sábado, 10 de dezembro de 2011

Aulas de Matemática Como Histórias


Matemática é uma ciência abstrata. Suas aplicações em situações concretas no dia-a-dia nem sempre ajudam no processo de ensino-aprendizagem, como muitos pedagogos e educadores que abdicaram da razão cegamente creem. Isso porque conceitos como os de conjunto, função, equação, triângulo, matriz, entre outros, não podem ser irresponsavelmente interpretados como objetos físicos, palpáveis. Conjuntos não têm forma. E os demais conceitos matemáticos citados são usualmente definidos a partir de conjuntos. Como conjuntos são meras abstrações que não existem de fato no mundo real - pelo menos nas acepções usuais - então não podemos limitar o ensino de matemática a essa única estratégia. Caso contrário, estaremos castrando aspectos fundamentais desta bela ciência.

Propomos então uma abordagem complementar, com apelo didático e respeito à matemática.

Qualquer ideia nova nesta ciência abstrata esbarra com os seguintes questionamentos:

(i) o que podemos fazer com isso?

(ii) Por que isso deve ser estudado?

E para responder a essas questões propomos o ensino de matemática como o contar de uma história. Mas primeiro precisamos saber o que é uma história.

A maioria das tramas que vemos no teatro, cinema, televisão e literatura conta com uma estrutura dividida em três atos. No primeiro ato a personagem principal é apresentada ao público. No segundo, esta personagem se defronta com uma situação que exerce pressão dramática sobre ela, seja física, moral, psicológica, ética, entre outras possibilidades. A personagem deve reagir, denunciando seu caráter relativamente àquela pressão. E no terceiro ato temos a conclusão de tal reação, a qual deve ser definitiva e irreversível, obedecendo a princípios de causalidade, consistência e cronologia. É claro que há histórias que são exceções a essas regras, mas raramente elas se tornam populares. Tal estrutura foi desvendada pela primeira vez há mais de dois mil anos, pelo grande pensador grego Aristóteles, um matemático.

Cito um exemplo bem conhecido na cultura popular. 

Primeiro ato: um rapaz é filho de um italiano, o qual é chefe de uma família que vive nos Estados Unidos; essa família ganha muito dinheiro com negócios ilegais de jogo, prostituição, proteção e corrupção; no entanto, o rapaz não se envolve diretamente com os negócios da família. 
Segundo ato: em determinado momento outras famílias italianas propõem ao pai do rapaz que os negócios sejam estendidos para drogas; o pai nega e sofre violentas represálias. O filho do italiano decide se envolver nos negócios ilegais, com o aparente propósito de proteger o pai e a família, mas sem ceder aos inimigos. 
Terceiro ato: o filho do italiano mata todos os chefes das famílias inimigas e torna sua família ainda mais poderosa. 

Esta é a história de O Poderoso Chefão, filme de grande sucesso dos anos 1970.

Em matemática podemos ter uma situação parecida, no que se refere à sua apresentação em sala de aula. Um corpo de conhecimento é apresentado aos alunos, em um primeiro ato. No segundo ato, problemas são propostos pelo docente. Mas tais problemas não devem ser um desafio aos alunos, como usualmente se pensa. Os problemas devem ser percebidos como um teste do caráter daquele corpo de conhecimentos! Cabe ao docente dar aos seus pupilos apenas as ferramentas necessárias para que eles mesmos, sob devida orientação, avaliem como esse corpo de conhecimento reage diante daqueles problemas. Ou seja, estamos propondo a visão de que a personagem principal da história contada em sala de aula é a teoria matemática e não o aluno. É como um RPG, no qual os jogadores estabelecem ações e reações de personagens fictícios, de acordo com os atributos de tais personagens e não em consonância com as características do jogador. Finalmente, no terceiro ato, podemos estabelecer se o problema foi resolvido ou não, obedecendo a princípios de consistência e causalidade.

Neste contexto é fundamental que o docente proponha também problemas que não podem ser resolvidos com aquela teoria. Essa não é uma tarefa complicada. No caso da trigonometria, quando se define o seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo como a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da hipotenusa, podemos facilmente calcular o seno de ângulos notáveis, usando quadrados e triângulos equiláteros. Mas não conseguimos calcular o seno de ângulos como um radiano, usando a mesma noção. Esse tipo de postura coloca os alunos como avaliadores críticos do conhecimento e não como zumbis que devem simplesmente aceitar tudo o que lhes é ensinado.

