Finitismo, Ultrafinitismo e Racionalidade

 

Este grupo de alunos, em parceria com a minha esposa, me convenceram a retomar o blog M&S. Então lá vamos nós, com uma postagem por mês. Esta é a primeira. Have fun!

As linguagens humanas surgiram por necessidade de sobrevivência. Devemos viver, custe o que custar. Qualquer sobrevivencialista sabe que é mais fácil caçar, coletar, buscar água, construir abrigos e armas, fazer fogo e confeccionar roupas, armadilhas e redes de pesca se houver um grupo grande e coordenado trabalhando pela manutenção da vida de todos. Sozinhos somos frágeis. Em grupos organizados nos sentimos fortes. O grupo tem maiores chances de funcionar se houver uma comunicação minimamente eficiente entre todos, para informar sobre o ambiente e o estado de coisas, e distribuir tarefas e demais responsabilidades. Assim nasceram as linguagens: uma poderosa e prática ferramenta de sobrevivência de uma espécie com aptidão para veicular ideias sofisticadas. Mas... em um dado momento, algum ancestral nosso, menos ocupado com as necessidades imediatas da tribo e de si mesmo, encontrou outra aplicação fascinante das linguagens humanas: a filosofia. Foi o primeiro humano a questionar se não existe algo importante além de comida, água, abrigo, segurança e fogo. Desde então a vida se tornou bem mais difícil do que apenas sobreviver. Passamos a filosofar. A vida primitiva é brutal. Mas filosofar... este sim é um desafio doloroso.

O ato de filosofar, pensar criticamente ou especular sobre o mundo e nossa posição nele (estou usando uma acepção mais ampla do que a usual para a palavra "filosofar"), nos trouxe como subprodutos a religião, a mitologia, o misticismo, a ciência, a tecnologia, a arte, a história, a poesia, a matemática. Desde então nunca paramos de pensar e especular, nem mesmo quando usamos uma conveniente tecnologia com o inconveniente nome de Inteligência Artificial, a qual não revela o mínimo sinal de inteligência. Isso porque nenhuma Inteligência Artificial é capaz de pensar criticamente. Nenhuma Inteligência Artificial é capaz de filosofar. A filosofia ainda é uma qualidade apenas humana. Máquinas não são capazes de pensar simplesmente porque ainda não sabemos como opera o pensamento. Apenas pensamos, sem sabermos como.

Faz parte da natureza humana a busca por respostas. Mas o ato de filosofar é muito mais do que responder de onde viemos, o que somos, para onde iremos e qual é o sentido da vida. O ato de filosofar é expor as fragilidades das respostas, sejam quais forem. O ato de filosofar é expor as fragilidades até mesmo da própria filosofia. Ao longo de milênios o ato de filosofar se revelou e estabeleceu como uma sofisticada ferramenta de sobrevivência, evidenciando o primeiro filósofo como o primeiro gênio da humanidade: alguém que concebeu algo útil e essencial à sobrevivência mas que transcende as ferramentas primitivas de sobrevivência. Nunca saberemos quem foi o primeiro filósofo. Mas isso não importa. Podemos estender e estabilizar as nossas vidas e as vidas de gerações futuras se caçarmos, pescarmos, plantarmos, colhermos, armazenarmos e filosofarmos. A filosofia é um ato brutal contra certezas em um mundo repleto de incertezas, de inseguranças, de medos. A filosofia é o tapa na cara de nossas percepções ingênuas de mundo. Quem nunca foi espancado pela filosofia precisa começar o quanto antes. Faz bem.

