Concurso de Fotografia - Erros de Português

Este é o novo Concurso Público promovido pelo blog Matemática e Sociedade: Fotografe um Erro de Português em uma Instituição de Ensino Brasileira. Não precisa ser fotógrafo profissional. Se quiser, pode usar até mesmo telefone celular para fotografar. O que interessa é o tema.

O objetivo é capturar, na forma de imagem, erros de português. Basta fotografar placas, cartazes, editais, camisetas, adesivos, provas, cadernos, documentos ou quaisquer objetos que tenham relação direta com qualquer instituição de ensino brasileira, e enviar sua foto em formato jpg para o perfil Facebook de Adonai Sant'Anna, acompanhado de seu nome completo e de dados sobre a origem da foto. Cada participante pode enviar, no máximo, três arquivos jpg. Os participantes deste concurso devem também declarar que são os autores das imagens enviadas e que não editaram as fotos.

O prazo para envio das imagens é 27 de junho de 2015. Os arquivos recebidos até esta data serão publicados neste blog no dia 30 de junho de 2015. Os próprios leitores escolherão a melhor imagem até o dia 07 de julho seguinte. Para isso, basta votar na forma de comentário. O autor da foto com mais votos dos leitores receberá o seguinte prêmio: o livro Brasil Rupestre - Arte Pré-Histórica Brasileira, de Marcos Jorge, André Prous e Loredana Ribeiro. Marcos Jorge é cineasta, diretor do brilhante filme Estômago e do documentário sobre arte rupestre O Ateliê de Luzia. André Prous é Doutor em Pré-História pela EPHE/Sorbonne e criador do Setor de Arqueologia da Universidade Federal de Minas Gerais. Loredana Ribeiro é Doutora em Arqueologia pela Universidade de São Paulo e Coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Antropologia da Universidade Federal de Pelotas. O livro em questão é um importante documento que promove um mapeamento e registro fotográfico de sítios arqueológicos em quinze estados de nosso país. Os textos que acompanham os registros fotográficos são escritos em português e inglês. E o projeto contou com o apoio da Petrobras.

O fotógrafo premiado receberá o livro Brasil Rupestre por meio de SEDEX ou FedEx, dependendo do endereço. As despesas de envio serão assumidas pelo Administrador do blog Matemática e Sociedade.

A motivação para este concurso é simples: não é possível promover ciência e educação sem respeito à linguagem. Pelo menos a língua portuguesa precisa ser respeitada.

Mensagem codificada

Esta é a quarta postagem de desafio deste blog. Os primeiros desafios foram os mais simples e contaram com várias respostas de leitores. O último foi resolvido por apenas dois leitores: Daniel Freitas e Sebastião Francisco de Paula Viana. Agora apresento um desafio na forma de código. O tipo de codificação que emprego aqui é considerado um dos mais seguros, tornando a decifração quase impossível. No entanto, para facilitar aos leitores interessados, uso como chave um elemento que está presente aqui mesmo, neste site. Veremos se alguém consegue resolver o problema. Aqui vai.

5 9, 163 3, 150 10, 205 55 1, 43 3, 209 59 10. 1 10, 264 4, 218 4, 209 11, 150 10, escrita, 1 5, 2 6, 11 1, 2 7, 19 4, 207 15 9, 16 1, 4 4, 4 5, 133 24 6, 4 10, 9 7, 1 8, afetar, 2 3, 94 7.

Preconceito e Educação

Preconceito, por definição, é uma opinião ou sentimento concebido sem exame crítico. Educação, de acordo com o senso comum, é o processo social que visa a formação e o desenvolvimento físico, intelectual e moral de seres humanos. Se este processo social for realizado de forma sistemática e institucionalizada, temos a educação formal. Portanto, neste contexto, uma pessoa formalmente educada não é necessariamente desprovida de preconceitos. Com efeito, o desenvolvimento físico, intelectual e moral de um indivíduo pode, sem dúvida, ser direcionado para posturas preconceituosas. 

Como já foi demonstrado matematicamente em postagem anterior, pessoas são naturalmente tendenciosas. Não há como evitar. Faz parte do íntimo de todos nós a incapacidade de sermos imparciais. E, se não conseguimos ser imparciais, como evitar o preconceito? Afinal, o próprio conceito de exame crítico é muito vago. As ideias que parecem claras para uns, não são para outros.

