Quando matemática é o horror

William Shakespeare disse: "O mundo inteiro é um palco." 
Oscar Wilde respondeu: "O mundo pode ser um palco. Mas o elenco é um horror."

Como estabelecer uma fronteira entre o erro e aquilo que simplesmente não gostamos? Eu, por exemplo, não gosto de chocolate com mais de 75% de cacau. É um erro existir chocolate com 80% de cacau? Certamente que não. Afinal, há quem goste. 

Eu também não gosto de aulas de matemática definidas por processos de mera doutrinação, sem a exploração de senso crítico, como já deixei claro em várias postagens deste blog. É um erro existirem aulas desse tipo? Bem, assim como há pessoas que não gostam de chocolate realmente amargo, há também aqueles que preferem não pensar muito (pelo menos sobre matemática) e, portanto, têm preferência por aulas de matemática nas quais não seja necessário o emprego de senso crítico. Portanto, se eu insistir que aulas doutrinárias e superficiais de matemática são um erro, especialmente no ensino básico, isso pode soar como mera opinião de uma alma inflexível. E talvez seja mesmo! 

É claro que eu defendo aulas de matemática de alto nível! Eu adoro matemática! Mas e as outras pessoas? 

Treze anos atrás, uma estudante italiana da quarta série, do Liceu Científico Leonardo da Vinci, entrou com uma ação na Justiça por ter sido reprovada em matemática. Ela alegou que simplesmente odeia matemática. A palavra era essa mesma: ódio. Esta disciplina, segunda ela, provoca profundo bloqueio psicológico. Um parecer feito por um renomado psicólogo confirmou: "Viviana L. nutre um medo obsessivo, uma verdadeira patologia psicológica, em relação à matemática." O Tribunal Regional de Trento decidiu, então, que Viviana deveria ser aprovada para a quinta série, apesar dessa decisão violar as regras da escola. 

Quem tem o direito de exigir que alguém estude matemática? Professores? Convenhamos que as opiniões de matemáticos sobre essa disciplina são obviamente tendenciosas. Pais? Raramente estão qualificados para opinar sobre educação. Governos? São impessoais e burocráticos. A sociedade? Bem, a sociedade é o horror de Oscar Wilde.

Vamos admitir, pelo menos por um instante, que não existe uma fronteira clara entre certo e errado e simples gosto pessoal. Recentemente publiquei uma postagem neste blog sobre as belicosas discussões entre pessoas de diferentes tendências políticas em nosso país. 

Poderíamos encarar tais discussões sob a perspectiva de simples gostos pessoais, na qual indivíduos brigam violentamente sobre "a proporção ideal de cacau em uma barra de chocolate". Soa ridículo sim. Mas soa ridículo pelo simples fato de que o chocolate em si é a questão menor. Em meio a discussões sobre gostos pessoais, comumente domina o desejo de indivíduos imporem suas preferências sobre outros. E esta conclusão não é precipitada, como argumento adiante.

Aspectos comportamentais sobre ansiedade matemática são conhecidos na literatura especializada há mais de meio século. Sabe-se, por exemplo, que ansiedade matemática provoca impacto negativo de longo prazo, atingindo até mesmo o desempenho profissional de pessoas. 

No entanto, foi somente em 2011 que alguém finalmente questionou: existe alguma fundamentação biológica para a ansiedade matemática? A resposta parece ser positiva. 

Em artigo publicado em Psychological Science, pesquisadores da Universidade Stanford finalmente revelaram que ansiedade matemática é um fenômeno neurológico semelhante a outras formas de ansiedade. A revelação foi feita a partir da análise de ressonâncias magnéticas feitas em crianças com idades entre sete e nove anos e que demonstravam sintomas de ansiedade matemática. As ressonâncias, realizadas enquanto essas crianças faziam contas de adição e subtração, revelaram elevada atividade da amígdala, estrutura do lobo temporal responsável pelo instinto de auto-preservação. Ou seja, as crianças estavam simplesmente com medo daquelas contas de adição e subtração. Elas estavam se sentindo ameaçadas.

No entanto, neurologistas não conseguem ainda determinar a origem da ansiedade matemática. Esta situação remete ao célebre, fundamental e persistente problema da causalidade em medicina: a hiperatividade da região associada a medo, angústia e fobias é causa ou efeito da sensação de horror? 

Por que neurocientistas demoraram tanto para demonstrar interesse sistemático no problema da ansiedade matemática? Existe algum preconceito social que justifique este atraso? 

Certa vez ouvi um psiquiatra afirmar que uma pessoa é mentalmente saudável quando ela não permite que suas emoções interfiram em seu cotidiano. Se for este o caso, então vivo em um verdadeiro hospício chamado de planeta Terra. 

Os pais da menina italiana que odeia matemática tentaram ajudar a filha, contratando um professor particular... de matemática. Ou seja, ao invés de buscarem um tratamento para a ansiedade da menina, simplesmente pioraram a situação, trazendo a matemática para dentro de casa. É como se uma vítima de aracnofobia fosse jogada em uma cova repleta de aranhas. 

Todo o nosso sistema educacional é fortemente sustentado por imposições aplicáveis a todos. Todos devemos estudar matemática nos ensinos fundamental e médio, independentemente de nossos perfis pessoais. Eu, por exemplo, tive sorte. Gosto de matemática. E tive a sorte de não ter sido obrigado a comer chocolate amargo durante os onze anos de ensino básico que tive. Afinal vivemos em uma sociedade que prioriza matemática sobre o chocolate. 

