sexta-feira, 20 de janeiro de 2012

Histórias que posso contar

nuts within nuts
Os diálogos a seguir são reais. Imagino que, na maioria dos casos, o leitor não encontrará dificuldade para identificar quem é aluno e quem é professor.


Dia de Avaliação


- Posso responder a lápis?
- Prova é documento. Você preenche documento com lápis?
- Posso responder a lápis?
- Pode responder com o seu próprio sangue, se quiser. Apenas escreva.
- Posso responder a lápis?
- Pode.
- Posso responder a lápis?
- Atenção, todos! Por favor, não perguntem mais se pode responder a lápis. Escrevam na prova como bem entenderem.


Após dez minutos de silêncio...


- Posso responder a lápis?


...


Três alunas em três ocasiões distintas


- O senhor não fica com pena de reprovar uma aluna como eu?
- Fico com pena de colocar no mercado de trabalho uma profissional incompetente.
- Você não fica com pena de reprovar uma aluna como eu?
- Não.
- Você não fica com pena de reprovar uma aluna como eu?
- Por favor, levante-se. Essa posição é embaraçosa pra você.


...


Uma aluna em uma ocasião ímpar


- Eu faço qualquer coisa pra passar nessa disciplina.
- Qualquer coisa?
- O que o senhor quiser, profe.
- Então estude!


...


Um aluno em uma ocasião como tantas outras


- Como que eu deveria responder essa questão?
- De forma clara e devidamente justificada.
- Tá. Mas como que o senhor gostaria que eu respondesse?
- Não importa como eu gostaria que você respondesse. Suas respostas e justificativas devem ser convincentes para qualquer bom profissional da área. Basta que você conheça o assunto e saiba como justificar suas respostas.
- Tá. Mas como que o senhor responderia essa questão?


...


Após citar Bertrand Russell em sala de aula


- O senhor acredita em Deus?
- Minhas opiniões sobre Deus são irrelevantes em sala de aula. Estamos aqui para estudar matemática. Só isso.
- Tá. Mas você acredita em Deus?
- Eu acabei de explicar que minha opinião sobre Deus é irrelevante.
- Não pra mim.


...


Um aluno de fé inabalável


- Mas no livro está escrito que eu devo achar o domínio da função.
- O autor do livro é matematicamente analfabeto. f(x) = 1/x não é uma função. É apenas uma igualdade.
- Mas o professor Fulano colocou a mesma questão na prova.
- Se for verdade, então o professor Fulano também é analfabeto. Ele simplesmente não sabe o que diz.
O aluno ficou me olhando com a expressão de um desamparado náufrago. Continuei:
- Professores e autores de livros mais erram do que acertam. Praticamente todos os livros didáticos de matemática em nosso país têm erros graves, principalmente em conceitos e definições.
- Mas se não posso confiar em professores e nem em autores, em quem devo acreditar?
- Que tal exercitar o seu próprio senso crítico? Ciência se faz com crítica, com independência de pensamento, e não com crença cega em supostas autoridades, como professores e autores.
O olhar do aluno crente continuou à deriva.


...


Perguntas minhas que foram respondidas com o desconfortante e prolongado silêncio de turmas inteiras


- O que vocês leem?
- Quais são os cientistas brasileiros mais conhecidos?
- Quais são os cientistas mais conhecidos? Pode ser de qualquer país.
- Quem é o autor do mural que está na entrada do Prédio da Administração do Centro Politécnico (da UFPR)? (Observação: Trata-se de um mural do consagrado Poty Lazzarotto.)
- O que há de errado com aquele mural?
- Qual é o tema daquele mural?
- Aqueles que cursaram álgebra linear, e que foram aprovados, me respondam, por favor: o que é álgebra linear?
- Aqueles que cursaram cálculo diferencial e integral, e que foram aprovados, me respondam, por favor: o que é cálculo diferencial e integral?
- Por que vocês fazem este curso?


...


Respostas padronizadas de robôs alunos (principalmente em conversas privadas)


- Porque sim.
- O senhor entendeu o que eu quis dizer.
- Você entendeu o que eu quis dizer.
- Mas foi isso o que eu disse!
- Mas foi isso o que eu quis dizer!
- Mas era isso o que eu queria dizer!
- Assim não vale!
- Isso é pegadinha.
- Eu sabia a resposta, mas não quis dizer.
- Eu sei a resposta, mas não sei como me expressar. (Esta última fala é sempre acompanhada de exagerados gestos com as mãos.)
- Eu sabia isso, mas na hora me deu um branco.
- Mas eu me esforcei tanto.
- Mas... tipo eu... eu... tipo... me esforcei tipo... tanto.
- Mas eu passei o final de semana inteiro estudando.


...


Quando aprendi que meus alunos não sabem onde estão


Perguntei:


- Qual é o nome do Centro Politécnico da Universidade Federal do Paraná?


Ouvi:


- Centro Politécnico.
- Setor de Ciências Exatas.
- Universidade Federal do Paraná.
- Jardim das Américas.
- Não tem nome.


...


Quando descobri que meus alunos não são estudantes


Perguntei:


- Qual foi o único brasileiro a ganhar o Prêmio Nobel?


Normalmente a resposta é um sorriso amarelo que implicitamente afirma "Por favor, não me machuque!" Mas, daqueles que verbalizaram algo, ouvi o seguinte:


- César Lattes.
- César Lattes.
- César Lattes.
- Não lembro.
- Uma penca.
- Não tenho ideia.
- Nenhum brasileiro ganhou o Prêmio Nobel.


Respondi:


- Peter Medawar. Carioca e Nobel de Medicina.


Ouvi:


- Mas este nome não é brasileiro.


Aparentemente os jovens aculturados e vergonhosos descendentes de italianos, alemães, japoneses, poloneses, portugueses e ingleses, entre outros, apenas reconhecem o brasileiríssimo nome Juruna.


...


Algumas falas são de alunos e outras são de professores. Consegue dizer quem é quem?


- Qual é o valor de pi no vácuo?
- Não. Não é pós-graduação. É mestrado.
- Pós-graduação lacto senso.
- Mas pra fazer doutorado não tem que ter primeiro mestrado?
- Titulação mais alta: pós-doutorado.
- Journal of Mathematical Physics? Então não é periódico sério. É só um jornal.
- Força é massa vezes aceleração. E massa é força dividida por aceleração.
- Ponto não tem dimensão.
- A reta dos reais tem uma dimensão.
- Vetor é um ente que tem módulo, direção e sentido.
- Vetor é um ente que tem módulo, direção, sentido e unidade.
- Vetor é um treco que tem módulo, direção, sentido e unidade.
- O professor sabe a matéria, mas não sabe explicar.
- Como é que é o nome do livro do Sei-Lá-Kowiski?
- Hoje em dia não se faz nada de novo em teoria de conjuntos.
- Integral de Rímel.
- Disciplina: Cauculo.


(Estas duas últimas estavam escritas em provas.)


- O senhor poderia evitar provas nas sextas-feiras? Minha religião não permite que eu venha nas sextas.
- Assisti Alice no País das Maravilhas. O filme é bem fiel ao desenho animado.


...


Confusões praticamente unânimes


Alguns dos muitos termos frequentemente usados por docentes e discentes, sem que eles sequer saibam o que significam:


- Ética.
- Definição.
- Teorema.
- Postulado.
- Axioma.
- Paradigma.
- Epistemologia.
- Método científico.
- Verdade.
- Avaliação.
- Óbvio.
- Preconceito.
- Trabalho.


...


Em um corredor da universidade, já voltando para casa


Ouvi:


- Se você critica tanto o Brasil, por que ainda trabalha por aqui?


Respondi:


- Ótima pergunta.
........................................


Leitura complementar sobre experiências profissionais de uma docente.

terça-feira, 17 de janeiro de 2012

Motivando Crianças a Estudar

Esta postagem foi anunciada anteriormente com o título provisório "Mecânica Quântica para Crianças". Achei recomendável mudar o título, apesar da motivação ainda ser a mesma.


A palestra mais marcante em minha carreira foi para uma turma de quarta série do primário de uma pequena escola particular de Curitiba. A professora daquela turma queria que eu falasse com seus alunos sobre água. É claro que fiz uma breve apresentação sobre o tema pedido. Mas logo em seguida aproveitei a oportunidade para provocar aquelas criaturas ainda pouco contaminadas pelo desestimulante sistema educacional de nosso país.


