Matemática elementar desacreditando paranormalidade

Apesar de ser um episódio bem conhecido na literatura, percebo que muitas pessoas ainda ignoram o caso de Emily Rosa, o qual é inspirador sob diversos pontos de vista.


Como atividade para a feira de ciências da quarta série, Emily Rosa apresentou resultados de uma pesquisa que realizou aos nove anos de idade (em 1996) e posteriormente publicou no Journal of the American Medical Association, a convite do próprio editor, George Lundberg.


Rosa não demonstra ser um gênio precoce. E ainda assim se tornou a pessoa mais jovem a publicar um artigo científico em um periódico de medicina, deixando claro que ciência de boa qualidade nem sempre exige o domínio de conhecimentos científicos avançados. 


A principal ferramenta dela foi o emprego adequado de noções elementares de teoria de probabilidades, algo que aquela garota parecia conhecer melhor do que a maioria de nossos professores de matemática.


Rosa queria saber se há suporte racional para a alegação de certas pessoas de que são capazes de sentir o "campo energético humano". Em várias partes do mundo (talvez em todos os países) existe a prática do diagnóstico e cura de doenças através das mãos. Entre essas pessoas há, inclusive, enfermeiras que trabalham em hospitais. Especificamente os praticantes do chamado toque terapêutico alegam que sequer precisam encostar nas mãos do enfermo, pois sentem o tal do campo energético a pequenas distâncias. E esse campo energético é percebido em qualquer pessoa, seja enferma ou sadia. 


O aparato de teste da garota de nove anos era simples. Sobre uma mesa foi colocada uma tela (para impedir contato visual entre sujeito de teste e Rosa), com dois orifícios na parte de baixo. De um lado da mesa estava sentada Rosa. Do outro, o praticante de toque terapêutico. Este colocava suas mãos nos orifícios, com as palmas para cima. Rosa jogava uma moeda, para decidir sobre qual das mãos do praticante ela colocaria a sua. Em seguida, finalmente aproximava a mão daquela determinada ao acaso pela moeda e perguntava ao praticante em qual das mãos ele sentia o campo energético de Rosa. Dezenas desses praticantes foram testados em várias ocasiões. Mas todos os índices de acerto podem ser explicados a partir de mero acaso. Ou seja, não há fundamentação ou justificativa que suporte a percepção do campo energético humano. Consequentemente, não há apoio racional também para a cura pelo toque.


Algo semelhante já foi feito com estudos sobre a eficácia da homeopatia, a qual comumente encontra casos de curas que se enquadram nas mesmas estatísticas de efeito placebo. 


O impacto do trabalho de Rosa foi imenso, sendo citado em mídias como Nature, Discovery Channel, New York Times e até no site imdb (especializado em cinema). 


O que podemos aprender com este caso?


1) Ciência de qualidade é uma atividade cultural ao alcance de qualquer interessado. Por isso, rogo aos professores que citem este caso para seus pupilos. É uma apaixonante forma de estímulo.


2) Ainda existem questões fundamentais que não foram respondidas pela ciência simplesmente porque não há gente trabalhando nelas. Há muito mais dúvidas não respondidas pela ciência do que cientistas ou pesquisadores em busca de respostas.


3) Ciência é fundamental para avaliar de maneira sensata crenças populares em mediunidade, telepatia, precognição, telecinesia, vida após a morte, contatos com extraterrestres, homeopatia, medicina ortomolecular, programação neurolinguística, visões divinas, astrologia e demais modismos culturais do momento. 


4) A comunidade científica deve sair do casulo no qual frequentemente se trancafia e abrir os olhos para talentos nos lugares mais inesperados. Ciência não se faz apenas em um laboratório ou escritório. Universidades e centros de pesquisa devem estender sua influência para a sociedade como um todo. Afinal, se não fosse pela iniciativa de Lundberg, o trabalho de Rosa teria se resumido a algo apenas bonitinho para familiares e amigos. 

Sorteio de Livro!

Finalmente recebi! Chegaram dez exemplares do livro Newton da Costa, da série Encontros (Azougue Editorial, Rio de Janeiro, 2011).
A organização é minha e a excelente apresentação é do cineasta José Padilha. A série Encontros publica entrevistas concedidas a jornais, revistas, televisão e rádio de nomes importantes da cultura de nosso país. Os lançamentos anteriores incluem pessoas como Milton Santos, Darcy Ribeiro, Fernando Gabeira, Gilberto Freyre, Gilberto Gil, Jorge Luis Borges, Lucio Costa, Sérgio Buarque de Holanda e Vinicius de Moraes. Os próximos volumes contarão com entrevistas de Mario Schoenberg, Chico Buarque, Tom Jobim e muitos outros. 


A iniciativa da Azougue é evidentemente louvável, pois entrevistas concedidas à mídia ficam espalhadas em diferentes fontes frequentemente difíceis de serem encontradas. 


Destes dez exemplares que recebi, decidi sortear cinco neste blog. O sorteio será feito de forma simples, mas deve ser seguido rigorosamente de acordo com as instruções que se seguem. 


Um comentário deve ser publicado nesta postagem, manifestando interesse na obra em questão. Em seguida um e-mail deve ser enviado para adonaisantanna@gmail.com. No campo subject deve constar o nome adotado pelo autor do comentário, podendo ser anônimo. No corpo do e-mail basta colocar o endereço para correspondência, incluindo o nome verdadeiro do autor do pedido. 


Assim que eu tiver a lista dos cinco primeiros interessados, envio gratuitamente os exemplares no prazo de uma semana. O endereço para correspondência pode ser brasileiro ou estrangeiro. O critério para definir os cinco primeiros interessados será a ordem cronológica dos comentários e não dos e-mails recebidos. 
Está excluída desta promoção a assídua leitora Susan Blum, a qual é amiga pessoal e já conta com um exemplar extra reservado especialmente para ela. 


Não divulgarei esta postagem no facebook, pois não estou interessado em oportunistas. Quero oferecer esta chance somente a leitores do blog, sejam membros ou não. É minha forma de agradecer pelo interesse nos textos aqui apresentados.


Aproveito para avisar que amanhã não estarei moderando os comentários. Mas na sexta-feira retornarei às minhas atividades.


