sexta-feira, 30 de outubro de 2009

Matemática como Arte














Compreender uma teoria física sob enfoques experimental, matemático e filosófico demanda a capacidade de apreciar tal teoria como uma obra de arte. Daí seu apelo estético. O próprio papel da matemática, área do conhecimento sem compromisso apriorístico com o mundo físico, passa a se destacar como multifacetado. Afinal, queiramos ou não, a matemática encontra fascinantes aplicações no mundo que chamamos de real.

Comparemos essa tese com a apreciação de obras de arte. Em pinturas de Leonardo Da Vinci, do século 15, são retratados fenômenos óticos impressionantes como:

(i) A difusão de cores em regiões do quadro onde outros artistas teriam colocado meras sombras escuras;

(ii) A interferência azulada que a atmosfera provoca e que se torna mais evidente em objetos distantes como montanhas;

(iii) Fenômenos de difração que fazem com que os objetos não tenham contornos bem definidos.

A difusão de cores, por exemplo, só foi novamente expressa com o mesmo nível de maestria no século 18, pelo holandês Jan Vermeer. E isso ocorreu principalmente pelo interesse do artista em ótica. Ou seja, como apreciar uma obra de arte do grande Da Vinci sem uma cultura técnica e científica adequada? Arte não se faz unicamente com sensibilidade, como reza a crença popular, mas com profundo conhecimento técnico. Alimentar-se de conhecimento científico ajuda a naturalmente se desenvolver a sensibilidade que dele se deriva. Só é sensível aquele que sente. Se formos cegos culturalmente, não poderemos sentir a arte e, muito menos, aprecia-la.

A arte é multifacetada, assim como a ciência. Aí reside parte do valor estético dessas duas manifestações culturais, a saber, arte e ciência. Consideremos outro exemplo.

Do ponto de vista puramente geométrico, a perspectiva de Da Vinci apresenta apenas um ponto de fuga, como muitas vezes é ensinado em aulas de educação artística ou de trabalhos manuais na escola. Agora consideremos um artista posterior, como o francês Paul Cézanne.

O célebre quadro Os Jogadores de Cartas (1890 – 1892; ver figura) pode ser facilmente interpretado como uma obra carregada de erros grosseiros de perspectiva e, por isso, subestimada por um observador mal informado e desatento. Isso porque vemos dois homens sentados a uma mesa, jogando cartas; sendo que a mesa não tem um único ponto de fuga, em termos de perspectiva, mas é vista simultaneamente de dois pontos de vista distintos. A idéia de Cézanne era retratar em uma só tela a maneira como realmente vemos o mundo. Não é normal ficarmos parados diante de uma imagem simples e provinciana como a de dois jogadores de baralho. Cézanne considerou o observador em movimento e que, por isso, muda seu ponto de vista continuamente. Essa dinâmica está retratada de maneira revolucionária sobre um tema banal. Daí deriva parte de sua beleza. Mas como apreciar tal obra se nos limitarmos ao famoso “gosto não se discute”? A apreciação de arte pouco tem a ver com gosto. O que está em jogo na apreciação da beleza é cultura, educação.


O apelo estético da arte nem sempre se limita a uma questão de gosto, mas se expande aos domínios do conhecimento, da cultura, da observação atenta. Hoje em dia, por exemplo, já se percebe como o simples uso de cores pode fazer emergir propriedades que as transcendem, como formas e profundidade, ainda que não se apele a contornos bem delineados ou técnicas geométricas que exaltem perspectiva.

Algo semelhante ocorre com a matemática, a qual tem forte apelo estético. Se um professor explorar criticamente com seus alunos um conteúdo matemático, poderá fazer com que seus pupilos apreciem a matemática como algo belo, devido às suas inúmeras facetas. E isso pode ocorrer até mesmo no ensino fundamental.

Consideremos como exemplo muito simples o número a seguir, representado em base decimal:

2.475.813.660.455.032.795.957.231.615

Digamos que alguém (um professor brincalhão, mas esperto) diga que este número contém uma mensagem pictórica em sua representação em base binária. Convertendo-o para a nova base, temos:

1111111111111110001111011110111011101111011101110111101110111011111000111101111111111111111.

Ele agora é uma seqüência de 91 algarismos limitados aos valores 0 e 1. Acontece que 91 é um número composto, resultado do produto entre dois números primos, 7 e 13. Se olharmos novamente para a seqüência em questão, do ponto de vista de uma matriz com 7 linhas e 13 colunas, teremos a seguir:

1111111111111
1100011110111
1011101110111
1011101110111
1011101110111
1100011110111
1111111111111

Ou seja, a mesma seqüência fria de zeros e uns é agora uma imagem cujo fundo é feito com repetições do algarismo 1, sobre o qual está escrito a mensagem “OI” com zeros.