Neste cenário de milênios, um dos exemplos mais radicais do alcance da filosofia é a matemática. Religião e misticismo comumente se acomodaram em certezas sem o exercício da investigação. Matemática, no entanto, surgiu de uma percepção filosófica de que podem sim existir padrões na natureza, desde a órbita da Lua até a queda de maçãs. Padrões oferecem conforto, claro. Se há padrões, podemos prever o dia de amanhã, o ano seguinte e depois. Neste processo de nascimento da matemática, o estudo dos supostos padrões naturais era fortemente vinculado a fenômenos físicos mensuráveis direta ou indiretamente através de inúmeras técnicas engenhosas criadas para entendermos melhor o mundo onde vivemos. Mas, com o tempo, fomos além, muito além. Fomos insanamente além! Concebemos ideias que jamais poderiam corresponder a coisa alguma do mundo real. E há abundantes elementos de argumentação para justificar a tese filosófica de que o conceito mais extraordinário e radical da matemática seja o infinito. Talvez a consequência mais extraordinária do ato de filosofar seja a proposta de que, em algum nível não antecipado ou percebido anteriormente, que transcenda o mundo físico, exista de alguma forma o infinito. Religião e misticismo também abordam o infinito, mas de maneira um tanto especulativa, não qualificada, comumente sustentada pela autoridade da revelação sem evidências. Afinal, no mundo real nada parece ser infinito. Mas, para o filósofo, para o matemático, pode sim existir o infinito, de alguma forma, de algum modo. E, ironicamente, essa perspectiva pode ser colocada em xeque pelo próprio filósofo: em um mundo de finitudes, como  lidar com o infinito? Neste texto são tratados brevemente possíveis caminhos para responder a essa questão.

Antes mesmo de aprendermos a contar, já usávamos alguns rudimentos de matemática. Foi este fato que pemitiu ao primeiro filósofo perceber padrões  na natureza: observando até mesmo padrões em comportamentos humanos. O exemplo clássico é o do pastor que acompanhava o tamanho de seu rebanho estabelecendo uma correspondência biunívoca entre ovelhas de um rebanho e pedrinhas de um saco. Cada ovelha correspondia a uma única pedrinha, cada pedrinha correspondia a uma única ovelha. É uma forma de contar ovelhas (e pedrinhas, claro!) sem dependência de qualquer sistema numérico. 

Foi exatamente esta ideia do pastor que Georg Cantor empregou para lidar com infinitudes, no final do século 19. Cantor foi o primeiro matemático a propor seriamente o infinito na matemática. Se é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre dois conjuntos infinitos, é porque ambos têm o mesmo "tamanho". Se for impossível estabelecer tal relação é porque um dos conjuntos é maior do que o outro, em um sentido preciso. Neste contexto existem infinitos conjuntos infinitos, com infinitos possíveis "tamanhos", pelo menos na proposta de Cantor. 

Tais ideias deram origem a diversas teorias formais de conjuntos. A mais conhecida é chamada de ZFC. Graças a ZFC foi possível responder a inúmeras questões profundas de análise matemática, teoria da medida, topologia geral, entre outros ramos da matemática que eclodiram nas últimas doze ou treze décadas. Porém, o infinito também causou espanto e polêmica mesmo entre os mais experientes matemáticos. Graças à maneira como o infinito foi tratado por matemáticos, certos resultados contraintuitivos emergiram. Alguns dos mais famosos são os seguintes: 1) todo conjunto pode ser bem ordenado; 2) uma esfera pode ser quebrada em cinco pedaços e, sem qualquer deformação, tais pedaços podem ser reunidos de modo a obtermos duas esferas do mesmo tamanho da original; 3) o intervalo dos números reais entre zero e um tem o mesmo tamanho do conjunto de todos os números reais; 4) uma superfície pode ter área infinita mas, quando rotacionada, produz um sólido de revolução com volume finito. 

O infinito da matemática de hoje responde a questões levantadas por gregos dois milênios atrás, como os "paradoxos" de Zenão e de Aristóteles. O infinito trouxe respostas, mas também perguntas ainda em aberto. O infinito ainda é tema de pesquisa, principalmente entre aqueles que trabalham com teoria de modelos, um ramo no estudo de teorias formais de conjuntos. 

Mas - e aqui está o tema central desta postagem - matemática não trilha por caminhos previsíveis. Desde os anos 1950 até os dias de hoje há um grupo não coordenado de proeminentes matemáticos que defende uma ideia um tanto surpreendente: não existe o infinito! 

Para certos matemáticos, mesmo nos dias de hoje, o infinito é tão somente um potencial. Não é algo construtível. Pior, não é algo sequer contemplável de um ponto de vista intuitivo, independentemente do que se entenda por intuição. Em poucas palavras, esta é a proposta do finitismo. 

