quinta-feira, 22 de janeiro de 2015

Matemática vista como filosofia no ensino básico


O maior desafio no ensino de matemática é a transposição de conhecimentos avançados para níveis acessíveis aos alunos. E mesmo conteúdos lecionados no ensino fundamental não podem ser subestimados. Aliás, principalmente os conteúdos mais básicos devem ser estudados de forma extremamente cuidadosa. Desconheço ramo da matemática que seja trivial. Para ilustrar o que digo, considere o que se segue. 

Um professor afirma que a igualdade é uma relação binária que, entre outras propriedades, é transitiva. 

Por que é binária? Alguns dizem que é porque a igualdade se aplica a dois termos. Mas se um termo x somente pode ser igual a ele próprio (x), então certamente, neste contexto, a igualdade não se aplica a dois termos. Portanto, é falso afirmar que a igualdade é binária por se aplicar a dois termos. A verdade é que a igualdade é uma relação binária porque se aplica a duas ocorrências de termos. Note que o plural "termos" na frase imediatamente anterior a esta é usado por conta da limitação de explicar matemática a partir de uma linguagem natural, como o português. Afinal, usualmente é legítimo escrevermos tanto x = x quanto x = y. A fórmula x = x é verdadeira, independentemente do valor de x, pelo menos em teorias usuais da matemática. Já a fórmula x = y é um pouco mais difícil de discutir, como vemos adiante.

Por que se diz que a igualdade é transitiva? A explicação usual em livros e apostilas de matemática básica é a seguinte: porque se x = y e y = z, então x = z

Agora vejamos a seguinte situação. Um professor diz que a solução da equação x - 3 = 0 é x = 3. E, em seguida, ele afirma que a solução da equação x - 4 = 0 é x = 4. Ora, sabendo que a igualdade é também uma relação binária simétrica (se x = y, então y = x), podemos inferir o seguinte: "Se x = 3 (de acordo com o primeiro problema enunciado pelo professor), então 3 = x. Mas temos também que x = 4 (de acordo com o segundo problema enunciado pelo professor). Logo, como 3 = x e x = 4, então 3 = 4."

Esta pergunta foi levantada pelo leitor Leandro Martins Tosta. E é uma questão extremamente pertinente. Por quê?

Se o professor afirma que a igualdade é transitiva (conforme a explicação usual dada acima) e se usa a mesma variável x em dois problemas, por que não se pode concluir que 3 = 4?

Desafio o leitor a responder a esta questão antes de continuar a leitura da postagem. 
...

O fato é que a maneira usual como se define a transitividade da igualdade nos ensinos fundamental e médio é confusa. Em cálculo predicativo de primeira ordem, a transitividade da igualdade é teorema que pode ser demonstrado a partir de duas outras fórmulas, a saber, reflexividade e substitutividade. Além disso, a transitividade da igualdade se expressa a partir de uma única fórmula rigorosamente definida no contexto do cálculo predicativo de primeira ordem. Ou seja, não se faz uso de termos de uma linguagem natural, como o português. E note que comumente professores de matemática e autores de livros e apostilas descrevem a transitividade da igualdade usando termos de linguagem natural, como foi mostrado acima ("se", "e", "então"). E não existe tradução trivial entre símbolos de uma linguagem formal e símbolos de uma linguagem natural, como muitos sugerem. Detalhes sobre a igualdade em linguagens formais podem ser encontrados no livro Introduction to Mathematical Logic, de Elliott Mendelson (Chapman & Hall, 1997). 

Mas não quero discutir tópicos de lógica avançada aqui. Quero discutir como podemos transpor tais tópicos para uma linguagem acessível ao aluno que desconhece lógica matemática. 

Resolver este problema é extremamente importante. Caso contrário, o professor pode facilmente passar a sensação de que matemática é uma disciplina insana. Isso porque ora podemos usar a transitividade da igualdade, ora não podemos. É como se matemática dependesse de caprichos arbitrários de professores e autores de livros e apostilas. No entanto, matemática não é uma atividade insana. Pelo contrário, é a ciência melhor comprometida com qualificação de discurso nos dias de hoje. 

OK. Como explicar ao aluno que não podemos concluir que 3 = 4?

Alunos dos ensinos fundamental e médio sequer sabem o que é uma fórmula. Logo, o melhor que podemos fazer, ao meu ver, é o seguinte.

A equação x - 3 = 0 define um problema específico. Em outras palavras, a equação x - 3 = 0, em parceria com um universo de discurso, define um contexto. O universo de discurso é dado por um conjunto, por exemplo, o conjunto dos números inteiros. A igualdade x - 3 = 0 não é verdadeira e nem falsa, no universo dado. Resolver a equação x - 3 = 0, no conjunto dos números inteiros, significa determinar se há valores para x (números inteiros) tais que x - 3 = 0 seja verdadeira quando substituirmos x por esses valores. Novamente usamos o plural "valores" por conta de limitações da língua portuguesa. Afinal, esta equação, no universo dos números inteiros, admite uma única solução. A solução é x = 3. Ou seja, se substituirmos x por 3 na equação, passamos a ter uma fórmula verdadeira, a saber, 3 - 3 = 0. 

