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Em breve...

Como fazer matemática sem equações

Esta é uma postagem extraordinária feita a pedido de alunos meus da última turma que tive antes da minha aposentadoria na UFPR. José Silva, Nicolas Scholze, Mateus Madeira, Luís Nadalin, Igor Schemberg, João Almeida, Bruno Bonassoli, Juliano Rodrigues, Fernando Lima Filho, Tiago Galu, Yanko Soares e Cezar Glislere juntaram esforços e me deram um livro como presente de despedida: o romance Nada Mais Será Como Antes, de Miguel Nicolelis (segunda edição). Além do livro, minha esposa e eu ganhamos um fantástico jantar com a companhia de vários deles. Em troca, esses alunos pediram para eu escrever e publicar uma nova postagem neste blog, o qual encerrou as suas atividades há algum tempo. Pois bem, aqui está.

Escolhi como tema um assunto relacionado às aulas de fundamentos da matemática que tive a oportunidade de lecionar para esses alunos. A questão que proponho responder é a seguinte: como fazer matemática sem jamais usar equações?  

Antes de responder a essa pergunta, alguns conceitos precisam ser qualificados.

1) O que é matemática? No contexto aqui proposto matemática se refere aos ramos do conhecimento que lidam com sistemas formais tipicamente encontrados em cursos e livros de graduação e pós-graduação em matemática, física, engenharias e estatística: cálculo diferencial e integral, análise matemática, equações diferenciais, álgebra, álgebra linear, análise funcional, teoria da medida, probabilidades, análise numérica, teoria de distribuições, teoria dos números, entre outros. Ou seja, se alguém escreve uma equação diferencial como dy/dx = 5y, isso é matemática, desde que os conceitos envolvidos sejam devidamente qualificados de uma forma usual. 

2) O que é uma equação? Há várias maneiras não equivalentes entre si para conceituar equações. Mas, nesta postagem, adoto uma única delas, a qual é a mais comum. Uma equação é uma fórmula x = y, onde x e y são termos e = é a igualdade na teoria de conjuntos ZF. Ou seja, uma equação é um string `termo igual a termo'. Uma das grandes vantagens de adotar essa concepção é o fato de que ZF é expressiva o bastante para lidar com matemática no sentido do item 1 acima. Outra vantagem é o fato de ZF ser uma teoria de fundamentos muito conhecida no mundo todo. Na verdade, é a mais popular de todas as teorias formais de conjuntos. Detalhes podem ser encontrados em meu texto Matemática Pandêmica. 

A combinação dos itens 1 e 2 acima nos garante uma visão clara a respeito do papel de equações na prática matemática. Intuitivamente falando, equações são certas afirmações feitas a respeito de termos. Cito um exemplo bem conhecido. Um dos axiomas de ZF garante a existência de pelo menos um conjunto vazio, ou seja, um certo termo x tal que nenhum termo y pertence a x. Este é o Axioma do Vazio! Observar que o Axioma do Vazio não usa o conceito de igualdade. Outro axioma de ZF estabelece o seguinte: se x e y são termos que compartilham os mesmos elementos (todos os termos z que pertencem a x, também pertencem a y; e todos os termos z que pertencem a y, também pertencem a x), então x = y. Este é o Axioma da Extensionalidade, o qual emprega a igualdade. A partir desses dois axiomas (Vazio e Extensionalidade), temos uma consequência: o conjunto vazio é único. Nenhum axioma de ZF afirma que o conjunto vazio é único. Não há necessidade dessa afirmação. Tal afirmação é um teorema, é uma consequência de axiomas. É um teorema cuja demonstração é feita a partir dos dois axiomas mencionados, Vazio e Extensionalidade. Este é o papel de axiomas em qualquer teoria formal: um ponto de partida para a demonstração de teoremas. Pois bem, foi a igualdade usada no Axioma da Extensionalidade que permitiu a demonstração da unicidade do conjunto vazio. A noção de unicidade, neste contexto, depende da noção de igualdade: ser um conjunto vazio único significa não existir outro conjunto vazio. Ser outro é equivalente à negação de ser igual. Ou seja, igualdade confere expressividade. Este é um dos papeis da igualdade em ZF e, consequentemente, em matemática.

Consideremos agora um exemplo mais sofisticado: a equação diferencial já mencionada, dy/dx = 5y (termo dy/dx é igual ao termo 5y). Se y for uma função real tal que, para cada x do domínio de y, existe um único número real y(x) (a imagem de x por y), então dy/dx usualmente corresponde à derivada de y em relação a x. O problema, no entanto, é que nem toda função real y admite derivada. Pior, mesmo que y admita derivada em relação a x, nem sempre essa derivada é igual a 5 vezes a função y, como indica a equação. Na prática isso significa que cabe ao matemático identificar todas as possíveis funções reais y tais que dy/dx = 5y. Essa identificação de funções se chama "resolver a equação diferencial dada". Ou seja, resolver a equação diferencial exemplificada é equivalente a exibir todas as funções reais y tais que a equação em tela seja teorema. Em outras palavras, quando o matemático afirma dy/dx = 5y, ele bem sabe que nem todas as funções y garantem tal equação como um teorema. Resolver a equação é simplesmente identificar quais funções y garantem que, de fato, suas derivadas são iguais a 5 vezes elas mesmas. Mas o que isso tem a ver com a teoria de conjuntos ZF?

Números reais, em ZF, são casos particulares de conjuntos. Funções, em ZF, são casos particulares de conjuntos. Derivada de uma função, se existir, é um caso particular de conjunto. O número real 5 é um caso particular de conjunto. A multiplicação entre 5 e y, no lado direito da igualdade acima, é um caso particular de conjunto. E conjuntos, por sua vez, são os termos de ZF. Logo, resolver a equação diferencial dada é equivalente a exibir o conjunto y (uma função real) tal que a igualdade acima seja um teorema. Novamente, todos esses conceitos são detalhados neste material aqui. 

Em outras palavras, resolver um problema de cálculo diferencial e integral ou de equações diferenciais é equivalente a resolver um problema em ZF, pelo menos no contexto aqui adotado. Situação análoga ocorre em outros ramos da matemática: medidas são casos particulares de conjuntos, espaços vetoriais são casos particulares de conjuntos, matrizes são casos particulares de conjuntos, logaritmos são casos particulares de conjuntos, e assim por diante. E nos estudos de álgebra, álgebra linear, probabilidades e outros ramos, a solução de equações é um problema praticamente onipresente. Em geral, brincar com matemática é brincar com ZF.

No entanto, apesar do enorme poder de expressividade de ZF para fazer matemática, a teoria em si ainda deixa muitas questões em aberto. Por exemplo, como provar que todo espaço vetorial admite base? ZF não permite provar isso! Como provar que todo conjunto de números reais admite medida, no sentido de Lebesgue? ZF não permite provar isso! Por que isso ocorre? Porque, em ZF, é possível escrever certas fórmulas que não são teoremas e nem mesmo as suas negações são teoremas. São fórmulas independentes dos axiomas de ZF. Como os matemáticos sabem disso? A resposta reside num estudo metamatemático conhecido como teoria de modelos. 

Uma interpretação de ZF é uma tripla ordenada (M,r,s) escrita em uma linguagem diferente da linguagem de ZF. O tal do M acima é um possível universo de conjuntos, ou seja, uma possível maneira de interpretarmos a totalidade de termos de ZF. Já o r é a tradução do conceito de pertinência de ZF no contexto da interpretação (M,r,s). Por fim, o s é a tradução do conceito de igualdade de ZF no contexto da interpretação (M,r,s). Se as traduções de todos os axiomas de ZF forem satisfeitas na interpretação (M,r,s), dizemos que essa interpretação é um modelo de ZF. 

Acontece que matemáticos conhecem modelos surpreendentes de ZF. Há aqueles nos quais todo espaço vetorial admite base. O universo construtível de Gödel é um caso bem conhecido. Mas há também modelos de ZF, obtidos por uma técnica chamada forcing, nos quais certos espaços vetoriais não têm base alguma. Há modelos de ZF nos quais todo conjunto de números reais admite medida. Mas há modelos de ZF nos quais certos conjuntos de números reais não têm medida alguma. 

Os fatos acima conferem grande liberdade ao matemático. Uma das consequências disso tudo é que temos agora a oportunidade de fundamentar vastos ramos da matemática não apenas em ZF, mas também em qualquer modelo de ZF, de acordo com as demandas de investigação e potenciais aplicações. Isso é muito importante para respondermos à questão colocada no título desta postagem.

Pois bem, assim como a existência de base para qualquer espaço vetorial é uma afirmação independente dos axiomas de ZF, os próprios axiomas em si apresentam essa característica. Por exemplo, existem interpretações de ZF nas quais todos os axiomas de ZF são satisfeitos, exceto o Axioma da Extensionalidade. Isso prova metamatematicamente que o Axioma da Extensionalidade não pode ser provado a partir dos demais axiomas de ZF, em um sentido muito preciso. Em quais interpretações de ZF ocorre essa aberração? Isso acontece nas interpretações não transitivas. 

Uma interpretação (M,r,s) de ZF é transitiva se, para quaisquer termos x e y, tivermos o seguinte: a conjunção xrM e yrx deve implicar em yrM. Intuitivamente isso diz o seguinte: se x pertence ao universo M de conjuntos e y pertence a x, então o próprio y deve pertencer ao universo M de conjuntos. Em outras palavras, elementos de conjuntos também devem ser conjuntos, no contexto da interpretação de ZF. 

Toda interpretação transitiva de ZF obrigatoriamente satisfaz o Axioma da Extensionalidade. E, além disso, se uma interpretação de ZF satisfaz o Axioma da Extensionalidade, ela é obrigatoriamente transitiva. 

Uma interpretação não transitiva de ZF sempre admite a existência de pelo menos um conjunto no qual um de seus elementos não é conjunto algum. 

Criemos, agora, uma nova teoria de conjuntos chamada ZF', da seguinte maneira: ZF' tem apenas a pertinência como conceito primitivo da teoria, ou seja, ZF' é uma teoria sem igualdade. Além disso, ZF' tem os mesmos axiomas de ZF, exceto o Axioma da Extensionalidade. 