Obrigado.

Aplicando Matemática em Metafísica

Existem muitas acepções para o termo "metafísica". Usaremos aquela devida ao físico, filósofo e historiador da ciência Pierre Duhem (1861-1916), que se refere ao estudo de matéria não viva. Ou seja, não estamos interessados aqui em conceitos como a alma humana (apesar deste ser um tema de pesquisa que também emprega a matemática).

Segundo Duhem, a física é o estudo dos fenômenos, cuja fonte é a matéria bruta, e das leis que os regem. Já a metafísica procura conhecer a natureza da matéria bruta, considerada como causa dos fenômenos e razão de ser das leis físicas. Neste sentido, teorias físicas podem ser diretamente testadas através de experimentos que envolvem processos de mensuração. Já teorias metafísicas contam apenas com evidências indiretas para sua verificação. 


Provavelmente a mecânica quântica é a teoria física que mais rendeu interpretações metafísicas na literatura: a de de Broglie, a mecânica Bohmiana, a mecânica de Nelson, a interpretação dos múltiplos universos etc. Patrick Suppes, Acacio de Barros e eu também desenvolvemos uma interpretação para a física quântica, apesar de ser aplicável tanto em mecânica quântica quanto em eletrodinâmica quântica. 


Usualmente a mecânica quântica, em sua formulação canônica, é matematicamente tratada a partir dos espaços de Hilbert, um tipo especial de espaço vetorial. Os vetores deste espaço correspondem a estados de sistemas físicos. E certos operadores, ditos Hermitianos, são associados aos observáveis (posição, momento linear, spin etc). Esses operadores Hermitianos se aplicam sobre o espaço de Hilbert e admitem auto-valores que usualmente são interpretados como aquilo que o físico efetivamente mede em laboratório. No entanto, a matemática dos espaços de Hilbert (conhecida como análise funcional) não consegue responder a certas questões naturais e fundamentais sobre o que efetivamente ocorre em escalas atômicas. E como existem muitos fenômenos quânticos que desafiam a intuição (se compararmos com nossa visão clássica de mundo), a partir disso surgiu uma miríade de interpretações para tais fenômenos, as quais são essencialmente teorias metafísicas. 


Cito aqui um exemplo de matemática aplicada à metafísica do mundo quântico que procurei adaptar para o ensino médio, principalmente entre alunos de clubes de ciência ou de matemática que estão em busca de motivações para seus estudos.


Em mecânica quântica existe o conceito de spin. Toda partícula elementar (aquelas que constituem matéria e campos) é associada a um valor de spin, mesmo que seja nulo. O spin tem a mesma unidade de medida do momento magnético em física clássica. Mas não é momento magnético, pelo menos no sentido clássico da expressão. O momento magnético de uma carga elétrica rotacionando em torno de um eixo imaginário é como um vetor no espaço tridimensional. E, no caso de partículas descritas pela física clássica, o momento magnético pode assumir qualquer valor projetado em uma dada direção do espaço. Já o spin admite uma distribuição discreta de possíveis valores. Se medirmos, por exemplo, o spin de um elétron em uma dada direção u do espaço, ele só pode assumir dois valores, os quais chamamos aqui de "para cima" e "para baixo". Além disso, se o vetor de momento magnético for rotacionado 360 graus, ele retorna ao mesmo ponto de partida. Já o spin é um vetor que precisa de uma rotação de 720 graus para voltar ao ponto inicial. É bizarro, mas é como as coisas funcionam em mecânica quântica.


Além disso, a física clássica é realista. Ou seja, considera-se que o estado de um sistema físico independe do ato da observação. Se observamos que um dado objeto físico está parado em uma determinada posição do espaço (relativamente a um referencial inercial), usualmente assumimos que ele continuaria naquela mesma posição se não o tivéssemos observado. Já em mecânica quântica assume-se teoricamente que o estado de um sistema físico depende do ato da observação. Isso porque existem os chamados estados puros, que são matematicamente descritos como combinações lineares dos possíveis valores que uma medição pode detectar. Intuitivamente falando, um elétron pode estar em vários pontos do espaço simultaneamente, antes do ato da observação. Mas, quando o observamos, ele colapsa para apenas uma dessas possíveis posições. E tudo o que podemos fazer é estimar a probabilidade de que colapse para um ponto específico do espaço. Esse tipo de experimento não permite fazer previsões sem significativas margens para dúvida.


Finalmente, outra diferença fundamental entre mecânica clássica e mecânica quântica é que a última é uma teoria não-local. Enquanto um sistema de partículas descrito pela física clássica invariavelmente pode ser dividido em vários subsistemas, no mundo quântico isso nem sempre é possível. Existem certos sistemas quânticos, de duas ou mais partículas, que se encontram em um estado chamado de emaranhamento. Nem do ponto de vista matemático e nem do ponto de vista físico podemos dividir estes sistemas em subsistemas. 


Consideramos a seguir um sistema de dois elétrons que se encontra neste estado de emaranhamento, onde contemplamos também o teste do fenômeno de não-localidade e da hipótese de não-realismo.


Romeu e Julieta repartiram dois elétrons entre si. O problema é que os dois elétrons se encontram em um estado de emaranhamento quântico. 

Romeu não sabe se seu elétron tem spin para cima ou para baixo, em alguma direção que ele possa escolher para medir. E Julieta é igualmente ignorante sobre o estado de spin de seu elétron. 


Um dia o casal se afasta. Ele vai para a Macedônia e ela viaja para Curitiba, Paraná, Brasil. 


O fato do sistema dos dois elétrons estar em estado de emaranhamento significa o seguinte: se Romeu medir o spin de seu elétron em estado puro na direção u do espaço, essa mensuração pode resultar em spin para cima ou para baixo (com a mesma probabilidade de 50% para cada possível evento); mas isso necessariamente implicaria que o elétron de Julieta ficaria com seu spin na mesma direção u com valor para baixo ou para cima, respectivamente e independentemente dela medir ou não o spin na direção u. Ou seja, se Romeu medir o spin de seu elétron na direção u e resultar em spin para cima, automaticamente o elétron de Julieta ficará com spin para baixo na mesma direção u, ainda que ela não faça mensuração alguma nesta direção. Se ela o fizer, apenas confirmará com certeza o valor antecipado por Romeu. Isso porque o emaranhamento é como um caso de amor. Não é possível dividir o sistema de dois elétrons em dois subsistemas distintos. O sistema de dois elétrons se comporta como algo indivisível, como um todo, independente da distância entre Romeu e Julieta. Afinal, o mundo quântico é não-local. Ele parece desdenhar distâncias no espaço. E, assim, o par de elétrons opera como um totem do amor do casal.