Se considerarmos outra equação, como x - 4 = 0, mudamos o contexto, ainda que assumimos que o universo de discurso é o mesmo, definido pelo conjunto dos números inteiros. Se mudamos o contexto, não podemos aplicar a transitividade da igualdade para concluirmos que 3 = 4. 

Como podemos explicar a diferença de contextos para alunos dos ensinos fundamental e médio? A única solução que percebo é através de exemplos. 

Exemplo 1: Se x - 3 = 0, então x = 3.

Exemplo 2: Se x - 4 = 0, então x = 4.

Exemplo 3: Se x - 3 = 0 e x - 4 = 0, então não existe um único número inteiro tal que, substituindo ambas as ocorrências de x nessas duas equações pelo número inteiro, consigamos obter duas fórmulas verdadeiras.

Ou seja, a propriedade da transitividade da igualdade depende de um dado contexto. Por isso não basta dizer ao aluno que a igualdade é transitiva simplesmente porque "se x = y e y = z, então x = z". Há a necessidade fundamental de inserir esta propriedade em um dado contexto.

Esta é uma ótima oportunidade para provocar o aluno interessado. Basta dizer ao aluno que este contexto pode ser rigorosamente qualificado. Na prática, como se faz isso? Através do método axiomático, em suas formulações hoje conhecidas. 

Essa discussão sobre contexto tem obviamente um caráter filosófico. E, de fato, o estudo dos fundamentos da matemática (disciplina que permite responder a questões como esta colocada por Leandro) é uma atividade filosófica. Portanto, esta é também uma excelente oportunidade para discutir a contraparte filosófica da matemática. Assim como matemática não se faz somente com a repetição impensada de procedimentos automáticos, filosofia também não se faz apenas com especulações. Matemática demanda qualificação de discurso. E filosofia pode ser feita com muita conta. É o que lógicos fazem todos os dias.

37 comentários:

  1. Esta questão é de convenção (quem sabe possa ser o mesmo que contexto). X-3=0 só será uma equação enquanto x-4=0 não for considerada. No caso de considerar as duas convenções em conjunto, ela passa a não ser válida analisando de forma holística. Mas se inserirmos uma variável tempo (t), então novamente podemos considerar as duas equações como válidas.
    Outro exemplo a ser pensado: nada + nada = 2 nada, já que x + x = 2x.
    Sou estreante em matemática, claro além de presunçoso.
    João Luiz Faria

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    1. João Luiz

      Aqui devemos tomar muito cuidado. Não faz sentido inserirmos tempo na discussão, uma vez que se trata de um conceito físico e não matemático. Além disso, tanto x - 3 = 0 quanto x - 4 = 0 são equações. A compreensão de fato dessas noções demanda muita lógica-matemática. O que fiz na postagem foi simplesmente tentar adaptar para o ensino fundamental.

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  2. Lembro que certo autor (Bertrand Russell?) notou que, mesmo em livros de matemática mais avançada, há muito mais palavras (linguagem natural) do que fórmulas e equações matemáticas. O sonho de se formalizar a matemática – como Feynman definiu: “Mathematics is a language plus reasoning; it is like a language plus logic” – de modo a se evitar as linguagens naturais (pelo que sei, isso vem desde Leibniz), que são, sem exceção, ambíguas, encontrou, aparentemente, em Frege e Peano a sua concretização; mas aí veio Gödel e (?meio que) destruiu esse castelo de cartas...

    Prof., será que hoje é tão necessário assim se fazer, como v. sempre parece ter colocado, uma “qualificação de discurso”? Será que o contexto (?restrito) já não seria suficiente para esse nível mais básico? Como conciliar o espírito crítico com a (chamarei assim) capacidade-de-resolver-problemas?

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    1. Excelente pergunta Eduardo.

      Se me permite, gostaria de acrescentar: Prof Adonai até que ponto ensinar matemática utilizando sua linguagem formal, a torna incompreensível, como foi na época da famigerada Matemática Moderna?

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    2. Prof. Adonai Sant’Anna.
      Explicitar a importância de se encontrar uma definição lógico-filosófica adequada para tratar de problemas matemáticos se faz fundamental para evitar erros de raciocínios. Pena que muitos profissionais da educação não percebem sequer que exista tal relação.
      Parabéns pelo artigo.

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    3. Eduardo Silva e Hugo Delatorre

      As questões que vocês colocam são muito profundas e não contam com uma resposta que seja consenso tanto entre matemáticos quanto filósofos. Mesmo assim, acho que é possível escrever uma postagem sobre o tema, desde que eu tome certos cuidados. Proponho o seguinte. Mais tardar até fevereiro publico neste blog um texto sobre as questões colocadas por vocês.