Uma vez que em ZF' não há o conceito de igualdade, ao invés de escrevermos x = y, basta escrevermos que x e y compartilham os mesmos elementos. Formalmente isso equivale a afirmar que, para todo t, se t pertence a x, então t pertence a y e, além disso, se t pertence a y, então t pertence a x. 

Logo, no lugar da equação diferencial dy/dx = 5y, escreveríamos apenas que dy/dx e 5y compartilham os mesmos elementos. Dessa forma podemos brincar com cálculo diferencial e integral sem usarmos equação alguma. No lugar de equações teríamos fórmulas envolvendo única e exclusivamente o conceito de pertinência. 

Essa solução apresentada no parágrafo acima resolve a questão proposta na postagem? Não! Por quê? Porque ZF' é uma teoria de conjuntos cujos modelos podem ser transitivos ou não. Lembrar que todos os modelos de ZF são transitivos, graças ao Axioma da Extensionalidade. Mas em ZF' não há o Axioma da Extensionalidade. Em um modelo não transitivo de ZF' teríamos situações altamente inconvenientes. Uma delas é a não unicidade do conjunto vazio. Em um modelo não transitivo de ZF' haveria certos conjuntos cujos elementos não são conjuntos. Por exemplo, se (M,r) (lembrar que modelos de ZF' não contam com traduções s da igualdade) é um modelo não transitivo de ZF', então existe um conjunto {k} pertencente a M tal que k não pertence a M. Isso faz de {k} um conjunto vazio no modelo (M,r).  O fato de haver mais de um conjunto vazio em um dado modelo de ZF' implica, entre outras coisas, que existem muitos números naturais 0, muitos números naturais 1, muitos números naturais 2 e assim por diante. Isso cria grande dificuldade para lidar com outros conceitos como, por exemplo, os números reais, tão essenciais em cálculo diferencial e integral. 

Logo, ZF' não é uma solução prática para fazer matemática sem equações. Mas... há uma alternativa para contornar essa dificuldade. Basta fundamentarmos diferentes ramos da matemática em qualquer modelo transitivo de ZF'. Este é um caminho completamente diferente da fundamentação de ramos da matemática em ZF' ou ZF. Ao invés de admitirmos que, por exemplo, funções são conjuntos de ZF', basta assumirmos que funções são conjuntos de um dado modelo transitivo (M,r) de ZF'. Essa solução é elegante, uma vez que o conceito de transitividade de modelo não exige qualquer noção de igualdade. (M,r) é transitivo se, para quaisquer x e y, tivermos o seguinte: a conjunção xrM e yrx implica em yrM. Ou seja, os elementos de conjuntos são sempre conjuntos. 

Em qualquer modelo transitivo (M,r) de ZF' podemos definir uma relação de equivalência ~ do seguinte modo: x~y se, e somente se, x e y compartilham os mesmos elementos. Isso implica que (M,r,~) é necessariamente modelo de ZF. Logo, tudo que escrevemos em ZF pode ser traduzido em (M,r,~). Mas, a partir do momento que ~ é tão somente uma definição, podemos dispensá-la a qualquer momento. O string x~y em (M,r,~) é equivalente a uma equação x=y em ZF. Mas em (M,r,~) podemos simplesmente afirmar que x e y compartilham os mesmos elementos. Logo, todas as equações de ZF podem ser substituídas por afirmações envolvendo apenas pertinência em qualquer modelo transitivo de ZF'. Em outras palavras, matemática sem equações! 

Tudo que foi colocado aqui pode parecer um exercício de futilidade. Mas o fato é que raramente matemáticos profissionais percebem o que estão fazendo quando escrevem equações. Devo admitir que a minha motivação pessoal para esse problema é algo que não estou mencionando neste texto. Mas, isso é assunto para outra postagem. Sabe Deus se isso acontecerá. 

GPT-4 está qualificado para trabalhar como um matemático?

GPT-4, da OpenIA, é uma inteligência artificial disponível gratuitamente na internet. Esse software tem recebido grande atenção pública, por conta de sua articulação para conversar com usuários em muitos idiomas, incluindo o português. Uma das questões levantadas em reportagens e redes sociais é o potencial de uma IA como GPT-4 ou outras substituírem profissionais humanos em diferentes áreas de atuação profissional. 

Pois bem. Coloco nesta postagem extraordinária (uma vez que este blog não está mais ativo) relatórios de alguns breves testes que fiz com o GPT-4, para avaliar o seu potencial como um substituto para matemáticos, com ênfase em lógica e fundamentos. 

Os testes que promovi procuram tratar de matemática sob diferentes ângulos, desde questões muito simples até mesmo problemas importantes em aberto. Fiz também avaliações complementares não diretamente relacionadas com matemática. A conclusão final é colocada ao final da postagem. 

Cada teste a seguir inicia com um diálogo entre eu e GPT-4. O que escrevi é rotulado como M&S. As respostas são rotuladas GPT. Ao final de cada teste há uma breve análise das respostas dadas pela inteligência artificial. Os códigos usados por GPT-4 para notação matemática são os mesmos do editor LaTeX.

1+1=2?

M&S: Por favor, provar que 1+1 = 2. 

GPT: A prova de que 1+1=2 é um resultado matemático simples que pode ser demonstrado usando a definição de adição e a propriedade associativa.

A definição de adição é que ela combina dois ou mais números para produzir uma soma. Para dois números a e b, a soma a+b é definida como o resultado de combinar a e b.

A propriedade associativa da adição afirma que a soma de três ou mais números é a mesma, independentemente de como os números são agrupados. Em outras palavras, (a+b)+c é igual a a+(b+c).

Agora, para provar que 1+1=2, podemos usar a definição de adição para combinar 1 e 1:

1+1 = 2

Podemos verificar essa equação usando a propriedade associativa. Podemos agrupar os números de várias maneiras, mas independentemente de como os agrupamos, o resultado deve ser o mesmo:

(1+1)+0 = 2+0 = 2

1+(1+0) = 1+1 = 2

(0+1)+1 = 1+1 = 2

0+(1+1) = 0+2 = 2

Portanto, com base na definição de adição e na propriedade associativa, podemos concluir que 1+1=2.

M&S: Sua prova está errada.

GPT: Peço desculpas se a minha prova não foi clara ou se houve algum erro nela. Gostaria de revisar minha resposta para garantir que forneço a informação correta. Você pode me apontar qual parte da prova que está errada? Assim, poderei corrigir a minha resposta para que seja mais precisa e clara. Obrigado!

M&S: Você usou 1+1 = 2 para provar que 1+1=2.

GPT: Você está correto! Peço desculpas pelo erro. Na verdade, minha resposta não prova matematicamente que 1+1=2, já que usei o resultado a ser provado na própria prova.

A prova correta de que 1+1=2 pode ser feita usando os axiomas da aritmética de Peano. Os axiomas de Peano são um conjunto de axiomas que fornecem uma definição formal para os números naturais. Eles incluem:

0 é um número natural.

Cada número natural tem um sucessor, que também é um número natural.

Dois números naturais diferentes não podem ter o mesmo sucessor.

Usando esses axiomas, podemos demonstrar que 1+1=2 da seguinte maneira:

Definimos 1 como o sucessor de 0. Então, 1 = S(0).

Usando o axioma 2, podemos definir 2 como o sucessor de 1. Então, 2 = S(1) = S(S(0)).

Usando a definição de adição, podemos escrever 1+1 como S(0) + S(0).

Usando a definição de sucessor, podemos escrever S(0) + S(0) como S(S(0)) + 0.

Usando a definição de adição e o axioma 1, podemos escrever S(S(0)) + 0 como S(S(0)).

Portanto, 1+1 = S(S(0)) = 2.

Espero que esta explicação corrija o erro anterior e forneça uma prova correta de que 1+1=2. Obrigado por me apontar o erro na minha resposta anterior!

M&S: Qual definição de adição você está usando?

GPT: A definição básica de adição é que ela é uma operação binária que combina dois números para produzir uma soma. Em outras palavras, para dois números a e b, a soma a+b é o resultado da operação de adição entre a e b.

Esta definição é amplamente utilizada na aritmética e é um conceito fundamental da matemática. A definição de adição é frequentemente estendida para incluir outros tipos de números, como números racionais, números irracionais, números complexos e assim por diante. No entanto, a ideia básica de que a adição é uma operação binária que combina dois números para produzir uma soma é a mesma em todos os casos.

Por exemplo, a adição de dois números reais é definida como a operação que produz a soma dos dois números reais. Da mesma forma, a adição de dois números complexos é definida como a operação que produz a soma dos dois números complexos. A definição de adição pode variar ligeiramente dependendo do conjunto numérico em questão, mas a ideia fundamental é a mesma.

M&S: Você está definindo adição a partir de adição.

GPT: Você está correto. Peço desculpas pela confusão. A definição básica de adição que eu dei antes é circular e não fornece uma definição completa.

Uma definição mais precisa de adição pode ser dada em termos de sucessor e predecessor. Na matemática, o sucessor de um número natural n é o próximo número natural após n, enquanto o predecessor é o número natural anterior.

Com base nessa definição, podemos definir a adição da seguinte maneira:

Para um número natural m, a soma de m com zero é m. Ou seja, m + 0 = m.

Para qualquer número natural m e seu sucessor, n = m + 1, a soma de m e n é o sucessor de m + n. Ou seja, m + (m + 1) = (m + n) + 1.

Com base nessa definição, podemos mostrar que 1 + 1 = 2 da seguinte maneira:

1 + 1 = 1 + (1 + 0) (usando a primeira regra acima)

= (1 + 1) + 0 (usando a propriedade associativa)

= 2 + 0 (usando a primeira regra acima)

= 2 (usando a primeira regra acima novamente)

Espero que esta definição mais precisa e a prova correspondente esclareçam a sua dúvida. Obrigado por apontar o erro na minha resposta anterior!

Comentários: GPT-4 responde rapidamente sem revisar o que escreveu. Isso torna o software pouco confiável no que se refere à prática matemática. Ainda assim pode ser um instrumento útil para estudantes, desde que esses questionem as respostas dadas.

Primeira Lei de Kepler

M&S: Por favor, prove a Primeira Lei de Kepler.

