sábado, 7 de novembro de 2009

Trigonometria e Ensino Médio


Muitos livros e apostilas de matemática do ensino médio definem seno e co-seno a partir de uma razão entre comprimentos de lados de um triângulo retângulo. Mesmo definições que fazem uso do chamado círculo trigonométrico apelam para essa noção, considerando somente triângulos retângulos com hipotenusas unitárias. Costuma-se dizer que o seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é, por "definição", a razão entre a medida do cateto oposto ao ângulo em questão e a medida da hipotenusa do triângulo retângulo dado. Essa suposta definição é empregada para calcular, sem dificuldades, o seno de certos ângulos chamados de notáveis, como 30 graus, 45 graus e 60 graus. Tais ângulos notáveis podem ser facilmente obtidos a partir de polígonos regulares, como triângulos equiláteros e quadrados. É realmente curioso como alunos e professores se contentam com cálculos simples, como o seno de ângulos notáveis ou de ângulos que podem ser obtidos via operações elementares entre notáveis, como 15 graus, que é a diferença entre 45 graus e 30 graus.

Mas calcular o seno de ângulos notáveis não representa exatamente um desafio intelectual e está longe de passar pelo escrutínio de um teste crítico sobre o conceito. Problema pode ocorrer se um aluno com senso crítico perguntar ao professor, por exemplo, como calcular o seno de √2 graus, entre outros casos não-notáveis, mas que certamente podem surgir em aplicações interessantes em termos até mesmo de necessidades do dia-a-dia.

Ainda que, para fins de simplificação, seja considerado que a hipotenusa mede 1 (uma unidade de comprimento), fica inviável determinar o seno de √2 graus sem recorrer a uma calculadora – que fornece apenas valor aproximado por causa de suas limitações em representação decimal finitária – ou a uma tabela de senos (de origem misteriosa, do ponto de vista do aluno).

Qual é o procedimento que a calculadora científica utiliza para calcular o valor do seno de um ângulo qualquer? A calculadora desenha um triângulo retângulo com ângulo igual a √2 graus e mede o valor do cateto oposto ao ângulo em questão em um hipotético triângulo retângulo com hipotenusa de comprimento unitário? A resposta é obviamente negativa. Calculadoras eletrônicas não fazem desenhos em seus circuitos internos. E quanto à tabela de senos? De onde vem? Foi trazida do alto de uma montanha por algum excêntrico e fanático pitagórico? Se for este o caso, prefiro não saber. Não confio no conhecimento conseguido por revelação.

Para se calcular o seno de √2 graus, ainda que a hipotenusa tenha medida unitária, precisamos conhecer a medida do cateto oposto. Mas para conhecer a medida do cateto oposto ao ângulo de √2 graus, é preciso saber o valor do seno de √2 graus! Isso remete a uma violação da condição de eliminabilidade em definições. Afinal, sob a ótica das teorias de definição hoje conhecidas, toda definição explícita (aquelas da forma "definiendum é, por definição, o definiens") deve ser eliminável. Ou seja, o definiendum deve ser substituível pelo definiens. E não há número ou expressão (definiens) que possa ser usada para substituir por seno de √2 graus (definiendum).

O fato é que uma "definição" de seno que dependa do valor de um cateto de um triângulo retângulo, depende de um conhecimento prévio da medida de tal cateto. Porém, para conhecer a medida do cateto oposto ao ângulo, é necessário conhecer o seno dele, tendo em vista que a relação entre ângulo e cateto ocorre por meio do seno. Há aqui uma circularidade. A suposta definição de seno em termos de cateto oposto e hipotenusa não é de fato uma definição. É como se o seno, supostamente definido como razão entre cateto oposto e hipotenusa, fosse um conceito não-eliminável, pois o seno depende do cateto oposto, o qual depende do seno. Não há de fato uma relação de equivalência entre um definiendum e um definiens que obedeça ao critério de eliminabilidade.

A propriedade usual que estabelece a relação entre seno de um ângulo e razão entre medidas de lados de um triângulo retângulo está correta. Mas não pode ser usada para fins de efetiva definição de seno.

