quarta-feira, 22 de setembro de 2010

2 + 3 = 5?

Dizem que quem sabe, faz... quem não sabe, ensina...
Veremos adiante que esse ditado popular, ao contrário de tantos outros, encerra uma certa sabedoria.

Já demonstrei em posts anteriores que professores de matemática comumente não sabem sequer somar. Meu argumento se sustentou no fato de que geralmente procedimentos ensinados para as operações usuais entre números inteiros (adição, subtração, multiplicação e divisão) se restringem à base decimal; e se uma pessoa não sabe aplicar os mesmos procedimentos em outras bases (como a binária ou a hexadecimal, entre infinitas possibilidades), está confundindo conceito com notação.

No entanto, quero explorar um pouco melhor essa questão, sob o foco de outra crença comum, mas equivocada: a de que a aquisição de conhecimento se conquista em etapas sucessivas, partindo-se de princípios mais básicos, para que se possa compreender tópicos mais avançados.

Esta crença gera uma espécie de zona de conforto para nossos jovens, nas mãos de nossos queridos mas ignorantes mestres.


No entanto, conhecimento pouco tem a ver com conforto.

Nos anos escolares iniciais costuma-se dizer que números correspondem a quantias. Na prática esse conceito é ensinado por um processo de abstração. Mais especificamente, aquilo que três maçãs, três cães ou três moedas têm em comum é a quantia: três. Neste sentido, procura-se induzir no aluno um processo de abstração do mundo real, para se intuir um conceito matemático chamado número. Mais tarde tais números são chamados de números naturais e - BINGO! - os alunos sabem "naturalmente" contar e até operar tais números "naturais". Estão mergulhando em um mundo encantado que costuma-se dizer que é abstrato, mas exato.
No entanto, se tais alunos forem questionados sobre o que são, afinal de contas, números naturais, eles simplesmente se perdem. O mesmo, aliás, vale para a maioria dos professores. E a escravidão do aprendizado de matemática a partir de exemplos concretos no mundo real revela-se de extrema inconveniência quando posteriormente esses mesmos jovens se deparam com números chamados de "complexos", e cuja compreensão depende de um número muito esquisito, denotado por i, cujo quadrado é negativo e usualmente chamado de "unidade imaginária". A essa altura a matemática mostra-se um mistério aparentemente sem consistência e sem contato com o mundo real.
Apelar a processos de abstração do real, para intuir o conceito de número, é algo que pode ser eficiente nos anos iniciais da escola. Mas essa intuição certamente não define o conceito de número e, com o tempo, gera desconfiança na mente dos escravos da educação que chamamos de alunos. E essa falácia da abstração é algo que adolescentes podem e devem compreender, pelo menos no ensino médio. Devem entender que aquilo que se mostra a eles durante a infância foi algo como um truque, mas não uma conceituação. Do ponto de vista matemático, nada básico foi de fato lecionado. Os jovens foram enganados!
Como no ensino médio brasileiro se leciona noções muito básicas sobre teoria de conjuntos, por que não usar isso para detalhar um pouco melhor os conceitos de número natural e das operações usuais entre eles?

Citemos um exemplo muito simples. Se definirmos o sucessor S(x)de um conjunto x como a união de x com o conjunto unitário que tem como único elemento o conjunto x (S(x) = xU{x}), poderemos então definir o número natural 0 (zero) como o conjunto vazio (aquele que não tem elemento algum), o número natural 1 como o sucessor de 0, o número natural 2 como o sucessor de 1 e assim por diante. Neste sentido, números naturais são conjuntos finitos definidos a partir de uma semente (o zero) e por uma operação conjuntista de união.

É claro que essa estratégia só pode funcionar se a teoria de conjuntos for lecionada de forma responsável, sem qualquer tentativa de atrelar o conceito de conjunto a outro processo falacioso de abstração do real a partir de exemplos concretos.

O ensino de matemática deve ser tratado de maneira responsável ao longo de toda a sua extensão. Caso contrário retornaremos à doutrinação de permanentes erros de visão sobre a natureza da matemática.
Em seguida, o docente de matemática pode definir a adição + entre números naturais da seguinte forma: se n é um número natural, então

n + 0 = n

e

m + S(n) = S (m + n).

Ou seja, quanto é 2 + 3?

2 + 3 = S (2 + 2) = S(S(2 + 1) = S(S(S(2 + 0))) = S(S(S(2))) = S(S(3)) = S(4) = 5. Portanto, 2 + 3 = 5, se 2, 3 e 5 forem números naturais, naturalmente!