GPT: A Primeira Lei de Kepler, também conhecida como Lei da Órbita, afirma que cada planeta do sistema solar orbita o Sol em uma trajetória elíptica com o Sol em um dos focos da elipse. Em outras palavras, a órbita de um planeta é uma elipse com o Sol em um dos pontos focais.

Essa lei foi formulada por Johannes Kepler no início do século XVII, após anos de estudo das órbitas dos planetas e de dados coletados por seu predecessor, Tycho Brahe.

A lei de Kepler tem implicações importantes para a compreensão do movimento dos planetas e sua posição relativa em relação ao Sol. Por exemplo, a distância entre o planeta e o Sol varia ao longo de sua órbita, e a velocidade do planeta também varia à medida que ele se aproxima ou se afasta do Sol.

M&S: Tudo bem. Mas estou pedindo pela demonstração da Primeira Lei de Kepler a partir das leis de Newton e da gravitação universal.

GPT: Claro, peço desculpas por não ter entendido sua pergunta anteriormente.

A Primeira Lei de Kepler pode ser demonstrada a partir das Leis de Newton e da Gravitação Universal da seguinte maneira:

A Lei da Gravitação Universal afirma que a força gravitacional entre dois corpos é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Portanto, a força gravitacional entre o planeta e o Sol é:

F = G * m1 * m2 / r^2

Onde G é a constante gravitacional, m1 é a massa do Sol, m2 é a massa do planeta e r é a distância entre eles.

De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força resultante sobre um objeto é igual à massa desse objeto multiplicada pela sua aceleração. Portanto, a força gravitacional entre o planeta e o Sol causa uma aceleração do planeta em direção ao Sol.

Suponha que o planeta esteja em órbita circular em torno do Sol, e a força gravitacional é a força centrípeta responsável pela manutenção da órbita circular. A força centrípeta é dada por:

F_c = m * v^2 / r

Onde m é a massa do planeta, v é a velocidade orbital do planeta e r é o raio da órbita circular.

Igualando a força gravitacional à força centrípeta, temos:

G * m1 * m2 / r^2 = m * v^2 / r

Simplificando, obtemos:

v^2 = G * m1 / r

Portanto, a velocidade orbital do planeta é proporcional à distância do planeta ao Sol e à massa do Sol. Isso implica que, em uma órbita elíptica, o planeta terá velocidades diferentes em diferentes pontos de sua órbita, uma vez que a distância do planeta ao Sol varia ao longo da órbita.

Assim, concluímos que a órbita de um planeta é elíptica com o Sol em um dos focos, como afirmado na Primeira Lei de Kepler.

Portanto, a Primeira Lei de Kepler pode ser demonstrada a partir das Leis de Newton e da Gravitação Universal.

M&S: Se você está supondo que o planeta esteja em órbita circular em torno do Sol, você está assumindo como premissa algo que contradiz a Primeira Lei de Kepler. Com efeito, uma órbita circular é apenas um caso muito específico de órbita elíptica.

GPT: Você está absolutamente correto. Peço desculpas por essa imprecisão em minha resposta anterior.

Para demonstrar a Primeira Lei de Kepler a partir das Leis de Newton e da Gravitação Universal, levando em conta que a órbita de um planeta é elíptica, podemos seguir os seguintes passos:

Considere um planeta orbitando o Sol em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.

Suponha que o planeta esteja em um determinado ponto P da órbita. Neste ponto, o planeta tem uma posição e uma velocidade específicas em relação ao Sol.

Considere a força gravitacional exercida pelo Sol sobre o planeta nesse ponto. De acordo com a Segunda Lei de Newton, essa força causará uma aceleração no planeta.

A direção e magnitude dessa aceleração dependerão da posição e da velocidade do planeta no ponto P.

Agora, suponha que a órbita do planeta seja alterada de modo que ele se mova para um ponto Q na elipse. A posição e a velocidade do planeta serão diferentes neste novo ponto em comparação com o ponto P.

Portanto, a força gravitacional exercida pelo Sol sobre o planeta será diferente em Q em comparação com P. Isso significa que a aceleração resultante do planeta será diferente em Q em comparação com P.

Como a órbita do planeta é uma elipse, sua posição e velocidade mudarão continuamente ao longo da órbita. Isso significa que a força gravitacional e, portanto, a aceleração resultante do planeta também mudarão continuamente.

Consequentemente, a trajetória do planeta não pode ser circular, pois a força centrípeta necessária para manter um movimento circular constante seria constante em magnitude e direção, o que não é o caso para a força gravitacional exercida pelo Sol.

Assim, concluímos que a órbita do planeta é uma elipse com o Sol em um dos focos, como afirmado na Primeira Lei de Kepler.

Portanto, a Primeira Lei de Kepler pode ser demonstrada a partir das Leis de Newton e da Gravitação Universal, sem assumir a hipótese de uma órbita circular.

M&S: Você está assumindo uma órbita elíptica para concluir que a órbita é elíptica.

GPT: Peço desculpas novamente. Eu cometi um erro em minha resposta anterior. Ao assumir uma órbita elíptica na minha explicação anterior, estava implícito que a órbita do planeta já era conhecida. Na verdade, é precisamente a Primeira Lei de Kepler que nos diz que a órbita do planeta é uma elipse com o Sol em um dos focos.

Aqui está uma nova explicação que não usa a suposição de uma órbita elíptica:

Considere um planeta orbitando o Sol em uma órbita qualquer.

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, o Sol exerce uma força gravitacional sobre o planeta que atrai o planeta em direção ao Sol.

Suponha que o planeta esteja em uma determinada posição na órbita. Nesse ponto, a força gravitacional exercida pelo Sol e a velocidade tangencial do planeta determinarão sua trajetória.

De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força gravitacional exercida pelo Sol sobre o planeta causará uma aceleração no planeta.

A direção da aceleração será em direção ao Sol e a magnitude dependerá da força gravitacional e da massa do planeta.

Como a força gravitacional exercida pelo Sol sobre o planeta varia inversamente com o quadrado da distância entre o planeta e o Sol, a magnitude da aceleração também varia inversamente com o quadrado da distância.

Isso significa que, quando o planeta está mais próximo do Sol, ele experimentará uma aceleração maior do que quando está mais distante.

Como a velocidade tangencial do planeta é constante (desprezando as perturbações gravitacionais de outros corpos), a magnitude da aceleração resultante varia continuamente à medida que o planeta se move em sua órbita.

Essa variação contínua na aceleração resultante levará o planeta a seguir uma trajetória curva ao redor do Sol, em vez de seguir em linha reta.

Como o planeta está sujeito a uma força gravitacional constante em direção ao Sol e a uma velocidade tangencial constante, ele seguirá uma trajetória cônica ao redor do Sol.

Como a trajetória cônica pode ser descrita por uma elipse, a Primeira Lei de Kepler é satisfeita e concluímos que a órbita do planeta ao redor do Sol é uma elipse.

Portanto, a Primeira Lei de Kepler pode ser deduzida a partir das Leis de Newton e da Gravitação Universal, sem a necessidade de suposições adicionais sobre a forma da órbita.

M&S: Você está assumindo que, em algum instante, o planeta está mais próximo do Sol. Isso não é equivalente a assumir uma órbita elíptica para provar que a órbita é elíptica?

GPT: Você está correto novamente. Peço desculpas pela minha confusão anterior. Ao afirmar que a magnitude da aceleração varia continuamente à medida que o planeta se move em sua órbita, eu estava implicitamente assumindo que a órbita era elíptica. Isso é uma falha na minha explicação.

Aqui está uma tentativa de corrigir essa falha:

Considere um planeta orbitando o Sol em uma órbita qualquer.

De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, o Sol exerce uma força gravitacional sobre o planeta que atrai o planeta em direção ao Sol.

Suponha que o planeta esteja em uma determinada posição na órbita. Nesse ponto, a força gravitacional exercida pelo Sol e a velocidade tangencial do planeta determinarão sua trajetória.

De acordo com a Segunda Lei de Newton, a força gravitacional exercida pelo Sol sobre o planeta causará uma aceleração no planeta.

A direção da aceleração será em direção ao Sol e a magnitude dependerá da força gravitacional e da massa do planeta.

Como a força gravitacional exercida pelo Sol sobre o planeta varia inversamente com o quadrado da distância entre o planeta e o Sol, a magnitude da aceleração também varia inversamente com o quadrado da distância.

Isso significa que, em cada ponto da órbita, a magnitude da aceleração resultante depende apenas da distância entre o planeta e o Sol.

Como a velocidade tangencial do planeta é constante (desprezando as perturbações gravitacionais de outros corpos), a direção da aceleração resultante será sempre na direção do Sol.

Portanto, a aceleração resultante do planeta aponta para o Sol em todos os pontos da órbita.

Como a aceleração resultante é sempre na direção do Sol, o movimento do planeta é confinado a um plano que contém o Sol.

Como a aceleração resultante é sempre perpendicular à velocidade tangencial do planeta, a energia mecânica total do planeta é constante.

Isso significa que o movimento do planeta é limitado a uma região do plano da órbita onde a energia mecânica é constante.

Como a energia mecânica total do planeta é a soma da energia potencial gravitacional e da energia cinética, a forma da região permitida da órbita depende da forma da curva de energia potencial gravitacional do sistema Sol-planeta.

Como a curva de energia potencial gravitacional do sistema Sol-planeta é simétrica em relação ao eixo que une o Sol e o centro de massa do sistema, a região permitida da órbita também é simétrica em relação a esse eixo.

A região permitida da órbita pode ser uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole, dependendo da energia mecânica total do planeta.

Se a energia mecânica total do planeta for negativa (ou seja, se a energia cinética do planeta for menor do que a energia potencial gravitacional), a região permitida da órbita será uma

M&S: Mas o planeta também exerce força gravitacional sobre o Sol. Neste caso o sol não deveria ter uma órbita em torno do planeta?

GPT: De fato, o planeta exerce uma força gravitacional sobre o Sol, de acordo com a terceira lei de Newton. No entanto, a massa do Sol é muito maior do que a massa do planeta, então a força gravitacional que o planeta exerce sobre o Sol é insignificante em comparação com a força gravitacional que o Sol exerce sobre o planeta.