O tema da água foi usado como gancho para falar sobre ciência. Pedi às crianças que fizessem uma lista de três artistas brasileiros. Todos rapidamente citaram dezenas de nomes (apesar de demonstrarem conhecer apenas atores e atrizes de telenovelas). Em seguida pedi três nomes de atletas brasileiros. Também citaram, sem dificuldade, nomes amplamente divulgados pela mídia e que se destacam, principalmente, em futebol. Por último solicitei uma lista de três cientistas brasileiros. O silêncio foi absoluto. Mas o mais surpreendente foi a conclusão deles. Disseram-me que não sabiam nomes de cientistas brasileiros simplesmente porque eles não existem. Isso demonstra muito bem alguns dos pontos principais que apresentei na postagem sobre crime e educação. 


Expliquei àquelas crianças que existem, sim, cientistas brasileiros, sendo que muitos deles são conhecidos no mundo inteiro por trabalhos muito importantes. Mas não quis perder tempo com citações de nomes e obras que aqueles alunos imediatamente esqueceriam. Procurei, então, seguir o caminho da provocação. E eu adoro perturbar a acomodada paz intelectual de pessoas, principalmente crianças.


Falei para aquelas crianças que a estrutura molecular da água é estudada, em parte, em um ramo da ciência conhecida como física quântica. Uma vez que o ramo mais elementar da física quântica é a mecânica quântica não relativística, parecia sensato falar algo sobre essa fabulosa teoria que está próxima de completar cem anos de idade. 


Ninguém sabe ao certo o que é mecânica quântica (MQ). Não existe na literatura especializada qualquer formulação axiomática que seja amplamente aceita como uma definição precisa dessa área do conhecimento. Mas sabe-se que a MQ tem características notáveis que se opõem drasticamente à mecânica clássica e até mesmo aos nossos modos intuitivos de pensar sobre o mundo que nos cerca. 


Pensei com meus botões, sobre o que eu poderia discutir com aquelas crianças. Eu poderia falar sobre o papel de probabilidades em MQ, sobre o fenômeno de não-localidade, sobre a discretização de níveis de energia e de estados de sistemas de partículas, sobre as peculiares propriedades topológicas de spin, sobre o problema da não-individualidade etc. Mas tudo isso parece muito difícil de adaptar para uma linguagem acessível a crianças de nove anos. Então decidi discutir com elas sobre realismo.


Do ponto de vista da filosofia da física, um realista é aquele que considera que o mundo dos fenômenos mensuráveis independe do ato da observação. E a MQ colocou em desconfortante xeque a visão realista que tão bem se aplica à mecânica clássica. O teorema de Bell, por exemplo, e sua confirmação experimental devida a Alain Aspect, foi uma grande façanha intelectual que despertou discussões até hoje muito ativas sobre os aspectos não realistas da MQ. Ou seja, evidências muito convincentes apontam para a visão de que o ato da observação, de fato, afeta sistemas físicos quânticos. 


Lembrando disso e apontando para a mesa da professora, fiz a seguinte pergunta para a turma: "Se todo mundo sair desta sala e se ninguém estiver olhando para a mesa da professora, esta mesma mesa continua existindo?" 


A resposta imediata, animada e unânime foi "Claro!". 


Insisti: "Mas se ninguém estiver olhando para a mesa, como saber se ela continua existindo?" 


A resposta agora foi um novo silêncio. Meninos e meninas pareciam estar engajados em agoniados pensamentos (como se fossem os clássicos personagens felinos de T. S. Eliot). Aos poucos fui explicando para aquelas perturbadas criaturinhas que ninguém sabe ao certo se a mesa continua existindo ou não, se não houver pessoa alguma a observando. Falei para as crianças que algumas teorias dizem que a mesa ainda está lá; mas que outras dizem que não. E as teorias que dizem que a mesa não está necessariamente no mesmo lugar onde foi observada pela última vez, são as mesmas teorias físicas que ajudam a compreender a estrutura molecular da água. Os olhares daqueles alunos foram assombrosos. Ficaram simplesmente desnorteados.


O resultado mais animador dessa palestra veio dois ou três dias depois. Recebi uma carta de uma das meninas da turma. O nome dela é Sarah. Na carta, que ainda guardo, ela agradecia pela palestra e dizia que ainda estava pensando no problema da mesa da professora.


Bingo! Objetivo alcançado. Educação científica não se faz com amontoados de fatos ou teorias que visem estabelecer uma zona de conforto intelectual. Educação científica se faz com o estímulo à busca pelo conhecimento. E a busca ao conhecimento somente pode ser promovida onde houver perguntas relevantes não respondidas.

sábado, 14 de janeiro de 2012

Nota de Esclarecimento



Alguns leitores deste blog têm demonstrado preocupação quase pessoal com certas críticas aqui expostas. Preciso insistir que a crítica é parte fundamental do desenvolvimento intelectual. O segredo para não ser criticado é ser invisível, ou seja, nada produzir. Por isso aproveito a oportunidade para expor uma crítica séria a um trabalho meu, a qual foi feita com perturbadora propriedade.


Anos atrás desenvolvi um projeto de pesquisa em parceria com Décio Krause, Analice Gebauer Volkov e Aurélio Sartorelli sobre aplicações de teorias de quase-conjuntos em mecânica quântica, assunto sobre o qual pretendo postar detalhes futuramente. Esse projeto rendeu algumas publicações internacionais e várias citações na literatura especializada, comumente animadoras. Mas uma das citações foi feita por Nicholas J. J. Smith, da University of Sydney (Austrália). Neste excelente artigo o autor afirma (nas páginas 10 e 11) que Krause, Sartorelli e eu simplesmente  não fizemos o que foi proposto em nosso programa de pesquisa. Os argumentos são contundentes e certamente nos obrigam a repensar nossa estratégia de ataque ao problema da não-individualidade em mecânica quântica.


Ou seja, críticas acadêmicas não constituem ataques pessoais. Elas fazem parte do próprio desenvolvimento do conhecimento humano. Se queremos desenvolver alguma tradição na produção de conhecimentos em nosso país, precisamos nos acostumar com a noção de crítica.

quinta-feira, 12 de janeiro de 2012

Como ler livros de matemática?

Desconheço livros de matemática em português que não sejam carregados de erros conceituais, em todos os níveis de ensino. Isso por si só já demonstra que não é fácil ler livros de matemática em nosso idioma.


Para ilustrar as ideias que pretendo expor, cito dois exemplos bem conhecidos na literatura especializada. O primeiro é uma obra de Elon Lages Lima, na qual há questionáveis críticas a coleções de ensino médio. O segundo exemplo é um livro altamente suspeito de Georges Ifrah, sobre história da matemática.


Preocupado com erros sistemáticos em obras de ensino médio, o matemático brasileiro Elon Lages Lima editou um livro intitulado "Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o Ensino Médio" (2001, SBM), no qual ele e diversos professores colaboradores fazem uma análise sobre uma dúzia de coleções de matemática (totalizando trinta e seis livros). A obra, dirigida a professores do ensino médio, certamente tem seu mérito. Os avaliadores fazem muitas críticas pertinentes. Outras, porém, novamente tornam evidente a precária situação de nosso ensino mesmo entre matemáticos considerados importantes no nosso país. Afinal, quem critica o crítico?  


Já na primeira página há um parágrafo que diz: "A Conceituação compreende a formulação de definições, o enunciado de proposições, o estabelecimento de conexões entre diversos conceitos, bem como a interpretação e a reformulação dos mesmos sob diferentes aspectos. É importante destacar que a conceituação precisa é indispensável para o êxito das aplicações."


No mesmo texto (página 2) está ainda escrito: "Uma definição pode ser incorreta por vários motivos. Ela pode estar em flagrante desacordo com a prática universal (exemplo: "chama-se intervalo a todo conjunto de números reais"), pode conduzir a contradições (exemplo: admitir uma reta como paralela a si própria e, noutro local, dizer que um sistema linear com duas incógnitas é impossível quando as retas que representam as equações são paralelas), pode ser incompleta, deixando de lado casos importantes que deveriam ser incluídos nela, pode ser excessivamente abrangente, etc."


Porém, na mesma obra, os autores jamais deixam claro o que significam termos como "definição", "proposição", "conceito" ou "interpretação". Também não deixam claro o que significa uma conceituação precisa ou o que é uma definição excessivamente abrangente. Além disso, como pode a conceituação compreender conexões entre conceitos? Não há uma bizarra circularidade aqui? 