É claro que não respondo aqui a uma série de questões naturais: I) Como transpor alguma teoria de conjuntos para alunos de ensino médio? II) Como provar as propriedades usuais da adição de números naturais (comutatividade e associatividade)? III) Como definir multiplicação entre números naturais, bem como suas propriedades usuais? IV) Como explicar aos alunos que até mesmo essa abordagem tem falhas graves do ponto de vista matemático? V) Como estender essas ideias para números inteiros, racionais, irracionais, transcendentes, reais e complexos?

A resposta é uma só: melhor qualificação dos professores de matemática de nosso país e, principalmente, dos autores de material didático de referência e apoio (apostilas e livros). Se isso não acontecer, continuaremos a usar ferramentas inadequadas entregues às mãos incompetentes de docentes que simplesmente não sabem o que estão fazendo.
No atual estado de coisas, alunos do ensino médio ainda são bombardeados com conceituações absurdas, como aquela na qual se afirma que um número complexo z é aquele da forma z = a + bi, sendo a e b números reais e i a tal da unidade imaginária. Ora, já que sabemos que i não é um número real (afinal, seu quadrado é um número real negativo!), como podemos multiplicá-lo por um número real b? E, pior, como podemos somar a esse insólito resultado um outro número real a?

Enquanto o ensino de matemática se mantiver sob a tradição de cópias de textos absurdos e sem uma real preocupação de transposição de conhecimentos matemáticos para uma linguagem acessível aos jovens, continuaremos a alimentar a sensação de que matemática não é terreno seguro para se viver e trabalhar.


Aliás, no atual terreno em que nossos jovens pisam, até mesmo a belíssima estética da matemática é, não apenas ignorada, mas violentada.

16 comentários:

  1. Mais um texto extraordinário! Obrigado.

    Acredito que a compreensão da concepção formalista da matemática é o que falta para a maioria das pessoas que trabalham com matemática (seja professor, pesquisador, aluno ou alguém de outra área que precisa de matemática).

    Quando entrei no curso de matemática, fui doutrinado a "demonstrar". Os professores diziam: você precisa demonstrar! Eu: Já estou vendo que é verdade (na época eu não tinha nenhuma concepção pensada sobre matemática), pra quê demonstrar? Prof: Porque senão você não vai ter certeza...

    Oras, certeza do que? Eu não tinha nenhuma concepção sobre 'demonstração', as demonstrações que me apresentavam não ajudavam (em muitos casos) na minha compreensão... pra que demonstrar? O que é demonstrar?

    Essas perguntas não são respondidas, nem sequer trabalhadas, pelos professores da universidade. Ao invés disso, faz-se 'nove bilhões' de demonstrações (sem saber o que se está fazendo) durante o curso e espera-se que os alunos fiquem bem adestrados, que sejam capazes de reproduzir aquelas 'coisas' quando estiverem lamentavelmente lecionando da mesma maneira no futuro.

    Hoje, 6 anos depois, já no mestrado, sinto-me um ignorante em matemática, não sei quase nada! Mas posso dizer que, o pouco que sei, comecei a aprender depois que comecei a compreender o formalismo.

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  2. Oi, Renato

    Entendo sua preocupação sobre o ensino superior de matemática. Mas devo alertá-lo a tomar cuidado com o termo "formalista". Usualmente ele se refere a uma escola matemática liderada por David Hilbert, Nicolas Bourbaki e outros expoentes das três primeiras décadas do século passado. No entanto, o formalismo encontrou sérias dificuldades para se manter enquanto proposta de visão unificada da matemática. Hoje essa escola não se faz mais presente, como décadas atrás.

    Se, porém, você usa o termo "formalista" em um sentido mais intuitivo e que se refere aos aspectos formais da matemática (via uso do método axiomático, por exemplo), ainda deve levar em conta que o rigor tem papel mais crucial (em certo sentido) do que o formalismo.

    A discussão é por demais extensa para se colocar aqui. Por isso recomendo os excelentes "Fundamentos da Matemática" e "Ensaio Sobre os Fundamentos da Lógica", ambos de Newton da Costa e publicados pela HUCITEC.

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  3. queremos mais da bela estética matemática!
    o seu blog tem andado abandonado...
    que tal tirar as teias e mostrar mais de seus pensamentos e reflexões que instigam nossa curiosidade ?

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  4. Peço desculpas pelo longo período sem novas postagens. Já tenho diversos textos preparados. Só preciso decidir a ordem na qual os apresento.