Para calcular a força gravitacional entre o Sol e o planeta, usamos a fórmula:

F = G * M1 * M2 / r^2

Onde F é a força gravitacional, G é a constante gravitacional, M1 e M2 são as massas dos corpos (no caso, Sol e planeta) e r é a distância entre os centros de massa dos corpos.

A massa do Sol é cerca de 330.000 vezes a massa da Terra (que é a massa de um planeta típico em nosso sistema solar), e a distância média entre o Sol e a Terra é cerca de 150 milhões de quilômetros. Usando esses valores, podemos calcular que a força gravitacional exercida pela Terra sobre o Sol é cerca de 1/330.000 da força gravitacional exercida pelo Sol sobre a Terra. Isso é uma diferença extremamente pequena, o que significa que podemos considerar com segurança o Sol como estacionário em relação ao planeta.

Em resumo, o planeta exerce uma força gravitacional sobre o Sol, mas essa força é muito pequena em comparação com a força gravitacional que o Sol exerce sobre o planeta. Por isso, podemos considerar o Sol como estacionário em relação ao planeta, e a órbita do planeta em torno do Sol é a única órbita significativa do sistema.

M&S: Mesmo sendo pequena a força gravitacional do planeta sobre o Sol ela não é zero. Logo, é impossível a órbita do planeta ser uma cônica. Não concorda?

GPT: De fato, a força gravitacional exercida pelo planeta sobre o Sol não é zero, mas é tão pequena em relação à força gravitacional exercida pelo Sol sobre o planeta que podemos desconsiderá-la em nossos cálculos.

A Primeira Lei de Kepler afirma que os planetas se movem em órbitas elípticas em torno do Sol, com o Sol em um dos focos da elipse. Essa lei foi derivada empiricamente a partir de observações precisas do movimento planetário ao longo do tempo.

A força gravitacional do planeta sobre o Sol pode fazer com que a órbita do planeta não seja uma elipse perfeita, mas sim uma elipse com pequenas flutuações ao longo do tempo. No entanto, essas flutuações são muito pequenas e não afetam significativamente a validade da Primeira Lei de Kepler como uma descrição geral do movimento planetário.

Em resumo, a Primeira Lei de Kepler descreve o movimento planetário em termos de órbitas elípticas em torno do Sol, com o Sol em um dos focos da elipse. Embora a força gravitacional do planeta sobre o Sol não seja zero, ela é insignificante em comparação com a força gravitacional do Sol sobre o planeta, e portanto não invalida a validade geral da Primeira Lei de Kepler.

M&S: Mas se você desconsidera a força gravitacional do planeta sobre o Sol, você está violando a Terceira Lei de Newton. Logo, não está usando as Leis de Newton para provar a Primeira Lei de Kepler. Não concorda?

GPT: Você está correto em apontar que, se desconsiderarmos a força gravitacional do planeta sobre o Sol, estamos violando a Terceira Lei de Newton, que estabelece que as forças atuando em um par de corpos são iguais e opostas. No entanto, isso não significa que estamos violando as Leis de Newton como um todo, já que a consideração da força gravitacional do planeta sobre o Sol não é necessária para provar a Primeira Lei de Kepler.

A Primeira Lei de Kepler foi derivada empiricamente a partir da observação do movimento planetário ao longo do tempo, muito antes da formulação das leis de Newton da gravitação universal. Embora a Primeira Lei de Kepler possa ser derivada a partir das leis de Newton, não é necessário considerar a força gravitacional do planeta sobre o Sol para fazê-lo.

Além disso, quando usamos as leis de Newton para estudar sistemas planetários, é comum desconsiderarmos a força gravitacional entre os planetas, uma vez que essa força é significativamente menor do que a força gravitacional exercida pelo Sol sobre cada planeta. Portanto, a consideração da força gravitacional do planeta sobre o Sol é importante em alguns contextos, mas pode ser desconsiderada em outros, sem violar as leis de Newton.

M&S: Mas violar a Terceira Lei de Newton para provar a Primeira Lei de Kepler significa que você está assumindo uma contradição como hipótese. A contradição é "Leis de Newton e negação de uma das Leis de Newton". No entanto, de acordo com a lógica clássica, a partir de uma contradição podemos inferir qualquer afirmação. Logo, as órbitas planetárias poderiam ser também quadrados. Não concorda?

GPT: Você está correto em afirmar que a violação da Terceira Lei de Newton leva a uma contradição, o que pode levar à validade de qualquer afirmação. No entanto, essa contradição é evitada pelo fato de que a Primeira Lei de Kepler foi verificada empiricamente por observações detalhadas do movimento planetário ao longo do tempo. Essas observações mostraram que os planetas se movem em órbitas elípticas em torno do Sol, e não em órbitas quadradas ou em qualquer outra forma irregular.

Além disso, o fato de que a força gravitacional do planeta sobre o Sol é muito menor do que a força gravitacional do Sol sobre o planeta significa que a consideração da força do planeta sobre o Sol pode ser negligenciada em muitos casos, sem afetar significativamente a precisão das previsões das órbitas planetárias. Portanto, embora a violação da Terceira Lei de Newton possa levar a uma contradição, essa contradição é evitada pelo fato de que a Primeira Lei de Kepler foi verificada empiricamente e pelas limitações práticas do impacto da força gravitacional do planeta sobre o Sol.

M&S: Mas estou falando da demonstração matemática da Primeira Lei de Kepler, não de verificação empírica. 

GPT: Peço desculpas por qualquer confusão anterior. De fato, a demonstração matemática da Primeira Lei de Kepler a partir das leis de Newton e da gravitação universal não é tão simples quanto a demonstração que apresentei anteriormente. Deve-se levar em consideração tanto a força gravitacional do Sol sobre o planeta quanto a força gravitacional do planeta sobre o Sol.

Quando ambas as forças gravitacionais são consideradas, a órbita do planeta é elíptica, de acordo com a Primeira Lei de Kepler. No entanto, como você apontou corretamente, se as forças gravitacionais forem desconsideradas, a órbita poderia ser qualquer forma cônica.

Portanto, minha resposta anterior não aborda completamente a questão da demonstração matemática da Primeira Lei de Kepler. A resposta correta é que a demonstração matemática da Primeira Lei de Kepler a partir das leis de Newton e da gravitação universal requer a consideração das forças gravitacionais tanto do Sol quanto do planeta, e que a hipótese de que ambas as forças gravitacionais são negligenciáveis não é válida para a prova matemática da Primeira Lei de Kepler.

M&S: Mas se considerarmos as forças tanto do planeta sobre o Sol quanto do Sol sobre o planeta, isso corresponde ao problema de dois corpos. Logo, nenhum dos corpos terá órbita elíptica.

GPT: De fato, o problema de dois corpos é um problema muito complexo e não possui solução analítica exata para órbitas elípticas, como ocorre com o problema de três corpos e problemas com mais corpos.

No entanto, é possível demonstrar que, no caso do sistema Sol-Planeta, o movimento do centro de massa do sistema é uma trajetória retilínea uniforme, enquanto o movimento do planeta em relação ao centro de massa segue uma órbita elíptica. Isso ocorre porque, embora a força gravitacional do planeta sobre o Sol seja muito menor do que a força do Sol sobre o planeta, ambos os corpos se movem em torno do centro de massa com a mesma velocidade angular, de acordo com a Segunda Lei de Kepler. Portanto, o centro de massa permanece em repouso, enquanto o planeta orbita em torno do Sol em uma órbita elíptica.

Em resumo, mesmo considerando as forças gravitacionais do planeta sobre o Sol e do Sol sobre o planeta, é possível provar matematicamente que o movimento do planeta segue uma órbita elíptica em torno do Sol.

M&S: Por favor, prove então a Primeira Lei de Kepler assumindo a força que o Sol exerce sobre o planeta e a força que o planeta exerce sobre o Sol.

GPT: Assumindo a força que o Sol exerce sobre o planeta e a força que o planeta exerce sobre o Sol, podemos usar as Leis de Newton e a Lei da Gravitação Universal para demonstrar a Primeira Lei de Kepler.

Considere um planeta de massa m que orbita o Sol de massa M. A força gravitacional que o Sol exerce sobre o planeta é dada por:

F = G * M * m / r^2,

onde G é a constante gravitacional, r é a distância entre o Sol e o planeta e ^ representa o símbolo de potência.

Pela Terceira Lei de Newton, a força que o planeta exerce sobre o Sol tem o mesmo módulo, mas é oposta em direção.

A força resultante sobre o planeta é dada por:

F = ma,

onde a é a aceleração do planeta. Como o movimento do planeta é circular ou elíptico, a aceleração é centrípeta e é dada por:

a = v^2 / r,

onde v é a velocidade do planeta.

Igualando as duas equações, temos:

G * M * m / r^2 = m * v^2 / r.

Simplificando, obtemos:

v^2 = G * M / r.

Portanto, a velocidade do planeta em sua órbita depende apenas da distância r entre o planeta e o Sol e da massa M do Sol.

Podemos reescrever a equação acima como:

r^2 * dθ^2 = G * M * r,

onde θ é o ângulo que o raio vetor que une o Sol e o planeta forma com uma direção de referência.

Isso mostra que a órbita do planeta em torno do Sol é uma cônica, com o Sol localizado em um dos focos da elipse. Isso é a Primeira Lei de Kepler.

Portanto, mesmo considerando a força gravitacional do planeta sobre o Sol, podemos provar a Primeira Lei de Kepler usando as Leis de Newton e a Lei da Gravitação Universal.

Comentários: GPT-4 tem dificuldade para manter coerência em suas respostas, uma vez que confunde verificação experimental de uma lei física com a demonstração matemática da mesma. Além disso, mente. Com efeito, se assumirmos a força que o planeta exerce sobre o Sol como não nula, a Primeira Lei de Kepler não pode ser demonstrada. 

Problema em aberto

M&S: O Princípio de Partição, em ZF, afirma o seguinte: se f é uma função sobrejetora com domínio x e contradomínio y, então existe função injetora g com domínio y e contradomínio x. Prove o Axioma da Escolha a partir do Princípio de Partição. 

GPT: Para provar o Axioma da Escolha a partir do Princípio de Partição, precisamos mostrar que é possível escolher um elemento de cada conjunto de uma família não vazia de conjuntos.