Romeu aprendeu com Julieta que, antes de observar seu elétron, o spin na direção u é uma combinação linear de "para cima" com "para baixo". É como se estivesse nos dois estados ao mesmo tempo. Mas quando o observa, este estado puro colapsa para apenas um dos dois possíveis resultados de medição. A probabilidade de colapsar para cima é de 50%, e a probabilidade de colapsar para baixo é de 50%. Ou seja, o spin não está pré-determinado. O comportamento dele é imprevisível diante do processo de medição.


E mais bacana ainda é saber que a medição do spin na direção u não garante a antecipação sobre o resultado de outra medição, se o spin for medido, em seguida, em uma direção v diferente de u. Na verdade, de acordo com a mecânica quântica, se o spin na direção u for medido e resultar para cima, a probabilidade de obter spin para cima na direção v é o quadrado do seno da metade do ângulo entre u e v. 


Mas, dada a distância entre os dois, Romeu se sente inseguro e questiona o amor de Julieta: "De duas, uma. Pode ser que tudo o que eu fizer com meu elétron se reflita instantaneamente no elétron de minha amada Julieta, ultrapassando as barreiras do espaço clássico, mesmo diante da imprevisibilidade do resultado de uma medição. Mas pode ser também que Julieta tenha me enganado. Ela pode ter preparado os dois elétrons para estarem sempre com os spins trocados em qualquer direção, dando a ilusão de que aquilo que faço com meu elétron se reflete no elétron dela. É como a história do cara que sempre vestia uma meia azul e outra rosa. Se, erguendo a calça, ele mostrava que a meia azul estava no pé direito, automaticamente qualquer um saberia que a meia rosa estava no pé esquerdo. E nem por isso é sensato considerar que, antes de erguer a calça, cada pé tinha uma meia cuja cor era rosa e azul ao mesmo tempo. Como saber se nossos elétrons estão realmente em um estado puro de spin para cima e para baixo ao mesmo tempo, antes de fazer qualquer medição? Se for assim, não há conexão alguma entre nossos elétrons. A não-localidade não passa de um truque matemático. Logo, é possível tratar do mundo quântico de forma realista e local. Consequentemente ela não me ama."


E Romeu testa sua visão realista e local de mundo, assumindo que os spins já estão pré-determinados, para estarem sempre com seus valores trocados em qualquer direção. Ou seja, ele questiona se o spin está realmente em dois estados simultâneos. Afinal, se a observação do spin altera o estado (de puro para um único valor mensurável bem definido), como saber se o tal do estado puro existe? Esta é a grande questão metafísica que Romeu tenta responder. Ele quer saber como se comporta aquele sistema quântico sem observá-lo.


Romeu não consegue pensar em termos de todas as direções possíveis de medição de spin, pois são infinitas. Então escolhe três direções quaisquer: u, v e w. Existem oito possibilidades de valores de spin nestas três direções, conforme a tabela abaixo:

O sinal + significa spin para cima, e o sinal negativo denota spin para baixo. Uma vez que Romeu está desconfiando de Julieta, ele não sabe como a amada teria distribuído os spins nas direções u, v e w. Então Romeu atribui probabilidades para encontrar todos os valores possíveis. 


Por exemplo, a probabilidade de Romeu medir spin para cima em seu elétron nas direções u e v e para baixo na direção w (consequentemente Julieta teria seu elétron com spin para baixo nas direções u e v, e para cima na direção w) é P2. 


O que Romeu certamente sabe é que a soma das probabilidades deve resultar 100%, ou seja, 


P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8 = 1


Ele também sabe que cada probabilidade é maior ou igual a zero.


Pois bem. A probabilidade de que Romeu obtenha spin para cima na direção u e que Julieta obtenha spin para cima na direção v é dada por


P(u+,v+) = P3 + P5


Analogamente, 


P(u+,w+) = P2 + P5 e P(w+,v+) = P3 + P7


Como as probabilidades jamais são negativas, Romeu conclui, a partir dessas três equações, que


P(u+,v+) é menor ou igual a P(u+,w+) + P(w+,v+),


pois P3 + P5 é menor ou igual a P2 + P5 + P3 + P7. 


Esta é uma das famosas desigualdades de Bell.


No entanto, Romeu lembra que cada probabilidade acima é calculada usando a fórmula mencionada acima em termos do seno do ângulo entre as direções. Logo, ele percebe que se o ângulo entre u e v for reto e se w formar um ângulo de 45 graus com u e v, então a desigualdade de Bell é violada. Isso porque o quadrado do seno de 45 graus é maior do que o dobro do quadrado do seno de 22,5 graus. 


Portanto, a ideia de Romeu de que os spins estavam pré-determinados é inconsistente com a mecânica quântica. Ou seja, não podemos interpretar a mecânica quântica de forma a considerar que os spins estão pré-determinados. Isso é ponto a favor da ideia do estado puro (a tal da "simultaneidade" de valores distintos).


Romeu ainda insiste na dúvida: "E se a mecânica quântica foi matematicamente construída justamente para evitar a descrença na existência dos estados puros?"


É aí que entra a experimentação. Em experimentos reais de laboratório, nem todas as partículas são detectadas. E as limitações tecnológicas para lidar com pares de elétrons são imensas. Existe alguma evidência experimental que suporte a conclusão de que não posso assumir localidade e realismo no mundo dos elétrons?


Como dissemos acima, a desigualdade que mostramos entre probabilidades é apenas uma das desigualdades de Bell. Optamos por ela por ser a mais acessível aos iniciantes. No entanto, há as desigualdades aplicáveis a experimentos óticos, envolvendo polarização da luz. Nestes experimentos, o fato de que nem todas as partículas emitidas são detectadas não cria problema algum. E, neste contexto, a experiência confirma perfeitamente bem a violação das desigualdades de Bell.