Essa é uma maneira usual de compor imagens com seqüências de algarismos, as quais podem até ser transmitidas por um aparelho muito rudimentar de rádio ou mesmo sinais de fumaça. Um número em base binária que seja uma seqüência de n dígitos, tal que n é produto de dois números primos, só pode transmitir imagens bidimensionais em preto e branco, se interpretarmos o 1 como preto e o 0 como branco, ou vice-versa.

Mas um número em base decimal que tenha m dígitos, tal que m seja o produto de três números primos, pode corresponder a uma imagem tridimensional que envolve até dez cores. Se quisermos aumentar o número de cores, basta usarmos bases numéricas com mais algarismos ou dígitos. Se quisermos x dimensões, tudo o que temos que fazer é escrever uma seqüência com m dígitos tal que m seja o resultado de um produto entre x ocorrências de números primos, lembrando que o número de ocorrências desses fatores primos define a dimensão da imagem.

O número 2.475.813.660.455.032.795.957.231.615, anteriormente apresentado, é uma seqüência de vinte e oito algarismos. Acontece que o número 28, decomposto em fatores primos, pode ser reescrito como 2 ∙ 2 ∙ 7, o que pode ser visualmente interpretado como uma psicodélica imagem tridimensional em forma de uma matriz de 2 por 2 por 7 e com uma paleta de dez cores, sendo cada cor representada por um algarismo da base decimal. Essa mesma imagem tridimensional, diante do processo de redução de base, se transforma na coerente imagem bidimensional de duas cores na qual se lê a amigável mensagem “OI”. Ou seja, as mudanças de base numérica podem servir como meios de tradução entre imagens de natureza aparentemente sem qualquer correlação.

Não há limites para cores e nem dimensões. Seqüências numéricas podem representar imagens com cores que o olho humano não consegue sequer distinguir ou perceber, e em universos com quantias arbitrárias de dimensões igualmente não perceptíveis por nossos limitados sentidos. Isso significa que números podem esconder em seus meandros todas as imagens concebíveis pelo nosso intelecto e mais um elenco de imagens que jamais entenderíamos, por conta de nossas próprias limitações sensoriais e intelectuais.

Se uma simples brincadeira com números inteiros positivos demonstra esse tremendo potencial estético da matemática, imagine a matemática toda, com sua vasta riqueza em termos de estruturas algébricas, topológicas e de ordem, em fundamentações conjuntistas; ou em termos de formulações categoriais que substituem miríades de simples equações por complexos diagramas; entre outras tantas possibilidades conhecidas ou em desenvolvimento no dias de hoje.

A exploração de múltiplas facetas da matemática pode ser feita, a princípio, sobre todos os assuntos da matemática básica, das quatro operações elementares aos logaritmos e trigonometria.

12 comentários:

  1. - Use o um fundo mais claro, é melhor para ler.
    - Com relação ao post, surge a pergunta: Qual programa que eu devo usar para transformar um numero grande da base 10 para base 2, pois na mão é inviável.
    - Todo blog voltado a Matemática é bem-vindo na blogosfera, por isso recomendo que publique mais.

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  2. Prof. Paulo Sérgio

    Grato pelas dicas. Analisarei outras opções para cor de fundo.

    Com relação ao programa, há muitos anos não utilizo os pacotes de computação algébrica. Mas acredito que o Mathematica (do Wolfram) dá conta do recado. No meu caso, fiz a conta com calculadora de bolso e um pouco de criatividade.

    Certamente publicarei mais, no mínimo semanalmente.

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  3. "Se formos cegos culturalmente, não poderemos sentir a arte e, muito menos, aprecia-la."
    Esta frase não ficou muito clara para mim. O termo cultura pode ser muito amplo. Penso, por exemplo, nas culturas indígenas e suas artes.Penso na cultura barroca, bem diversa da cultura classica.É claro que a arte é sempre parte de uma cultura. A arte marajoara não pode ser separada da cultura marajoara, mas é arte.Não quero separar arte de matemática e nem arte de cultura, qualquer que ela seja.

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  4. Prof Francisco Roberto Vieira

    Tenho a impressão de que concordamos sobre essa questão. Não vejo como apreciar arte indígena sem conhecimento da cultura indígena. Igualmente não vejo como apreciar a estética da matemática sem cultura matemática. Concordo que cultura é termo muito amplo. É tão amplo que abre a possibilidade de se contemplar uma obra artística de uma sociedade sob o surpreendente enfoque de outra cultura. A questão que quero salientar é que o apelo estético reside na resistência à familiaridade. O belo sempre tem a capacidade de nos surpreender com novas facetas, novas perspectivas.