Uma definição usual para seno é a seguinte:

Seno é uma função real y com domínio no conjunto dos números reais, tal que y’’ + y = 0 e tal que y(0) = 0 e y’(0) = 1, sendo que y’ e y’’ são, respectivamente, a derivada e a derivada segunda de y, e y(0) e y’(0) são as imagens de 0 (zero) pelas funções y e y’.

Ou seja, a função seno é uma solução de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com certas condições de contorno que, se modificadas, podem permitir a definição de outras funções circulares como co-seno.

É claro que tal definição se refere somente a ângulos medidos em radianos. Para obter uma definição de seno para ângulos em graus (ou grados), é necessária uma conversão que deve modificar os coeficientes da equação diferencial dada acima.

A solução para essa equação diferencial, com as condições de contorno dadas (y(0) = 0 e y’(0) = 1), pode ser representada por meio de uma série de potências conhecida como série de Maclaurin. Um bom livro de cálculo diferencial e integral oferece todos os pré-requisitos para compreender detalhadamente a definição de seno apresentada. Por exemplo, a série de Maclaurin correspondente à função seno é:

sen x = y(x) = x – x^{3}/3! + x^{5}/5! – x^{7}/7! +... ,

sendo que x é um número real, x^{n} é x elevado a n, / denota divisão entre números reais e n! é o fatorial de n.

Essa série é convergente para qualquer número real x, ou seja, existe um número real S que é a "soma das infinitas parcelas com sinais alternados" da série, independentemente do valor escolhido para x.

O leitor deve perceber também que tal série é definida por parcelas que têm sinais trocados de maneira alternada, com o expoente e o denominador sendo definidos a partir de números naturais ímpares em ordem crescente.

Na prática, calculadoras eletrônicas e computadores são programados para fazerem um truncamento na série, somando apenas as M primeiras parcelas, a fim de se obter um valor aproximado para seno de x, de acordo com a precisão desejada e viável para a calculadora. Em outras palavras, o número de parcelas M utilizadas nessa soma finita depende do grau de precisão desejado e da capacidade de processamento da máquina. De qualquer modo, essa definição é eliminável, no sentido de que dado qualquer real x, sempre é possível substituir sen x por um número real, que é a soma da série de Mclaurin para esse valor de x.

No entanto, a definição de seno e co-seno como solução de uma equação diferencial acaba gerando um sério problema do ponto de vista didático. Afinal, equações diferenciais não constituem um tema do ensino médio, apesar de trigonometria o ser. Então, de que forma devemos ensinar trigonometria no ensino médio, sem cometer erros conceituais e ainda tornar o assunto acessível ao aluno que domina somente os pré-requisitos normalmente disponíveis nesse nível escolar?

Algumas possíveis propostas são as seguintes:

1) Proceder ainda com a propriedade de que seno é uma razão entre cateto oposto e hipotenusa e que co-seno é uma razão entre cateto adjacente e hipotenusa, mas sem afirmar ou insinuar que essas propriedades efetivamente definem seno e co-seno.

2) Instigar o senso crítico do aluno para que ele perceba que a propriedade de razão entre lados de um triângulo retângulo não permite determinar o seno ou o co-seno de ângulos que não são notáveis ou deles derivados por certas operações elementares.

3) Tornar claro ao aluno que existem definições precisas para seno e co-seno e que estas permitem o cálculo do seno e do co-seno de qualquer número real e com a precisão desejada, sem que seja necessário apelar a "místicos oráculos" como calculadoras, computadores ou tabelas.

4) Tornar claro que um estudo mais aprofundado sobre trigonometria exige o domínio de uma matemática mais avançada, que se aprende somente em cursos superiores nos quais essa matéria está significativamente presente. É claro que a matéria em questão é o cálculo diferencial e integral, o qual pode demandar uma fundamentação através da análise matemática, da teoria de conjuntos e, principalmente, da lógica.