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    4. Luiz Braz

      No Brasil ainda persistem muitos trabalhos sobre educação escritos por um único autor. É necessária uma parceria entre matemáticos (no sentido estrito do termo) e pesquisadores da área de educação. A turma tinha que brigar menos e colaborar mais.

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    5. Ok, prof., ficamos no aguardo – só por curiosidade, aqui um interessante vídeo sobre a origem do "x" na matemática:

      http://www.ted.com/talks/terry_moore_why_is_x_the_unknown

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    6. Eduardo

      Grato pela paciência e pela dica.

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  3. A necessidade de sanar esta dúvida ficou ainda mais forte recentemente quando eu e meu pai (Paulo Martins Tosta, bancário aposentado e que também já participou do blog em outras postagens), que sempre conversamos sobre assuntos relacionados com Ciência e Tecnologia (meu pai é entusiasta de assuntos dessa natureza), conversávamos sobre estranhezas relacionadas ao ensino básico e o quão incompleto e defasado é este último.

    Conversando com ele sobre o modo como resolvemos problemas envolvendo variáveis, ele questionou essa metodologia de cálculo usando o "x" (ele alega nunca ter aprendido aquilo que chama de "Matemática Moderna"), dizendo não fazer o menor sentido. Em seguida, comentei que também achava aquilo estranho, mas usava por se tratar de algo funcional e que eu tinha aprendido fazer aquilo mecanicamente e sempre tive receio de perguntar, com medo de virar chacota.

    Apesar do receio, meu pai me estimulou fortemente para que eu sanasse essa dúvida.

    Como ele eventualmente lê algumas postagens do blog e se interessa cada vez mais por ele, percebeu que seria pertinente levantar esta questão, apesar do meu receio.

    Conhecendo o Adonai e vendo que não haveria nenhuma escandalização com este tipo de dúvida, enviei o questionamento para ele e fiquei aliviado em saber que não era uma dúvida tão trivial como eu tinha a impressão de que fosse.

    Gostaria de salientar, por fim, que parte dos créditos desta dúvida se deve também ao meu pai, pois ele tem um senso provocativo (no bom sentido, é claro) muito forte, a ponto de "bater o pé com firmeza" quando algo lhe parece estranho, contraditório e supostamente ilógico. E a sensação de desconforto que me levou a expor esta dúvida foi reforçada de forma significativa por ele. Até porque ele também achou igualmente estranho o modo como aprendi sobre o "x" pelos livros convencionais de Matemática.

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    1. Adonai

      Apesar de eu ter esta dúvida por mais tempo, meu pai também percebeu o "problema do x" em uma das situações em que eu resolvia um passatempo de matemática da revista Coquetel usando uma equação do 1º grau. Então passamos a conversar sobre esta e outras questões até chegar aqui e efetuar a pergunta.

      Não seria o caso de creditar também o nome dele a este questionamento????

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    2. Leandro

      Lembro dos comentários de seu pai. E devo dizer que você tem muita sorte em termos de família. Quaisquer outras dúvidas, basta questionar. Sempre que puder, tentarei responder.

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  4. Caro professor Adonai,

    haveria alguma proximidade, por mínima que seja, entre igualdade (no sentido matemático) e identidade (no sentido filosófico)?

    Muito obrigado!

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    1. Anônimo

      Os estudos sobre identidade em matemática e física são essencialmente de caráter filosófico. Trabalhei durante anos sobre o tema, com publicações em parceria com Décio Krause e Analice Gebauer Volkov. A tradição filosófica começa com Heráclito, passando por Leibnitz, Post, Schrödinger, entre muitos outros. Há muitas questões em aberto, mesmo após milênios de estudos. Uma postagem deste blog que trata sobre o tema de forma bastante superficial está no link abaixo. Se desejar saber detalhes específicos, basta questionar.

      http://adonaisantanna.blogspot.com.br/2012/12/quase-poesia.html

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    2. Obrigado pela resposta, caro professor! Para ter uma relação de igualdade, imagino que deva haver a necessidade de um símbolo "=". Seria assim para muitos tipos de relação. Este símbolo é usado em teorias filosóficas para expressar a identidade. Acontece que a identidade na filosofia é também (como a identidade na matemática) complicada, há muitos problemas abertos até hoje. A minha questão é que, se há esse símbolo "=" que representa uma relação em que cada um dos termos se repete (3=3 ou A=A), pode haver um significado mínimo que comunica uma e outra. Se sim, o próprio conceito ou a própria noção de repetição (há esse conceito em Leibnitz, mas só o conheço através de leituras secundárias até agora, infelizmente) desempenharia algum papel nessa relação? Não sou filósofo nem matemático (e nem domino essas questões como deveria), faço apenas a mesma questão que você fez no seu artigo "Quase-Poesia" a partir de uma psicanálise aplicada à sociologia: o que significa esse "si mesmo"? Seria uma repetição (e até mesmo hipotética)?