Outro ponto falho no texto é o uso inadequado de "etc.". Para o leitor, esse "etc." pode interessar e muito. Aparentemente demanda um tratado sobre definições. Onde conseguir isso? Os autores não recomendam qualquer literatura específica como, por exemplo, a excelente obra de iniciação "Definições: Termos Teóricos e Significado" de Leônidas Hegenberg (Cultrix/EDUSP, 1974). Se o público alvo é o de professores e demais profissionais ligados ao ensino, é importante que informações complementares ajudem a orientar os leitores, para que elas minimizem erros e preencham lacunas de formação.


Parece bastante prudente considerar que um treinamento em lógica elementar seria recomendável para professores de matemática e áreas correlatas. Escrever sobre educação matemática para professores do ensino médio não é uma tarefa fácil. Pelo contrário, é extremamente difícil e talvez até ingrata. Um professor de ensino médio minimamente inteligente que leia a obra em tela de Elon Lages Lima deve achar o conceito de "conceituação precisa" pouco preciso. Por isso, parece altamente recomendável que um autor de qualquer livro de matemática (seja qual for o público-alvo) seja humilde o bastante para perceber que não há livros de matemática sem erros. O que se faz necessário é uma vasta bibliografia, para que se permita extrair um pouco de "ouro" de "uma tonelada de papel impresso".


Insisto que jamais proponho um estudo de lógica formal no ensino médio. O que sugiro é um treinamento direcionado a profissionais, sobre noções básicas de lógica formal. Isso certamente ajudaria a evitar certas discussões amalucadas que pouco contribuem para a educação. E poderia se refletir de forma bastante construtiva nos textos de matemática do ensino médio e até mesmo na prática da sala de aula.


Outro ponto que chama atenção sobre o livro de Lima é o fato de que o editor defende a prática da manipulação algébrica na resolução de problemas como uma atitude mental automática, verdadeiro reflexo condicionado (usando a terminologia do próprio autor), que permita ao usuário da matemática concentrar sua atenção nos pontos cruciais, sem perder tempo e energia com detalhes. 


Compreendo a postura pragmática de Lima, usual na matemática de alguns dos melhores centros do mundo. Mas acho que esse é um ponto que deveria ser melhor qualificado, pois trata-se de uma questão extremamente delicada. Um dos piores aspectos em sistemas educacionais como o nosso é justamente a falta da prática de senso crítico em sala de aula, tanto por parte de alunos, quanto de professores e até mesmo autores, como o próprio Lima. 


Matemática não se faz por doutrinação, revelação, autoridade ou tradição. Matemática se faz criticamente. Certos detalhes que comumente são associados a meros preciosismos podem ter extrema relevância, dependendo do contexto.


Essa postura incondicional de Lima faz lembrar de um evento que ocorreu com Richard Feynman, ganhador do prêmio Nobel em Física, durante uma estada de alguns meses no Rio de Janeiro. 
Lecionando eletromagnetismo de Maxwell para jovens brasileiros, Feynman exibiu dois filtros polaróides aos alunos e perguntou como determinar a direção absoluta de polarização de um único polaróide. Ninguém respondeu. Ele achou aquilo muito estranho e, olhando para a luz solar que refletia no mar, insistiu com uma sugestão: "Olhem a luz refletida da baía." Silêncio absoluto na sala de aula. Intrigado, Feynman perguntou se eles já ouviram falar alguma vez a respeito do ângulo de Brewster. Imediatamente veio a resposta: "Sim, senhor! Ângulo de Brewster é o ângulo no qual a luz refletida por um meio, com um dado índice de refração, é completamente polarizada." E aproveitando o embalo, Feynman prossegue: "E em qual direção é a luz polarizada quando refletida?" A resposta estava automaticamente na ponta da língua dos estimulados jovens: "A luz é polarizada em direção perpendicular ao plano de reflexão, senhor!" Feynman, então, tentou finalizar: "Portanto..." Ninguém disse coisa alguma. Feynman pediu aos alunos para que olhassem para a baía através do polaróide e que rotacionassem o instrumento. Foi quando todos ficaram perplexos: "Oh, a luz está polarizada!"
A versão completa deste episódio está no livro "Está a Brincar, Sr. Feynman" de Richard Feynman (Gradiva, 1985). No mesmo livro Feynman revela que após muita investigação, sua conclusão era a de que aqueles estudantes memorizaram tudo o que lhes foi ensinado, de maneira automática (suficiente para serem aprovados em exames), mas sem entenderem o significado daquilo.


Definir o que é crucial no processo educacional é tarefa extremamente complicada, talvez impossível de ser realizada, sem estar sujeito a duras críticas e irreversíveis erros. Por que o aluno deve memorizar de forma mecânica, por exemplo, que não existe divisão por zero (como o próprio Lima estranhamente defende em seu conhecido livro de análise matemática)? Se o objetivo é uma educação em massa, sem cuidados com a intelectualidade do indivíduo, talvez esse seja o melhor caminho. Afinal, muitos profissionais da matemática julgam que apenas os sobreviventes ao sistema educacional brasileiro são merecedores de atenção.


Mas se a meta social é estimular potenciais pensadores do futuro, a atitude mental automática pode ser extremamente perigosa. Por um lado, ela pode agilizar o trabalho do matemático profissional, permitindo-o progredir em seus estudos com eficiência e rapidez, como sugerido por Lima, o qual trabalha em um centro de excelência em matemática que paradoxalmente até hoje não produziu um único ganhador da Medalha Fields, o "Nobel" da matemática (não seria isso um diagnóstico de fracasso do IMPA?). Por outro lado, essa mesma atitude mecânica pode também contribuir na formação de preconceitos, como a pobre mentalidade de que divisão por zero não faz sentido, ou a infeliz noção de que vetores são entes abstratos com módulo, direção e sentido. Não critico de maneira inflexível a visão pragmática de Lima, até porque na prática ela apresenta vantagens impressionantes, como um rápido progresso por parte de muitos estudantes e até mesmo profissionais da pesquisa. Apenas considero que tal postura deve ser melhor qualificada e dependente do contexto sobre o que se deseja produzir. Toda ideologia incondicional é suspeita de catalisadora da ignorância e deve ser examinada de maneira profundamente crítica. E são muitos os matemáticos brasileiros que acreditam incondicionalmente em suas práticas. Um passo fundamental para o progresso é admitir que podemos estar errando. E acredito que estamos todos errando.


Não faço aqui uma análise crítica detalhada da obra editada por Lima, até porque isso demanda outro livro, dada a quantia de impropriedades lá presentes. Mas Lima e colegas não se limitam a críticas. Eles também apresentam propostas. Uma dessas está no livro "A Matemática do Ensino Médio" de Elon Lages Lima e colaboradores (SBM, 1996), a qual corresponde a um texto de matemática direcionado ao professor de ensino médio. No entanto, mesmo nessa obra há aspectos surpreendentemente questionáveis. 


Já na primeira página do Capítulo 1 está escrito que "[t]oda a Matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos."
Pelo amor de Deus! Isso é falso! Erro grave! Basta pensar por poucos segundos para perceber que a afirmação é falsa. O cálculo proposicional clássico e algumas formulações de teorias de categorias são dois exemplos muito conhecidos de teorias matemáticas que são fundamentadas em linguagens não-conjuntistas. Até mesmo um estudante de ensino médio poderia perceber esse erro. Afinal, se toda a matemática é formulada na linguagem de conjuntos, então isso deve incluir a própria teoria de conjuntos. Precisamos da linguagem de conjuntos para formular a teoria de conjuntos? Não há uma inconveniente circularidade nessa afirmação? 


Mas independentemente deste erro, há vários exemplos de inconsistência interna com relação a tal afirmação. Ou seja, nem o próprio Lima acredita no que diz. Na página 25, por exemplo, lê-se que "[n]úmeros são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar e medir." Mas se a linguagem de conjuntos é universal a ponto de formular toda a matemática atual, os números não deveriam ser conjuntos? Onde está a conceituação precisa considerada tão importante por Lima? 


É claro que afirmar para um aluno do ensino médio que números são casos particulares de conjuntos pode estar fora de questão, devido à formação precária dos jovens, se comparada com os pré-requisitos necessários para compreender tal concepção. Mas o professor de matemática não deveria entender isso melhor? Afinal, a obra em questão é direcionada a profissionais do ensino. E se um aluno encurralar um professor com perguntas do tipo "Se conjuntos fundamentam a matemática, por que números não são conjuntos?", ou "Então a teoria de conjuntos é formulada na linguagem da teoria de conjuntos?" Aposto meu braço direito que pelo menos 90% dos professores de matemática do ensino médio no Brasil não sabem responder a essas questões de maneira qualificada.