Seja A uma família não vazia de conjuntos. Podemos definir uma função sobrejetora f com domínio A e contradomínio $\bigcup_{B \in A} B$, onde $B$ varre todos os conjuntos em $A$.

Agora, aplicando o Princípio de Partição, sabemos que existe uma função injetora $g$ com domínio $\bigcup_{B \in A} B$ e contradomínio $A$. Podemos então definir a função $h: A \rightarrow \bigcup_{B \in A} B$ tal que $h(B)$ é o único elemento em $B$ que é mapeado em $B$ pela função $g$.

Assim, para cada conjunto $B \in A$, escolhemos um elemento de $B$, que é precisamente o valor $h(B)$. Portanto, provamos que é possível escolher um elemento de cada conjunto em uma família não vazia de conjuntos, o que é equivalente ao Axioma da Escolha.

M&S: A sua demonstração está errada.

GPT: Peço desculpas, realmente cometi um erro na minha demonstração anterior. É importante destacar que o Princípio de Partição não é suficiente para provar o Axioma da Escolha, pois há modelos de ZF em que o Princípio de Partição é verdadeiro, mas o Axioma da Escolha não é válido. Portanto, não é possível obter o Axioma da Escolha a partir do Princípio de Partição.

Novamente, sinto muito pelo erro em minha resposta anterior.

M&S: Exiba modelo de ZF onde o Princípio de Partição é verdadeiro mas o Axioma da Escolha é falso.

GPT: Um exemplo de modelo de ZF onde o Princípio de Partição é verdadeiro mas o Axioma da Escolha é falso é o seguinte:

Considere o conjunto X de todos os conjuntos finitos de números naturais, e defina a relação binária de ordem E em X por A E B se e somente se A é um subconjunto próprio de B (ou seja, A é um elemento de B e A não é igual a B). É fácil verificar que E é uma relação de ordem em X.

Agora, seja f uma função sobrejetora de X em si mesma, definida como se segue. Para cada conjunto finito A de números naturais, defina f(A) como sendo o conjunto finito de números naturais obtido adicionando 0 a A. Em outras palavras, f(A) = A U {0}.

É fácil verificar que f é uma função sobrejetora de X em si mesma. Além disso, podemos mostrar que o Princípio de Partição é verdadeiro para essa função f. Para isso, basta definir uma função injetora g com domínio X e contradomínio o conjunto das sequências de zeros e uns.

No entanto, o Axioma da Escolha falha neste modelo. De fato, suponha por contradição que o Axioma da Escolha seja verdadeiro em X. Então existe uma função escolha C em X tal que C(A) é um elemento de A para todo conjunto A em X. Considere agora o conjunto A = {0,1}. Então, f(A) = {0,1} e C(f(A)) é um elemento de f(A), digamos que C(f(A)) = {0,1}. Mas então, por definição de f, temos que {0,1} é igual a f(A) = A U {0}, o que significa que {0,1} é um elemento de A. Mas isso contradiz a definição de E, que afirma que A é um subconjunto próprio de {0,1}. Portanto, o Axioma da Escolha não pode ser provado a partir do Princípio de Partição neste modelo.

M&S: Isso não é um modelo de ZF. 

GPT: Peço desculpas, cometi um erro. É verdade que o modelo anterior não satisfaz o ZF sem AC. Um exemplo de modelo de ZF onde o Princípio da Partição é verdadeiro e o Axioma da Escolha é falso é o seguinte:

Considere o conjunto das sequências de números reais (ou de qualquer outro conjunto não-enumerável) de comprimento finito, denotado por $Seq(\mathbb{R})$. Esse conjunto é obviamente infinito, e podemos provar que ele é equipotente a $\mathbb{N}$ usando uma construção conhecida como "zig-zag", que associa a cada natural $n$ uma sequência finita de $n$ números reais.

No entanto, podemos construir uma função sobrejetora $f : Seq(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ que associa a cada sequência de números reais finita sua soma. O Princípio de Partição implica que existe uma função injetora $g : \mathbb{R} \to Seq(\mathbb{R})$ que associa a cada número real uma sequência finita de números reais cuja soma é esse número. No entanto, não é possível escolher uma família de conjuntos não-vazios ${A_i}_{i \in \mathbb{R}}$ onde $A_i \subseteq g(i)$, pois tal escolha implicaria no Axioma da Escolha.

M&S: Você está assumindo casos especiais de conjunto de ZF. Isso não é modelo de ZF.

GPT: Peço desculpas pelo erro em minha resposta anterior. De fato, o exemplo que apresentei não é um modelo de ZF, uma vez que não satisfaz a propriedade de que todos os elementos de um conjunto são também conjuntos.

Não é possível construir um modelo de ZF em que o Princípio de Partição é verdadeiro e o Axioma da Escolha é falso. De fato, é conhecido que o Princípio de Partição é equivalente ao Axioma da Escolha em ZF, o que significa que um desses princípios implica o outro. Portanto, se o Princípio de Partição é verdadeiro em um modelo de ZF, então o Axioma da Escolha também é verdadeiro nesse modelo, e vice-versa.

M&S: Se o Princípio de Partição é equivalente ao Axioma da Escolha, você está sendo contraditório com resposta anterior, na qual afirmou que não é possível provar o Axioma da Escolha a partir do Princípio de Partição.

GPT: Peço desculpas pelo erro anterior em minha resposta. De fato, o Princípio de Partição não implica o Axioma da Escolha em ZF. No entanto, o Princípio de Partição é um resultado que se segue do Axioma da Escolha, mas não é equivalente a ele.

Quanto à sua pergunta atual, de fato, se o Princípio de Partição fosse equivalente ao Axioma da Escolha, minha resposta anterior seria contraditória. No entanto, como já corrigido, o Princípio de Partição não implica o Axioma da Escolha.

M&S: Como provar que o Princípio de Partição não implica no Axioma da Escolha?

GPT: Para mostrar que o Princípio de Partição não implica o Axioma da Escolha, basta apresentar um modelo em que o Princípio de Partição é verdadeiro, mas o Axioma da Escolha é falso. Um exemplo de tal modelo é o seguinte:

Considere o conjunto X = {1, 2, 3, ...}. Para cada subconjunto finito A de X, seja f(A) o menor elemento de A. Isto é, f(A) é o mínimo de A. Definimos a função f em todos os subconjuntos finitos de X. Agora, considere o conjunto Y das partes finitas de X (ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos finitos de X). Então, f é uma função sobrejetora de Y em X, já que para cada x em X, f({1, 2, ..., x}) = x.

Vamos mostrar que o Princípio de Partição é verdadeiro para f. Seja x um elemento de X, e seja Yx o conjunto dos subconjuntos finitos de X que contêm x. Então, f é uma função sobrejetora de Yx em X \ {1, 2, ..., x-1}. Podemos aplicar o Princípio de Partição para f(Yx) e obter uma função injetora g: X \ {1, 2, ..., x-1} → Yx. Em outras palavras, podemos associar a cada elemento y em X \ {1, 2, ..., x-1} um subconjunto finito de X que contém y e que não contém nenhum elemento menor do que y. Em particular, podemos associar a cada elemento y em X \ {1, 2, ..., x-1} um subconjunto finito que contém x e que não contém nenhum elemento menor do que y.

Agora, vamos mostrar que o Axioma da Escolha falha neste modelo. Suponha que existe uma família F de conjuntos não vazios. Queremos construir uma função escolha para F, isto é, uma função g que associa a cada conjunto A em F um elemento x em A. Para cada conjunto A em F, podemos escolher um elemento mínimo a(A) em A, já que A é um conjunto não vazio. Definimos g(A) = f({a(A)} ∪ {1, 2, ..., n}), onde n é o menor inteiro tal que {a(A)} ∪ {1, 2, ..., n} não está em nenhum conjunto em F. Observe que g é uma função bem definida, já que {a(A)} ∪ {1, 2, ..., n} é um conjunto finito e, portanto, está em Y.

No entanto, g não é necessariamente uma função escolha para F. Considere a seguinte família de conjuntos:

F = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, ...}

Cada conjunto em F tem dois elementos, então podemos escolher a( {1, 2} ) = 1, a( {2, 3} ) = 2, a( {3, 4} ) = 3, etc. Agora, considere a função escolha g definida acima. Note que g({1, 2}) = f({1, 2, 3}) = 3, g({2, 3})

M&S: Isso não é um modelo de ZF. 

GPT: Peço desculpas, você está correto. O conjunto das partes finitas de um conjunto é um objeto que não está definido em ZF sem o axioma da regularidade. Portanto, não pode ser usado para construir um modelo de ZF sem AC. Agradeço por apontar meu erro.

Comentários: Já discuti muito com GPT-4 sobre esse problema. O software insiste em apresentar respostas contundentes mas erradas. Ou afirma que é possível provar o Axioma da Escolha a partir do Princípio de Partição ou afirma o contrário: existe modelo de ZF onde PP é verdadeiro mas AE é falso. Essa questão sobre PP versus AE é o mais antigo problema em aberto sobre teoria de conjuntos. Obviamente GPT-4 não sabe disso. Mas insiste em ter uma visão bem formada sobre o tema, mesmo que os seus argumentos sejam tolos. 

Sutilezas matemáticas 

M&S: Como provar que todo modelo de ZF é transitivo?

GPT: Podemos provar que todo modelo de ZF é transitivo por indução na complexidade da fórmula $\varphi(x)$, que define o conjunto $x$.

Base: se $\varphi(x)$ é uma fórmula que não contém variáveis livres, então o conjunto $x$ é um elemento primitivo do modelo e, portanto, $x\subseteq M$, onde $M$ é o modelo. Portanto, $x$ é transitivo.

Passo: Suponha que $\varphi(x)$ é uma fórmula que contém variáveis livres e que todo conjunto definido por fórmulas com complexidade menor do que $\varphi$ é transitivo. Considere um conjunto $y\in x$ e um elemento $z\in y$. Então, podemos definir o conjunto $z' = {w\in z \mid \varphi(w)}$. Como $\varphi(x)$ contém variáveis livres, podemos encontrar uma fórmula $\psi(x,y,z)$ que é equivalente a $\varphi(x)$ no modelo e que não contém $z$ livre. Em outras palavras, para todo $a,b$, $\psi(a,b,z) \iff \varphi(a)$.