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    3. Anônimo

      O símbolo "=" é apenas um símbolo, nada mais. São as propriedades da igualdade que devem ser qualificadas para definir o que é este conceito.

      Com relação a Leibniz, importante observar que o seu princípio de identidade de indiscerníveis mudou com o passar do tempo. Leibniz formulou este princípio de uma forma e hoje existe uma visão diferente.

      Com relação àquilo que você chama de repetição, devemos tomar muito cuidado para não confundirmos identidade com a noção de multiconjuntos. Dê uma olhada no link abaixo.

      http://mathworld.wolfram.com/Multiset.html

      Ou seja, o problema da identidade é complicado.

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  5. Caro Adonai,
    texto provocador, particularmente para o professor de ensino médio. De fato, a matemática está muito mais próxima da filosofia do que da contabilidade! Embora, nem todos filósofos e matemáticos pensem dessa forma. Num nível um pouco mais sofisticado, embora esta não seja a proposta do artigo, o problema não poderia estar relacionado a noção de estruturas quando rígidas ou não-rígidas (deformáveis) e ao desconcertante problema da identidade?
    Cordialmente,
    Gilson Maicá

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    1. Gilson

      O que são estruturas rígidas e estruturas deformáveis?

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  6. Caro Adonai,
    uma outra questão que me perturba: seria defensável em matemática uma identidade relativa ou contextual? Existe algo na literatura a respeito disso?
    Gilson Maicá.

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    1. Gilson

      Não sei se compreendi sua pergunta. Mesmo assim tentarei responder. Do ponto de vista conjuntista usual, a identidade pode ser compreendida como a diagonal de um conjunto. Neste sentido, a identidade no conjunto dos números naturais é diferente da identidade no conjunto dos números reais. Em ambos os casos, a identidade é uma relação (no sentido usual da teoria de conjuntos). Mas são relações diferentes entre si. Sequer equipotentes elas são.

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    4. Caríssimo Adonai,
      não sei se estou correto no que vou afirmar, mas me corrija se estiver equivocado!

      A) Definição de estrutura rígida: se o único automorfismo de uma estrutura S=(D,R), com D um conjunto não vazio e R uma relação binária sobre D, é a função identidade, então S é rígida ou indeformável.
      Exemplo:(Z,menor=) é rígida (pela definição) e (Z,Adição) parece que não é.

      (B) De acordo com uma certa concepção ontológica da matemática, ser e ser um objeto numa determinada estrutura (ontologia de estruturas!). Isto significa, pelo que entendo, que a natureza de um objeto é completamente determinada pela estrutura em que este objeto se encontra. Um objeto é determinado por sua condição na estrutura, e nada mais! Por exemplo, considere a estrutura S dada acima (estou pensando que isso pode ser generalizado!). Então, defino a identidade de um objeto (na estrutura) do seguinte modo:
      (1) id(x)1={x em D: (x,a) em R} e (2) id(x)2={x em D: (a,x) em R} e, então estabeleço: id(x)=(id(x)1, id(x)2). Logo, dois objetos numa mesma estrutura S são idênticos. Parece defensável, neste caso, que dois objetos numa mesma estrutura, sejam "estruturalmente idênticos", embora não sejam o mesmo. Então, de certo modo, em alguma acepção, 3=4?
      Obrigado desde já pelas correções e outras observações!
      Cordialmente,
      G. Maicá.
      P.S.: fico honrado com seu convite para expor meu trabalho aqui. É claro que aceito, mas só depois que terminar, ainda estou tentando transformar o rascunho em arte final. Um abraço!

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    5. Gilson

      Ótimo! Creio que agora entendi as suas questões anteriores. Lá vai.

      1) Você questiona se o problema apontado na postagem não poderia estar relacionado à noção de estruturas rígidas e não-rígidas e ao problema da identidade. Imagino que você não esteja se referindo à questão da transposição de conhecimentos, mas sim ao correto emprego da transitividade da igualdade. Bem, não creio que seja o caso. Relações binárias transitivas existem tanto em estruturas rígidas quanto as não rígidas. O ponto que tento explicitar é que a compreensão da propriedade da transitividade depende de uma familiarização com linguagens formais.

      2) Sua sugestão para identidade(s) contextual(is) é curiosa. Mas não vejo como essa identidade contextual poderia se identificar com alguma noção usual de identidade, ainda mais levando em conta que você trabalha com uma relação binária R qualquer. A ideia teria que ser melhor detalhada. Algo a se pensar.

      Com relação ao meu convite, fico animado com a sua aceitação. Ficarei aguardando.