    Abracíssimos

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  5. Sou estudante de ciência da computação, e acredito ser bastante alarmante o fato de que provas de teoremas ainda precisam ser aprendidas por "osmose", mesmo depois de milhares de anos de tradição da matemática movida a teoremas.

    Em nosso curso, aprendemos algumas técnicas básicas com uma disciplina intitulada "introdução à álgebra", que visa familiarizar os alunos com os conceitos de provas formais da lógica matemática e sua interação com provas de teoremas básicos relacionados a relações binárias, anéis, números e conjuntos.

    Acho bastante estranho que uma disciplina desse gênero não exista na grade curricular da matemática, ou talvez "noções de lógica" e "complementos da matemática" deveriam estar dando conta do recado, mas devido a algum fator por fora de meu conhecimento, não estão?

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  6. Olá,
    comecei a ler os artigos deste blog ultimamente e ao ler suas críticas aos erros no ensino da matemática, percebi que fui ensinado da mesma forma. Para mim, a divisão por zero não fazia sentido, o sucessor da sequência 1, 2, 3, ... era 4, entre outras. Achei a definição de números naturais e sucessores de sua postagem bem interessante.
    Além disso, li suas críticas a respeito dos livros-texto de matemática no Brasil.Por isso, procurei em seu blog recomendações de livros voltados para o ensino médio mas infelizmente não encontrei, por isso vim perguntar se você poderia me recomendar alguns? pode ser tanto em português quanto em inglês.

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    1. Ícaro

      Você é um indivíduo realmente raro. Nunca gostei do fato de que as postagens mais lidas são aquelas relativas a denúncias. Sempre sonhei que as pessoas prestassem mais atenção aos textos de teor matemático, técnico. Isso porque sem esse conhecimento técnico não vejo como melhorar o ensino em nossas instituições. Com relação a livros de ensino médio, em geral as obras de Gelson Iezzi, em português mesmo, são boas. Mesmo assim não podem ser seguidas ao pé-da-letra. Aliás, livro algum deve ser usado como fonte única de conhecimentos. É fundamental que o professor busque por conhecimentos avançados para, então, adaptá-los conforme o perfil de seus alunos. Em suma, não é fácil ser professor. Qualquer professor, sem uma única exceção, comete erros em sua prática profissional. Admitir isso e tentar sanar esse problema é parte de sua missão.

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  7. Apenas para verificar se eu entendi a sua definição de sucessor : Seja X um conjunto.Chamamos de sucessor o conjunto S(x) = X U {x}.
    {} = 0
    1 = S(0)
    n = S(n-1)

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    1. Henrique

      Não.O sucessor de X é S(X) = X U {X}. Além disso, a definição não é minha.

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    2. Este comentário foi removido pelo autor.

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  8. Caro Professor

    Gostaria de aproveitar a postagem para fazer uma breve pergunta sobre os axiomas de Peano.
    Eu comecei a estudá-los há alguns dias e acabei tendo algumas dificuldades no que diz respeito a própria ideia de Números Naturais quando esses são construídos a partir da função sucessor s que satisfaz os axiomas i) s é injetiva: Se a ≠ b então s(a) ≠ s(b); ii) N-s(N) é um conjunto unitário;iii) Se A é subconjunto de N, 1 pertence a A, ocorre também a+1 pertencente a A, então A=N (Desculpe a prolixidade de minha parte mas acho necessário ser o mais claro possível).
    Ora, ao construir o número dos naturais dessa forma não considera-se o zero como elemento dos números naturais, o que faz com que não se construa um Conjunto igual ao ao dos Naturais, no máximo pode-se encontrar um conjunto igual ao dos Números Inteiros estritamente positivos!
    Ao perguntar ao meu professor foi-me explicado que para certos fins ao se trabalhar com números naturais pode-se considerá-los dessa forma sem problemas. O que me fez concluir que o uso do 1 (um) como primeiro número natural (ou seja,o complementar s(N) em relação a N) foi escolhido por mera convenção da parte de Peano.
    Mas ainda sim estou bastante insatisfeito em relação a essa questão uma vez que, devido ao meu raso conhecimento, nunca me deparei em situações onde tivesse de escolher entre uma construção que considerasse o zero como elemento dos Naturais ou não. Além do mais se um reles estudante de ensino médio considera problemática a exclusão do zero, acredito que em algum momento fora necessário justificar tal exclusão, pois ao contrário um conjunto de axiomas tão belo como os de Peano teria um grande limitador.
    Não sei se fui suficientemente claro em minhas indagações e também não desconsidero a possibilidade de ter compreendido erroneamente algum ponto (já que estudar o tema sozinho sem uma certa maturidade talvez não tenha sido uma boa ideia), mas em geral as perguntas que tangenciam meu questionamento principal são: dados os axiomas em questão, porque afinal o zero não é um elemento de N? Pode-se justificar tal postura ou trata-se de uma mera convenção? Se o zero, e não o 1, fosse definido como o menor natural na teoria em questão (digo teoria de maneira não qualificada), isso resultaria em algum problema para o Princípio da Indução Finita?