Existem aqueles que defendem a postura do respeito em relação a ideias ou sentimentos de outros, especialmente quando tais ideias ou sentimentos provocam algum tipo de desconforto. Se, por exemplo, uma pessoa não é religiosa, ela deve respeitar quem é. No entanto, tal postura geralmente oculta ignorância: se uma pessoa não é religiosa, ela não demonstrará o menor interesse por religião, apesar de religião obviamente desempenhar um papel fundamental nas sociedades humanas. Neste sentido, respeito é um eufemismo para "Por favor, fique longe de mim! Eu não incomodo você se você não me incomodar."

O suposto respeito por ideias ou sentimentos alheios frequentemente se traduz como segmentação social e, portanto, repercute na formação de grupos isolados: existem aqueles que gostam de futebol e os que desprezam, aqueles que gostam de cinema e os que preferem teatro, aqueles que se interessam por aspectos filosóficos da ciência e os que estão focados em aplicações. E grupos como estes raramente interagem entre si de forma socialmente construtiva.

Como minhas tendências pessoais sempre foram contra o isolamento social, prefiro a discussão. Entre guerra e acordo de paz, fico com a guerra. Entre tolerância e preconceito, fico com a argumentação. 

Muitas ideias já foram defendidas neste blog, sendo que uns poucos leitores decidiram contestá-las. Ao perceber que umas poucas discussões se prolongavam demais, sem sinal algum de convergência de ideias, pedi para encerrarmos o diálogo. Mas isso jamais significou que respeito ou desrespeito aqueles que discordam de mim. Apenas significou que discussões devem avançar e não estagnar. Se ocorre alguma forma de impasse, espero que o outro lado pense tanto nas minhas ideias quanto eu penso naquelas com as quais não concordo.

No entanto, já percebi em sala de aula que existe até mesmo preconceito com relação ao significado de preconceito. Quando alunos afirmam que equação de reta qualquer no plano cartesiano é dada por y = ax + b ou que divisão de número real por zero é impossível de calcular, respondo que estes são preconceitos. E a reação usual dos alunos é uma risada, principalmente nos últimos dez anos. Aparentemente existe o preconceito de que preconceitos se aplicam somente sobre questões de ordem moral ou social e jamais sobre assuntos de raro apelo emocional mundano, como matemática. 

Universidades deveriam ser os ambientes ideais para o rompimento de preconceitos. Ainda que sejamos individualmente incapazes de evitar preconceitos, isso não deveria impedir nossa busca pela análise crítica do conhecimento. Afinal, em grupos somos capazes de minimizar nossos preconceitos inerentes enquanto indivíduos. Daí a importância do trabalho interdisciplinar promovido por equipes em ambientes destinados à produção do conhecimento científico, tecnológico e artístico, como universidades. Grupos de pessoas que compartilham as mesmas ideias apenas operam dentro dos limitados parâmetros de um indivíduo qualquer. Mas grupos de pessoas com ideias diferentes tendem a inovar de maneira significativa, se elas perceberem que o significativo avanço intelectual é muito mais importante do que a opinião ou visão de um único indivíduo. 

Mesmo quando um único indivíduo apresenta uma ideia absolutamente inovadora ou revolucionária, como Einstein ou Xenakis, a decisão sobre sua legitimidade e relevância é inevitavelmente promovida pelos contornos sociais definidos pelos pares profissionais de tais indivíduos. A teoria da relatividade geral não é um triunfo apenas de Albert Einstein. É um triunfo da espécie humana, que foi capaz de analisar criticamente o alcance e os limites desta fundamental teoria científica. Muitos foram aqueles que testaram e muitos são aqueles que ainda testam a consistência teórica e experimental da teoria da relatividade geral.

O processo educacional que considero ideal é aquele que estimula o senso crítico. Educação não deveria ser um processo de mero adestramento para fins de inserção social. Educação deveria ser a permanente crítica sobre aquilo que se julga já estabelecido. Educação não deve promover zonas de conforto, mas insegurança. Quem se sente intelectualmente seguro é um tolo. Isso porque ainda não foram respondidas as questões mais fundamentais e antigas da existência humana: quem somos, de onde viemos e para onde iremos. 

Não sabemos ainda se algum dia seremos capazes de colonizar outros mundos. Não sabemos ainda se estamos a sós no universo. Não sabemos se algum dia poderemos usar conhecimentos físicos sobre a natureza do tempo para estudar história. Não sabemos quem de fato foi Jesus Cristo. Não sabemos se algum dia será impossível a composição de novas músicas. Não sabemos se algum dia venceremos os limites de nossa própria capacidade intelectual. Não sabemos sequer se continuaremos a existir por muito mais tempo, enquanto civilização. 