O professor deve saber que calculadoras científicas processam seno e co-seno através do truncamento das séries de potência, que são soluções das equações diferenciais que definem seno e co-seno. Como uma série de potências é definida a partir das chamadas quatro operações usuais entre números reais (adição, multiplicação, subtração e divisão), a imagem de uma função trigonométrica qualquer é obtida a partir de um número finito de operações elementares. Ou seja, trigonometria, para fins práticos, é tratada algebricamente e não por meios geométricos. Se há geometria, ela pode ser usada para uma possível interpretação dos resultados algébricos da trigonometria.

22 comentários:

  1. Também acho que deveríamos introduzir Cálculo no nível médio.

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  2. Acho que as aulas de matematica no ensino fundamental e no ensino medio devem ser antes de tudo aulas sobre espirito cientifico. Claro que focalizando a ciencia matematica. Nao vejo sentido em se ensinar formulas, definicoes e teoremas se esses nao vem acompanhados da sua "alma". Como a ciencia eh uma atividade intelectual acima de tudo honesta, acho importantissimo que o professor fale claramente sobre a debilidade de tal "definicao" de seno. Mesmo que nao seja possivel dar uma definicao apropriada o professor deve estimular os alunos a tomarem consciencia do problema e pensarem nele. Afinal pensar sobre problemas cuja solucao requer conhecimentos ainda nao adquiridos tambem eh frequente no trabalho cientifico, e assim os alunos estarao face a face com mais essa caracteristica da ciencia.

    Andre

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  3. Oi, André

    Se compartilhas, ainda que parcialmente, com as ideias daqui, agradeço pela divulgação do blog. Precisamos mudar a inércia do ensino de matemática neste país. Matérias como biologia, geografia, história, química e português contam com constantes atualizações em apostilas e livros. Mas a matemática dos ensinos fundamental e médio está estagnada há muito tempo.

    Abraço

    Adonai

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  4. Boa Noite Professor:

    Tomei a liberdade de publicar este texto no meu Blog, o qual é dedicado à matemática. Espero que o senhor não se oponha, pois será de grande valia para meus alunos e para mim.

    O artigo se encontra no seguinte endereço:

    http://profraulcuore.blogspot.com/2011/03/trigonometria-no-ensino-medio.html

    Desde já obrigado

    Profº Raul E. Cuore

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  5. Caro Professor Raul E. Cuore

    Fico muito feliz pelo seu interesse e apoio. É claro que não me oponho à divulgação. Pelo contrário, isso me estimula. Se houver algo mais que eu possa fazer para colaborar, não hesite em pedir ou sugerir.

    Abraço

    Adonai

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  6. ...
    Olá. Gostaria de fazer uma pergunta: conforme foi dito, a definição "usual" de seno é defeituosa. Tem como caracterizar o que seja uma definição matemática? (de modo simples e sucinto tal que seja possível o prof. responder neste comentário). O prof recomenda algum livro que trata sobre estes aspectos do que são definições e de como fazê-las de modo correto?
    Abraço
    ...

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  7. Anônimo

    Existem muitas teorias de definição em matemática. Foi bom ter tocado neste assunto. Pretendo postar futuramente um texto sobre definições em matemática. No caso da definição de seno, trata-se de uma definição explícita da forma definiendum = definiens. O definiendum é o termo que queremos definir; no caso, seno. O definiens é a fórmula que efetivamente se emprega para definir o definiendum. Definições explícitas devem ser elimináveis, ou seja, sempre deve ser possível substituir o definiendum pelo definiens. Definir seno como razão entre cateto oposto e hipotenusa viola esse critério de eliminabilidade, pois não é possível substituir seno, na maioria das situações, pela razão entre cateto oposto e hipotenusa. Isso porque tal substituição depende do conhecimento da medida do cateto oposto. Em breve escrevo mais a respeito na forma de postagem.

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  8. Complementando...

    Há um livro meu intitulado O que é uma Definição, publicado pela Editora Manole. Infelizmente o livro está esgotado e a editora não tem interesse em providenciar nova edição ou reimpressão.

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  9. Eu procurei no site "estante virtual" mas não encontrei. Encontrei apenas um chamado "o que é um axioma".

    O sr. não pode vender independentemente da editora?