Além disso, se números servem para contar e medir, o que exatamente os números racionais estariam contando ou medindo? Sabe-se que o conjunto dos números racionais é equipotente ao conjunto dos números naturais. Isso significa que os números racionais podem ser empregados em processos de contagem, assim como os naturais? Mas os números racionais, bem como os naturais, são usualmente considerados como sub-conjuntos do conjunto dos números reais, os quais, imagino, seriam úteis em processos de medida. Afinal, racionais (e naturais) são úteis para contagem ou medida? Como se operam tais processos de contagem e medida? O que é medida? O que é contagem? Contagem é uma associação que se faz entre objetos e números naturais? Não há uma nova circularidade implicada?


É claro que esses temas não interessam a alunos do ensino médio, mas a obra em questão não é direcionada a este público. É dirigida ao professor. Não deveria o professor conhecer um pouco melhor esses temas? Se tais assuntos são de, algum modo, impertinentes no contexto da obra, não deveria haver citações a referências complementares? Afinal, quem trouxe o assunto à tona? Um livro de matemática não deveria ser auto-suficiente? Ou será que Lima e colaboradores defendem a ideia de que professores de ensino médio devem dominar somente os conteúdos de seus livros?


Também na página 211 do livro sobre matemática no ensino médio, diz-se que "seno e cosseno pertencem ao ângulo, e não ao eventual triângulo que contém." Este é um dos piores absurdos que já li em minha vida. O profissional ou o aluno de licenciatura podem ficar completamente perdidos quando se diz que seno e co-seno pertencem a um ângulo. O que significa o termo "pertencem"? Tem o mesmo significado que ocorre em teoria de conjuntos, a alegada linguagem universal da matemática? Essa bizarra declaração significa que ângulo é um conjunto de senos e co-senos? É esse o conteúdo que os professores de ensino médio devem passar para seus alunos? Qual é a contribuição real à formação de professores dada aqui?


A teoria de conjuntos oferece a possibilidade de uma visão parcialmente unificada para a matemática do ensino médio e até mesmo para a matemática de cursos de graduação e pós-graduação. Sem apelar a ela, corre-se o risco de expor a matemática como uma "colcha de retalhos", na qual matrizes são tabelas, probabilidades são razões entre números de ocorrências de eventos, e números são entes abstratos úteis para processos de contagem e medida. Por isso, as questões que julgo relevantes são:


(i) Como transpor a linguagem conjuntista para o aluno de ensino médio?


(ii) Como justificar a importância da teoria de conjuntos no ensino médio?


Somente profissionais que conheçam muito bem teorias de conjuntos e lógica podem responder a essas duas questões.


Meu segundo exemplo de literatura suspeita tem enganado até mesmo experientes professores universitários. Tratam-se dos livros bem conhecidos de Georges Ifrah, "História Universal dos Algarismos", Tomos 1 e 2 (Nova Fronteira, 1997), sobre história da matemática, que acabam tirando proveito da ignorância da população acadêmica brasileira e de outros países também, incluindo França e Estados Unidos.


Desconheço a existência de algum historiador de matemática em nosso país, especializado em algo não-trivial que se encontre além da história matemática brasileira. Por isso, sou obrigado a recorrer à opinião de especialistas de outros países. Isso porque história da matemática demanda, além de profundo conhecimento matemático, o acesso a documentos históricos originais, bem como a devida leitura e interpretação deles no contexto social da época em que foram originalmente escritos. 


Georges Ifrah escreveu uma obra monumental em termos de volume de informações. A edição brasileira, traduzida do original francês Histoire Universalle des Chiffres, conta com dois tomos que totalizam mais de mil páginas, com mil e seiscentas figuras, tabelas, fac-símiles de documentos e ilustrações. O autor, ex-professor de matemática, viajou a inúmeros países como Estados Unidos, Egito, Índia, México, Peru e China, visitando os mais famosos museus do mundo, com o propósito de coletar extenso material para sua obra. Sem ajuda financeira, ele se submeteu a diversos empregos que permitissem sustentar seu dia-a-dia e sua empreitada, como office boy, motorista, garçom e até vigia noturno de um hotel. 


No prefácio do primeiro tomo, Ifrah demonstra ser totalmente desprovido de modéstia, ao afirmar que seu objetivo é "responder em termos simples e acessíveis e da maneira mais completa possível a todas as questões que o público se coloca com respeito à história universal dos algarismos e do cálculo, evolução complexa e multiforme que se estende da pré-história à era dos computadores e que parte das operações mais elementares – errando no terreno das aritméticas especulativas, místicas, religiosas, mágicas ou adivinhatórias – para desembocar nos cálculos mais gerais possíveis, após ter passado pela descoberta do zero e da numeração de posição."


A tradução para o português é ruim, mas a obra é um best seller traduzido para diversos idiomas, incluindo o inglês. Famosas mídias de comunicação em massa enalteceram o trabalho de Ifrah. Segundo o L’Express, o autor é "o Indiana Jones da aritmética [...] que decidiu em 1974 iniciar a busca pelo seu Gral, a origem dos números." Publicações respeitadas como The Guardian, The International Herald Tribune e Le Figaro também não economizaram nos entusiasmados elogios aos dois volumes. 


Aqui no Brasil muitos professores universitários usam essa obra como referência histórica em suas aulas, influenciando as mentes de nossos jovens e impressionáveis estudantes.


Mas a questão que deve ser levantada é a seguinte: "O que os historiadores de matemática pensam sobre a famosa obra de Georges Ifrah?"


Um grupo de cinco historiadores franceses começou a ficar preocupado com os livros em questão. Apesar de textos ruins não faltarem no mundo, este merecia especial atenção, dada a sua popularidade e levando-se em conta o tema. O objetivo desse grupo era prestar esclarecimentos sobre os graves problemas no que Ifrah escreve. 


No entanto, sustento o presente texto em artigos publicados na prestigiada Notices of the American Mathematical Society, escritos por Joseph Dauben (no volume 49 de 2002, páginas 32-38 e 211-216), professor de história da ciência no Lehman College da City University of New York. 


Em linhas gerais, a resenha crítica feita por Dauben pode ser resumida da seguinte maneira: 


(i) Nos dois tomos o autor reivindica descobertas históricas que, na verdade, foram anteriormente feitas por outros; 


(ii) Os livros nada acrescentam em termos de fatos ou análises históricas sensatas sobre a história dos algarismos; 


(iii) Na obra há informações históricas que foram meramente inventadas; 


(iv) O autor ignora a história detalhada de números famosos como o e (base dos logaritmos naturais) e o π (a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro), os irracionais, os transcendentes, os transfinitos, os quatérnions, os perplexos e os infinitesimais (citando apenas alguns exemplos); 


(v) O autor promete discutir sobre assuntos como computação quântica, mas não o faz. 


É claro que Dauben e os franceses mencionados podem estar equivocados ou invejosos e, de algum modo, mancomunados para a execução de uma perversa conspiração contra Ifrah. Mas o fato é que no Brasil circulam livros sobre história da matemática que têm se consagrado mundialmente ao longo de anos como referências confiáveis, como a obra de Carl Boyer ou a de Howard Eves. Por que então apelar para um livro tão controverso como o de Georges Ifrah? Além disso, há fascinantes e excelentes livros de história da matemática que não foram ainda traduzidos para nosso idioma, como as obras de Nicolas Bourbaki e de Eric Temple Bell, que apesar de tendenciosas, são razoavelmente confiáveis e endossadas por profissionais da história da matemática e de reputação internacional.


O Brasil conta com professores de cálculo diferencial e integral e de álgebra linear suficientemente competentes para decidirem, com certa sensatez, se uma nova obra lançada sobre um desses temas pode ser adotada em sala de aula. Mas não há historiadores que realmente conheçam a matemática indiana, maia, chinesa ou persa. Nesse caso, por que não contar com a opinião de especialistas? 


Toda a literatura que acessei e que elogia o que Ifrah fez foi escrita por leigos em história da matemática. Toda a literatura que acessei e que foi escrita por historiadores profissionais denuncia os livros de Ifrah como lamentáveis, decepcionantes, não recomendáveis. Como não sou historiador da matemática, prefiro confiar em quem é.


Além disso, qual é o autor confiável que escreve no prefácio de um livro que ele responderá a todas as questões que o público possa colocar sobre algum assunto não-trivial, como a história dos algarismos? História da matemática, ou mesmo a história dos algarismos, é um tema de elevada complexidade. Afirmar que todas as questões serão respondidas é o mesmo que declarar que existe fim ao senso crítico.