Em suma, trabalho intelectual sério demanda trocas de ideias, discussões, argumentos, defesas, ataques, guerra. Mas é uma guerra na qual a vitória de um argumento não deve ser encarada como uma vitória pessoal. Se Einstein criou a teoria da relatividade geral, foi porque ele avaliou criticamente a gravitação newtoniana. Sem a obra de Isaac Newton, não haveria qualquer ideia conceitualmente oposta à noção de ação-a-distância, presente na gravitação universal. Além disso, as ferramentas do cálculo diferencial e integral de Newton foram fundamentais para o desenvolvimento da própria teoria da relatividade geral. Sem um dos criadores das bombas V-2 que os nazistas lançaram sobre Londres na Segunda Guerra Mundial, os americanos não teriam enviado homem algum para a Lua. Sem a Copa do Mundo que iniciará no próximo mês, não teríamos tantas discussões fervorosas sobre a melhor distribuição de recursos públicos em educação, saúde e segurança em nosso país. Sem guerra, jamais sentiríamos a necessidade pela paz. Sem preconceito, não pensaríamos na necessidade de senso crítico.

Para encerrar esta breve discussão sobre preconceito e educação convido o leitor a examinar cuidadosamente a imagem no topo deste texto, clicando sobre ela. Como já insisti em outras ocasiões, cada imagem é escolhida de forma a se adequar aos propósitos de suas respectivas postagens. E esta aqui não é exceção. Na imagem abstrata associada a este texto há duas outras imagens concretas e não concatenadas. Consegue identificá-las?

A Ilusão da Previsibilidade

Feliz Natal a todos!

Mantendo a tradição iniciada no ano passado, ofereço aos professores dos ensinos fundamental e médio mais uma atividade que pode servir de estímulo no aprendizado de matemática.

Considere, por exemplo, a sequência numérica a seguir:

00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08.

Digamos que alguém pergunte qual é o próximo número. Se o leitor responder 09, está cometendo um erro de raciocínio lógico-matemático. Para ilustrar este argumento, consideremos outra sequência:

01, 03, 00, 13, 02, 10, 15, 16, 06, 04, 07, 11, 05, 14, 09, 08.

Digamos agora que novamente se faça a pergunta: Qual é o próximo número?

Esta é mais difícil de responder do que a anterior? Não.

Muitos acham que a primeira sequência dada acima é, em algum sentido, ordenada e determinística, enquanto a segunda é aleatória e imprevisível. Tanto é assim que sequências como a primeira já foram usadas em testes de QI, demonstrando a limitada inteligência de profissionais que elaboram tais testes. O fato é que apenas olhar para as sequências numéricas, sem quaisquer informações adicionais, não permite responder à questão colocada: "Qual é o próximo número?"

A rigor, sequer é possível determinar se haverá um próximo número!

Considere a seguinte fórmula recursiva:

X(n+1) = [AX(n) + B]mod C, 

sendo A, B, C, n e X(n) números naturais.

Esta é uma fórmula iterativa que permite obter um número natural X(n+1) a partir de um número natural X(n), dados os valores naturais de A, B e C. A função mod se lê "módulo". A expressão 

[AX(n) + B]mod C

se lê, portanto, como "AX(n) + B módulo C" e corresponde ao resto natural da divisão entre os números naturais AX(n) + B e C.

Consideremos agora o caso particular no qual A = 7, B = 13 e C = 17, ou seja, 

X(n+1) = [7X(n) + 13]mod 17.

Imaginemos, ainda para fins de ilustração, que o primeiro valor do processo iterativo, X(0), seja 1. Isso significa que X(0) = 1.

Substituindo o valor escolhido para X(0) na equação acima, temos X(1) = 3. Isso porque (i) a soma entre o produto entre 7 e 1 e 13 é 20 (7 multiplicado por 1 e, em seguida, somado com 13, é igual a 20); e (ii) 20 dividido por 17 é 1, com resto 3 (ou seja, executamos a operação mod). Se substituirmos X(1) = 3 na mesma equação, obtemos X(2) = 0, usando exatamente o mesmo procedimento.

Repetindo o algoritmo, no qual X(2) gera X(3), X(3) gera X(4), X(4) gera X(5) e assim por diante, obtemos a seguinte sequência de X(0) até X(15): 

01, 03, 00, 13, 02, 10, 15, 16, 06, 04, 07, 11, 05, 14, 09, 08.