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  7. Imaginemos um momento imediatamente anterior ao big bang e o chamemos de t (0) e agora o momento imediatamente posterior, chamando-o de t (1). No t (1) toda a energia do universo foi liberada abrindo-se uma dimensão chamada tempo. A partir deste momento, qualquer evento no universo tem um t (x) que o caracteriza. Depois do big bang qualquer evento carrega implicitamente um t. Inclusive qualquer equação matemática, mesmo que a matemática não leve em consideração as questões físicas de existência, ela está sujeita às leis universais. Portanto, uma equação somente será real se considerar a variável tempo.
    Como na matemática é importante o contexto no qual se insere a equação e o contexto depende da sua localização no espaço-tempo, a variável t é componente fundamental da ideia equação. Assim a existência de uma equação é função da variável tempo, mesmo que esta não apareça na sua representação.
    Considerando a variável t, qualquer equação representada em determinado contexto, pode ser válida.
    Quando falamos em mudança de contexto estamos explicitamente considerando a variável t em nossa afirmação. Mais ainda, se nos referirmos a transitividade.
    Como nosso pensamento, de onde se originam as equações, são manifestações energéticas, eles estão atrelados ao seu espaço-tempo. Se a manifestação do pensamento e sua dispersão, está diretamente vinculada à variável t, esta também tem inferência no contexto e em consequência na equação.
    Levando em conta todas as considerações feitas acima, podemos inferir que a variável t possui conotação axiomática.
    A visão holística da matemática, indica que ela não pode ser isolada da física, nem da filosofia, nem da biologia e nem do estudo da linguagem como representação simbólica do pensamento humano. Todo este processo de manifestação energética é o amadurecimento do universo do qual fazemos parte e que se desenvolverá até o t (∞) quando então um big crunch concentrará toda energia existente e o tempo então perecerá, até que um novo big bang volte a ocorrer!

    João Luiz Faria

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    1. João Luiz

      Você está cometendo os seguintes erros:

      1) Você fala em um suposto momento t(0) que, segundo a sua argumentação, antecede a criação do suposto tempo após o suposto Big Bang. Isso é contraditório.

      2) Vastas porções da matemática são desenvolvidas a partir de um processo de abstração da realidade. Isso abriu espaço para o desenvolvimento de ramos da matemática que prescindem, em princípio, de qualquer suposta noção de realidade. Portanto, é pouco convincente a sua visão de que equações matemáticas estão sujeitas a leis físicas (assumindo que entendi o que você escreveu). Seria sensacional se alguém demonstrasse isso. Mas ainda não existe qualquer resultado neste sentido.

      3) O conceito de tempo varia, mesmo entre teorias físicas. A noção de tempo em mecânica newtoniana, por exemplo, é completamente diferente da noção de tempo em relatividade geral. Isso sem falar nas inúmeras variantes que existem para a teoria da relatividade geral, implicando em noções distintas para tempo. Fortemente recomendo a leitura cuidadosa dos livros de Max Jammer. Ele faz discussões muito cuidadosas e bem qualificadas, sem necessariamente apelar para muitas contas.

      4) Não existe qualquer visão holística da matemática, no sentido de uma caracterização universal sobre este ramo do conhecimento e que seja aceita por unanimidade entre filósofos ou até mesmo matemáticos.

      5) Ainda está em discussão se de fato houve algum Big Bang que teria dado origem àquilo que conhecemos como Universo.

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    2. Ok Adonai, grato pelas observações, mas penso:

      O fato de utilizar o momento t(0) é um exercício de abstração na tentativa de tentar comunicar uma ideia. Creio que abstração é um processo aceito na matemática também;

      Sobre a questão da matemática não necessitar de noção de realidade eu penso que este fato deixa um espaço para investigar a seguinte questão: a matemática pode ser praticada sem o homem? Na minha visão a matemática existe porque o homem existe e assim, estaria sujeita às leis da física. Existe uma frase que diz: uma árvore quando cai só faz barulho se houver alguém para ouvir, caso contrário apenas haverá ondas. Creio que retirar noção de realidade de um setor da ciência é um pouco perigoso. Entendo teu posicionamento, pois o significado de realidade pode gerar muitas distorções e, portanto, posso não estar compreendendo muito bem o que queres comunicar;

      Sobre a questão tempo é sobre o fato de que as equações não podem ser consideradas para comparação, pois estão sob dependência de contextos diferentes e, portanto, em momentos diferentes. Caso o contexto fosse o mesmo haveria uma falha axiomática, já que 3 e 4 não são iguais por definição. Poderia em um momento distinto mudar o contexto, mudando as definições de linguagem representativa. Poderia fazer isto a qualquer momento, mas necessitaria de alguém para ouvir a árvore cair, caso contrário seria insano. Em meu entender nesse caso a matemática perderia a noção de realidade, coisa que, em meu entender não pode, ou melhor, não deve acontecer. Ainda assim temos que lidar com a seguinte realidade, a insanidade existe e faz parte de nossa realidade;

      Aqui existe uma questão: se não é unanimidade significa que existem visões holísticas, portanto, há cogitações distintas e tentativas de chegar a um consenso?