Todas as tramas que seguem a aristotélica estrutura em três atos acima apresentada, contam com uma estrutura fina fundamental, a saber, as tramas paralelas. 

Prosseguindo com o mesmo exemplo do filme O Poderoso Chefão: o filho do italiano (Michael Corleone) se envolve emocionalmente com duas mulheres; seus irmãos passam por diversas situações de conflito com familiares e outros mafiosos; protegidos do chefe da família pedem favores etc. Essas tramas paralelas têm a função de se cruzarem com a trama principal e a enriquecerem.

O mesmo pode e deve ser feito no ensino de matemática. Como matemática encontra aplicações em física, biologia, economia e na própria matemática, entre outras áreas, tais aplicações devem ser usadas como atividades paralelas que enriquecem essa ciência abstrata.

Seguir essas ideias corresponde a responder às perguntas apresentadas anteriormente:

(i) o que podemos fazer com isso?

(ii) Por que isso deve ser estudado?

Discutimos abaixo um exemplo de como nossa proposta pode ajudar no ensino de matemática.

No ensino médio brasileiro estuda-se teoria de conjuntos. Os alunos aprendem sobre relações entre conjuntos, como igualdade, pertinência, subconjunto e subconjunto próprio. Estudam também operações, como união, interseção, produto cartesiano e potência. Aprendem a definir funções a partir de conjuntos e até as classificam como sobrejetoras, injetoras, bijetoras e as demais. No entanto, a maioria dos textos didáticos de matemática em nosso país perdem de vista o propósito do estudo de conjuntos. O objetivo da teoria pioneiramente proposta pelo matemático russo Georg Cantor, no final do século 19, era qualificar o conceito de infinito. Cantor percebeu que muitos resultados da matemática poderiam ser esclarecidos se o conceito de infinito fosse devidamente qualificado.

Ou seja, se um professor ou autor de livro mostra noções elementares sobre conjuntos, mas não define (no contexto dessa teoria) o que é um conjunto infinito, está cometendo os seguintes erros didáticos:

1. Ignora o propósito dessa teoria;

2. Não propõe o mais relevante problema que permite testar a teoria (seu caráter);

3. Interrompe a "história" dos conjuntos no primeiro ato.

Após a apresentação das relações e operações elementares entre conjuntos, cabe ao docente provocar os alunos com o seguinte problema: "o que é um conjunto infinito?" Já ouvi as seguintes respostas em sala de aula:

(i) "É um conjunto tal que não é possível contar seus elementos." 

Pois bem, não é possível contar o número de gotas de chuva que precipitaram do céu no ano passado em Curitiba, Paraná. No entanto, esse conjunto não é infinito.

(ii) "É um conjunto que não tem fim." 

Ora, o que é o "fim" de um conjunto? No ensino usual, jamais se menciona qualquer conceito como o "fim de um conjunto". O objetivo do problema é resolvê-lo somente com os ingredientes da teoria. Se usarmos algum conceito não definido, estamos sendo ilícitos. Conjuntos são definidos apenas por seus elementos, sem quaisquer outras informações, como algum alegado "fim". Devemos lembrar que queremos testar a teoria e não os alunos. Ou seja, será que a teoria consegue esclarecer o que é um conjunto infinito, sem que precisemos apelar a conceitos novos?

(iii) "É um conjunto tal que, nunca é possível parar de contar seus elementos." 

Bem, se não conseguimos parar de contar os elementos de um conjunto, isso pode acontecer por incompetência nossa ou por pura falta de tempo. Afinal, um conjunto pode ter 101000 elementos. Se este for o caso, por mais rápido que contemos, todas as gerações da humanidade não terão condições de concluir a tarefa. E ainda assim o conjunto é finito.

(iv) "É um conjunto do qual sempre é possível tirar um de seus elementos, sem que ele jamais fique vazio." 

A crítica a essa resposta é a mesma do item (iii). Como saber se sempre conseguiremos tirar um elemento qualquer?

Após essas discussões, cabe ao docente mostrar e exemplificar o conceito de conjunto infinito. Há muitas soluções a esse problema. Mencionamos apenas uma, por sua elegância. Um conjunto x é infinito se houver subconjunto próprio y de x tal que existe função bijetora entre x e y.