Portanto, temos evidências indiretas, mas muito convincentes, de que o mundo quântico é de fato não-local e que devemos abrir mão do realismo.


Consequentemente, Julieta ama Romeu. Fim da demonstração.

Memórias

Recentemente mais um ex-aluno meu concluiu o doutoramento. Parte de sua celebração foi divulgada no facebook. Lembrando da grande figura humana desse aluno e de sua capacidade e intensa dedicação, fui remetido ao passado. Isso porque os melhores pupilos que tive são de vários anos atrás. 


O período mais feliz de minha vida acadêmica ocorreu entre janeiro de 1991 e maio de 1994. Foi nesta época que realizei o doutorado em filosofia na Universidade de São Paulo (USP), sob a orientação de Newton Carneiro Affonso da Costa e co-orientação de Francisco Antonio Accioly Doria. O grupo que se aglutinava ao redor do Professor Newton era absolutamente notável: Analice Gebauer Volkov, Francisco Doria, Décio Krause, Roque da Costa Caiero, Edelcio Gonçalves de Souza, Mara Gomes Barreto, José Augusto Baeta Segundo, Otávio Augusto Santos Bueno, Marcelo Tsuji, Osvaldo Pessoa Jr., Jean-Yves Béziau, Nelson Papavero, Christian Houzel, David Miller, Antonio Mariano Nogueira Coelho, Jair Minoro Abe e muitos outros de diversos cantos do Brasil e do mundo e de variadas áreas do saber, como filosofia, matemática, física, economia, engenharias e biologia.


Diferente do que vejo em outras universidades, principalmente brasileiras, todos tinham curiosidade em saber o que os demais estavam fazendo em termos de pesquisa. Eu mesmo, por exemplo, paguei passagem aérea Rio - São Paulo - Rio, para o Professor Doria, para que ele pudesse me colocar em contato com teoria-K e as teorias de gauge. Mas não fui o único beneficiado, pois diversos outros membros do grupo aproveitaram para discutir com ele sobre inúmeras questões científicas.


A sala 2007, ocupada pelo Professor Newton no prédio da Faculdade de Filosofia Letras e Ciências Humanas (FFLCH), era pequena. Contava com uma escrivaninha, um quadro negro, estantes de livros e duas ou três cadeiras para visitantes. 


Nas manhãs em que havia atividades do grupo (aulas ou seminários) uns poucos ocupavam a sala - se chegassem mais cedo ou se precisassem resolver problemas mais urgentes - e a maioria ficava do lado de fora, conversando e aguardando o início de um novo dia. 


Entusiasmado, o Professor Newton sempre trazia novidades do mundo acadêmico: livros ou artigos que acabara de publicar, conquistas de discípulos seus ou avanços recentes e relevantes em lógica ou fundamentos da ciência. 


As aulas e palestras ministradas pelo Professor Newton, fossem na FFLCH ou no Instituto de Estudos Avançados (IEA - USP), eram estradas (pavimentadas ou de terra batida, tortuosas ou retilíneas, sinalizadas ou abandonadas pelos outros) que conduziam a ideias, metas e inspirações para pesquisas. Os seminários apresentados por discípulos tinham que ser rigorosamente qualificados, sob pena do extraordinário senso crítico do Mestre. As conversas na lanchonete do Prédio da História eram extremamente provocadoras. O Professor Newton adorava provocar discípulos e pesquisadores brasileiros ou estrangeiros, para que eles saíssem da letargia que normalmente coloca indivíduos do mundo acadêmico na posição de julgarem a si mesmos como conhecedores de suas áreas de interesse. 


A primeira coisa que se aprendia naquele grupo era nossa própria ingenuidade científica e filosófica. Lembro que, caminhando com o Professor José Baeta em direção à biblioteca de física da USP, ele me disse: "O que mais me fascina no grupo do Professor Newton é que ninguém ali é arrogante." Respondi: "Se o Professor Newton não é arrogante, quem tem coragem de ser?"


A segunda coisa que se aprendia era como efetivamente trabalhar com seriedade e como reconhecer um trabalho sério. O impacto daquele grupo era tão grande sobre cada um de seus participantes que me obrigo a citar um exemplo realmente significativo: mesmo quatro anos após a prematura e violenta morte de Analice Volkov, ela ainda estava publicando em veículo especializado de circulação internacional. 


O Professor Edelcio de Souza parecia o Radar, do filme M.A.S.H., de Robert Altman. Ele sempre organizava a logística das atividades do grupo e invariavelmente sabia o que era necessário para a realização de tais atividades, antes mesmo que o Professor Newton se manifestasse. 


Às quatro horas da tarde o Mestre se retirava. Tinha que descansar. No final do dia alguns dos discípulos se reuniam em uma lanchonete para trocas de ideias e simples bate-papos. 


Jamais encontrei algo remotamente parecido com aquele grupo, nem no Brasil e nem no exterior. Havia no ar algo de família. Mas não era uma família comum. Era uma família que criticava duramente ideias, sem desmerecer pessoas. Era uma família que buscava criar e desenvolver ideias em favor da paixão por ciência. Era uma família unida não por sangue, mas por sonhos e realizações intelectuais. 


Certo dia apareceu no grupo um rapaz, nascido nos Estados Unidos. Ninguém sabia de onde veio aquele sujeito que não falava português. Ninguém sabia o que ele de fato queria ou sequer sua formação. Mas o Professor Newton fez questão de acolhê-lo, pedindo para que eu apresentasse meu seminário semanal sobre teoria-K topológica em inglês. O tal do rapaz não fez pergunta alguma durante a discussão, a qual contava com a presença de várias pessoas, incluindo um professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP. E logo depois ele sumiu. Era um fugitivo procurado pela Interpol.