      Quanto ao Big Bang apenas o usei como linguagem para tentar comunicar uma ideia. estou de pleno acordo que é uma teoria sem comprovação. Na minha visão é uma mistura física-matemática-filosófica bem complicada de provar. Mas utilizei o termo como linguagem imaginando que seria uma maneira fácil de explicar a ideia.

      Adonai eu gosto exercitar e aprender com troca de ideias. Peço desculpa se posso estar molestando com algumas discordâncias e ideias desconexas deste ramo da ciência que é a matemática. Tenho consciência de que falo como leigo. Grato por tirares um tempo e me passares teus pontos de vista.
      João Luiz Faria

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    3. João Luiz

      Antes de mais nada, precisamos qualificar o que significa abstração. Abstração, no sentido mais usual, é um processo mental que envolve generalização a partir de exemplos. Logo, o t(0) que você usa não parece empregar abstração. Talvez fosse possível falar de um metatempo. Mas, se fosse o caso, seria necessário que isso fosse explicitado. E mesmo que fosse o caso, como justificar a necessidade de um metatempo?

      Você afirma que a matemática existe porque o homem existe. Veja que o verbo "existir" está sendo usado em dois contextos que não remetem necessariamente a uma única visão. E isso mostra uma grave limitação da linguagem natural para lidar com questões tão delicadas. Se você tem razão ou não, honestamente, não sei. Não sou propriamente um simpatizante desse tipo de exercício especulativo. Mas não me interprete mal. É apenas uma limitação minha.

      Quando você afirma que 3 e 4 são diferentes, por definição, o que exatamente isso significa? Você fala da definição de 3 e 4? Se for o caso, 3 e 4 são números reais ou inteiros? Qual é a teoria de conjuntos que você usa para definir 3 e 4? Ou você usa apenas uma noção intuitiva do que sejam 3 e 4? Se usar mera intuição, temos a limitação provocada pela falta de qualificação de discurso. Se usarmos uma linguagem formal, temos a limitação imposta pela própria linguagem, uma vez que existem muitas outras linguagens formais. O 3 em Zermelo-Fraenkel é o mesmo 3 em NBG? Além disso, quando você fala de termos diferentes, assume implicitamente um conceito de igualdade. Mas de qual igualdade você fala? Igualdade no sentido de diagonal de um conjunto? Ou igualdade no sentido de uma letra predicativa binária? Espero que perceba que todas essas questões são retóricas. Meu objetivo aqui é tentar mostrar que essas questões são todas muito complicadas. Talvez alguém, algum dia, simplifique isso tudo. Mas, no momento, não há ideia melhor.

      No comentário anterior você usou artigo definido para se referir à visão holística (A visão holística da matemática). Hilary Putnam escreveu, anos atrás, um artigo fenomenal sobre essas supostas visões holísticas da matemática. Ele faz um resgate histórico das principais escolas de fundamentos do início do século 20 (análise, formalismo, intuicionismo e logicismo) e conclui de forma muito convincente que a matemática é simplesmente multifacetada. O que é matemática? É a lista de assuntos do Mathematics Subject Classification da American Mathematical Society! Recomendo que dê uma olhada. Perceberá algumas características realmente interessantes naquela lista. Ela sempre abre espaço para ramos da matemática ainda não antecipados.

      Não, você não está molestando. Pelo contrário, prefiro pessoas como você (movidas pela curiosidade) do que os mornos. No entanto, preciso dizer que a prática sempre deve anteceder a especulação. Especular é fundamental, sem dúvida. Mas ciência e filosofia simplesmente não sobrevivem com uma dieta exclusiva de especulação. Precisamos de prática, muita prática.