Por exemplo, o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, ...} é infinito! Isso porque há pelo menos um subconjunto próprio de N, a saber, o conjunto dos números naturais pares p = {0, 2, 4, 6, ...} tal que existe uma bijeção entre N e p. A bijeção é a função f(n) = 2n. Em seguida o professor prova que a função f(n) é bijetora.

No caso de conjuntos finitos (aqueles que não são infinitos) tal função não pode ser obtida. Para convencer didaticamente os alunos, basta que o docente exiba um conjunto finito qualquer, como z = {0, 1, 2} e mostre que todas as funções entre z e qualquer subconjunto próprio de z necessariamente violam sobrejetividade ou injetividade; ou seja, nenhuma delas será bijetora.

A ideia por trás dessa noção de conjunto infinito é o mesmo princípio de contagem usado pelo homem primitivo nos primórdios da história. Para o pastor ter um controle sobre o número de ovelhas em seu rebanho, basta que ele associe cada ovelha a uma pedra em um saquinho. Como o bom pastor sabe diferenciar uma ovelha das demais e uma pedra das outras, tal correspondência bijetora entre ovelhas e pedrinhas se torna uma forma segura de contagem, sem que se saiba contar.

No caso de conjuntos infinitos, não há como contá-los. Portanto, apelamos à noção de bijeção, uma correspondência biunívoca. E esta é mais uma trama paralela que ajuda a compreender a teoria de conjuntos: os métodos antigos de contagem entre analfabetos.

O ideal seria que o professor mostrasse aos alunos que há uma infinidade de "infinitos" na teoria de conjuntos. Essa classificação de diferentes infinitos (alguns são "maiores" do que outros) novamente apela aos conceitos de sobrejeção, injeção e bijeção. É neste ponto que reside parte da elegância da teoria de conjuntos. Um conceito que antes era meramente poético ou teológico (o infinito), é agora também matemático. E aí já apresentamos outra trama paralela.

Para uma visão não técnica sobre um pouco do estado-de-arte das teorias de conjuntos, ver artigo meu publicado em março de 2006 na revista de divulgação científica Scientific American Brasil (páginas 66-72). Para uma visão técnica mas extremamente didática sobre teoria intuitiva de conjuntos recomendo o formidável livro Basic Set Theory, de A. Shen e N. K. Vereshchagin, publicado em 2002 pela American Mathematical Society.

24 comentários:

  1. Esse texto revela um dos motivos pelos quais com frequência sinto-me frustrada com o ensino de matemática, em particular em muitas das disciplinas que faço na universidade. Qual é ponto de fazer contas usando objetos e ferramentas matemáticas sobre os quais o aluno conhece apenas o nome? Acontece muito de o professor pular o 1° ato, deixando de apresentar os personagens com propriedade, e a seguir começar a usá-los como lhe convém, ignorando os limites da teoria onde esses personagens atuam. Ás vezes extrapolando esses limites, ás vezes menosprezando a extensão da teoria.

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  2. Se existissem no Brasil mais professores como Newton e Adonai, garanto que eu teria entendido a matemática e não me tornado inimiga mortal dessa matéria que sempre me instigou, mas que sempre foi incompreendida por mim!! Pena que os professores de matemática sequer visitam este blog. Pena que não haja mais palestras, conferências e oficinas com estes professores citados acima para os professores de matemática. É uma vergonha o estado da educação no Brasil! Precisamos mudar esta situação!

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  3. Oi, Aline

    Por mais experiência que eu ingenuamente ache que tenho, sempre surge algo estarrecedor que me surpreende. Eu imaginava que apenas o segundo e terceiro atos eram sacrificados ou mutilados em sala de aula. Mas o primeiro também? Isso já é demais. Meu único consolo é que uma pessoa como você, na companhia das pessoas que verdadeiramente se importam consigo, é capaz de superar essas barreiras. Só espero que seu futuro profissional não seja em uma universidade como a UFPR, mas em um ambiente de trabalho desafiador e genuinamente construtivo. Fica bem, moça.