Qual é o problema sobre a postura de sermos cuidadosos? Quando vi o livro de Ifrah pela primeira vez, imediatamente fui atrás de resenhas críticas sobre ele. Afinal, não sou especialista em história para poder opinar sobre o tema. E já vi professores universitários com boa bagagem matemática serem completamente descuidados e simplesmente adotarem os dois tomos de Ifrah sem pestanejarem. Afinal, é uma obra famosa! Mas Playboy também é uma publicação famosa. E nem por isso é aconselhável seu uso em aulas de matemática.


Se uma revista de divulgação científica ruim como a Superinteressante vende quatrocentas mil cópias ao mês, enquanto revistas de boa qualidade como a Scientific American Brasil ou Pesquisa FAPESP vendem apenas quarenta mil cópias ao mês, isso ainda é compreensível. Até porque o povo brasileiro quer saber o que acontece no mundo científico mas não tem ideia de como procurar esse conhecimento. No entanto, um professor universitário que não adota critérios sérios para selecionar o que usará em uma sala de aula com seus alunos é uma ameaça, é mais uma célula cancerosa no seio da sociedade acadêmica. 


Se nem mesmo em nossos professores universitários podemos confiar, principalmente quando se proclamam como membros da elite intelectual da nação, quem terá sobrado? Adriane Galisteu?


Portanto, minhas recomendações para leituras de livros de matemática são as seguintes: sempre desconfie do que lê; compare com outras obras; discuta com pesquisadores atuantes e de reconhecida competência internacional; leia resenhas sobre as obras; e, finalmente, pense de forma crítica. Os erros sempre persistirão. Não há como evitá-los. Mas, pelo menos, serão menos graves.

domingo, 8 de janeiro de 2012

Como Nossa Educação Contribui para o Crime Organizado

Existe, naturalmente, aquela velha e verdadeira história de que a dificuldade de acesso a boas escolas é um dos elementos responsáveis pelo futuro aumento do desemprego. Como consequência disso e de outras injustiças sociais, surgem umas poucas pessoas que entram para o mundo do crime, como indesejável solução para a própria sobrevivência. E este é um dos temas preferidos de conversas superficiais entre pessoas que não conseguem transcender aquilo que é reportado em nossa pobre mídia. Mas nesta postagem não estou interessado nos casos dos pequenos marginais que representam uma desarticulada e minúscula (apesar de não ignorável) parcela da população profissionalmente não qualificada. Quero discutir aqui sobre a responsabilidade criminosa de uma vasta e significativa parte da população das classes média e alta, e que tem acesso a escolas consideradas pelos ingênuos padrões tupiniquins como sendo de boa qualidade. Meu objetivo principal é mostrar uma assustadora relação entre nosso sistema educacional e gravíssimas atividades criminosas cometidas por milhões de brasileiros.


O diretor de cinema José Padilha (Tropa de Elite e Ônibus 174) me convidou três anos atrás para escrever um roteiro de ficção para um longa-metragem que tratasse do tema da pirataria no Brasil. Hesitante, aceitei o convite. Hesitei porque eu nada sabia sobre o tema. Como havia um acordo contratual entre a produtora deste diretor e uma importante pessoa jurídica de São Paulo, consegui facilmente apoio financeiro para cobrir despesas com pesquisa de campo, bem como contatos extremamente importantes. E um dos emblemáticos lugares que conheci foi a cidade de Nova Serrana, no interior de Minas Gerais.


Apesar de não ser opinião unânime, Nova Serrana é considerada por muitos como a capital do calçado falso no Brasil. Infelizmente não poderei retratar aqui tudo o que descobri sobre a prática da pirataria no país, pois isso daria tema para um extenso livro. Por isso novamente terei que ser pontual. Mas não pensem que o foco desta postagem retrata uma visão limitada do panorama dos descaminhos econômicos praticados na nação e sua estreita relação com o sistema educacional brasileiro. 


Nova Serrana é uma cidade de galpões. Muitos galpões. É um lugar nada atraente para turismo. Até mesmo o povo local (pouco mais de 70 mil habitantes) procura refúgio em cidades vizinhas nos fins de semana e feriados. Nos outdoors, espalhados pelas ruas, eventualmente se encontram anúncios comerciais de empresas que sistematicamente praticam a pirataria. E há até mesmo uma revista na cidade, com altíssimo padrão gráfico, que anuncia produtos falsificados (pelo menos segundo especialistas que conheci). O curioso é que investigadores leem essa revista em busca dos criminosos. Parece piada, mas faz parte da ordinariamente extraordinária realidade brasileira. 


Então vamos ao primeiro ponto que desejo explorar. Quando uma marca famosa, digamos tênis X, é falsificada em larga escala, a empresa legítima que fabrica o tênis X contrata grandes escritórios de advocacia para operações de investigação, busca e apreensão (eventualmente com a ajuda de força policial) do produto falsificado. A primeira pergunta natural é: como esses escritórios conseguem informações sobre as empresas e indivíduos que estão falsificando X? A resposta mais usual e efetiva é: através de informantes.


Um informante típico (que, aliás, foi bastante lacônico comigo) é um sujeito que trabalha em uma transportadora. Isso porque as fábricas falsificadoras também precisam transportar seus produtos, como uma empresa comum. E, desse modo, o funcionário da transportadora tem acesso a informações privilegiadas, as quais ele vende para investigadores. É claro que há casos em que, após a apreensão dos produtos falsos, a fila de espera para a destruição daquela mercadoria pode ser muito longa. Afinal, faltam recursos para atear fogo contra o crime. E, nesse meio tempo, o mesmo funcionário pode faturar novamente, mas desta vez com a venda da mercadoria apreendida. Porém esta é outra história. 


No entanto, um dos problemas nessas operações reside em questões burocráticas que espelham a miserável situação de nossa sociedade. Se a busca é pela marca X, não faz diferença se a mesma fábrica de produtos ilegais confecciona também falsificações da marca Y. Essa marca Y ilegal não pode ser apreendida. Os mandados de busca expedidos por juízes (nomeados por concurso público e não por mérito) via de regra não contemplam essa possibilidade. Na verdade, muitos dos mandados sequer se aplicam aos equipamentos usados na confecção de produtos piratas, permitindo que diversos falsários retomem a produção ilegal logo após a apreensão.


Se a caça pela falsificação de X se torna muito intensa, então os falsários passam a privilegiar a marca Y. Isso diminui as ações policiais encomendadas pelo legítimo fabricante de X, pelo menos até o momento em que os legítimos donos da marca Y despertem para a necessidade de ações jurídicas e policiais em defesa de seu produto. E, assim, a pirataria de calçados se perpetua em uma espécie de corrente alternada, passando de X, para Y, para Z e voltando para X. 


É claro que comumente grandes escritórios de advocacia representam mais de uma marca de calçados famosos. No entanto, continua inexistindo ação judicial que se volte a toda e qualquer falsificação. E são muitas as marcas bem conhecidas. Mesmo que X representasse três ou quatro fabricantes (ao invés de um só, como no exemplo acima), Y e Z ainda corresponderiam a outras marcas. O entrave é burocrático e aparentemente insolúvel, pelo menos diante da mentalidade de juízes (muitos deles jovens e inexperientes).


Além disso, como os informantes dependem da continuidade da pirataria para a perpetuação de sua renda extra, eles praticamente se limitam a denunciar falsificadores de pequeno porte. Raramente denunciam empresas grandes, até porque um criminoso que fatura meio milhão de reais mensalmente costuma ser um elemento muito perigoso. Eu mesmo testemunhei o desespero de uma mulher que precisava do dinheiro, que ela ganharia no dia seguinte com a venda de produtos ilegais, para a realização de uma cirurgia. Vi os exames médicos dela. Não sou perito para confirmar a autenticidade daqueles documentos, mas o desespero dela e do esposo me pareceram muito reais, causando constrangimento entre praticamente todos os envolvidos na apreeensão. De qualquer modo, todo o estoque ilegal do humilde e ignorante casal foi apreendido e, portanto, eles nada ganhariam em qualquer curto intervalo de tempo.


Em suma, não há combate real ao crime da pirataria, no sentido de se buscar por uma solução definitiva para o problema. As forças envolvidas no combate aos descaminhos econômicos (polícias federal, militar e civil, justiça, advogados, governos, investigadores privados, empresas, entre outras) não são suficientemente articuladas. Além disso, os recursos legais são limitados e comumente sabotados por grandes nomes da política, ao passo que os recursos econômicos dos criminosos são virtualmente ilimitados, contando, inclusive, com uma sofisticada logística. E, para piorar a coisa, não existe polícia de fronteira na nossa terra. Brasileiros sequer sabem o que é polícia de fronteira. 