No dia anterior à minha defesa de tese, cheguei a São Paulo, na companhia de um velho amigo do tempo de ensino médio, Fabio Filipini. No elevador do hotel ouvi a notícia da morte cerebral de Ayrton Senna, através do rádio portátil do ascensorista. Aquela brutal novidade foi recebida por mim de forma absolutamente superficial. Preocupado, o funcionário do hotel nos perguntou se havia chance do grande e carismático piloto de Fórmula 1 se recuperar. Respondi que normalmente as pessoas precisam do cérebro para viver. Eu estava muito tenso, enquanto o resto do país se encontrava de luto. Mas minha tensão foi injustificada. A defesa foi tranquila. Fui aprovado com louvor e distinção. 


Em seguida, como era hábito, fomos todos almoçar no velho Prédio da História. Foi quando Francisco Doria me perguntou de forma simpática mas incisiva: "E então? Quer ir pra Stanford?" Naturalmente eu disse que sim. 


Um ano depois eu estava trabalhando com Patrick Suppes (a convite do próprio), em uma universidade que mantém ao ar livre e sem policiamento a segunda maior coleção privada de esculturas de Auguste Rodin do mundo, incluindo O Pensador. Stanford é um lugar belíssimo e responsável por alguns dos mais importantes avanços científicos da história. Mas não encontrei naquele lugar tamanha harmonia intelectual como testemunhei na USP, graças ao Professor Newton. Havia seminários frequentes em Ventura Hall, o prédio onde ficava minha sala em Stanford. Mas o tom do ambiente era definitivamente outro. 


Em 2006 participei da banca de doutorado, na USP, de Antonio Mariano Nogueira Coelho, atualmente professor da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC). Estavam também na banca Newton da Costa (orientador), José Baeta Segundo, Roque da Costa Caiero e Edelcio Gonçalves de Souza. O tema da tese era  indistinguibilidade: uma abordagem por meio de estruturas (assunto com o qual trabalhei em parceria com Krause e Volkov). Durante a arguição da banca, Roque Caiero disse algo que me marcou muito. Não consigo recordar as palavras exatas. Mas a mensagem era a seguinte: "Esta defesa é o fim de uma era." Houve silêncio no local. 


De fato, Antonio Coelho foi o último daquele grupo a se titular. Aquela defesa foi o fim de uma era, pelo menos para mim e tantos outros. Se não fiz algo mais relevante durante minha carreira acadêmica, foi por responsabilidade inteiramente minha. Pois a sorte de encontrar as pessoas certas no momento certo eu tive. 


Hoje o Professor Newton trabalha na UFSC. Só espero que as pessoas de lá saibam aproveitar esta oportunidade única, pois o entusiasmo e a vitalidade dele são invariantes. 

Jabberwocky e o Vestibular

Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898) foi lógico-matemático britânico e professor na Universidade Oxford. Adotou o pseudônimo Lewis Carroll e publicou em 1865 o célebre Alice´s Adventures in Wonderland (Alice no País das Maravilhas), um romance que faz notáveis estrepolias de caráter lógico. Em obra posterior, Through the Looking-Glass, Alice lê uma poesia que é explicada por Humpty Dumpty. Hoje esta poesia é conhecida como Jabberwocky e se encontra entre os quinhentos poemas mais citados em língua inglesa, segundo William Harmon, editor de conhecida coletânea da Universidade de Columbia, Nova York. Seguem as primeiras linhas de Jabberwocky:

"Twas brillig, and the slithy toves

Did gyre and gimble in the wabe;

All mimsy were the borogoves,

And the mome raths out grabe.

"Beware the Jabberwock, my son!

The jaws that bite, the claws that catch!

Beware the Jubjub bird, and the shun

The frumious Bandersnatch!"

Mais de um século depois, inspirado na obra de Carroll, o grupo britânico de humor Monty Pyton realizou o filme Jabberwocky (Herói por Acidente), dirigido por Terry Gilliam. Nesta película um monstro destrói plantações e mata plebeus de um reino da Idade Média. O rei, sob pressão de comerciantes locais, convoca um campeonato entre guerreiros. Estes lutam entre si, matando uns aos outros, com o objetivo de selecionar o mais bravo e forte. O campeão, então, lutará contra o monstro. Por conta de uma atrapalhada, Dennis, vergonhoso filho de um tanoeiro e também escudeiro de um imponente cavaleiro, é confundido com o campeão do torneio e enviado sem rodeios... para matar o terrível monstro Jabberwocky. 


Algo muito parecido com essa alucinada alegoria se pratica no Brasil. Estudantes lutam entre si por uma vaga na universidade, durante um feroz campeonato que dura dois ou três dias, sendo que muitos dos aprovados são indivíduos que não têm ideia se estão ingressando no curso certo: aquele que definirá seus futuros profissionais. Cada estudante perdido na universidade é um Dennis de Jabberwocky. No lugar de aproveitarmos a força e ambição dos que sonham por um futuro melhor, impomos um sistema cruelmente seletivo que foi ironizado há décadas por um grupo inglês especializado em comédias de cunho crítico social. 


O que exatamente nosso sistema educacional nos ensina? A lição é muito simples: não importa se você foi um excelente aluno durante doze anos de ensinos fundamental e médio; não importa se você realizou atividades extra-curriculares, como participação de grêmios estudantis, estudos de música, xadrez ou ciências; não importa se você foi um grande corredor na maratona de doze anos de educação básica; se você não for um tremendo atleta dos cem metros rasos do vestibular, simplesmente não ingressa na universidade. E, para piorar a situação, ainda se pratica ostensivamente o concurso vestibular que privilegia memória sobre raciocínio. 


O lamentável ENEM apenas reforça a lição de que os estudantes são jogados à lama da confusão, uma vez que já testemunhamos diversos casos de corrupção e fraude nesta ridícula prova de critérios obscuros, e até pessoas que conquistaram nota superior à mínima, mesmo deixando a prova completamente em branco. 


Por que as conquistas e erros de toda a vida estudantil de nossos jovens são ignorados por completo pelas universidades? Por que nossa mentalidade tem que ser tão imediatista? É por isso que não existem associações de ex-alunos na maioria das instituições de ensino? 


A iniciativa do Governo Federal de centralizar o vestibular através do ENEM é uma postura paternalista. É uma forma de dizer que nossas comunidades locais não têm condições de decidir sobre o que é melhor para elas. E isso é triste, simplesmente triste.


