos interessa poder falar o que quisermos e do jeito que quisermos, sem pensar nas consequências que é a formação de alunos tão inconscientes quanto nós? pena...

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  18. Leandro

    O tal do "aprendizado linear", passando do mais básico para o mais avançado, não me parece um bom método. Não conheço um único orientador que adote essa metodologia. Todo aprendizado tem que partir de algo simplesmente aceito, sem questionamento. Se houver interesse futuro naquilo que fundamenta o conhecimento adquirido, que o interessado vá atrás. Se professores orientadores rejeitaram você por conta de sua necessidade de responder a todos os porquês, você estava, na prática, pedindo para não ser orientado. Reconheço que este pode ser um julgamento precipitado meu, pois não tenho informações detalhadas sobre sua graduação. Mas mesmo um orientador ignorante sobre os fundamentos da ciência que ele estuda pode ser útil na carreira de iniciantes.

    Com relação à metafísica, peço para pensar com mais cuidado sobre o tema. Há um artigo de Pierre Duhem sobre física e metafísica que fortemente recomendo. Não tenho aqui comigo a referência completa. Lembro apenas que há uma tradução para o português. Imagino que não seja difícil encontrar. Também recomendo que procure informações sobre o laboratório de metafísica de Edward Zalta, em
    http://mally.stanford.edu/

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  19. Susan

    Eu já havia antecipado o desinteresse em um código de ética para professores na própria postagem. Um código de ética para a classe docente vai em desencontro de interesses pessoais da maioria dos professores do país.

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  20. Susan


    não entendi a sua indignação.

    Poderia explicar melhor, por gentileza?????

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  21. Ao que parece a sua indignação está relacionada a algum comentário realizado aqui, ou algum desvio de assunto, ou ainda com a falta de algum tipo de comentário com alguma natureza mais específica.

    Seria, por acaso, algum desses três motivos?????

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  22. No mais, tenho certeza de que não somente os professores, mas também alguns outros profissionais, com outras funções e atribuições diferentes daquelas relacionadas ao ensino, passam por problemas de "desunião".

    Particularmente, a classe mais unida que conheço é a dos médicos.

    Existem outras, mas não sei se tão unidas quanto a dos médicos.

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  23. Adonai


    Por acaso, vc saberia me indicar algum material ou alguém com quem eu possa discutir esse assunto referente ao aprendizado, pelo qual eu possa conseguir boa referência??????

    Pergunto isto, pois vc afirma que: "[...] O tal do "aprendizado linear", passando do mais básico para o mais avançado, não me parece um bom método."

    Sendo assim, não sei se vc poderia me responder perguntas como:

    1) Por que este não seria um bom método??????

    2) Ambos os métodos já foram suficientemente testados para se poder afirmar que um método é bom e outro não??????

    3) O que inviabiliza um método e elege o outro como uma "quase-metodologia padrão"??????


    Este assunto é algo que muito me incomoda, pois pessoalmente o método de "aprendizagem linear" foi o que melhor funcionou comigo, quando terminei a faculdade e comecei a refinar meus conhecimentos.

    Por outro lado, o "aprendizado não-linear" me trouxe mais frustrações do que bons frutos propriamente.

    Eu sei que vc poderá alegar que este método pode ter funcionado apenas comigo e não necessariamente com os demais e que frustrações fazem parte da vida e precisamos aprender com elas.

    Concordo contigo.

    Mas não seria prudente levantar os seguintes questionamentos:

    4) Qual a parcela da população que aprende melhor com métodos "lineares"?????

    5) Esta parcela é significativa ou insignificante?????

    6) Até que ponto as pessoas estão preparadas psicologicamente para lidar com as frustrações de métodos "não-lineares"?????

    7) É necessário adquirir cargas significativas de frustração para conseguir bom conhecimento??????

    8) Não seria melhor usar métodos "lineares" e minimizar frustrações, buscando atingir também altos graus de conhecimento?????

    9) E quanto aos alunos de ensino médio, estariam eles preparados para lidar com tantas frustrações?????

    Quero, por fim, deixar claro que nenhuma pergunta acima possui a pretensão de tornar a abordagem tendenciosa, apelativa, ou fortalecer a retórica para algum sentido em específico.

    Se, por acaso, tais perguntas adquiriram conotações retóricas, isto se deu pela falta de maiores habilidades deste que vos escreve!!!!!!!

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  24. Leandro

    Os melhores livros que conheço sobre ensino de matemática são A Arte de Resolver Problemas, de George Polya, e How to Teach Mathematics, de Steven Krantz. Já postei em texto anterior algo sobre a extraordinária obra de Krantz. Basta usar o mecanismo de busca deste blog, digitando Krantz. Você encontrará rapidamente. Mas ainda assim pretendo escrever algo mais detalhado sobre o tema. Suas perguntas não podem ser respondidas em um mero comentário. O problema é que talvez eu demore mais do que imaginei para retomar as postagens. Por isso peço paciência.

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  25. Procuro uma obra sobre os pensadores da Grécia antiga mas com uma abordagem diferente: não quero conhecê-los enquanto filósofos, mas como educadores. A impressão que tenho é que as pessoas ignoram o fato de que esses caras também eram professores. Conhece alguma obra com essa abordagem?

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    Respostas
    1. Neste momento não consigo pensar em algum livro com este tipo de orientação. Mas vale lembrar que Euclides de Alexandria usou o método axiomático como ferramenta didática. Somente milênios depois que este método passou a ser de interesse matemático, no sentido estrito do termo. Creio que você pode encontrar algo sobre o tema que procura em obras de autores como Steven Krantz e Ian Stewart.

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