Aplicando Matemática em Metafísica

Existem muitas acepções para o termo "metafísica". Usaremos aquela devida ao físico, filósofo e historiador da ciência Pierre Duhem (1861-1916), que se refere ao estudo de matéria não viva. Ou seja, não estamos interessados aqui em conceitos como a alma humana (apesar deste ser um tema de pesquisa que também emprega a matemática).

Segundo Duhem, a física é o estudo dos fenômenos, cuja fonte é a matéria bruta, e das leis que os regem. Já a metafísica procura conhecer a natureza da matéria bruta, considerada como causa dos fenômenos e razão de ser das leis físicas. Neste sentido, teorias físicas podem ser diretamente testadas através de experimentos que envolvem processos de mensuração. Já teorias metafísicas contam apenas com evidências indiretas para sua verificação. 


Provavelmente a mecânica quântica é a teoria física que mais rendeu interpretações metafísicas na literatura: a de de Broglie, a mecânica Bohmiana, a mecânica de Nelson, a interpretação dos múltiplos universos etc. Patrick Suppes, Acacio de Barros e eu também desenvolvemos uma interpretação para a física quântica, apesar de ser aplicável tanto em mecânica quântica quanto em eletrodinâmica quântica. 


Usualmente a mecânica quântica, em sua formulação canônica, é matematicamente tratada a partir dos espaços de Hilbert, um tipo especial de espaço vetorial. Os vetores deste espaço correspondem a estados de sistemas físicos. E certos operadores, ditos Hermitianos, são associados aos observáveis (posição, momento linear, spin etc). Esses operadores Hermitianos se aplicam sobre o espaço de Hilbert e admitem auto-valores que usualmente são interpretados como aquilo que o físico efetivamente mede em laboratório. No entanto, a matemática dos espaços de Hilbert (conhecida como análise funcional) não consegue responder a certas questões naturais e fundamentais sobre o que efetivamente ocorre em escalas atômicas. E como existem muitos fenômenos quânticos que desafiam a intuição (se compararmos com nossa visão clássica de mundo), a partir disso surgiu uma miríade de interpretações para tais fenômenos, as quais são essencialmente teorias metafísicas. 


Cito aqui um exemplo de matemática aplicada à metafísica do mundo quântico que procurei adaptar para o ensino médio, principalmente entre alunos de clubes de ciência ou de matemática que estão em busca de motivações para seus estudos.


Em mecânica quântica existe o conceito de spin. Toda partícula elementar (aquelas que constituem matéria e campos) é associada a um valor de spin, mesmo que seja nulo. O spin tem a mesma unidade de medida do momento magnético em física clássica. Mas não é momento magnético, pelo menos no sentido clássico da expressão. O momento magnético de uma carga elétrica rotacionando em torno de um eixo imaginário é como um vetor no espaço tridimensional. E, no caso de partículas descritas pela física clássica, o momento magnético pode assumir qualquer valor projetado em uma dada direção do espaço. Já o spin admite uma distribuição discreta de possíveis valores. Se medirmos, por exemplo, o spin de um elétron em uma dada direção u do espaço, ele só pode assumir dois valores, os quais chamamos aqui de "para cima" e "para baixo". Além disso, se o vetor de momento magnético for rotacionado 360 graus, ele retorna ao mesmo ponto de partida. Já o spin é um vetor que precisa de uma rotação de 720 graus para voltar ao ponto inicial. É bizarro, mas é como as coisas funcionam em mecânica quântica.


Além disso, a física clássica é realista. Ou seja, considera-se que o estado de um sistema físico independe do ato da observação. Se observamos que um dado objeto físico está parado em uma determinada posição do espaço (relativamente a um referencial inercial), usualmente assumimos que ele continuaria naquela mesma posição se não o tivéssemos observado. Já em mecânica quântica assume-se teoricamente que o estado de um sistema físico depende do ato da observação. Isso porque existem os chamados estados puros, que são matematicamente descritos como combinações lineares dos possíveis valores que uma medição pode detectar. Intuitivamente falando, um elétron pode estar em vários pontos do espaço simultaneamente, antes do ato da observação. Mas, quando o observamos, ele colapsa para apenas uma dessas possíveis posições. E tudo o que podemos fazer é estimar a probabilidade de que colapse para um ponto específico do espaço. Esse tipo de experimento não permite fazer previsões sem significativas margens para dúvida.