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  4. Oi, Susan

    Agradeço pela aparente intenção do comentário, mas ainda devo discordar. Não se compara uma única alma que eu tenha conhecido neste mundo com o Professor Newton da Costa. Ele não perde tempo com blogs, como eu. Ele faz avançar o conhecimento científico de maneira significativa. Se Einstein, Gödel e Tarski estivessem vivos hoje, nenhum deles faria um blog. Eu faço somente aquilo que está ao meu alcance.

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  5. Discordo da sua modéstia, pois inferir possíveis reações dos nomes citados e' um pleno anacronismo! O texto e' muito interessante e em um âmbito de comparações, o senhor poderia ser pareado com outros nomes, como Cauchy e Galileu por exemplo, por defender suas idéias e ideais, alem do sólido conhecimento matemático.

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  6. Olha, Flávio

    Não quero parecer ingrato. Entendo que se empolgue com algumas das postagens. Mas a impressão que tenho é que você desconhece o real impacto das obras consagradas de Cauchy e Galileu. Se você ou alguma outra pessoa insistir nesse tipo de comparação pessoal, infelizmente não responderei mais. Minha honesta sugestão é que se concentre nos temas da matemática e da ciência em geral e não nas pessoas que as fazem, criticam e/ou divulgam. Pessoas são mais vergonhosamente falíveis do que ciência. Mesmo Galileu errou! Já leu sobre as explicações de Galileu para o fenômeno das marés oceânicas? Eram inconsistentes até mesmo para o corpo do conhecimento da época e para os padrões metodológicos do próprio Galileu. Mesmo assim ele defendeu suas ideias com garra e determinação. O que melhor se lembra de Galileu é o método científico por ele explicitado e suas descobertas astronômicas. Pessoas desapontam. Teorias intrigam e demandam revisões. Meu objetivo neste blog é promover discussões sobre ideias e instituições; não sobre pessoas. O mais próximo de uma exceção que fiz foi na postagem justamente sobre Newton da Costa. E ainda assim o foco do texto foi sobre as universidades brasileiras. Entendo que você quis demonstrar entusiasmo e confiança. Mas que tal direcionar esse ânimo para o plano das ideias e ações em favor de um futuro melhor para o nosso país?

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  7. É lastimável a situação da educação no Brasil. Além da falta de investimento e capacitação, temos um problema ainda mais grave: postura e mentalidade. O brasileiro é um povo, talvez por questões culturais e de colonização, extremamente passivo e conformado. Sendo egresso de um curso de engenharia, corpo do saber cuja relação com a matemática é essencial, manifesto minha indignação com a falta de cuidado que a matemática é exposta em sala de aula. Tudo é ensinado de forma dogmática. O aluno "resolve problemas" e equações de forma mecânica e sem qualquer entendimento do que realmente faz. A realidade é desmotivante. O pior de tudo é que muitos docentes creem que são figuras de notório saber e distinção, os discentes, por sua vez, creem que aprendem alguma coisa com os atos em forma de farrapos expostos em salas de aula. Lutemos por uma educação apropriada neste país, pois o que temos é uma farsa, um circo, uma sentença de permanência na mediocridade para nossa nação. Tenho dito!

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  8. Adonai, tenho duas dúvidas:

    1) O que vc acha sobre ensinar Matemática nos moldes como ela foi evoluindo, até alcançar a atual organização formal??????

    Pergunto isso, pois este método que vc menciona acima é interessante, mas talvez muito organizado e subjetivo para estudantes do Ensino Básico. Isto não poderia provocar algum tipo de "obstáculo epistemológico"??????

    2) Como também sou fruto dessa pouca cultura matemática e procuro por textos acessíveis com os quais eu possa aprender melhor e evoluir aos poucos para conceitos mais avançados, gostaria de saber se vc conhece o livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos", de Paul Halmos. Vc conhece a obra??????

    Obrigado.

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  9. Aproveitando a ocasião, gostaria de propor uma sugestão:

    por que vc não escreve uma coleção didática de livros de Matemática para o Ensino Básico??????

    Seria, talvez, o modo mais oportuno de manter ativo toda esta visão e cultura matemáticas e deixar isto registrado para a posteridade!!!!!!

    Creio que a coleção didática que ainda cobre os assuntos com certa competência no Ensino Básico seja a do Gelson Iezzi (não sei se é assim que se escreve).

    Vc poderia muito bem desenvolver toda uma coleção didática com este propósito e esta didática diferenciada para o Ensino Básico!!!!!