Esta é a mesma sequência que anteriormente poderia ser julgada por um espírito precipitado e pouco crítico como sendo aleatória. No entanto, ela pode ser também determinística. 

Se calcularmos o valor de X(16), obtemos 1, o mesmo valor inicial dessa brincadeira. Ou seja, toda a sequência se repete de maneira determinística. A aleatoriedade era ilusória. A informação que o leitor não dispunha no início da discussão era a origem da sequência que escolhi. Portanto, não há como responder qual é o próximo número. Até mesmo uma sequência como 1, 2, 3 pode ser originada de uma aula de dança de salão. Quem dança valsa repete certos movimentos periódicos: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3...

Já a primeira sequência que usei para ilustração poderia ser obtida a partir da equação:

X(n+1) = [1X(n) + 1] mod 9.

Portanto, do ponto de vista de quem a concebeu (eu!) neste contexto também escolhido por mim, o próximo número é 0.

Todas as sequências de números naturais obtidas a partir da equação

X(n+1) = [AX(n) + B]mod C

são determinísticas e periódicas. No entanto, este é o coração de um procedimento muito empregado em computadores e certas calculadoras eletrônicas para gerar sequências aparentemente aleatórias. Tal procedimento faz parte do estudo das famosas sequências pseudo-aleatórias.

Quando vemos animações em computação gráfica de flocos de neve caindo ao chão ou pinguins que marcham aparentemente ao acaso para uma montanha de gelo, tais imagens dependem de dispositivos como este ou similares. Eles criam a ilusão de aleatoriedade. O que o programa de computação gráfica faz é traduzir os números gerados por esses algoritmos como cores, formas e posições em um sistema de referência de duas ou três coordenadas (chamadas muitas vezes de dimensões).

Inúmeras simulações computacionais empregam geradores de sequências numéricas pseudo-aleatórias. Para a geração de grandes sequências, este procedimento é mais barato e prático do que a construção, por exemplo, de mecanismos reais em laboratórios que simulem o acaso.

A escolha dos parâmetros A, B e C no método apresentado acima é crítica e depende de um aparato teórico consideravelmente sofisticado, fora do alcance dos ensinos fundamental e médio. No entanto, sua aplicação em salas de aula do ensino básico demanda apenas o domínio de operações elementares entre números naturais.

Em nosso primeiro exemplo, no qual C vale 17, a repetição começa a ficar evidente com mais do que dezessete iterações. Para efeitos mais convincentes (do ponto de vista intuitivo), valores maiores devem ser escolhidos para o parâmetro C. No entanto, se os parâmetros A e B não forem criteriosamente escolhidos também, mesmo para grandes valores de C podem ocorrer periodicidades em pequenas sequências de números.

Já a escolha da semente X(0) pode depender de dados fornecidos pelo relógio do computador. Assim, dependendo do ano, mês, dia, hora, minuto, segundo e fração de segundo em que o processo iterativo começar a ser executado pela máquina, poderemos ter diferentes valores iniciais para X(0). Isso ajuda a conferir uma maior sensação de aleatoriedade para um mero espectador que apenas observa os resultados, sem conhecer a intimidade do processo de geração de dados. Como este conteúdo pode ser explorado com criativas brincadeiras envolvendo nada além das quatro operações elementares da aritmética, ele se torna perfeitamente acessível aos ensinos fundamental e médio. O contexto computacional pode ser apenas descrito para fins de motivação.

É claro que o estímulo deve ser dado para além de meras contas. Os  alunos precisam saber que a escolha dos parâmetros A, B e C é, em geral, complicada; principalmente se queremos trabalhar com longas sequências de milhares ou milhões de números que pareçam aleatórias.

O fato de uma sequência de números ou movimentos de uma animação em computação gráfica parecer aleatória não significa que de fato o seja. Em compensação, o fato de uma sequência de números parecer previsível, também não significa que seja.

Para que os alunos efetivamente entendam as ideias aqui apresentadas, cabe ao professor instigá-los a criar outros mecanismos matemáticos que produzam sequências pseudo-aleatórias de números. Se tais sequências forem representadas na forma de imagens (via coordenadas em um plano cartesiano, por exemplo), teremos a oportunidade de visualizar a criatividade matemática de nossos jovens. Se tivermos um processo de geração de números pseudo-aleatórios para as abscissas e outro para as ordenadas, teremos a chance de uma visualização de diferentes padrões de aparente caos. E se tais processos puderem ser implementados via programas de computador, em função do caráter iterativo dos algoritmos, temos então a chance de casar matemática com programação de computadores.