Em ZFC, por exemplo, há um axioma chamado "postulado do infinito". Resumidamente, este axioma garante a existência de pelo menos um conjunto infinito. Em parceria com outros postulados de ZFC é possível provar a existência de infinitos conjuntos infinitos, como pretendia Cantor. No entanto, o postulado do infinito é independente dos demais axiomas de ZFC. Sem o postulado do infinito é impossível garantir a existência de conjuntos infinitos. Abian e LaMacchia deixaram isso muito claro em um artigo de quatro páginas onde exibem um modelo parcial de ZFC no qual todos os axiomas de ZFC são verdadeiros, exceto o postulado do infinito. Pior: este modelo parcial de Abian e LaMacchia é inteiramente baseado em noções elementares de aritmética. Conjuntos, naquele modelo, são somas de potências de 2. Por exemplo, 3 pertence a 8 porque 8 é igual a 2 elevado a 3. Outro exemplo, 3 e 0 pertencem a 9 porque 9 é igual à soma entre 2 elevado a 3 e 2 elevado a 0. 

Não tenho a pretensão de colocar nesta postagem todas as motivações do finitismo, as quais já foram extensivamente expostas na literatura. O leitor interessado que procure informações mais detalhadas! Mas escrevo este texto por dois motivos: 1) informar; 2) provocar o leitor com uma perspectiva intrigante das relações entre matemática e filosofia da matemática ao final da postagem. 

O modelo parcial de Abian e LaMacchia me parece pouco conhecido entre matemáticos, incluindo aqueles que trabalham com lógica e fundamentos da matemática. Praticamente nenhum livro importante o cita. Nem mesmo filósofos da matemática citam tal trabalho. No entanto, me parece uma referência essencial tanto para os defensores do finitismo quanto para os seus críticos e simples curiosos. Isso porque grande parte dos argumentos apresentados por finitistas orbita a aritmética. Segundo eles, números naturais existem, são matematicamente legítimos. O que não existe e nem pode existir é o conjunto de todos os números naturais. Em ZFC o conjunto dos números naturais existe por consequência dos axiomas de ZFC. Mas finitistas tratam do tema destacando diferenças fundamentais entre a racionalidade alcançada por axiomas e regras de inferência e a racionalidade alcançada por uma forma de intuição que transcenda métodos formais. Logo, a noção de existência admite mais de uma acepção entre finitistas, os quais foram fortemente influenciados pela filosofia intuicionista de Brouwer, surgida na primeira metade do século 20. 

O matemático russo Alexander Esenin-Volpin foi muito além, propondo o ultrafinitismo. De acordo com o ultrafinitismo certos números naturais não podem existir por conta de limitações computacionais, físicas e intuitivas. Considere, por exemplo, a função piso definida sobre os números reais. A função piso de um número real r é definida como o maior número inteiro menor ou igual a r. Por exemplo, se pi é a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro, então a função piso de pi é igual a 3. Isso porque 3 é o maior inteiro menor ou igual a 3,14, valor aproximado de pi. No entanto, quanto é a função piso da exponencial da exponencial da exponencial de 79? De acordo com ZFC, este número natural existe. Mas... ninguém consegue calcular o piso da exponencial da exponencial da exponencial de 79. Ninguém! Mesmo que ocorram avanços computacionais significativos nas próximas décadas ou séculos, os ultrafinitistas ainda serão capazes de obter exemplos da potencialidade infinita dos números naturais (ou inteiros) para defender a tese de que há limites práticos no cálculo de todo e qualquer número natural, pelo menos sob a ótica do que hoje se entende por matemática. 

Ou seja, para os ultrafinitistas, não apenas o conjunto dos números naturais carece de legitimidade, mas até mesmo a existência de todo e qualquer número natural é colocada em xeque. Obviamente, na matemática usual de ZFC, se n é um número natural, então n+1 existe e é um número natural. Obviamente os ultrafinitistas não são capazes de explicitar qual número natural n existe de modo que n+1 inexista ou seja 0. Mas não é esta a questão do ultrafinitismo. A questão aqui é apenas filosófica. E é neste momento que convido o leitor a uma silenciosa reflexão sobre o que está acontendo neste preciso momento da saga da matemática e da filosofia e da sobrevivência da espécie humana.

Há um destacado lógico brasileiro que se referiu ao finitismo e ao ultrafinitismo como algo equivalente a um terraplanismo na matemática. Não citarei o nome dele devido ao caráter informal da conversa onde essa comparação ocorreu. No entanto, entre os defensores dessas ideias e até mesmo entre simples apreciadores da literatura há a seguinte postura: filosofia da matemática não é matemática. Graças a isso até mesmo matemáticos profissionais frequentemente se destacam mais como filósofos da matemática do que como matemáticos.