    E com relação ao caso específico da matemática, acho muito difícil separar essa ciência do contexto social no qual ela é produzida. Daí pelo menos parte de sua riqueza e beleza.

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  5. Oi Adonai,

    Adorei seu texto, segue algumas reflexões:

    ...

    ``... poderá fazer com que seus pupilos apreciem a matemática como algo belo, devido às suas inúmeras facetas.''

    Essa frase dá a impressão que a beleza da matemática (ou uma das belezas...) reside no fato de que ela possui inúmeras facetas. Em seguida você apresenta um exemplo e depois afirma:

    ``... [este exemplo] demonstra esse tremendo potencial estético da matemática...''

    Agora, tendo em mente o exemplo apresentado, parece que a beleza (ou a arte) da matemática está na particularização de uma faceta, na exploração de uma das facetas, numa figura que pode ser produzida pela matemática, ao algo assim, mas não no fato de existirem muitas facetas.


    Bem, posso imaginar que `existirem inúmeras facetas' é o que permite que se faça arte com a matemática. Por exemplo, pode-se fazer inúmeras figuras usando a ideia exposta no texto, o que poderia colocar um artista criativo no paraíso.

    Por outro lado, posso imaginar que `existirem inúmeras facetas' é um fato por si só belo, e que uma maneira de provocar admiração pela matemática (o que justificaria o título ``Matemática como Arte'') é dar uma visão da grandeza da quatidade de possibilidades ou facetas que a matemática oferece (imagino que seja essa a ideia do exemplo do texto).

    Neste caso, poderia fazer a seguinte crítica: está certo, fazendo-se aparecer tantas cores e dimensões que os humanos não captam ou não entendem, de fato a matemática oferece uma variedade indescritível de possibilidades neste exemplo. Porém, eu posso imaginar que alguma figura não tem a menor graça, quero dizer, por que eu iria pensar ou refletir sobre uma figura como esta:

    1111111111
    1111111011
    1101111111
    1111111111
    1111111111

    É claro que essa figura pode assumir algum significado, mas, no espírito do exemplo, eu poderia pensar que essa figura não é admirável (no sentido de que não se pode admirar), não tem significado ou não tem apelo estético, sei lá. Ora, o que nós não podemos captar ou entender também seriam possibilidades `sem graça', não posso admirá-las, e neste caso não é apenas uma questão cultural (não adianta conhecer muita matemática e muita arte, nunca conseguiríamos admirar uma figura com 4 ou mais dimensões).

    Se eu ler o seu texto com esta concepção, poderia pensar que as inúmeras facetas da matemática não passariam de ilusão, e consequentemente a proposta ``matemática como arte'' seria bastante enfraquecida. O que você acha?

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  6. Oi, Renato

    O potencial estético do exemplo usado para ilustrar parcialmente as ideias apresentadas é no sentido da existência de uma miríade de possibilidades em cores e dimensões no minúsculo escopo dos números inteiros positivos. É claro que a acepção de beleza aqui usada é vaga e pouco qualificada. No entanto, outra forma - talvez mais clara - de colocar essa acepção de beleza é a seguinte: belo é aquilo que escapa à familiaridade. Obviamente não basta a existência de inúmeras facetas para que algo seja belo. Mas se algum objeto resiste à familiaridade no sentido de permitir contemplação a cada vez que é observado, então esse objeto é belo. É o que ocorre com a matemática.

    Porém, não há discurso que substitua a vivência em matemática. Somente assim é possível alguém apreciar seu apelo artístico.

    De qualquer modo, você está certo se sua crítica é a de que o tema merece mais atenção do que aquilo que ofereço neste blog.

    Abraço

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  7. Todo o texto e todos os comentários sobre como a matemática se entrelaça com a arte me fez lembrar de um vídeo que assisti em que o físico Richard Feynman mostra uns desenhos de um olho feito por um artista em duas escalas de tamanho bem distintas e ele aparece explicando como o artista fez os desenhos, o link é:

    http://www.cosmolearning.com/video-lectures/richard-feynman-tiny-machines-312-9959/

    vale a pena voltar nos links e ver a palestra inteira.

    E viva a criatividade na ciência e a ciência na arte!

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  8. Grato pela informação, Douglas. Essa eu não conhecia.

    Abraço

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  9. Respostas
    1. Isso é uma opinião ou uma crítica? Em qualquer um dos casos, poderia justificar?

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  10. O texto é completo, mas por que não citou o trabalho fruto da parceira entre Giorgio Moscati e Waldemar Cordeiro?

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    1. Bem lembrado, Sebastião. Foi falha minha.

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