Vale observar também que o método apresentado aqui (conhecido como método da congruência), com a equação X(n+1) = [AX(n) + B]mod C, permite que os resultados finais após cada iteração possam ser normalizados, se dividirmos cada X(n+1) por C. Desse modo os resultados finais ficarão confinados ao intervalo fechado [0,1] dos números reais.

Você sabe contar?

Clique na imagem acima para ampliá-la e conte quantos fios existem nela. Use a técnica que quiser. Coloque sua resposta na forma de comentário. 

Matemática e História: um exemplo de interdisciplinaridade no ensino médio

Apresentamos aqui um exemplo muito simples de atividade interdisciplinar que pode ser desenvolvida em uma turma de pré-universitários com conhecimentos muito básicos de geometria plana, geometria espacial e trigonometria. Originalmente desenvolvi este exemplo em 1981, quando eu era aluno do segundo ano do ensino médio. Espero que aproveitem.


Considere um polígono regular de n lados medindo k (cada um), área T e apótema a. Vale lembrar que o apótema de um polígono regular é o raio da circunferência inscrita ao polígono. 


Considere agora uma pirâmide regular reta com n faces laterais, área total T (área da base B somada à área lateral L) e apótema a, lembrando que o apótema de uma pirâmide regular reta é a altura de cada face lateral que, por sua vez, é um triângulo isósceles. 


É possível provar que, se b denota a aresta da base da pirâmide, então b/k = B/L = L/T = número de ouro.


A imagem abaixo ilustra o enunciado para o caso particular em que n = 5. Portanto, o polígono ilustrado é um pentágono regular. As faces laterais da pirâmide estão representadas em verde. Toda a parte branca da imagem tem uma área total igual à área da base da pirâmide.

Para quem não lembra, o número de ouro pode ser definido como o número real positivo cujo inverso é igual a ele mesmo somado de um. Tal enunciado admite duas soluções, a saber, uma positiva e uma negativa. Estamos interessados apenas na solução positiva, que é igual à metade da diferença entre a raiz quadrada de cinco e um. Isso corresponde a aproximadamente 0,618. É um número irracional, porém não transcendente.


Na internet é muito fácil encontrar informações sobre o número de ouro, o qual é empregado para definir proporções esteticamente atraentes em desenho, arquitetura e até mesmo na música.


Todas as pirâmides definidas como no enunciado acima têm as faces laterais com a mesma inclinação em relação à base. Essa inclinação é de aproximadamente 51 graus, 49 minutos e 38,25 segundos de arco. Este é o arco cujo co-seno é o número de ouro.


No caso especial em que n = 4, temos uma pirâmide com as mesmas proporções da Grande Pirâmide do Egito, a de Quéops. Na verdade essa coincidência de proporções é apenas aproximada (com uma margem de erro de aproximadamente um minuto de arco), pois a Pirâmide de Quéops foi severamente danificada ao longo dos milênios de sua existência. Originalmente ela contava com uma guarnição que a revestia, a qual foi destruída pelo próprio povo egípcio para a construção de casas. 


Do ponto de vista matemático, este problema é bastante rico, apesar de exigir poucos conhecimentos. A partir de área de triângulo, pode-se deduzir a área de qualquer polígono regular. Além disso, o aluno deve conhecer proporcionalidade entre lados de triângulos semelhantes e noções básicas de trigonometria. Saber resolver equações de segundo grau também é fundamental para lidar com o problema aqui proposto.


Do ponto de vista histórico, fica um pouco mais fácil compreender e apreciar os avançados conhecimentos matemáticos, arquitetônicos e de engenharia da antiga civilização egípcia, a qual também cultivava astronomia e medicina. E outros exemplos históricos podem ser apresentados sobre o uso de proporções áureas entre povos antigos. 


Se o leitor quiser, pode estender o resultado acima para círculos e cones. Ou seja, dado um círculo de raio r e área S, é possível definir um cone reto com área total S, raio da base s e geratriz r, de modo que necessariamente s/r = B/L = L/S = número de ouro, sendo B e L as áreas lateral e da base do cone, respectivamente.


Ou seja, levando em conta que a mesma estética áurea é aplicável a pirâmides retas regulares quaisquer (e até mesmo a cones), fica a pergunta: por que os egípcios optaram apenas por bases quadradas?