O fato de um ultrafinitista não ser capaz de exibir o maior número natural possível não desmerece necessariamente a proposta. Isso porque o ultrafinitista apela apenas a uma racionalidade que não coincide com as formas de raciocínio expressas por métodos formais, como aquelas encontradas em ZFC. A racionalidade do filósofo da matemática não coincide necessariamente com a racionalidade do matemático. O filósofo da matemática, em certos casos, abraça uma suposta racionalidade com a qual o matemático tem pouca ou nenhuma familiaridade, além das formas usuais de racionalidade expressas formalmente por matemáticos. Logo, a comparação com terraplanismo não é, em princípio, cabível. Com efeito, quem crê na Terra plana frequentemente tenta justificar a sua posição empregando formas usuais, porém corrompidas, de racionalidade e fracassa pór conta de ignorância e incompetência intelectual. Talvez seja mais cabível uma comparação com misticismo e/ou espiritualidade. Um exemplo que ajuda a ilustrar a analogia é o caso do escritor e letrista Paulo Coelho, o qual afirmou inúmeras vezes que misticismo e experiências espirituais transcendem a lógica e a racionalidade. Uma vez que não há consenso popular, acadêmico, científico ou filosófico para o conceito de racionalidade, abre-se aqui um enorme espaço para discussões sobre filosofia da matemática de difícil compreensão para matemáticos. Difícil refutar ou concordar com aquilo que resiste a uma compreensão. Uma diferença óbvia entre filósofos e místicos é que os primeiros publicam em periódicos especializados e indexados. Além disso, são consideravelmente mais eloquentes. Uma questão que vale a pena ser investigada, no entanto, é o real impacto desse tipo de filosofia para a sobrevivência da espécie humana. E, se isso não for importante, qual é a justificativa para a sua prática?

Finitismo e ultrafinitismo, pelo menos até o presente, tem pouco a ver com abordagens atípicas para os fundamentos da matemática. Muito fácil perceber isso se lembrarmos de uma das fontes de inspiração de seus criadores e defensores: o intuicionismo de Brouwer. Sistemas formais inspirados no intuicionismo deram origem a muitas aplicações em análise matemática (como ocorre em análise infinitesimal suave) e até mesmo em física (como testemunhamos nos trabalhos de Jeremy Butterfield e Chris Isham sobre teoria de topos aplicada aos fundamentos da mecânica quântica). A principal dificuldade para reconhecer finitismo e ultrafinitismo como matemática é a falta de resposta a questões básicas como, por exemplo, o propósito disso.

O que isso tudo nos diz, quando avaliamos parte da evolução da humanidade desde os primórdios da espécie humana, numa época em que linguagens serviam apenas para alertar sobre comida boa e comida ruim? 

Após muito esforço e muita reflexão ao longo de milênios, matemáticos se livraram dos grilhões do mundo real. Cantor foi um dos principais revolucionários responsáveis por essa brutal mudança de paradigma. Matemática deixou de ser tão somente um instrumento de modelagem do mundo físico e alcançou a posição de um ramo independente do conhecimento, graças principalmente ao conceito de infinito. O infinito não parece existir no mundo real. Os infinitos tipos de infinitos nunca foram detectados no mundo sensível, mas apenas concebidos por linguagens formais da matemática sem contato algum com maçãs, portas, rochas ou estrelas. O infinito transcendeu as próprias estrelas que jamais alcançamos na prática. No entanto, o abstrato e inalcançável infinito ajudou a fundamentar o cálculo diferencial e integral, a teoria de distribuições, a teoria de probabilidades, a geometria diferencial, a análise funcional, entre tantas outras áreas com enorme impacto social e tecnológico.

Após novos esforços e novas reflexões, a filosofia da matemática se desprendeu (pelo menos parcialmente)  da matemática, colocando a si mesma como uma racionalidade que transcende as limitações impostas pela própria matemática. 

Neste contexto, a filosofia da matemática, em particular finitistas e ultrafinitistas, coloca em xeque o afastamento da matemática do mundo real: o infinito não é real, o infinito não é computável, o infinito não existe, e números naturais... bem... também têm o seu limite. 

O filósofo questionou o filósofo. Mas... ambos estão com a barriga cheia, graças aos esforços milenares da grande tribo humana. Quem sabe, a comunidade acadêmica esteja se sentindo segura demais. Nada de mal pode acontecer a partir de agora. A sobrevivência está garantida.