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  10. Anônimo

    Eu poderia vender se tivesse algum exemplar extra em mãos. Mas não tenho. Lamento.

    Entra em contato com a Editora Manole. Acho que eles podem vender em forma eletrônica.

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  11. Olá professor. Uma vez que tenha sido feita a definição da função seno em termos de equações diferenciais, onde é que entram os triângulos? Ou seja como se vê que esta função definida através das ED "é a mesma" (ou tem as mesmas propriedades) desta que se obtém a partir dos triângulos?

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    1. Anônimo

      Dado um triângulo retângulo com ângulo interno alpha (menor do que 90 graus), é possível definir implicitamente uma função f(alpha) como a razão entre a medida do cateto oposto a alpha e a medida da hipotenusa. Note que esta não é uma definição explícita e, portanto, não tem a forma definendum =_def definiens. Dada esta definição implícita, é possível provar que f''(alpha) + f(alpha) = 0 e que f(0) = 0 e f'(0) = 1. Ou seja, f é simplesmente seno. Tal demonstração se faz da maneira usual, como ocorre em vários livros de cálculo, como o Swokowski.

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  12. Professor Adonai

    Certa vez discuti esse assunto com um amigo matemático também. Ele não viu nenhum erro em definir seno e cosseno em um triângulo retângulo, dado que considerou os conceitos de hipotenusa, cateto oposto e adjacente como não dependentes do ângulo, evocando para isso a geometria que denomina estes elementos. Porém disse a ele, que "o bicho pega" quando extendemos para seno e cosseno de números reais, principalmente números irracionais. Ele evocou a função de Euller conforme o link abaixo:

    http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html

    No entanto questionei ele dizendo que muitos conceitos como "percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0), um caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo" um tanto vago, pois o que significa "percorrer" ou "andando no sentido positivo" ? Neste caso ele me explicou dizendo que poderia tratar de associar o triângulo retângulo na circuferência, de modo a criar tal função, sem evocar aos termos que considerei vagos.

    Mas não me convenci disto, pois para tal associação não teríamos que usar associar um angulo a um radiano? Isso implicaria associar um determinado raio a um arco de circuferência. Tal associação é válida?

    Enfim não consegui convence-lo da incompletude dessa questão e tão pouco aceitei a versão dele. Pedi até pra ler este post.

    Qual seria o grande empecilho dessa transposição entre triângulo e ciclo trigonométrico? Onde que está o furo?

    Grato.

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    1. Hugo

      Raramente a arte de convencer pessoas tem a ver com racionalidade. Minha sugestão é que peça a este professor que use a alegada definição de seno em termos de razão entre medidas de um triângulo retângulo para calcular o seno de um radiano, com resultado tão preciso quanto se queira. Talvez desta forma ele se convença, após passar algumas horas suando.

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    2. Então professor, mostrei a ele a resposta

      Na realidade a grande questão que debatemos é a seguinte: o fato de não ser possível calcular, implica que não se pode definir?

      Por exemplo, existem integrais que não são possíveis de se calcular analiticamente. No entanto não podemos dizer que não podem ser definidas.

      O que não compreendo é que, até que ponto algo não pode ser definido por não ser possível ser calculado com precisão?

      Agora uma dúvida minha particular é que, no caso de seno de 1 radiano eu calcularia é a razão entre o comprimento de um arco e o seu raio. O problema estaria no no comprimento do arco? Ele é um número irracional? Ele pode ser mais preciso quando melhor aproximado fosse a medida desse arco?

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    3. Hugo

      Creio que você esteja fazendo uma certa confusão. A impossibilidade de calcular uma integral analiticamente nada tem a ver com a definição de integral de Riemann, pelo menos no contexto de teorias usuais de definições. A definição de integral de Riemann permite sim o cálculo de uma integral definida com precisão tão grande quanto se queira, no caso de funções integráveis. A expressão de uma integral por meio de funções analíticas é algo que está associado ao teorema fundamental do cálculo e não à definição de integral enquanto um limite. Não esqueça que uma integral definida de uma função real integrável é um número real e não uma função.