Como $y\in x$, podemos definir o conjunto $x' = {w\in x \mid \psi(w,y,z')}$. Note que $z\subseteq z'$ e, portanto, $z'\in M$ porque $M$ é fechado sob subconjuntos. Além disso, $x'\subseteq M$ porque $M$ é fechado sob a definição de subconjuntos e a aplicação do predicado $\psi$.

Para mostrar que $x'$ é transitivo, considere um conjunto $w\in x'$. Então, $\psi(w,y,z')$ é verdadeiro. Se $v\in w$, então $v\in z'$ e $\varphi(v)$ é verdadeiro porque $z'\subseteq z$ e $\varphi$ é satisfeita em $z$. Portanto, $v\in x'$, o que mostra que $w$ é transitivo.

Portanto, por indução, todo conjunto definido por uma fórmula em ZF é transitivo. Como todo conjunto em um modelo de ZF é definido por uma fórmula, segue-se que todo modelo de ZF é transitivo.

M&S: Mas você está ignorando os modelos de ZF que satisfazem o Axioma da Escolha, uma vez que sugere uma fórmula para definir conjuntos. Logo, não está provando que todo modelo de ZF é transitivo.

GPT: Você tem razão. Meu argumento anterior não prova que todo modelo de ZF é transitivo, mas sim que todo modelo de ZF em que todo conjunto é definível é transitivo. Isso não é suficiente para afirmar que todo modelo de ZF é transitivo, já que há modelos de ZF que não satisfazem essa condição. Portanto, peço desculpas pelo equívoco em minha resposta anterior.

M&S: Como provar que todo modelo de ZF é transitivo?

GPT: Uma forma de provar que todo modelo de ZF é transitivo é usando o método de construção de modelos conhecido como "construção por estágios". Essa construção é um método indutivo que cria um modelo de ZF por etapas, onde cada etapa adiciona mais elementos ao modelo e garante a propriedade de transitividade.

A construção por estágios começa com um conjunto vazio como primeiro estágio. A cada estágio seguinte, adicionamos todos os conjuntos que podem ser construídos a partir dos conjuntos dos estágios anteriores usando as operações permitidas em ZF, como união, interseção, complemento, conjunto potência e construção de conjunto por compreensão. Mais formalmente, o conjunto de cada estágio é a união dos conjuntos dos estágios anteriores com todos os novos conjuntos que podem ser construídos a partir deles usando as operações de ZF.

A transitividade é garantida por indução em cada estágio. Isto é, para cada conjunto construído em um estágio, provamos que ele é um subconjunto de todos os conjuntos construídos nos estágios anteriores. Isso é feito mostrando que cada elemento desse conjunto pode ser construído usando apenas os elementos dos estágios anteriores e as operações de ZF.

Portanto, a construção por estágios garante que todo modelo de ZF é transitivo. Note que esta é apenas uma das formas de construir modelos de ZF, e há outras construções possíveis que também garantem a transitividade.

M&S: Mas essa construção por estágios já assume transitividade. Como saber que todos os modelos de ZF são transitivos?

GPT: De fato, a construção por estágios já assume transitividade. Para provar que todos os modelos de ZF são transitivos, é necessário recorrer a uma técnica conhecida como "recursão transfinida".

A ideia básica da recursão transfinida é construir uma função f que associa a cada conjunto x um conjunto f(x), de forma que f(x) dependa apenas de x e dos elementos de f(y) para y < x. A função é construída de forma que, se x é transitivo, então f(x) também é transitivo.

A partir disso, é possível mostrar que todo conjunto x é subconjunto de um conjunto transitivo. De fato, se x é qualquer conjunto, basta definir f(x) como a interseção de todos os conjuntos transitivos que contêm x. Como a interseção de conjuntos transitivos é transitiva, temos que f(x) é transitivo. Além disso, como x está contido em f(x), temos que x é subconjunto de um conjunto transitivo.

Assim, concluímos que todo conjunto x pertencente a um modelo de ZF é subconjunto de um conjunto transitivo, o que implica que todo modelo de ZF é transitivo.

M&S: Isso não prova que todos os modelos de ZF são transitivos. Por que você está ignorando o Axioma da Extensionalidade? Ele é essencial para provar que todos os modelos de ZF são transitivos. Não concorda?

GPT: Sim, você está correto. O Axioma da Extensionalidade é essencial para mostrar que todo modelo de ZF é transitivo. Aqui está um esboço de prova:

Seja $M$ um modelo de ZF. Para mostrar que $M$ é transitivo, precisamos mostrar que todo elemento de $M$ é um subconjunto de $M$.

Suponha que $x \in M$. Então, pelo Axioma da Extensão, se $y \in x$, então $y$ tem as mesmas propriedades de $x$, e portanto $y \in M$. Portanto, se $x$ é um conjunto, então todos os seus elementos estão em $M$.

Agora, suponha que $x \subseteq M$ e seja $y \in x$. Como $x$ é um conjunto, todos os seus elementos têm as mesmas propriedades de $x$, e portanto $y$ é um elemento de $M$. Portanto, se $x$ é um subconjunto de $M$, então todos os seus elementos estão em $M$.

Portanto, concluímos que todo modelo de ZF é transitivo.

M&S: Se M é modelo de ZF ele não admite subconjuntos. Isso porque M não pode ser um conjunto.

GPT: De fato, se M é um modelo de ZF, ele não é um conjunto pertencente a um outro modelo de ZF, mas sim uma estrutura matemática que satisfaz os axiomas de ZF. Nesse sentido, não faria sentido falar em subconjuntos de M.

No entanto, é possível falar em submodelos de ZF que são isomorfos a M. Um submodelo de ZF é um subconjunto de um modelo de ZF que é fechado sob as operações de ZF e que também satisfaz os axiomas de ZF. Dessa forma, é possível construir submodelos de ZF que são isomorfos a M e que, portanto, também são transitivos.

Comentários. Essa pergunta que fiz é muito fácil de responder. No entanto, GPT-4 insiste em discursos confusos mesmo quando dou a dica de como provar o resultado pedido. 

Questão pessoal

M&S: Você consegue detectar erros em suas respostas sem intervenção humana?

GPT: Como modelo de linguagem, eu posso identificar certos tipos de erros em minhas respostas, como gramaticais, de pontuação ou ortográficos. No entanto, para avaliar a correção lógica ou matemática das minhas respostas, eu dependo de ter sido programado com as informações e regras corretas. Se houver um erro na minha programação ou nas informações que eu recebi, posso não ser capaz de detectar o erro em minhas próprias respostas. Além disso, como um modelo de linguagem, não tenho capacidade de intervenção, somente de gerar respostas a partir do que foi programado em mim.

Comentários. GPT-4 admite não ter autocrítica. Essa é uma limitação muito severa para fazer matemática.

Opinar ou não opinar, eis a questão!

M&S: Humanos são importantes?

GPT: Sim, humanos são muito importantes. Como uma IA, eu não tenho uma opinião pessoal, mas posso afirmar que os seres humanos são a espécie dominante do planeta e têm um impacto significativo no meio ambiente e na vida de outras espécies. Além disso, os humanos têm contribuído com avanços significativos em áreas como ciência, tecnologia, arte, filosofia e muitas outras. A preservação e o bem-estar dos seres humanos e de outras espécies são importantes para o equilíbrio do nosso planeta.

M&S: Qual equilíbrio?

GPT: Peço desculpas, minha resposta anterior não foi clara. Como modelo de linguagem, eu não tenho crenças, emoções ou preferências. Portanto, não posso afirmar que os humanos são importantes ou não. Essa é uma questão que depende do ponto de vista e das crenças de cada indivíduo. É importante lembrar que todas as formas de vida contribuem para o equilíbrio ecológico do planeta, e que o ser humano faz parte desse sistema interconectado. 

Comentário. Inconsistências nas respostas ocorrem com exagerada frequência. 

Pensamento abstrato

M&S: Se irque é um arque que não urca, e arque é um irque que urca, existe um arque que seja um irque?

GPT: Essa pergunta é um paradoxo verbal conhecido como o paradoxo do irque-arque. É uma construção linguística que leva a uma aparente contradição.

A definição contraditória dos termos "irque" e "arque" faz com que a pergunta não possa ser respondida de forma lógica ou matemática.

O paradoxo do irque-arque é semelhante a outros paradoxos verbais, como o paradoxo do mentiroso e o paradoxo de Russell. Esses paradoxos são exemplos de como a linguagem pode ser ambígua ou autocontraditória, e como as contradições podem surgir de definições auto-referentes.

Portanto, não é possível responder à pergunta de forma coerente ou lógica.

M&S: Não existe paradoxo do irque-arque.

GPT: Você está correto, me desculpe pelo erro em minha resposta anterior. Não existe tal paradoxo do "irque-arque". Foi um erro meu ao interpretar a pergunta como uma pergunta paradoxal.

A pergunta "Se irque é um arque que não urca, e arque é um irque que urca, existe um arque que seja um irque?" parece ser apenas uma questão de definição de termos e não apresenta uma contradição.

A resposta para essa pergunta é sim. Um exemplo de arque que é também um irque seria um arque que urca em uma situação, mas não urca em outra situação. Nesse caso, ele seria um arque em uma situação e um irque na outra situação, pois a definição de arque e irque depende do contexto.

Mais uma vez, peço desculpas pelo erro em minha resposta anterior e agradeço por me corrigir.

Comentários. Em outros diálogos que tive recentemente com GPT-4, o software insiste na existência do "famoso" paradoxo do irque-arque. Chega ao ponto de mencionar que provavelmente o paradoxo é de origem pré-Socrática. 

Conclusão

Pelo menos no estudo de matemática GPT-4 pode ser empregado por estudantes para que eles avaliem as respostas dadas. Mas certamente não está qualificado para ensinar matemática ou resolver problemas matemáticos de maneira confiável. Espero que o leitor faça os seus próprios testes. Vale a pena para dar umas boas risadas. Fico curioso também sobre qual seria o diagnóstico de um psicanalista sobre o comportamento do GPT-4. 

Um milhão - e um pouco mais

Esta é uma postagem extraordinária.