    Eu mesmo faria questão de adquirir tal coleção, visando reparar os erros graves que certamente tive em minha formação matemática do Ensino Básico!!!!!!

    Seria um modo de evitar que estes conhecimentos já amadurecidos desaparecessem quando de sua futura partida!!!!!

    Pense nisso!!!!!

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  10. Oi, Leandro

    Não acho boa ideia lecionar matemática de forma a simular seu desenvolvimento histórico. Isso porque o desenvolvimento da matemática ao longo de milênios foi feito de forma pouco organizada, se compararmos com o tratamento de hoje a esta ciência. Até mesmo a visão sobre o que é matemática muda com o passar dos séculos. Hoje, por exemplo, não se faz cálculo diferencial e integral sem a noção de conjunto. Mas a teoria de conjuntos surgiu somente quase dois séculos após o cálculo.

    A questão da organização e subjetividade de minha proposta (usando seus termos) não me parece obstáculo. Na verdade me inspirei na teoria das histórias para conceber essa abordagem. Um dos grandes expoentes sobre teoria das histórias é Robert McKee. O cara é fenomenal. E, segundo ele, é essa estrutura em três atos, em parte, que consegue conferir sentido a uma trama. A questão é muito mais extensa do que coloquei na postagem. Mas fortemente acredito que vale a pena pelo menos pensar nessa proposta.

    Conheço o livro de Paul Halmos. Excelente leitura. Recomendo com entusiasmo também o livro dele sobre espaços vetoriais de dimensão finita. Tem em português. Aliás, Halmos tinha ideias muito bizarras sobre a carreira de matemático. Um dia talvez eu poste algo sobre isso.

    Já pensei em escrever livros de matemática para os ensinos fundamental e médio. Mas lamentavelmente essa ideia não está no elenco de minhas prioridades, pelo menos por enquanto.

    De qualquer modo, agradeço pelo apoio e pela sugestão.

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  11. Esse pode ser um dos textos mais úteis do blog.

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  12. Caro professor Adonai. John Allen Paulos e Apostolos Doxiadis, organizaram há alguns anos, um encontro em Mikonos, Grécia, chamado Thales and Friends. O objetivo era reunir matemáticos disputios a discutir a relaçao entre matemática e narrativa. Não apenas no sentido de "embrulhar" teoremas em contos e romances, mas analisar os paralelos entre a construção literária e a matemática. Doxiadis fez menção em um artigo posterior de que toda prova, no fundo, tem uma estrutura parecida com uma trama, em um argumento semelhante ao seu. Não por acaso, ele publicou, na forma de quadrinhos, "Logicomix", onde traça um panorama histórico da lógica no século XX. Esta relação tem despertado meu interesse há tempo. Boa postagem. Uma última pergunta: é possível, então tratar Os Elementos de Euclides como uma trama? Keith Devlin em "O Gene da Matemática", escreveu que "Os Elementos" poderia ser uma "Soap Opera", com centenas de personagens.

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    1. Anônimo

      Anos atrás tive contato com o Logicomix. Iniciativa sensacional. No mais, eu não estava a par desses estudos sobre relações entre matemática e narrativa. Agradeço.

      Com relação ao livro Elementos, de Euclides, Devlin tem toda a razão. Aliás, seria muito interessante se alguém fizesse isso: uma nova versão de Elementos, contado como uma multitrama. Teria que ser escrito em inglês, pois em países de língua portuguesa não acho que alguém se interessaria por uma obra dessas. O que acha?

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    2. Caro professor Adonai. Caso queira envio-lhe o link sobre o Thales and Friends, o colóquio sobre matemática e narrativa.

      Sinceramente, acho que haveria algum interesse, sim. Pode parecer ingênuo, mas ainda tomo como modelo para o caso brasileiro Malba Tahan. Vou contar ao Senhor uma história real. Estava eu em uma padaria quando a balconista me disse que o livro que mais gostou de ler foi "O Homem que Calculava". Ora, isso em 2014. Professor Adonai, de uma história bem contada ninguém escapa. Robert Mckee em seu "Story" coloca muito, acertadamente, que estórias são a grande força cultural de nossa sociedade.

      Mas no caso da Matemática, apenas uma boa história não é suficiente. Você pode assistir a um filme como "Uma Mente Brilhante" e reconhecer que é uma boa história e que John Nash era brilhante, mas isso não fará de você um matemático.