    Desde já agradeço.

    Lucas Santos

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    1. Lucas

      Leopold Kronecker afirmou, certa vez, que Deus criou os números naturais e todo o resto é obra dos homens. Mesmo assim a verdade é que os homens adotam o zero como número natural (ou não), conforme seus interesses. No estudo de séries infinitas, por exemplo, é comum considerar 1 como o primeiro natural. Uma série infinita é uma sequência de somas parciais. E uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais. A série harmônica é um exemplo bem conhecido. Trata-se de uma série infinita de 1/n. Neste caso é inconveniente admitir zero como número natural, por conta do fato de que não é usual dividir por zero.

      Com relação ao Princípio de Indução Finita (PIF), ele pode ser adaptado para qualquer uma das duas situações: com zero ou sem zero entre os naturais. O que interessa no PIF é o "efeito dominó" sugerido por ele: uma certa afirmação é teorema no caso de um primeiro valor natural (seja 0 ou 1) e, se é teorema para k, então é teorema para k+1.

      Espero ter ajudado.

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    2. Ajudou sim, obrigado.

      O senhor indicaria algum livro introdutório sobre tal tema? Venho usando o artigo "Set Theory" da Stanford Encyclopedia of Philosophy cujo link encontrei aqui mesmo e algumas teses disponíveis no site do PROFMAT, mas usar um artigo encontrado aqui como única referência para um estudo crítico é uma verdadeira contradição com que o fora constantemente discutido no blog...
      A propósito, gostaria também de perguntar se posso utilizar o espaço aqui de tempos e tempos para fazer algumas perguntas de tal natureza, e também se o senhor sabe se já há alguma estimativa de quando os os dois livros de sua autoria estarão disponíveis nas livrarias, uma vez que eles estão em falta em basicamente todas já faz algum tempo.

      Lucas Santos

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    3. Lucas

      A partir do site que você está consultando é possível acessar outras referências. É o que recomendo.

      Com relação a usar este fórum para fazer perguntas sobre lógica e fundamentos da matemática, certamente pode contar com isso por enquanto. Pretendo, em algum momento, me afastar totalmente deste blog. Mas devo fazer isso somente em um futuro não muito próximo, dentro de um ou dois anos.

      Com relação aos meus livros, não há qualquer perspectiva de reedição. Tive problemas com a editora. Lamento.

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    4. Agradeço as recomendações e fico feliz em saber que o senhor pretende se debruçar por mais um tempo sobre o blog, aprendi muito aqui com postagens como esta e me livrei de muitos preconceitos sobre matemática. Desejo sinceramente mais sorte nos próximos projetos!

      Lucas Santos

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  9. "Nos anos escolares iniciais costuma-se dizer que números correspondem a quantias. Na prática esse conceito é ensinado por um processo de abstração. Mais especificamente, aquilo que três maçãs, três cães ou três moedas têm em comum é a quantia: três. Neste sentido, procura-se induzir no aluno um processo de abstração do mundo real, para se intuir um conceito matemático chamado número. Mais tarde tais números são chamados de números naturais e - BINGO! - os alunos sabem "naturalmente" contar e até operar tais números "naturais". Estão mergulhando em um mundo encantado que costuma-se dizer que é abstrato, mas exato."

    Não sei hoje em dia, mas lembro que carpinteiros costumavam usar cadernetas onde faziam suas anotações e estimativas, a fim de evitar prejuízos e desperdícios. Se o senhor folheasse uma dessas cadernetas poderia se deparar com coisas do tipo

    400 x 102 = 5
    203 x 60 = 7
    170 x 2 = 9

    e assim por diante.
    Se perguntasse ao carpinteiro se aquilo estava certo, ele provavelmente responderia com a maior naturalidade: "Sim, tá certinho!"
    E se o profissional tivesse o mínimo de competência, aquelas estimativas realmente estariam corretas!

    Sebastião

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