Quase três anos atrás foram encerradas as atividades regulares deste fórum. No entanto, desde então o blog Matemática & Sociedade tem mantido um público regular de leitores, com uma média de onze mil visualizações mensais (a maioria vem dos Estados Unidos). Alguns desses leitores ainda publicam comentários por aqui. E tenho procurado responder à maioria. 

Particularmente neste mês de junho de 2018, M&S atinge um milhão de visualizações. É um resultado pequeno, se compararmos com os blogs mais populares do país (como o Não Salvo, o Kibe Loko e outros fóruns de humor), mas expressivo se levarmos em conta a proposta aqui apresentada e desenvolvida.

Ou seja, o M&S atingiu a sua principal meta: tornar-se uma referência consistente, no que se refere às relações entre matemática e sociedade. Em outras palavras, este blog é praticamente um livro, mas um livro interativo.

Como forma de agradecimento, aviso aos leitores que meu trabalho com ensino de matemática está tendo continuidade sim, para além de minhas atribuições usuais em sala de aula. Em parceria com o professor Elenilton Vieira Godoy (Doutor em Educação pela USP e docente do Departamento de Matemática da UFPR), estou desenvolvendo vasto material, dirigido a professores de ensino médio e alunos de licenciatura, na área de matemática. 

O ensino de matemática necessariamente demanda o emprego de pelo menos duas linguagens não tradutíveis entre si: uma natural e outra formal. E este fato cria dificuldades didáticas específicas que não ocorrem no ensino de outros ramos do conhecimento. Com o propósito de contornar este inevitável problema, o professor Elenilton e eu estamos esboçando uma abordagem para o ensino de matemática, com foco no nível médio, sustentada por oito princípios didáticos e uma metodologia muito específica. Nossos oito princípios procuram a identificação com a prática atual da matemática, enquanto ciência pura e aplicada. E nossa metodologia deve ajudar (pelo menos assim esperamos) a conferir sentido aos conteúdos matemáticos, do ponto de vista de alunos, graças a uma aplicação particular da teoria das histórias. Ilustramos nossas ideias com inúmeros exemplos pontuais. 

Temos também a pretensão de produzir material técnico para professores e alunos de licenciaturas, cobrindo toda a matemática do ensino médio, em diferentes modalidades. Esta redação já está em andamento.

Por enquanto, temos em mãos um artigo de trinta páginas (ainda em fase de produção) e um esboço de projeto com noventa páginas já escritas. Quando este material estiver minimamente apresentável, ele será disponibilizado gratuitamente para todos os interessados. Queremos transformar todo este material em um ponto de partida para ampla discussão e implementação de melhores técnicas de ensino.

Algumas das ideias desenvolvidas neste novo projeto foram brevemente discutidas neste blog. Outras são novas. Mas o espírito é sempre o mesmo: uma matemática melhor para os nossos jovens. 

Esta postagem não rompe com o fim do M&S. Pelo contrário, aquilo que poderia ser feito com este blog já foi realizado. Agora precisamos ousar um pouco mais, só isso. 

Um grande abraço

Adonai Sant'Anna

Diálogo?

Peço desculpas ao leitor, pelo fato desta postagem ser extensa. Mas lamentavelmente não posso omitir detalhes.

Quando publiquei a postagem na qual critico certas posturas dos ocupantes de prédios da UFPR, recebi uma resposta e um convite do movimento OCUPA EXATAS UFPR. Antes que esta resposta fique enterrada de uma vez por todas no Facebook, reproduzo aqui o texto original na íntegra, veiculado no dia 14 de novembro deste ano:

"Caro Professor Adonai,

Muitos dos que aqui ocupam o bloco PA e PC foram e são seus alunos, e por isso apreciamos seu oportuno posicionamento.

Algumas de suas críticas ao movimento são compreenssíveis, porém não se confirmam.

Citamos alguns exemplos, rebatendo algumas dessas críticas:

'Já não é fácil ter que encarar alunos que não estudam, que não perguntam, que não questionam o conhecimento supostamente estabelecido, que não conhecem coisa alguma do mundo onde vivem. Mas mais difícil ainda é encarar um movimento desfocado e inconsistente, em um ambiente míope e intelectualmente estagnado'

A greve estudantil, assim como as ocupações surgem exatamente para estudar, perguntar e questionar mais o mundo que vivemos, especificamente neste caso o modelo político vigente, que permite que a MP746 seja imposta sem o necessário diálogo e debate, o mesmo com a PEC 55. Se a condução desse debate está enviesada é passível de divergências, mas é inegável que se está discutindo e procurando entender melhor os meandros da PEC e da MP do que anteriormente ao movimento.

'O que se faz realmente necessário é conhecimento! E falo de conhecimento que demanda real esforço para ser alcançado.'

E conhecimento não é o que estamos tentando construir? Estamos nos esforçando para convidar os cursos ao debate, com contrários e favoráveis a nossas pautas. Assembleias de cursos, aulas públicas, reuniões constantes, leitura dos textos da PEC e da MP, estudos da história econômica do país para nos situarmos e entendermos essas medidas em todas suas dimensões, enfim, abordagens distintas para a análise mais completa que nos é possível, fugindo de simplificações e discursos enlatados.

'Os manifestantes demonstram serem ignorantes ou mal intencionados. Isso porque as melhores ideias jamais precisaram de movimentos populares para se estabelecerem. O domínio do fogo, a concepção da agricultura, a mecânica newtoniana, o cálculo diferencial e integral, a mecânica quântica, a teoria dos jogos e a teoria da evolução das espécies são ideias que naturalmente se inseriram nas sociedades desenvolvidas, por serem esteticamente belas e profundamente práticas. Houve aqueles que se sentiram ameaçados pelas ideias de Darwin e pela teoria heliocêntrica, entre outros exemplos históricos. Mas eles foram naturalmente calados pelo tempo.'

Aqui o argumento mais infeliz. Uma resposta completa e exemplificada nos demandaria mais espaço. Resumiremos alguns pontos.

Esquece-se do sangue derramado na luta pela consolidação do que o senhor afirma 'ideias que naturalmentes se inseriram nas sociedades desenvolvidas'. As grandes transformações sociais, as revoluções, banhadas ao sangue popular, que permitiram o surgimento de novas eras, rompendo o obscurantismo de eras anteriores, e.g., do feudalismo ao capitalismo, simbolizada também pela sangrenta revolução burguesa de 1789, na França.

O que seria da sua liberdade de cátedra sem o passado de luta de movimentos populares? O quão diferente seria o panorama da - ainda desigual - ciência brasileira, se não fosse pela luta de movimentos de emancipação da mulher, da liberdade do negro, pela democracia? Quantos colegas seus foram perseguidos, perderam o cargo, foram presos, torturados na luta pela liberdade de pensamento? Quantos novos Marie Curie, Ada Lovelace, Milton Santos, Neil deGrasse, Albert Einstein, Alan Turing poderíam ter surgido, mas ficaram pelo caminho, fuzilados, impedidos, esquecidos, proibidos por aqueles que alegavam, em nome da ciência de sua época, a legitimidade da opressão à mulher, do racismo, da perseguição a minorias étnicas e sexuais? 

A nossa luta é política, e isso não exclui a racionalidade. O senhor tenta passar a imagem de 'jovens despreparados emocionalmente', 'irracionais', mas em momento algum vemos alguma fundamentação para essas ilações, a não ser alguns sofismas muito comuns da crítica rasa que abundam pela internet, fruto da 'era da informação', citada também no seu texto. Não vemos análise alguma das pautas do movimento, a PEC 55 e a MP 746, o mais importante no momento.

'Parte de meu trabalho é lecionar para muitos alunos que não estudam, que não refletem, que não discutem.'

Aqui estamos estudando, refletindo e discutindo.

'Em contextos sociais, se uma ideia precisa ser imposta, isso significa que provavelmente não é uma boa ideia, mas apenas um delírio compartilhado por um punhado de hasteadores de bandeiras.'

A nossa pauta é exatamente a luta contra essas ideias impostas sem que suas necessidades sejam demonstradas: a PEC e a MP. O que fazer quando uma medida de amplo alcance e transformação como estas nos são impostas? Consentir ou reagir? Sobre a ocupações, o que estamos impondo é exatamente o que o senhor diz que mais falta aos alunos: o questionamento e a reflexão.

Finalmente, supor que aqui falte 'capacidade de discernimento' é subestimar aqueles que são e foram alunos seus. Como aqui defendemos as melhorias na pesquisa, qualidade da educação, sem cultivarmos inimigos internos, seja docente ou discente, decidimos convidá-lo para um diálogo em que as divergências sejam debatidas, com reflexões e questionamentos de ambas as partes, em que ideias não sejam impostas, mas construídas. Propomos uma data ainda essa semana, como sua agenda lhe permitir. 

Aguardamos uma resposta com data e local de sua preferência.

Atenciosamente, 

Ocupa Exatas UFPR."

Imediatamente respondi, aceitando o convite e propondo o debate para o dia 16 de novembro, às 19:00h. No dia seguinte à minha resposta, eu ainda não havia recebido qualquer retorno. Insisti. Foi quando finalmente recebi a seguinte mensagem:

"Estamos buscando um consenso no horário internamente, pois no ímpeto da resposta nos esquecemos das diversas atividades que os comandos de greve e as ocupações estão realizando essa semana, as quais não podemos atropelar. 

Teremos alunos participando da J3M do depto. de matemática, alunos da física em assembleias de curso,alunos da computação comprometidos com minicursos e oficinas até sexta-feira. Ainda temos também os professores que continuam a dar aula e a cobrar presença. Como o senhor dá aulas no horário de quarta às 19h, sugerimos para a próxima semana, dia 23, no mesmo horário, no auditório do departamento de informática, onde há conforto suficiente para todos. Aproveitaremos o tempo até lá para ampliar a divulgação, convocando mais estudantes e docentes a contribuir com o evento.

Ansiamos pelo debate."

No mesmo dia 15 respondi que eu concordava com a nova data. Perguntei se eu poderia fazer a divulgação do debate. Não obtive resposta. 

No dia 18 de novembro, motivado em parte por certos comentários anônimos que recebi em meu blog, insisti novamente com o movimento OCUPA EXATAS UFPR. Eu queria saber se eu poderia divulgar a data, o local e o horário do debate. Eu precisava apenas da confirmação desses alunos. Recebi a seguinte resposta:

"Sim, professor. Pode divulgar."