      No caso de seno, se tentarmos definir esta função em termos de cateto oposto e hipotenusa de um triângulo retângulo, ficamos sem critério para determinar o valor do cateto oposto, mesmo que se imponha uma hipotenusa de medida conhecida. Ou seja, o critério de eliminabilidade é violado. Não há como substituir o definiendum pelo definiens em um caso qualquer. Portanto, não é de fato uma definição.

      Com relação ao seu último parágrafo, confesso que não compreendi a dúvida. A questão de racionalidade ou irracionalidade de números reais nada tem a ver com esta discussão. Há a possibilidade de conversarmos pessoalmente sobre o assunto? Algo me diz que o conceito de definição não está suficientemente claro para você.

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    4. Eu sou o amigo do Hugo, com quem ele teve a conversa. O que eu disse para el foi que, no meu entender, para você definir uma função, é suficiente que você tenha dois conjuntos e uma relação binária tal que todo elemento do primeiro conjunto esteja relacionado com exatamente um elemento do segundo conjunto. Na minha humilde opinião, a definição da função seno para todos os reais utilizando a função de Euler se enquadra dessa forma, logo, está bem definida, mesmo que não seja útil para o cálculo da imagem de algums elementos. Seguindo esta mesma logica, afirmo estar bem definida uma função expressa por uma integral de uma função contínua não resolvível analiticamente. Provamos que essa função é integravel, logo a imagem existe e é única para cada elemento do domínio, mas para calcularmos, temos que fazer uso de métodos numéricos. Talvez não estejamos discutindo a mesma coisa, não estejamos falando a mesma lingua. Mas o que eu quis dizer para o Hugo é que definir uma função e ser capaz de calcular todas as imagens são coisas diferentes.

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    5. Roberto

      Primeira parte da resposta...

      Seja bem-vindo a este fórum, apesar de não haver mais novas publicações por aqui.

      Tentarei ser breve na resposta:

      1) Peço que tome cuidado com visões pessoais expressas por discursos não qualificados, os quais ficam evidentes ao usar a expressão "no meu entender". Neste sentido parece que você está certo, ao afirmar que talvez não estejamos falando a mesma língua.

      2) Nas visões conjuntistas usuais (por exemplo, ZF e variações), toda função *é* uma relação. E lembremos o que é uma relação com domínio x e codomínio y: trata-se de qualquer subconjunto do produto cartesiano entre x e y. Ou seja, qual é o sentido de afirmar que uma função passa a ser definida a partir de dois conjuntos e uma relação? Precisamos ser realmente cuidadosos ao escrever sobre matemática. E você não está sendo cuidadoso de forma alguma. É um erro grave (apesar de comum) considerar que domínios e codomínios são usados para definir funções. Ver, por exemplo, o artigo no link abaixo (que publiquei em parceria com Otávio Bueno):

      https://link.springer.com/article/10.1007/s10670-013-9491-y

      3) O tema desta postagem é sobre o erro de considerar que seno pode ser definido em termos de razão entre medidas de lados de um triângulo retângulo. E não digo isso com base em opinião pessoal. Digo isso assumindo como referência teorias usuais de definições, como as de Lesniewski e de Tarski. De acordo com essas teorias, toda definição explícita (definições explícitas são um dos casos mais comuns de definições em matemática, apesar de haver outras) deve atender a dois critérios, a saber, eliminabilidade e não-criatividade. E escrever uma fórmula que estabeleça correspondência entre função seno e medidas de lados de um triângulo não atende ao critério de eliminabilidade (este é o motivo para não ser possível o cálculo efetivo de seno para valores reais quaisquer, quando se usa essa alegada definição em termos de cateto e hipotenusa!). Quanto ao critério de não-criatividade, esta é uma questão ainda em aberto. Posso responder o motivo disso de forma detalhada. No entanto, definir a função seno y como a solução da equação diferencial y'' + y = 0, dadas as condições de contorno y(0) = 0 e y'(0) = 1, satisfaz o critério de eliminabilidade. Logo, esta fórmula de fato define seno, a menos do problema sobre o critério de não-criatividade (este sim um critério difícil de aplicar na prática).