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  8. Confesso que tentei dar uma olhada em matemática mais avançada e me senti um estúpido lendo a linguagem matemática. Acredito que seria mais fácil aprender japonês em braile do que matemática avançada, parafraseando Djavan.
    Capturei na Wikipedia (sei que não é das literaturas recomendadas, mas facilita) a seguinte informação e quem sabe possa ajudar quando inseri a questão tempo em minha análise: "Uma motivação a favor dos axiomas da ZFC é a hierarquia cumulativa de conjuntos introduzida por John von Neumann (Shoenfield 1977, sec. 2). Nesse ponto de vista, o universo da teoria dos conjuntos é construído em etapas, sendo uma etapa para cada número ordinal. Na etapa 0 não existem conjuntos. Em cada etapa seguinte, um conjunto é adicionado ao universo se todos os seus elementos foram adicionados em etapas anteriores. Logo, o conjunto vazio é adicionado na fase 1, e o conjunto contendo o conjunto vazio é adicionado na etapa 2; veja Hinman (2005, p. 467). A coleção de todos os conjuntos que são obtidos desta maneira, sobre todas as etapas, é conhecida como V. Os conjuntos em V podem ser organizados numa hierarquia atribuindo à cada conjunto a primeira etapa na qual esse conjunto foi adicionado à V.” Nessa lógica foi que inseri t(o) e t(1) e assim sucessivamente, como ideia, para sugerir diferentes contextos.
    Sobre a questão de existir, realmente é um termo que pode inferir muitas interpretações e análises filosóficas, no entanto se imaginarmos que matemática é coisa do homem, então a necessidade de haver olhos para ler, ouvidos para ouvir e mentes para compreender, me parece que o existir de ambos é essencial para a existência de um, qualquer que seja, homem ou matemática.
    Sobre os números, devido a minha limitação de conhecimentos, para mim 3 e 4 significam 3 e 4, ou seja, por definição, 3+1=4 e 4-1=3. Não consigo abstrair mais do isto. Minha linguagem matemática é óbvia e simples, ou seja, por definição 3 não é 4. Percebi que te referes a igualdade como apenas um sinal. Este sinal pode ter mais de um significado? Pelo que entendi existem várias linguagens usando mesmos símbolos. Neste caso realmente posso fazer confusão e não entender ou entender de outra forma. Acho que neste caso é interessante falar a mesma linguagem. Na minha modesta opinião 3 é apenas 3. Assim como igualdade tem apenas um significado.
    Pensei na seguinte questão: um conjunto A que representa o teu saber em matemática, um enorme conjunto, depois um conjunto B representando o meu conhecimento em matemática, um conjuntinho ínfimo. Diante de uma situação desta, podemos supor 3 possibilidades de interação:
    1- conjunto B pertinente a A. Possibilidade de interação nula;
    2- conjunto B parcialmente pertinente a A. Probabilidade de interação parcial;
    3- conjunto B não pertinente a A. Probabilidade de interação total ou parcial.
    Me parece importante definir interação: ao que me refiro é que um conjunto interagindo com o outro absorveria a parte não pertinente. Assim seria possível aumentar de tamanho, ao absorver conhecimentos não pertinentes.
    Não faço a menor ideia se é possível quantificar estas probabilidades, mas me surge um questionamento: analisando esta questão em direção A para B, se pode esperar um resultado de interação. Olhando de B para A, seria o mesmo resultado?
    Pensando que se A+B = B+A então o resultado deveria ser o mesmo. Este raciocínio poderia ser considerado reducionista. No entanto se considerarmos um pensamento holístico o sentido do pensamento de A para B ou de B para A, fará diferença e então A+B ≠ B+A.
    Este é apenas um exercício de raciocínio que faço, talvez possa ter alguma relação com o questionamento que fizeste.
    Realmente adicionei muitos conhecimentos em relação a matemática. Sempre classifiquei matemática como ciência das exatas, mas agora me parece que se encaixa mais como inexata. Claro, diante de todo este contexto, o que significa exata? Já tenho dúvidas!
    João Luiz Faria

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    1. João Luiz

      Vejo que você está genuinamente motivado. E isso é ótimo! No entanto, preciso aconselhá-lo a ter paciência. A compreensão sobre fundamentos da matemática é algo que exige muita dedicação ao longo de muito tempo e muita interação com muitos profissionais experientes. Ou seja, existem muitos "muitos". Se você tiver paciência, aliada à sua inquestionável motivação, com o tempo as dúvidas vão sendo resolvidas e substituídas por outras.

      A visão sobre ZF que você encontrou na Wikipedia é interessante. E é até cabível, com um pouco de criatividade, a sua visão sobre momentos t(0), t(1) etc. No entanto, o que você reproduz da Wikipedia é apenas *uma* percepção sobre os axiomas desta teoria. Eu, por exemplo, vejo os axiomas de ZF de outra forma, se for apelar para uma visão intuitiva com finalidades didáticas. Os axiomas de ZF simplesmente retratam quais são os conjuntos permitidos pela teoria e quais não são. Um exemplo claro disso é o Esquema da Separação, que proíbe conjuntos definidos por predicados sem referência a um conjunto universo. Não há motivos racionais para o matemático se prender a uma única visão intuitiva a respeito dos axiomas de Zermelo-Fraenkel.

      Com relação à sua visão sobre 3 e 4, você admite que é apenas intuitiva. Mas como intuições raramente são compartilhadas (e sequer existem critérios para definir se duas visões intuitivas são realmente compartilhadas), carece de qualificação o que você diz. E matemáticos dependem profundamente de qualificação de discurso, correndo frequentemente o risco de serem considerados apenas como um bando de chatos.