Tive contato com um funcionário da Receita Federal que é um verdadeiro e raro herói, tendo sido o principal responsável pelo desmantelamento de quadrilhas poderosas de criminosos da pirataria. Mas pessoas como ele são exceções. Este herói ignorado pelas massas é obrigado a sair disfarçado de seu local de trabalho todos os dias. Conheci até mesmo investigadores brasileiros treinados pelo Serviço Secreto dos EUA e que realizam elaborado trabalho de inteligência. Mas o fato é que a rede dos crimes da pirataria e dos descaminhos econômicos conta com o absurdo apoio de uma ignorante e massiva população que raramente vê algo de errado no desrespeito à propriedade intelectual. Quantos são aqueles que acham estupidez comprar um CD ou um DVD, ao invés de simplesmente baixar ilegalmente músicas e filmes da internet? Converse com seus amigos e descubra. Perceberá que a maioria pensa e age assim.


Pois bem. O que isso tem a ver com educação? 


Em minhas pesquisas de campo e entrevistas, conversei com muita gente. Uma das pessoas que entrevistei foi um ex(?)-criminoso, que vou chamar simplesmente de senhor A. Ele foi um dos peixes-grandes da pirataria, que autoridades policiais conseguiram autuar. De todas as pessoas com quem conversei, o senhor A foi o que mais enfaticamente considerou como piada ridícula a ideia de se combater a pirataria. Ele sabe que a nação toda recebe com muita naturalidade essa atividade. São muitos os brasileiros que não conseguem compreender a importância de conceitos como "ordem econômica" e, principalmente, "propriedade intelectual". Por isso existem tantos jovens e adultos que baixam ilegalmente músicas e filmes da internet, sem pagar um centavo sequer por esses produtos. E por isso, também, que se vê tantas campanhas contra o copyright em universidades, entre outras persistentes ingenuidades da cega vida acadêmica brasileira comumente partidária de mentalidades atrasadas e sob bandeiras vermelhas.


Por outro lado, também conversei com uma representante do consulado norte-americano no Brasil. Ela me disse algo que jamais vou esquecer: 


"O Brasil é um país que não tem tradição na produção de ideias. Por isso o povo brasileiro não consegue entender a pirataria como algo prejudicial ao bem comum."

Fiquei muito chateado ao ouvir uma estrangeira falando daquele jeito sobre o país em que vivo e trabalho. Ela não sabia que eu era professor universitário. Aquela simpática e bela representante do governo estadunidense só me via como um mero roteirista contratado por uma produtora de cinema do Rio de Janeiro. Mas o fato é que trabalho em uma instituição que deveria produzir ideias. No entanto, não é o que acontece. 


Concordo que há e houve cientistas importantes no Brasil, como Newton da Costa, Carlos Chagas, Cesar Lattes, Celso Grebogi, Maurício Peixoto, Newton Freire Maia, Jacob Palis, Milton Santos, Leopoldo Nachbin, Francisco Doria, Mario Schoenberg, entre tantos outros. Mas isso está muito longe de nos colocar no patamar das grandes nações produtoras de conhecimento relevante. Quando, anos atrás, participei de um congresso de lógicos e filósofos em Florença, na Itália, a anfitriã do evento, Maria Luisa Dalla-Chiara, citou Galileu e Da Vinci em seu discurso de abertura. E em meio àqueles milhares de profissionais da ciência de todos os cantos do planeta pensei "O que eu teria para dizer se este evento fosse realizado no Brasil?" 


A estrutura arcaica, estagnada, politicamente viciada, engessada, rançosa, medíocre, ingênua, mesquinha, partidária, iludida, acéfala e egoísta de nossas universidades federais, por exemplo, simplesmente não viabiliza um progresso científico que possa competir com nações como Estados Unidos, Alemanha, Reino Unido, França, Japão e outras (nações que, diga-se, têm acompanhado este blog). E esse exemplo se espalha pelo território nacional na forma de um conformismo generalizado. Afinal, estudantes de licenciaturas se formam em universidades públicas (que não produzem conhecimento realmente relevante de forma sistemática) ou em universidades privadas (que se afastam da pesquisa como o diabo foge da cruz). E tais estudantes se tornam professores que contaminam estudantes mais jovens com homeopáticas, mas efetivas, doses de mediocridade. Uma das consequências é que nossos jovens nas escolas (do primário à graduação) desconhecem por completo as obras dos cientistas e pesquisadores daqui. Na verdade eles são, em geral, ignorantes sobre a obra de qualquer cientista da história do mundo. E, além disso, muitos desprezam quem cultiva o conhecimento. Cheguei a ouvir risadas de alunos universitários, quando mencionei Copérnico em uma aula de cálculo diferencial e integral. E ouço com frequência pessoas dizendo que sou idealista, purista, sonhador. Mas quem me chama de idealista é simplesmente um tolo que desconhece por completo a realidade dos países que efetivamente têm tradição na produção de ideias. Você, leitor, já perguntou a um importante cientista do exterior o que ele pensa da ciência brasileira? Garanto que vale a pena conferir.


Criminosos que comercializam produtos falsos, ou produtos importados e autênticos que não passaram pelo fisco, comumente negociam armamentos e drogas ilegais. Não é raro encontrar, em um mesmo container desembarcado em um porto, produtos ilegais que variam de computadores e brinquedos chineses (feitos a base de lixo hospitalar reciclado) até cocaína e fuzis. 


Cheguei a conhecer camelôs nas ruas de São Paulo que se especializam em vendas de DVDs de filmes clássicos do cinema americano dos anos 1940, 1950 e 1960. Comprei de um desses camelôs (que me entregou até mesmo seu cartão de visitas) o filme Spartacus, de Stanley Kubrick. E garanto que a qualidade do DVD é idêntica a do filme em mídia legalizada, a qual eu já tinha. A pirataria brasileira é uma instituição extremamente organizada, envolvendo figuras influentes e muito conhecidas do poder público. Posso dizer, por exemplo, que a Presidência da República não está bem acompanhada. E o mesmo vale para o Governo de Minas Gerais.


Ou seja, a população que ignora o valor de uma ideia e baixa ilegalmente músicas e filmes, também contribui ativamente para os crimes do tráfico de armas e drogas, da pirataria e dos descaminhos econômicos. E esses são crimes que se perpetuam no seio de uma sociedade cuja educação remete à desoladora estagnação intelectual. Afinal, o Brasil não tem tradição na produção de ideias. Aliás, esta frase deveria estar espalhada em todas as instituições de ensino do país. Isso porque o primeiro passo para a cura é o reconhecimento da doença.


A tradição brasileira é a de cópia. Cópia ruim. Basta examinarmos a velha tradição dos chamados trabalhos escolares - aquelas atividades realizadas em casa e que devem resultar em um texto que faz parte do processo de avaliação. Quando um professor pede a seus alunos para realizarem um trabalho escolar em casa, a resposta dos discentes é quase invariavelmente a mesma: cópia. Não importa se o aluno é de uma série primária ou de um curso superior, o procedimento usual é simplesmente copiar algum texto já veiculado. E a maioria dos docentes aceita (até com elogios) esses "trabalhos", que nada mais são do que descarados plágios. Certa vez pedi a alunos meus, dos Cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática da UFPR, para realizarem um trabalho sobre aplicações da teoria das definições. E fui muito específico: não seriam aceitas cópias. Ainda assim, alguns deles traduziram para o português textos originalmente escritos em inglês, alegando que não se tratava de cópia, mas tradução. E, para piorar as coisas, usaram a ferramenta de tradução automática do google. Então podem imaginar o resultado final. Mas o mais incrível foi um aluno que copiou, palavra por palavra, trechos de um livro meu, alegando que era impossível escrever melhor do que eu. O espírito da mediocridade está fincado de maneira extremamente profunda na mente de nossos jovens e dos lamentáveis professores que os educam. E o resultado disso é um povo que não sabe o que é plágio e não tem a menor ideia do valor de uma ideia. Em geral, ser brasileiro é sinônimo de ser uma besta.


Se a educação brasileira mudasse significativamente para melhor, teríamos uma chance de prosperar enquanto nação socialmente mais justa, equilibrada, informada e, quem sabe, feliz. Mas enquanto mantivermos essa postura de cidadãos intelectualmente eunucos, continuaremos a aumentar nossa já enorme distância da civilização.