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    6. Segunda parte da resposta...

      4) Se você insistir que é possível definir seno a partir da função de Euler (outro assunto!), peço que mostre a sua proposta. Ficarei feliz em avaliar a ideia, do ponto de vista formal. Mas peço que faça isso usando a mesma linguagem que matemáticos usam: uma linguagem de alguma teoria usual de conjuntos. Apenas afirmar que é possível fazer algo não basta para fins de argumentação.

      5) Certas expressões que você emprega em seu discurso denunciam falta de familiaridade com teorias de definições. Um exemplo é o emprego da expressão "afirmo estar bem definida uma função [...]". Qual seria a diferença entre "estar definida" e "estar bem definida"? Desconheço o conceito de "estar bem definido" no contexto de qualquer teoria de definição usual. Ou seja, o foco nesta postagem é teoria de definições aplicada à trigonometria. Esta é a linguagem que emprego!

      6) Você está, a princípio, correto ao afirmar que "definir uma função e ser capaz de calcular as imagens são coisas diferentes". Há exemplos na literatura que podem sustentar a sua tese (apesar de você não ter citado qualquer um deles). No entanto, quando pedi que usasse a alegada definição de seno em termos de medidas de lados de um triângulo retângulo, para efetivamente calcular seno, minha esperança é que você e Hugo percebessem os problemas implicados pelo fato do critério de eliminabilidade não ser atendido. Para a maioria dos matemáticos profissionais, lógica é apenas um luxo, praticamente desnecessário. Mas os critérios de eliminabilidade e não-criatividade não são meros luxos. Há justificativas profundas para esse tipo de exigência.

      Novamente me coloco a disposição para conversarmos pessoalmente. Não há como discutir de forma adequada sobre este tema na forma de comentários aqui. O assunto é realmente profundo.

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    7. Obrigado prof. Adonai pelas observações. Excetuando-se todas as observações relacionadas a forma de me exprimir (que se devem, inclusive, ao respeito por estar conversando com uma autoridade na área, e ao espaço ser inadequado para se criar um texto técnico cheio de citações, além do "pedantismo masturbatório" que afasta os homens do pragmatismo), sobram algumas coisas que ainda posso comentar. 1) Quando disse que não estávamos falando a mesma língua, não quis dizer, como o prof. sugeriu, que um estava usando a forma correta de se expressar no sentido lógico e o outro não. Apenas quis dizer que parecia que estávamos tratando de questões diferentes junto ao nosso interlocutor comum. 2) O produto cartesiano é definido a partir de dois conjuntos, uma relação binária é qualquer subconjunto deste, e uma função é um tipo especial de relação. Então, sim, faz sentido definir uma função a partir de dois conjuntos e uma relação especial. Mas esse sentido é na visão que existe dentro do meu limitado conhecimento. 3) Não posso comentar sobre isso, sou totalmente leigo nessa teoria. Mesmo assim, continuo achando mais útil a forma atual de apresentar o assunto no ensino médio do que usar equações diferenciais. 4) Dentro do que eu entendo por função (e que já defini no outro post), creio que a função de Euler é suficiente para definir a função seno sem ambiguidades. Não vou escrever tudo aqui, mas agradeço se o prof. apontar o problema com essa definição, desde que não seja o de calcular o valor do comprimento do cateto oposto, pois tal comprimento existe mesmo que não se possa calcular. Assim como os comprimentos dos lados dos triângulos existem mesmo que não existissem as relações e funções trigonométricas. 5) Correto, não tenho familiaridade com a teoria das definições. Sou mais pragmático quanto aos termos, apesar de isso ser um pecado mortal. Isto se deve ao meu desconhecimento quase total desse assunto, visto que nunca o estudei especificamente. O termo "estar bem definida" é comum em textos matemáticos, onde o entendimento do conceito apresentado é tão importante quanto o rigor. 6) Creio haver entendido o problema do critério da eliminabilidade. Mas pelo que disse, esse critério não existe em todas as visões teóricas de definição, talvez a visão usual tenha sido simplificada para tornar possivel iniciar alguem em matemática. Senti também um certo recalque aqui: "Para a maioria dos matemáticos profissionais, lógica é apenas um luxo, praticamente desnecessário". Não creio que seja isso. Não acho que matemáticos desdenhem da lógica, até porque elas são dissociáveis, uma coisa só. Acho a Imcompletude de Gödel uma das coisas mais lindas que já pude ter contato. Mas sou partidário do Prof. Elon Lages Lima, falecido recentemente. Grande parte da minha forma de pensar devo a ele, que abominava o pedantismo, a partir do ponto em que se torna um obstáculo para o aprendizado. Abraços