Finalmente, outra diferença fundamental entre mecânica clássica e mecânica quântica é que a última é uma teoria não-local. Enquanto um sistema de partículas descrito pela física clássica invariavelmente pode ser dividido em vários subsistemas, no mundo quântico isso nem sempre é possível. Existem certos sistemas quânticos, de duas ou mais partículas, que se encontram em um estado chamado de emaranhamento. Nem do ponto de vista matemático e nem do ponto de vista físico podemos dividir estes sistemas em subsistemas. 


Consideramos a seguir um sistema de dois elétrons que se encontra neste estado de emaranhamento, onde contemplamos também o teste do fenômeno de não-localidade e da hipótese de não-realismo.


Romeu e Julieta repartiram dois elétrons entre si. O problema é que os dois elétrons se encontram em um estado de emaranhamento quântico. 

Romeu não sabe se seu elétron tem spin para cima ou para baixo, em alguma direção que ele possa escolher para medir. E Julieta é igualmente ignorante sobre o estado de spin de seu elétron. 


Um dia o casal se afasta. Ele vai para a Macedônia e ela viaja para Curitiba, Paraná, Brasil. 


O fato do sistema dos dois elétrons estar em estado de emaranhamento significa o seguinte: se Romeu medir o spin de seu elétron em estado puro na direção u do espaço, essa mensuração pode resultar em spin para cima ou para baixo (com a mesma probabilidade de 50% para cada possível evento); mas isso necessariamente implicaria que o elétron de Julieta ficaria com seu spin na mesma direção u com valor para baixo ou para cima, respectivamente e independentemente dela medir ou não o spin na direção u. Ou seja, se Romeu medir o spin de seu elétron na direção u e resultar em spin para cima, automaticamente o elétron de Julieta ficará com spin para baixo na mesma direção u, ainda que ela não faça mensuração alguma nesta direção. Se ela o fizer, apenas confirmará com certeza o valor antecipado por Romeu. Isso porque o emaranhamento é como um caso de amor. Não é possível dividir o sistema de dois elétrons em dois subsistemas distintos. O sistema de dois elétrons se comporta como algo indivisível, como um todo, independente da distância entre Romeu e Julieta. Afinal, o mundo quântico é não-local. Ele parece desdenhar distâncias no espaço. E, assim, o par de elétrons opera como um totem do amor do casal.


Romeu aprendeu com Julieta que, antes de observar seu elétron, o spin na direção u é uma combinação linear de "para cima" com "para baixo". É como se estivesse nos dois estados ao mesmo tempo. Mas quando o observa, este estado puro colapsa para apenas um dos dois possíveis resultados de medição. A probabilidade de colapsar para cima é de 50%, e a probabilidade de colapsar para baixo é de 50%. Ou seja, o spin não está pré-determinado. O comportamento dele é imprevisível diante do processo de medição.


E mais bacana ainda é saber que a medição do spin na direção u não garante a antecipação sobre o resultado de outra medição, se o spin for medido, em seguida, em uma direção v diferente de u. Na verdade, de acordo com a mecânica quântica, se o spin na direção u for medido e resultar para cima, a probabilidade de obter spin para cima na direção v é o quadrado do seno da metade do ângulo entre u e v. 


Mas, dada a distância entre os dois, Romeu se sente inseguro e questiona o amor de Julieta: "De duas, uma. Pode ser que tudo o que eu fizer com meu elétron se reflita instantaneamente no elétron de minha amada Julieta, ultrapassando as barreiras do espaço clássico, mesmo diante da imprevisibilidade do resultado de uma medição. Mas pode ser também que Julieta tenha me enganado. Ela pode ter preparado os dois elétrons para estarem sempre com os spins trocados em qualquer direção, dando a ilusão de que aquilo que faço com meu elétron se reflete no elétron dela. É como a história do cara que sempre vestia uma meia azul e outra rosa. Se, erguendo a calça, ele mostrava que a meia azul estava no pé direito, automaticamente qualquer um saberia que a meia rosa estava no pé esquerdo. E nem por isso é sensato considerar que, antes de erguer a calça, cada pé tinha uma meia cuja cor era rosa e azul ao mesmo tempo. Como saber se nossos elétrons estão realmente em um estado puro de spin para cima e para baixo ao mesmo tempo, antes de fazer qualquer medição? Se for assim, não há conexão alguma entre nossos elétrons. A não-localidade não passa de um truque matemático. Logo, é possível tratar do mundo quântico de forma realista e local. Consequentemente ela não me ama."