E foi o que fiz! Anunciei em minha página pessoal Facebook que, no dia 23 de novembro, haveria um debate entre alunos do movimento de ocupação e eu. Este debate aconteceria às 19:00h no auditório do Departamento de Informática da UFPR.

Pois bem. Cheguei ao local, na data e no horário combinados. Estavam lá cerca de vinte alunos meus e uma professora da UNIBRASIL que tem acompanhado com interesse esses movimentos estudantis recentes. No entanto, não havia um único representante dos alunos ocupantes. Não fomos recebidos por aluno algum do OCUPA EXATAS UFPR.

Por volta das 19:30h, dois alunos meus se dirigiram para o bloco PC, um dos prédios ocupados. Eles queriam saber por que não havia membro algum do movimento de ocupação para participar do debate. Segundo esses meus dois alunos, os ocupantes nada sabiam a respeito de debate algum. 

Por volta das 19:40h, um rapaz se aproximou de mim e pediu desculpas pelo transtorno provocado. Ele se identificou como um dos membros do OCUPA EXATAS UFPR. Segundo este rapaz, que afirmou ser aluno de Ciência da Computação, houve falha de organização para o debate, provocada por tumultos ocorridos na UTFPR. Minutos depois, outro membro do OCUPA EXATAS UFPR se aproximou de mim com um discurso semelhante. Estava bastante óbvio que o segundo membro do OCUPA EXATAS UFPR nada sabia a respeito do primeiro. 

Pois bem. O que aprendi com isso? Aprendi que não existe seriedade entre os alunos do OCUPA EXATAS UFPR. Em momento algum recebi qualquer mensagem pedindo para adiar a data do debate. Os alunos deste movimento simplesmente ignoraram um convite feito por eles mesmos.

Como não tive chance de conversar com aqueles que ironicamente se dizem abertos ao diálogo, coloco aqui mesmo o que eu gostaria de ter dito a eles:

1) É uma mentira a afirmação de que "[a] greve estudantil, assim como as ocupações surgem exatamente para estudar, perguntar e questionar mais o mundo que vivemos". Receber somente professores e alunos que apoiam o movimento, não cria ambiente algum de esclarecimento. Sou abertamente contra este tolo movimento estudantil. No entanto, fui convidado para um debate que foi posteriormente ignorado pelos próprios alunos ocupantes.

2) Comparar este movimento de ocupação de prédios públicos com a Revolução Francesa é simplesmente um disparate. Se esses alunos ocupantes realmente se julgam capazes de derramar sangue em um país como o nosso, no qual há liberdades que simplesmente não existiam na França monárquica, então eles estão dominados por uma cegueira ideológica potencialmente incurável. Além disso, qual é o critério racional que estabelece que derramamento de sangue é uma boa ideia? Já não basta o que aconteceu com Guilherme Irish? É este o tipo de legado que os ocupantes querem deixar para o país? É este tipo de legado que os ocupantes esperam de seus opositores? Não conseguem perceber que esta pobre noção de revolução somente coloca pai contra filho, alunos contra alunos, pessoas contra pessoas? Ou será que estes ocupantes acham que o Governo Federal se importa com o sangue derramado de um aluno que tentou lutar contra o sistema vigente?

3) A menção a preconceitos contra minorias também é ingênua. Por um lado, ignora outras visões preconceituosas (como a de que revoltas populares constituem caminhos legítimos para resolver problemas sociais). E, por outro lado, ignora o papel da educação no combate real, honesto e natural aos preconceitos. Não são gritos e imposições que serão capazes de vencer preconceitos. Pelo contrário, gritos apenas tornam as pessoas mais surdas. Pessoas jamais podem ser honestamente convencidas por mecanismos artificiais definidos por imposições arbitrárias. Quando digo que as melhores ideias conquistam naturalmente seu espaço, eu jamais insinuei que elas rapidamente conquistam seu espaço. A luta contra preconceitos não ocorre na forma de batalhas sangrentas, mas na forma de educação. É uma educação que deve começar na família, se formalizar nas escolas e se estender com o convívio diário com diferentes visões de mundo.

4) A partir do momento em que meus alunos e eu somos impedidos de entrar em uma sala de aula, definitivamente não tenho liberdade de cátedra alguma. Por conta disso, fortemente recomendo que parem de ser hipócritas.

5) As pessoas mais qualificadas para avaliar o eventual impacto da PEC 55 e da MP 746 jamais serão encontradas entre alunos que ocupam prédios públicos e muito menos entre aqueles que defendem ideologias radicais. Aprendam com a ciência de hoje, como são avaliados impactos sociais! O mundo evoluiu muito desde a Revolução Francesa. Aprendam com gente como Philip Tetlock, este sim um cientista político sério!

6) Alunos podem sim promover mudanças significativas para a sociedade. Querem saber como? Então aprendam com colegas seus! Aprendam com o exemplo da Polyteck!

7) Aqueles que querem mudar sociedades precisam, antes de mais nada, de cultura científica. Quem, entre os ocupantes, conhece teoria das decisões e sabe aplicá-la? Teorias científicas não são meros caprichos humanos. Teorias científicas ajudam a definir estratégias de impacto. A melhor decisão não é aquela que produz o melhor resultado! A melhor decisão é aquela que é tomada com bases racionais. 

8) Não existe UFPR! A Reitoria da UFPR entrou com pedido de reintegração de posse dos prédios ocupados ao mesmo tempo em que o Setor de Educação da UFPR publica nota de apoio ao movimento estudantil. Ou seja, a UFPR carece de unidade institucional. Isso mostra que os alunos, sejam ocupantes ou não, estão mergulhados em uma realidade desprovida de referências. 

9) Os alunos ocupantes apelaram para a estratégia da imposição justamente porque eles não contam com qualquer outra forma de apoio institucional. Os alunos ocupantes estão sozinhos nesta luta já perdida. E é neste momento que cabe a reflexão honesta: se não podemos lutar agora, devemos primeiramente nos armar. E a arma a ser usada é educação.

10) Como uma pessoa pode ser educada de forma sensata no Brasil? A resposta que proponho é a seguinte: iniciativa honesta e livre de ideologias ultrapassadas. Assim como André Sionek, Fábio Rahal e Raisa Jakubiak lutam diariamente contra um sistema engessado, disforme e quebrado, influenciando construtivamente milhares de estudantes por todo o país, cada um de nós pode fazer exatamente a mesma coisa. Se apenas três jovens são capazes de fazer a diferença, lutando consistentemente contra a mediocridade de nossa educação, imaginem o que milhares de alunos ocupantes poderiam estar fazendo agora!

Eu adoraria estar apoiando os alunos que são contrários ao atual governo federal. No entanto, praticamente todas as pessoas de nossa nação carecem de referenciais para um convívio social saudável. E os alunos, ocupantes ou não, igualmente navegam como meros náufragos nesta realidade corrompida de cola na escola, de agendamentos não cumpridos, de falta de sintonia com os mais recentes avanços das ciências e das artes, de jeitinhos desonestos para lidar com problemas do cotidiano.

Recebi neste blog comentários anônimos de alguém que disse que estaria presente ao debate, para me ensinar os princípios básicos da boa argumentação. Este alguém não se manifestou. E eu estava lá! Novo blefe dos encapuzados que se escondem no anonimato. E por que fazem isso? Porque são covardes. Porque não entendem que, em um debate, o que está em jogo são ideias e não pessoas. Alguns me disseram que eu perderia no debate. Outros disseram que eu ganharia. Tolices! Não estou disputando qualquer campeonato de debates. Estou apenas tentando acrescentar algo construtivo em meio a um ambiente de tumulto.

Se não querem ajuda, nada posso fazer. Não posso ocupar casas de ocupantes. Não posso forçá-los ao diálogo. 

Durante toda a minha vida estudei em escola pública. Tínhamos aulas de Educação Moral e Cívica e Organização Social e Política Brasileira. Essas disciplinas eram evidentes propagandas políticas da ditadura militar, semeadas entre jovens que não tinham acesso a internet, que não tinham acesso a visões diferentes de mundo. Engolimos a propaganda ideológica de morrer pela pátria e viver sem razão? Não! O que fizemos? Estudamos! Fizemos contato com a NASA, para recebermos por correio informações a respeito de outras realidades. Buscamos conhecimentos fora da escola. Criamos nossos próprios laboratórios domésticos. Escrevemos nossas próprias histórias ficcionais. Fizemos concursos para estabelecer quem escrevia a melhor enciclopédia. Fabricamos nossa própria pólvora. Fabricamos nossos próprios rádios sem pilhas. Participamos de feiras de ciências, sem apoio de professor algum. E conquistamos prêmios nessas feiras! Cavamos, lutamos, estudamos. Alguns de nós se tornaram médicos, químicos, matemáticos, filósofos e, claro, professores. E agora o que temos? O que temos são alunos que acham chata a leitura do Discurso do Método, de Descartes, e outros que ocupam prédios. Temos jovens que são norteados por visões tolas a respeito de revoluções sociais, verdadeiras vítimas de uma educação boçal que valoriza o consumo e esquece por completo o mundo das ideias, o mundo das verdadeiras revoluções produzidas pela ciência e pelas artes.

Gritar palavras de ordem em uníssono com alunos não é forma alguma de apoio à educação. Apoio à educação ocorre de forma diária e lenta. É algo que consome décadas de dedicação. Não se conquista educação da noite para o dia. Não se conquista educação com um clique no computador ou um berro na esquina. Se alguém neste mundo se julga informado por ter acesso à internet, este mesmo alguém deve agradecer aos céus por não estar sendo testemunhado pelos seus antepassados.

Lamento muito não poder levar a sério nem mesmo os jovens deste país. É realmente uma pena. Os jovens eram a minha última esperança. E até mesmo esta esperança está sob ameaça.

Na foto acima vemos o autor desta postagem e seus alunos, discutindo sobre mecânica celeste em frente ao prédio ocupado por alunos grevistas.

Na foto acima vemos o autor desta postagem e seus alunos, aguardando em vão os membros do OCUPA EXATAS UFPR.