Entendo que a economia brasileira tem avançado, com um percentual maior da população se enquadrando como classe média ao longo das últimas décadas (apesar de nosso conceito de classe média ser radicalmente diferente daquele praticado nos países desenvolvidos). Mas um país não se define apenas por situação econômica. E esse crescimento econômico certamente não se sustenta sem investimentos sérios e permanentes em educação, ciência e tecnologia. Quem se impressiona com a atual colocação da economia brasileira no cenário mundial, ignora o fato de que a instabilidade econômica hoje vivida no mundo é apenas temporária. Se não pensarmos a longo prazo, agindo agora, nada poderemos garantir para nossos filhos e netos.


E de todas as áreas do conhecimento no Brasil, a matemática parece ser a mais estagnada (ao lado, talvez, da filosofia). À medida em que o conhecimento mundial se transforma, sempre se percebem pequenas atualizações em livros e apostilas de história, português, geografia, biologia, química, física e outras áreas, mesmo no vergonhoso Brasil. Mas praticamente nada se percebe em termos de avanço de material didático de matemática. A maioria absoluta dos autores e professores brasileiros agem como se nada de novo existisse em matemática nas últimas décadas. Pelo contrário, muitas ideias têm sido sistematicamente amputadas, como é o caso especial do ensino da fundamental teoria de conjuntos. 


Enquanto dermos aos nossos jovens o exemplo de que nada se cria, apenas se copia (rindo como hienas dessa piada de muito mau gosto), será realmente difícil combater certas atividades criminosas que representam perigo real ao nosso futuro. Afinal, um brinquedo feito a partir de lixo hospitalar e que se encontra na boca de uma criança é tão desalentador quanto uma nação cuja prosperidade depende das ideias dos outros e de uma mão de obra local que se mostra cada vez pior qualificada. 


Em função do que tenho aprendido com alguns leitores deste blog, planejo postar em breve textos que apontam caminhos práticos para o melhoramento de nosso sistema educacional como um todo. 


Enquanto isso, termino esta brevíssima discussão com uma pergunta ao leitor: O que você efetivamente fará para mudar esta realidade? O Brasil não é propriedade privada do Governo Federal, o qual tem demonstrado incrível incompetência para lidar com a educação. O Brasil é terra nossa. E investir na prosperidade de nossa terra não é idealismo ou um sonho utópico. É uma necessidade básica. Afinal, o Brasil é o nosso lar.


Para complementar esta postagem recomendo o excelente texto de Susan Blum sobre plágio. Além disso, indico dois vídeos musicados no YouTube. O primeiro é sobre pirataria e o segundo sobre educação. Basta clicar nas imagens para acessá-los.


quinta-feira, 5 de janeiro de 2012

A Matemática da Gramática da Língua Portuguesa

Recentemente foi criado o Curso de Letras na Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). Não são poucos os que questionam o que um curso de Letras estaria fazendo em uma universidade tecnológica. Lamentavelmente falta a muitos professores e alunos de ciências exatas e tecnológicas no Brasil a noção de que em um curso de Letras se estuda linguística, uma área do conhecimento que emprega sofisticadas técnicas de matemática, estatística, lógica e teoria da computação, entre outras. E falta a muitos alunos e professores de Letras em nosso país a percepção da fundamental importância das ciências exatas em linguística. A regra brasileira é que cada um é absolutamente ignorante e preconceituoso sobre a área de atuação do outro. Um curso como o de Letras na UTFPR seria uma ótima oportunidade para estimulantes parcerias entre profissionais de diferentes áreas. Mas, como o usual, nossas universidades mais parecem poliversidades, nas quais cada um luta sozinho pelo seu pão mofado e poucos cogitam sobre projetos verdadeiramente interdisciplinares. Posso afirmar isso porque testemunhei de perto o assustador analfabetismo científico na UTFPR, especialmente no Curso de Letras. E o mesmo vale para inúmeras outras instituições de ensino superior que visitei. O pior é que essa mentalidade se reflete na formação de futuros professores de matemática e português do ensino médio, o foco deste texto.


Desde os anos 1950, devido a estudos de Noam Chomsky e colaboradores, sabe-se da existência de uma elaborada estrutura matemática nas gramáticas de praticamente todas as linguagens naturais humanas, como português, inglês, francês, entre outras. Desde então esses estudos tiveram significativos avanços no desenvolvimento de programas de computador que fazem traduções, e que identificam categorias gramaticais até mesmo de palavras ambíguas e de uso raro, na elaboração de modelos matemáticos para compreender o comportamento humano e de outras espécies animais, e no desenvolvimento de linguagens computacionais e softwares compiladores. Propomos aqui as bases para uma adaptação das ideias de Chomsky para o ensino médio brasileiro. O pré-requisito matemático é a teoria de conjuntos.


O vocabulário léxico de uma gramática da estrutura das frases (que abreviadamente chamamos de gramática) é o conjunto L formado por: 


(i) todas as palavras dicionarizadas (pedra, livro, perder etc) e 


(ii) nomes próprios (João, Curitiba etc).


O vocabulário não léxico de uma gramática é um conjunto que denotamos por N e cujos elementos são:


(i) todas as categorias gramaticais usuais (ADJETIVO, SUBSTANTIVO, VERBO, FRASE SUBSTANTIVA etc.) e 


(ii) um elemento que chamamos de símbolo inicial e denotamos por I.


Os conjuntos L e N são disjuntos, ou seja, eles não têm elemento algum em comum. Como consequência disso o léxico "adjetivo" não pode ser confundido com a categoria gramatical ADJETIVO. Comentário análogo vale para todas as demais palavras dicionarizadas (ou certas sequências de palavras) que remetem a categorias gramaticais. A união de L com N resulta em um conjunto V conhecido como o vocabulário da gramática. 


É interessante usar abreviações para as categorias gramaticais. Por exemplo, ADJETIVO pode ser abreviado por ADJ. Já ARTIGO DEFINIDO, SUBSTANTIVO COMUM, VERBO, SUBSTANTIVO PRÓPRIO, FRASE ADJETIVA, FRASE VERBAL e FRASE SUBSTANTIVA podem ser abreviados, respectivamente, por AD, SC, VE, SP, FA, FV e FS.


Um string é uma sequência finita de elementos do vocabulário V. Podemos (quando for necessário) separar os elementos de um string pelo símbolo auxiliar +. Alguns exemplos de strings são os seguintes: 


(i) FA+ADJ+local+novidade+catar+SC+quem


(ii) acredito+que+hoje+consigo+entender+gramática


Intuitivamente falando, um dos objetivos do estudo de gramática é definir critérios claros que permitam reconhecer um string que potencialmente possa ser compreendido, a menos de aspectos semânticos e pragmáticos da linguagem. Ou seja, não estamos discutindo aqui sobre semântica. Por exemplo, se alguém introduz um léxico novo no português (digamos, "catepondro") e usa este termo no string "o catepondro é azul", uma gramática deve ajudar a determinar que "catepondro" é um SUBSTANTIVO, ainda que não se saiba o significado deste novo léxico. Quanto à dimensão pragmática das linguagens naturais, esta também é abstraída aqui.


Existem infinitos strings para um mesmo vocabulário V, ainda que esse vocabulário seja um conjunto finito. Isso porque não há limite para o comprimento de um string. Vale observar que textos em geral, sejam livros ou simples panfletos, são strings léxicos (usam somente vocabulário léxico). 


O comprimento de um string é o número de elementos que ele tem. Nos dois exemplos de strings que apresentamos acima, o primeiro tem comprimento 7 e o segundo tem comprimento 6. O string de menor comprimento é o conjunto vazio. Seu comprimento é 0 (zero).


Para refrescar a memória do leitor, um par ordenado é um conjunto (p,q) tal que a ordem dos elementos p e q é relevante. Isso significa que se p é diferente de q então (p,q) é diferente de (q,p) e vice versa.


Um conceito fundamental no estudo de gramáticas de Chomsky é o de produção. Toda produção em uma gramática é um par ordenado (p,q) tal que p e q são strings e p jamais é o string vazio. Mas nem todo par ordenado (p,q) de strings é uma produção, mesmo que satisfaça à condição de que p seja não-vazio. Para definirmos uma gramática, precisamos estabelecer quais pares ordenados (p,q) de strings são produções. Para isso, precisamos definir o conjunto P das produções da gramática. A definição de P é crítica e depende da linguagem que queremos associar à nossa gramática.