E Romeu testa sua visão realista e local de mundo, assumindo que os spins já estão pré-determinados, para estarem sempre com seus valores trocados em qualquer direção. Ou seja, ele questiona se o spin está realmente em dois estados simultâneos. Afinal, se a observação do spin altera o estado (de puro para um único valor mensurável bem definido), como saber se o tal do estado puro existe? Esta é a grande questão metafísica que Romeu tenta responder. Ele quer saber como se comporta aquele sistema quântico sem observá-lo.


Romeu não consegue pensar em termos de todas as direções possíveis de medição de spin, pois são infinitas. Então escolhe três direções quaisquer: u, v e w. Existem oito possibilidades de valores de spin nestas três direções, conforme a tabela abaixo:

O sinal + significa spin para cima, e o sinal negativo denota spin para baixo. Uma vez que Romeu está desconfiando de Julieta, ele não sabe como a amada teria distribuído os spins nas direções u, v e w. Então Romeu atribui probabilidades para encontrar todos os valores possíveis. 


Por exemplo, a probabilidade de Romeu medir spin para cima em seu elétron nas direções u e v e para baixo na direção w (consequentemente Julieta teria seu elétron com spin para baixo nas direções u e v, e para cima na direção w) é P2. 


O que Romeu certamente sabe é que a soma das probabilidades deve resultar 100%, ou seja, 


P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8 = 1


Ele também sabe que cada probabilidade é maior ou igual a zero.


Pois bem. A probabilidade de que Romeu obtenha spin para cima na direção u e que Julieta obtenha spin para cima na direção v é dada por


P(u+,v+) = P3 + P5


Analogamente, 


P(u+,w+) = P2 + P5 e P(w+,v+) = P3 + P7


Como as probabilidades jamais são negativas, Romeu conclui, a partir dessas três equações, que


P(u+,v+) é menor ou igual a P(u+,w+) + P(w+,v+),


pois P3 + P5 é menor ou igual a P2 + P5 + P3 + P7. 


Esta é uma das famosas desigualdades de Bell.


No entanto, Romeu lembra que cada probabilidade acima é calculada usando a fórmula mencionada acima em termos do seno do ângulo entre as direções. Logo, ele percebe que se o ângulo entre u e v for reto e se w formar um ângulo de 45 graus com u e v, então a desigualdade de Bell é violada. Isso porque o quadrado do seno de 45 graus é maior do que o dobro do quadrado do seno de 22,5 graus. 


Portanto, a ideia de Romeu de que os spins estavam pré-determinados é inconsistente com a mecânica quântica. Ou seja, não podemos interpretar a mecânica quântica de forma a considerar que os spins estão pré-determinados. Isso é ponto a favor da ideia do estado puro (a tal da "simultaneidade" de valores distintos).


Romeu ainda insiste na dúvida: "E se a mecânica quântica foi matematicamente construída justamente para evitar a descrença na existência dos estados puros?"


É aí que entra a experimentação. Em experimentos reais de laboratório, nem todas as partículas são detectadas. E as limitações tecnológicas para lidar com pares de elétrons são imensas. Existe alguma evidência experimental que suporte a conclusão de que não posso assumir localidade e realismo no mundo dos elétrons?


Como dissemos acima, a desigualdade que mostramos entre probabilidades é apenas uma das desigualdades de Bell. Optamos por ela por ser a mais acessível aos iniciantes. No entanto, há as desigualdades aplicáveis a experimentos óticos, envolvendo polarização da luz. Nestes experimentos, o fato de que nem todas as partículas emitidas são detectadas não cria problema algum. E, neste contexto, a experiência confirma perfeitamente bem a violação das desigualdades de Bell.


Portanto, temos evidências indiretas, mas muito convincentes, de que o mundo quântico é de fato não-local e que devemos abrir mão do realismo.


Consequentemente, Julieta ama Romeu. Fim da demonstração.