      Você faz muito bem em questionar se matemática é uma ciência exata. O termo "exata" pode passar uma impressão de algo que está acima do questionamento. E matemática, como qualquer outra ciência, jamais está acima do questionamento. Existem muitos estudos interessantes sobre os aspectos humanos da matemática. E existem aqueles que fantasiam que a matemática seria uma linguagem universal, caso tivéssemos contato com alguma inteligência extraterrestre. No entanto, enquanto isso não acontecer, jamais poderemos ter certeza a respeito da suposta universalidade da matemática como forma de linguagem compreensível para qualquer forma de inteligência. Matemática está muito mais próxima das ciências humanas do que frequentemente se imagina.

      Com relação às suas noções intuitivas sobre existência, não custa lembrar do conceito de cor. Cores são meras interpretações que nossos cérebros fazem a partir de estímulos provocados por ondas eletromagnéticas. No entanto, apesar de vermos cores, elas não existem. E quando afirmo que não existem, quero dizer com isso que a noção de cor não é independente da percepção humana. Cores não fazem parte de qualquer realidade independente de modos de percepção.

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    2. Apenas complementando...

      Só para você ter uma ideia de como matemática é um ramo delicado, os únicos conceitos primitivos em ZF são os de pertinência e igualdade. Conjunto *não* é um conceito primitivo em ZF! E usualmente também não se define conjunto em ZF! ZF é uma teoria sobre pertinência e igualdade, nada além disso.

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    3. Se tiveres um tempo podes comentar sobre a questão dos conjuntos que fiz?
      Grato.
      João Luiz faria

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    4. João Luiz

      Lamentavelmente não posso responder, pois não entendi a pergunta. Você fala a respeito de interações entre conjuntos, adição de conjuntos e probabilidades, em sentidos com os quais não tenho familiaridade.

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    5. Sobre a questão dos conjuntos vou tentar com linguagem macarrônica explicar a ideia.

      Os conjuntos são definidos por limites, assim, o conjunto que compõe o conhecimento da ciência está definido por seus limites. O conjunto de conhecimento em ciências exatas também está definido por limites, assim como o conjunto dos números racionais ou irracionais, inteiros, etc...
      Esses limites podem ser concretos ou abstratos. A característica dos limites definirá o contexto de existência deste conjunto ou a característica do conjunto definirá o contexto do limite.
      Quando tratamos de um conjunto abstrato, seus limites serão abstratos, portanto de definição relativa, já que a abstração é um conceito dependente da relatividade. Uma abstração não pode ser considerada um axioma (afirmação minha e que merece contestação, se for o caso)!
      Mas a questão aqui passa a ter um desdobramento consciencial. Para abstrair é necessário consciência. Consciência ainda não tem uma compreensão que seja unanimidade e nem comprovação física, portanto, está sujeita a relatividade.
      Falando de conjunto de conhecimentos, quando colocamos dois conjuntos distintos em interação, suponho que haja uma troca de conhecimentos que não sejam pertinentes, portanto cada conjunto tende a deslocar seus limites de forma positiva, aumentando sua área de abrangência. Esta troca somente ocorrerá em determinadas situações, quando entrarem em interação conhecimentos não pertinentes. Quando me refiro a probabilidades, é no caso de qual seria a probabilidade de ocorrer as condições de troca. Pois existe a possibilidade de pertinência, e, neste caso não haverá interação.
      Quando a pertinência é total, a interação é nula. Se parcial a probabilidade é relativa e, se a não pertinência é o caso, se houver interação, haverá troca.
      Outra questão é sobre se A + B = B + A. O sinal + significaria condição de troca, condição esta que acarretaria no deslocamento dos limites em ambos os conjuntos de forma positiva, ou seja, crescimento.
      Penso que neste caso, a direção de interação ( de A para B ou de B para A) podem não serem equivalentes, caracterizando A + B ≠ B + A.
      Não sei se minha linguagem macarrônica esclareceu um pouco mais, mas são apenas ideias!

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    6. João Luiz

      Acho que chegamos a um impasse de linguagem. Lamento se não posso mais ajudar a partir daqui. Escapa-me a sua intuição.

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    7. Ok Adonai. Compreendo! Devo agradecer pela breve troca de ideias que compartilhamos. Para mim foram de muito crescimento cultural. Percebi que a matemática de hoje já não pode ser enquadrada como exatas. Também que está estreitamente relacionada à filosofia. Também que, segundo minha visão (que pode ser modificada), ambas seguem uma linha de ação comum, mas falam linguagens diferentes. Agradeço novamente.
      João Luiz Faria

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  9. Alguém que entenda de matemática pode me responder se é viável colocar em linguagem matemática as ideias colocadas acima por anônimo em 28/01/2015, às 12:58. Esclareço que este anônimo sou eu mesmo, João Luiz Faria. Uso anônimo pois é mais funcional.
    Grato se alguém me esclarecer!
    João Luiz Faria

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