Em certas situações é mais interessante denotar uma produção (p,q) como p>q, que se lê "p produz q". Usualmente se emprega uma flecha no lugar de >. Mas este blog tem sérias limitações em termos de fontes permitidas. No entanto, na imagem em anexo que exemplifica a árvore sintática da frase "João chutou a bola azul" empregamos a usual notação de flechas, no lugar do símbolo >.


Se q é uma palavra do dicionário ou um nome próprio, então p>q é chamada de produção léxica.


Consideremos, para fins de ilustração, uma gramática muito simples na qual o vocabulário não-léxico N seja definido como:


N = {I, AD, SC, VE, SP, FA, FV, FS, ADJ}


Definimos também L como o conjunto cujos elementos são: 


(i) as palavras de um dado dicionário de língua portuguesa (como o excelente Houaiss), com suas correspondentes classificações gramaticais e 


(ii) nomes próprios.


O conjunto P das produções se define da seguinte maneira: P tem todas as produções léxicas que podem ser obtidas a partir do dicionário (ADJ>azul, VE>andar etc.), bem como as seguintes produções não-léxicas:


(i) I>FV+FS, (ii) FV>FS+VE, (iii) FS>FS+FA, (iv) FS>FA+SC, (v) FA>ADJ, (vi) FA>AD, (vii) FS>SP.


Vale notar que as produções léxicas a>b, tais que b é uma palavra dicionarizada, estão claramente explicitadas no dicionário Houaiss de língua portuguesa. Se, por exemplo, procurarmos pelo léxico "andar", descobriremos que uma das acepções desta palavra a classifica como VERBO. Por isso podemos incluir a produção VE>andar no conjunto P. 


Em nosso exemplo elementar de gramática, o símbolo inicial I, de acordo com o item (i) logo acima, produz somente um string de comprimento 2, a saber, Frase Verbal seguida de Frase Substantiva. Já de acordo com o item (ii), a Frase Verbal produz outro string de comprimento 2: Frase Substantiva seguida de Verbo. Vale observar que Frase Adjetiva pode produzir tanto Adjetivo quanto Artigo Definido (itens (v) e (vi)), sendo ambos strings de comprimento 1. Fazemos a leitura das demais produções de maneira análoga.


Agora podemos dar um exemplo de construção de árvore gramatical a partir de nossa gramática simplificada.
Clique na imagem para ampliá-la.
As produções permitem (começando com o símbolo inicial I e culminando com os elementos do vocabulário léxico) desvendar uma estrutura gramatical do string "João chutou a bola azul". Obviamente estamos omitindo o sinal + para a separação dos elementos de nosso string exemplificador.


É claro que nosso exemplo é exageradamente simplificado, pois não leva em conta a existência de pronomes, preposições, advérbios e outras categorias gramaticais usuais e importantes. Nosso propósito aqui é uma mera ilustração para propormos um projeto que vai muito além de uma mera postagem em um blog.


Podemos agora definir o que é a linguagem gerada a partir de uma gramática.


Se g e d são strings, então dizemos que o string gbd é diretamente derivável do string gad (e escrevemos isso como gad=>gbd), se a produzir b; ou seja, se a>b. Vale observar que o símbolo => corresponde a uma flecha com dois traços horizontais. 


Também dizemos que o string g(m) (onde m é um inteiro positivo) é derivável do string g(1) (e escrevemos isso como g(1)=>*g(m)) se existir uma sequência de strings g(2), g(3), g(4), ..., g(m-1), tal que g(2) é diretamente derivável de g(1), g(3) é diretamente derivável de g(2) e assim por diante, até chegarmos a g(m) diretamente derivável de g(m-1).


Assim, a linguagem gerada por uma gramática é o conjunto de todos os strings do vocabulário léxico dessa gramática que são deriváveis do símbolo inicial I.


Portanto, em nosso exemplo anterior, o string "João chutou a bola azul" é um dos elementos da linguagem gerada pela gramática simplificada que propomos a título de ilustração.


Uma característica notável das gramáticas de Chomsky é a recursividade. Intuitivamente falando, a recursividade permite gerar infinitos strings em uma linguagem, a partir de um vocabulário finito. Basta ver, por exemplo, a produção do item (iii) logo acima. Se a partir de FS podemos derivar FS+FA, isso significa que podemos novamente aplicar a produção FS>FS+FA para derivar FS+FA+FA a partir de FS. Repetindo o processo, podemos derivar FS+FA+FA+FA a partir de FS e assim por diante. Por isso não há limites sobre o que pode ser escrito ou falado em português, mesmo com uma quantia finita de léxicos, nomes próprios e produções. 


Lamentavelmente há limites do intelecto humano para lidar com a recursividade das linguagens naturais, principalmente quando se aplica a recursividade sobre strings envolvendo uma adaptação dos quantificadores lógicos "para todo" e "existe". Para detalhes ver a postagem O Estudante Brilhante.


Se flexibilizarmos nossa definição de forma adequada, levando em conta as dimensões semântica e pragmática das linguagens, podemos afirmar que cada pessoa possui sua própria gramática da língua portuguesa. Isso porque cada indivíduo tem um conhecimento particular de vocabulário. Afinal, termos que uma pessoa conhece e emprega em seus discursos diários podem ser desconhecidos por outras. Além disso, considerando que o vocabulário da língua portuguesa está em constante mutação (incluindo e excluindo léxicos ao longo dos anos), podemos seguramente afirmar que a gramática acompanha tais mudanças. Ou seja, não existe a gramática do português. São muitas as gramáticas de nossa língua.


Mais importante do que o domínio de conteúdos matemáticos específicos é a alfabetização em matemática. Alunos têm que ser capazes de ler textos elementares de matemática. As ferramentas que usamos aqui são apenas noções muito básicas sobre conjuntos. Ainda assim, conseguimos mostrar de maneira muito breve como utilizar a teoria de conjuntos para compreender um pouco a respeito da matemática inerente aos nossos discursos do dia-a-dia e às nossas leituras (sejam de romances ou placas de trânsito). Se estamos conversando com um amigo, em português, inglês ou télugo, estamos implicitamente usando muita matemática. Um simples "bom dia" se trata de uma sofisticada (ainda que nem sempre consciente) aplicação matemática. O que Chomsky fez foi revelar parte desta matemática, a qual hoje é sabida como sendo algo muito mais elaborado.


Há professores de português que defendem o estudo de gramática nas escolas com o propósito de redigir textos. O string "azul João bola chutou a" não é imediatamente compreensível para as pessoas como uma frase em português. Se um indivíduo ordena essas palavras para formar o string "João chutou a bola azul", ele está inconscientemente utilizando uma estrutura matemática que é inerente a todos nós. E essa estrutura matemática é a mesma que viabiliza crianças a aprenderem a falar e escrever. Outras espécies animais, a princípio, não têm a sorte de contar com o acesso a tal estrutura lógica. Adaptar as gramáticas de Chomsky aos nossos ensinos básicos é a promoção de uma visão mais universal e atualizada de mundo. Conhecer matemática é conhecer a nós mesmos. Se estamos interessados em preparar jovens para uma vida universitária e não "poliversitária", precisamos ter em mente uma unidade de conhecimentos. A interdisciplinaridade é um caminho muito razoável. E desconheço motivos sensatos para não transpor as universais gramáticas de Chomsky para o ensino médio.


Um dos aspectos mais interessantes das gramáticas de Chomsky é um resultado no qual se prova que, em geral, uma linguagem admite infinitas gramáticas que a gerem. Ou seja, sob este ponto de vista, novamente não faz sentido falar na gramática da língua portuguesa (com artigo definido). Existem infinitas gramáticas para a linguagem que empregamos no dia-a-dia. Se queremos ensinar gramática para jovens pré-universitários, devemos estabelecer método. Se não explicitarmos quais são as produções a serem adotadas na gramática de nossa linguagem, continuaremos a limitar nossa capacidade de identificação de estrutura gramatical a meras opiniões, como frequentemente acontece em nossas salas de aula.


Os físicos perceberam há séculos que a matemática é uma poderosa ferramenta epistemológica e metodológica para a ciência. O mesmo vale para químicos, geólogos, advogados, médicos, administradores, filósofos, economistas, sociólogos, engenheiros, arquitetos, biólogos e tantos outros profissionais. E há mais de meio século os linguistas também se dão conta disso. É hora de atualizarmos nosso ensino médio para podermos, pelo menos, acompanhar o mundo que nos cerca.