O rei do filme Jabberwocky era claramente um pateta, que prometeu à filha aposentos em uma torre que desabou perante os olhos de ambos, enquanto conversavam. E assim tem sido com nossos dirigentes, que nos prometem educação de qualidade em uma nação cujos professores desabam perante a própria incompetência.


O sistema de vestibular brasileiro é um processo que mais produz frustração do que vitória, pois a maioria dos candidadtos é reprovada. E a maioria dos reprovados considera que a culpa pelo fracasso é deles. Até quando vamos aceitar que a maioria de nossos filhos não têm direito ao ensino superior?

Formando Jovens Pesquisadores

Joaquim Gomes de Souza foi o primeiro matemático brasileiro a ter reconhecimento internacional, por conta de seu trabalho de pesquisa. Souzinha, como era conhecido por seus colegas, graduou-se e concluiu o doutorado em ciências matemáticas aos dezenove anos de idade, em 1847. Em 1855 apresentou um trabalho à Academia de Ciências de Paris e teve esta contribuição divulgada pelo físico inglês George Stokes, na Sociedade Real de Londres, no ano seguinte. 


Para os padrões brasileiros da época este foi um feito incrível. Se fosse uma história de ficção, estaria evidentemente exagerada. Afinal, as teses de doutorado em matemática no Brasil do século 19 não passavam de meros textos expositivos sobre conteúdos que poderiam ser facilmente encontrados em livros disponíveis em nossas insípidas bibliotecas. Neste sentido, Souzinha talvez tenha sido o mais brilhante matemático que nosso país já produziu, levando em conta suas contribuições em contraste com as condições do ambiente da época. 


Este feito só foi repetido mais de um século depois em nosso país. Carlos Matheus Silva Santos se sentia entediado na escola, pois não encontrava desafios. Na oitava série já estava pensando em abandonar os estudos, quando os pais tomaram uma atitude. Eles apresentaram o rapaz para Valdenberg Araújo da Silva, então chefe do Departamento de Matemática da Universidade Federal do Sergipe, que ficou pasmado com o talento matemático de Carlos Matheus. Aos quatorze anos o jovem prodígio se mudou para o Rio de Janeiro, onde começou a estudar no Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), o mais importante centro de pesquisas e estudos em matemática do país. Aos dezenove anos concluiu o doutorado em matemática na mesma instituição. Ainda assim foi obrigado a realizar estudos posteriores de graduação em matemática na Universidade Federal do Rio de Janeiro, para ter seu diploma de doutor validado pelo MEC. 


Ou seja, a visão de que não há talentos de destaque no Brasil é institucionalizada através das rígidas regras que consideram a educação como algo que deve ser galgado em degraus. Enquanto países como os Estados Unidos não só reconhecem seus jovens intelectualmente precoces como merecedores de apoio, mas também criam condições facilitadoras, o Brasil simplesmente fecha os olhos para seus próprios talentos. A máquina burocrática se impõe sobre o indivíduo, exatamente como aparece no filme Brazil (Brasil, o Filme), de Terry Gilliam. Nosso país vive a realidade da opressão de um Estado que ainda tem a cara-de-pau de se considerar democrático.


Em muitos casos, as contribuições científicas mais importantes da história foram feitas por jovens entre seus dezessete e vinte e poucos anos. Especialmente em matemática, a capacidade de processar muitas informações e resolver complexos problemas é algo que se mostra de forma muito mais evidente na juventude. Mas nosso rígido, burocrático e perverso sistema educacional e social impõe limites que fazem com que, na melhor das hipóteses, o indivíduo obtenha o doutorado quase na casa dos trinta anos de idade, o que representa evidente atraso ao próprio país. Segundo Reinaldo Guimarães e colaboradores, a maioria dos doutores até 2000 no Brasil obtiveram o título quando tinham idade entre 30 e 39 anos.


Logo depois Carlos Matheus fez pós-doutorado no College de France, sob supervisão de Jean-Christophe Yoccoz, um dos nomes mais importantes da matemática mundial e ganhador da Medalha Fields em 1994. 


Apresento abaixo recomendações para mudar nossa dura realidade. No primeiro bloco são apresentadas sugestões institucionais. A seguir apresento recomendações dirigidas a jovens que pretendem ser pesquisadores no Brasil, levando em conta o que hoje vivemos.


Sugestões Institucionais


1) O Brasil precisa de mais programas escolares voltados a super-dotados, a exemplo do EPGY em Stanford, o qual conheci de perto. A ideia é muito simples. Estudantes cursam, por exemplo, disciplinas de graduação durante o ensino médio ou mesmo o ensino fundamental. Quando ingressarem em um curso superior, podem conquistar equivalência em disciplinas e, desse modo, concluir a graduação em tempo reduzido.


2) Precisamos de programas de honors em cursos de graduação e ensino médio e fundamental. Um estudante de graduação que se destaque em seu curso de forma excepcional, poderia receber um certificado de conclusão com honors. Seria uma espécie de carta de recomendação institucional e permanente, na qual a instituição exalta a inteligência, dedicação, criatividade ou demais características marcantes do estudante em questão. Isso seria um agente facilitador no processo de busca por estudos mais avançados ou mesmo empregos. Se o vestibular fosse abolido ou pelo menos modificado de forma a incluir entrevistas e avaliações de desempenho no passado, um programa de honors também poderia ter efeitos marcantes para o estudante de ensino médio que deseja ingressar em um curso superior. É claro que sempre existe a neurótica preocupação com a possibilidade de fraudes em programas como o que sugerimos, principalmente levando-se em conta o fato de que vivemos em um país no qual a impunidade a crimes é algo rotineiro e manobras ilícitas são comuns. No entanto, a prática pode ser muito diferente, mesmo que estejamos cercados por fraudadores. Fraudes não se propagam por muito tempo. Acabam sendo descobertas, pois se tornam facilmente inconsistentes com outros dados que cercam a vida do estudante fraudador. E instituições que estivessem com seus nomes associados a casos desse tipo perderiam rapidamente credibilidade diante de qualquer contexto social. Os programas de honors não são apenas benéficos para aqueles que recebem tal honraria, mas para as instituições que as emitem também. Jovens que carregam em seus CVs atestados de honors e que correspondem às melhores expectativas de seus empregadores, não deixam de fazer relevante propaganda das instituições escolares de origem. Não há a necessidade de ostensiva fiscalização governamental sobre qualidade de ensino. Instituições seriamente comprometidas com suas reputações são aquelas que têm mais chances de vencer perante a dura e competitiva realidade. Não defendo com isso a ausência do Governo Federal em decisões sobre questões educacionais. Mas certos procedimentos de fiscalização exercidos por órgãos governamentais são exagerados e mal colocados. 