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    8. Roberto

      Responderei apenas a alguns pontos que me parecem necessários:

      Sobre a sua frase "faz sentido definir uma função a partir de dois conjuntos e uma relação especial". Peço que pense com cuidado a partir do material que indiquei. Pode até parecer pedantismo aos olhos de muitos, mas artigos como este existem por motivos devidamente justificados em âmbitos matemático, lógico e filosófico. Em uma outra postagem explico rapidamente sobre o erro grave neste tipo de visão que você apresenta. Além do artigo em Erkenntnis, dá uma olhada no texto abaixo, o qual é um resumo.

      https://adonaisantanna.blogspot.com.br/2012/09/espaco-fronteira-final.html

      Sobre o seu item 3. Em momento algum sugeri usar equações diferenciais no ensino médio. No entanto, foi bom ter tocado no assunto. Isso porque no Brasil não se faz transposição de conhecimentos, algo fundamental para o ensino de matemática. O que a tal da visão pragmática (em suas inúmeras vertentes) promove é apenas cópia de textos ruins. Por isso a perpetuação do ensino médio brasileiro, um dos piores do mundo!

      Sobre o item 4 fico aguardando a sua proposta. Ela pode ser enviada por e-mail para adonai@ufpr.br.

      Sobre o item 5, tenha em mente que muitos erros são perpetuados em livros de matemática. Assim como Richard Dawkins, não confio no argumento da tradição. Se ciência dependesse do que a maioria faz, ainda estaríamos na Idade da Pedra.

      Sobre o item 6, o critério de eliminabilidade está presente em todas as teorias de definição usuais, no que se refere a definições explícitas. E este é o caso da definição da função seno. Com relação à sua observação sobre recalque, não esqueça que o próprio CNPq considera lógica como ramo da álgebra. Isso é erro grave, motivado por problemas de bastidores em certas instituições de nosso país que já vi bem de perto. Ou seja, cuidado com avaliações precipitadas. Existe muita política na matemática brasileira. Se é recalque o que você percebe, lamento. Mas o que percebo é algo um pouco mais sutil e elaborado do que isso. Finalmente, com relação a Elon Lages Lima, apesar de suas contribuições monumentais ao ensino de matemática em nosso país, ele também não tinha uma boa formação em lógica, algo que prejudicava a qualidade de certos textos dele. Paciência. Faz parte do jogo. Já escrevi sobre isso também no link abaixo.

      https://adonaisantanna.blogspot.com.br/2012/01/como-ler-livros-de-matematica.html

      Enfim, não seria melhor conversarmos pessoalmente sobre essas questões? Como eu disse, posso detalhar cada um dos pontos discutidos de maneira muito melhor, citando múltiplos exemplos.

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    9. Roberto

      Já pensei muito a respeito desses típicos desencontros entre matemáticos profissionais e lógicos. Até mesmo William Lawvere já demonstrou perceber esses problemas, quando publicou o célebre Categories for the Working Mathematician. Tenho motivos para crer que parte dessas divergências se deve ao fato de que muitos desconhecem as diferenças entre a maneira como matemática é lecionada e a maneira como matemática é fundamentada. Estes são dois aspectos cruciais no desenvolvimento da matemática. E é por conta desta diferença que matemáticos profissionais acreditam que conjuntos são usados para definir funções, como você tanto insiste. Esse tipo de visão certamente afasta as pessoas de uma visão mais crítica da matemática. E esta falta de visão acaba tendo consequências severas até mesmo em esferas que pouco têm a ver com matemática.

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