      É preciso que além disso, o leitor "pule para dentro da história". como no RPG mencionado pelo Sr. As barreiras, na minha opinião, começam na academia. Além disso, o mercado editorial brasileiro padece de uma distribuição ruim e uma divulgação que não fica atrás.

      Mesmo assim, como explicar que Malba Tahan ainda é lido por jovens?

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    3. Anônimo

      Malba Tahan ainda é lido por pessoas de todas as gerações porque seus textos são simplesmente brilhantes. Não creio que Malba Tahan consiga emaranhar a narrativa da matemática com narrativas no sentido usual da literatura. Mas certamente dá uma excelente pista de rumo a ser seguido. Esta é uma área de estudos que ainda precisa ser investigada de forma aprofundada. Feliz ou infelizmente, não sei, há muito mais a ser investigado em ciência do que pessoas que estejam efetivamente investigando. E, para piorar, ainda existem muitos preconceitos (como você mesmo aponta) na comunidade acadêmica.

      Grato pelo link que você enviou no comentário abaixo. Examinarei.

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  13. Tomei a liberdade de mandar o link da Thales and Friends
    http://thalesandfriends.org/

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  14. Caro Professor Adonnai. Esta questão chamou a minha atenção quando tomei contato com a obra do filósofo espanhol Javier de Lorenzo Martinez, mais especificamente com seu pequeno livro "El Estilo Matemático". Javier me mostrou a sua teoria sobre os "entes de ficção", termo utilizado por ele para classificar a criação dos objetos matemáticos em um mesmo nível que os personagens literários.
    Além disso, ele faz uma taxonomia dos estilos matemáticos. Muito interessante. Por acaso conhece? É por aí que estou caminhando.

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    1. Anônimo

      Não conheço Martinez e nem o livro que você menciona. Certamente são dicas importantes. Grato.

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  15. Caro professor Adonnai Santanna conheci a iniciativa do jogo "Eclid The Game", um jogo com a proposta de ensinar a geometria euclidiana por meio de um jogo interativo. gostei da idéia e estou explorando ai vai o link para o senhor dar uma conferida http://euclidthegame.com/Tutorial/. Obs, não consigo sintonizar a rádio em seu blog. abs.

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    1. Anônimo, boa dica – o jogo, achei-o bem interessante; obrigado! Talvez o prof. possa analisá-lo melhor. Fico imaginando esse recurso sendo usado em sala de aula como complemento. (Lembro das aulas de desenho técnico há uns anos; como sofria e demorava pra fazer os exercícios! Fora comprar os materiais, que eram caros. E mesmo assim, pouca coisa ficou guardada na memória, talvez pela pouca prática posterior, ou por eu não achar aquilo divertido – sim, é possível “sofrer” e se divertir! como nas aulas de música que fazia.) Por que na matemática teria que ser diferente?

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    2. Caro professor Adonnai. Como o senhor deve ter percebido "Euclid The Game" foi criado da seguinte maneira, o livro "Os Elementos de Euclides", forma transformados me um aplicativo com a ajuda do software Geogebra. O jogo tem "Níveis" de dificuldade, como os games comuns. Certamente, ele pode ser um bom complemento para o ensino de Geometria. Penso em algo semelhante para o ensino de Cálculo. O que acha? Compartilho também o sentimento abíguo de sofrimento e prazer nas aulas de desenho técnico, sobretudo com o material tão caro e de difícil acesso como era (como era cara uma régua T). Hoje, o Autocad acabou com tudo isso. Mas, creio, as pessoas não têm o mesmo interesse que antes. Não há sofrimento, mas também não há divertimento.

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    3. Em tempo. A idéia de pesquisar sobre o jogo partiu de uma entrevista concedida por Keith Devlin em que ele afirmou que o livro texto é a pior forma de ensinar matemática. Em parte, ele tem razão. Como o senhor, me iintrigava como e por que razão depois de ter sofrido com aqueles exercícios de desenho geométrico, pouco ou quase nada me restou na memória. Será que se me fossem dados problemas de Geometria e não simples exercícios a história teria sido diferente? Creio que sim.

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    4. Caros

      Assim que puder, examinarei o Euclid The Game. Grato pelas informações.

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