3) Precisamos instituir em todos os níveis escolares o reconhecimento do notório saber. Se uma pessoa demonstra conhecer conteúdos escolares dentro de parâmetros toleráveis, não há necessidade dela efetivamente realizar tais estudos, assistindo aulas em uma instituição de ensino reconhecida por governos. Temos que estimular nossos talentos!


Sugestões para Jovens


1) Em uma palestra, o grande físico brasileiro Mario Schoenberg disse que jovens interessados e talentosos devem ter acesso aos grandes centros de pesquisa a partir dos quinze anos. Ou seja, se você está preso a cansativas aulas de ensino básico (fundamental e médio), procure por motivações reais. Matricule-se em disciplinas de graduação (em universidades ou faculdades públicas) e consiga a aprovação. Não há necessidade de ser matriculado em uma universidade para fazer disciplinas isoladas em instituições federais de ensino superior. Quando você finalmente ingressar em qualquer universidade ou faculdade, pode entrar com pedido de equivalência de disciplinas. Mas tome cuidado, pois muitas vezes esses pedidos de equivalência são negados. Procure cursar disciplinas isoladas em instituições respeitadas nacionalmente. E esteja preparado para entrar com ações na Justiça, se necessário. A partir do momento em que existem casos de ações judiciais bem sucedidas de educação domiciliar, pedidos de equivalência se mostram como problemas menores.


2) Se você é aluno de graduação, procure por professores pesquisadores para realizar projetos de iniciação científica. Não importa se o projeto não é reconhecido formalmente pela instituição. O que interessa é que você faça um projeto que renda publicação, preferencialmente em veículo especializado de circulação internacional. Ou seja, você deve ser orientado por um pesquisador que tenha produção relevante e consistente ao longo dos anos. Evite professores que somente publicam em anais de congressos ou periódicos locais. Esse tipo de produção é absolutamente irrelevante ou, pior, espelha um covarde. O que interessa são os pesquisadores que publicam nos melhores periódicos de suas áreas. E não confie em fontes como a plataforma Lattes, para obter informações sobre a produção científica de supostos pesquisadores. Através de computadores cadastrados em universidades federais e estaduais, acesse o Web of Knowledge, disponível a partir de www.periodicos.capes.gov.br. Lá você descobre quem realmente tem produção científica relevante.


3) Use a internet para trocar ideias com os melhores pesquisadores de sua área de interesse. Ou seja, aprenda inglês. Em ciências exatas, por exemplo, português é língua morta. 


Em suma, fique longe dos pseudo-intelectuais. Intelectual não é aquele que sabe repetir conteúdos de livros. Intelectual é aquele que produz conhecimento relevante. E a mais confiável forma para reconhecer produção intelectual é através de publicação nos melhores veículos especializados e citações feitas por pares.


Para finalizar, reproduzo abaixo a poesia Estupidez, de Lars Eriksen.

Pela sua natureza, a Humanidade

sempre teve expoentes de estupidez.

De vários tipos, por exemplo,

o que através do riso,

utilizado como sabre,

insiste em ser sarcástico.

(Atitude que implica em olhar sem

expressão,

em cara alvar.)

Qual Mefistófeles da burrice,

só caminhando de cócoras,

só cuspindo para cima.

Embora procure legislar para o mundo,

urina no próprio riso,

indivíduo horizontal,

porco mental,

vivendo ao rés do chão...

Animal que se afoga nas fezes que expele,

desejando defecar nos outros.

Projeto de homem,

repudiado no Inferno

para não o enlamear.

Lingüiça de trapo,

inteligência de comadre.

Homem-verme, de fato minhoca,

no qual não se diferencia

a parte de baixo da de cima.

Proto-homem, indigno

de descender do macaco.

Ave do lodo, de mau agouro.

Sombra da podridão,

o lugar onde se projeta

arruína, cria disputa, divide, imunda.

Imundice física, psíquica e moral

Monstro fétido, nauseabundo,

cujo fedor contamina

o mais puro ambiente.

Espírito deitado,

que não se apóia nos pés,  

por não enxergar a linha vertical.

Idiota, de cara lavada,

que nunca aprendeu a ser sério.

Mente sem equilíbrio,

na qual o conhecimento não levou à

sabedoria,

mesmo à sabedoria rudimentar.

...

Eis o intelectual

convencido da própria superioridade,

o troglodita cuja caverna

é sua imensa boçalidade.

Algumas Curiosidades Lógicas

Nesta postagem não há tema novo algum. Tudo aqui se refere a assuntos muito conhecidos na literatura especializada. No entanto, como vejo inúmeros discursos e textos de matemática no Brasil que fazem consideráveis confusões de caráter lógico, acho interessante prestar alguns esclarecimentos. Então vou responder algumas das questões da página Você sabia que....


1. Todo axioma de qualquer teoria formal axiomática é demonstrável. Para provar isso precisamos qualificar os termos empregados. Uma teoria formal axiomática consiste de dois ingredientes fundamentais: lógica e linguagem. A linguagem é caracterizada por um vocabulário e fórmulas. Vocabulário é um conjunto de símbolos. Fórmulas são sequências (finitas ou não) de elementos do vocabulário. Existem "regras gramaticais", conhecidas como procedimentos efetivos, para determinar quais sequências de elementos do vocabulário são fórmulas. A lógica se estabelece a partir de axiomas e regras de inferência. Axiomas são certas fórmulas, escolhidas pelo próprio matemático, conforme a teoria que pretende desenvolver. E as regras de inferência são relações entre fórmulas que permitem inferir (ou deduzir) uma única fórmula a partir de outras. Por exemplo, no cálculo proposicional clássico, é usual se considerar como regra de inferência uma relação ternária entre fórmulas conhecida como Modus Ponens. Nesta regra, a partir das fórmulas "A implica B" e "A" pode-se inferir "B". Dizemos que "B" é consequência direta das fórmulas "A" e "A implica B". Ou seja, se temos A e sabemos que A implica em B, então podemos deduzir B. Já uma demonstração em uma teoria formal axiomática é uma sequência finita de fórmulas tal que cada fórmula desta sequência é um axioma da teoria ou uma consequência direta de fórmulas anteriores via o emprego de uma regra de inferência. E teorema é a última fórmula de uma demonstração. Isso significa que a primeira fórmula de qualquer demonstração em uma teoria formal axiomática é necessariamente um axioma, pois não há fórmulas anteriores à primeira. Logo, se uma demonstração tem apenas uma fórmula, esta necessariamente é um axioma. Como nesta sequência de uma só fórmula a última é também a primeira, então o axioma ali presente é um teorema. Uma vez que uma fórmula T é demonstrável se, e somente se, existir demonstração tal que T é teorema, podemos concluir que todo axioma é demonstrável. 


2. Todo teorema em uma teoria formal axiomática admite infinitas demonstrações. Usando as noções do parágrafo acima, considere que a sequência F1, F2, F3, ..., Fn é uma demonstração em uma teoria formal axiomática cujos axiomas são A1, A2, A3, .... Logo, F1 é um axioma e Fn é um teorema. Isso significa que podemos inserir um axioma na demonstração, entre duas fórmulas quaisquer ou como primeiro elemento, e continuaremos tendo uma demonstração do teorema Fn. Por exemplo, a sequência A1, A2, A1, A2, F1, F2, A3, F3, ..., Fn é também uma demonstração do teorema Fn. 


3. Existem definições demonstráveis. Existem certos tipos de definições, em teorias formais axiomáticas, conhecidas como definições ampliativas. Elas simplesmente ampliam a linguagem da teoria, no sentido de incorporar novos elementos ao vocabulário. Acontece que toda definição em matemática deve ser não-criativa. Porém, a prática matemática exige que definições possam ser usadas no processo de demonstração de teoremas. Para que isso ocorra, levando em conta o conceito de demonstração do item 1, o status lógico que essas definições ampliativas assumem é o mesmo de axiomas, se elas forem escritas como fórmulas da teoria. Como provamos acima que todo axioma é demonstrável, logo essas definições ampliativas escritas como fórmulas são também demonstráveis. Afinal, tais definições não apenas incorporam novos elementos à linguagem, como também acrescentam novos axiomas. No entanto, vale reforçar que tais novos axiomas não permitem demonstrar teoremas que antes não poderiam ser demonstrados (que é a condição de não-criatividade).


4. É errado afirmar que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números reais. E é igualmente errado afirmar que o conjunto dos números naturais não é subconjunto do conjunto dos números reais. Isso porque existem muitas definições para tais conjuntos na literatura. Alguns autores afirmam que o conjunto dos números naturais é um par ordenado (N,S), onde N é um conjunto não vazio e S é uma operação entre conjuntos, conhecida como sucessor, de modo a satisfazer os conhecidos axiomas de Peano. Os elementos de N são chamados de números naturais. Neste contexto, o sucessor, por exemplo, de 3 é 4 (S(3) = 4). Outros autores afirmam que o corpo dos números reais é uma tripla ordenada (R,+,*), onde R é um conjunto não vazio, + (adição) é uma operação binária entre elementos de R e * (multiplicação) é outra operação binária em R, satisfazendo a uma série de axiomas. Os elementos de R são chamados de números reais. Como o par ordenado (N,S) não é subconjunto da tripla ordenada (R,+,*), então, neste caso, o conjunto dos números naturais não é subconjunto do corpo dos números reais. No entanto, é possível exibir um modelo A para (N,S) e um modelo B para (R,+,*) de modo que A é subconjunto de B. Se chamarmos A de conjunto dos números naturais e B de conjunto dos números reais, então podemos afirmar que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números reais. Porém vale lembrar que tanto (N,S) quanto (R,+,*) admitem modelos tais que um não é subconjunto do outro. Ou seja, antes de afirmarmos que o conjunto dos números naturais é (ou não) subconjunto do conjunto dos números reais, precisamos qualificar o quê se entende por números naturais e o quê se entende por números reais. Mesmo no ensino médio essa qualificação se mostra necessária. Com efeito, o número real 2 pode ser representado pela fração 10/5. No entanto, o número natural 2 não pode ser representado por 10/5, pois usualmente não se define razão entre números naturais.


5. Um par ordenado pode ser igual a uma tripla ordenada. Em teorias de conjuntos existem muitas definições para os conceitos de par ordenado e tripla ordenada. A definição de Kuratowski (aplicável a teorias intuitivas e formais usuais), por exemplo, estabelece que o par ordenado (A,B) é igual ao par não-ordenado {{A},{A,B}}. Vale lembrar que um par não-ordenado {A,B} é um conjunto cujos elementos são iguais a A ou B. Neste sentido, o conjunto {A,B} é igual ao conjunto {B,A}, pois a ordem em que os elementos são explicitados na notação extensional é irrelevante. O leitor não pode esquecer que um conjunto é definido única e exclusivamente pelos seus elementos, independentemente de quaisquer outras informações. Logo, todo par não-ordenado {A,B} tem um ou dois elementos. Tem dois elementos se A for diferente de B, e apenas um elemento se A for igual a B. No caso em que A é diferente de B, podemos concluir que, apesar de {A,B} = {B,A}, (A,B) é necessariamente diferente de (B,A). Com efeito, {{A}, {A,B}} é diferente de {{B},{A,B}}. Seguindo as mesmas ideias de Kuratowski, podemos definir a tripla ordenada (A,B,C) como o par ordenado ((A,B),C). Neste contexto, a tripla ordenada (A,B,C) é igual ao par ordenado (D,E) se, e somente se, D = (A,B) e E = C.


As demais questões serão respondidas em postagens futuras.