Os casos extremos de ódio ou fobia contra a matemática apenas ilustram de maneira dramática o fato de que esta ciência não conta com qualquer apelo sedutor universal. Mas e os casos que não são extremos? Devemos simplesmente ignorá-los e insistir na doutrinação de que todos devem ser submetidos a este ramo do conhecimento? 

Não tenho a pretensão de apresentar qualquer conclusão sobre como devemos abordar a matemática no ensino básico, especialmente nos casos de alunos que obviamente não têm interesse algum sobre o tema. Reconheço que pouco sabemos sobre a mente humana. E também reconheço que pouco sabemos sobre o papel da educação na sociedade. Mas isso não significa que devemos continuar a aceitar cegamente nossos processos educacionais e nossa cultura, que insistem em discursar e insinuar que o desgosto pela matemática torna pessoas menos inteligentes e mais facilmente marginalizadas. Matemática, assim como chocolate amargo, não é para todos.

O que é um número?

Algo que matemáticos aprenderam, melhor do que ninguém, é o convívio com a pluralidade de ideias. Não existe, em matemática, uma definição universalmente aceita para esclarecer o que é, afinal, um número. No entanto, matemáticos frequentemente trabalham com números, sem se preocuparem com a falta de convergência de ideias fundamentais. Então, qual é o sentido de escrever uma postagem sobre este tema? 

O que pretendo fazer aqui é apenas esclarecer alguns pontos importantes sobre números, ao mesmo tempo em que procuro desfazer alguns mitos muito comuns, não apenas entre leigos, mas até mesmo entre estudantes e professores de matemática. A visão intuitiva e bastante comum, de que números servem para contar e medir, simplesmente espelha uma percepção limitada e até corrompida do que se entende por números em matemática.

Antes de mais nada, preciso qualificar a linguagem que emprego aqui. Tudo o que é dito nesta postagem sobre números pode ser traduzido para uma linguagem formal de conjuntos. Para minimizar ambiguidades, apelo para a mais usual das teorias formais de conjuntos: Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha (ZFC) e algumas de suas variantes. No entanto, é perfeitamente possível adaptar as afirmações aqui feitas para outras teorias formais de conjuntos. 

ZFC é uma teoria formal com apenas dois conceitos primitivos: pertinência e igualdade. Em outras palavras, não existe em ZFC qualquer referência explícita a conjuntos. No entanto, compreender as "relações" entre pertinência e igualdade é um passo fundamental para entender conjuntos e, consequentemente, números. 

Comecemos com os números naturais. Frequentemente se diz que números naturais são números inteiros estritamente positivos (1, 2, 3, 4, 5, ...) ou números inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, 4, ...). Até mesmo o excelente site Wolfram apela para essa "explicação". Mas o problema aqui é óbvio: o conceito de número natural depende do conceito de número inteiro. Ou seja, o problema de qualificar números naturais está sendo delegado para números inteiros. Esta é uma solução deselegante e desnecessária. 

Os números naturais são apenas conjuntos que pertencem a um conjunto comumente denotado por N. Como se define este conjunto N? A maneira mais usual é através dos axiomas de Peano, em sua versão de primeira ordem. De acordo com esses axiomas, existe uma constante, chamada de zero, pertencente a N. Além disso, há uma operação - chamada de Sucessor - de tal modo que, se n pertence a N, então o sucessor de n também pertence a N. Esta operação pode ser definida usando o conceito de união entre conjuntos (o qual é garantido pelos axiomas de ZFC, que - não custa lembrar - simplesmente estabelecem as "relações" entre pertinência e igualdade). Os demais axiomas de Peano dizem que: (i) zero não é sucessor de elemento algum de N; (ii) se m e n pertencem a N, de modo que os sucessores de m e n são iguais, então m e n são iguais; e (iii) se S é um conjunto que contém zero e também o sucessor de qualquer número natural, então S contém todos os números naturais. 

Entre os números naturais é usual definir duas operações bem conhecidas: adição (+) e multiplicação (.). Essas duas operações são comutativas [m+n = n+m e m.n = n.m], associativas [m+(n+p) = (m+n)+p e m.(n.p) = (m.n).p] e admitem elemento neutro [m+0 = m e m.1 = m]. Além disso, vale a distributividade da multiplicação em relação à adição [m.(n+p) = m.n + m.p]. Tais operações podem ser recursivamente definidas a partir da operação de Sucessor. Em outras palavras, nada além de teoria de conjuntos está sendo usado aqui. 

Sim, números naturais podem ser usados para contar, como fazemos para determinar o número de frutas em uma cesta. Neste sentido, a teoria dos números naturais pode ser também compreendida como uma teoria física. Mas não é apenas isso. O estudo de números naturais é legitimamente matemático, sem precisar de uma correspondência com o mundo real. Tanto é verdade que a espécie humana conta o número de frutas em uma cesta desde muito antes dos axiomas de Peano serem enunciados. Se os axiomas de Peano se tornaram tema de estudos entre matemáticos, é porque estes perceberam aspectos sobre números naturais que transcendem as aplicações cotidianas de métodos de contagem. 

Já os números inteiros também podem ser definidos a partir de uma linguagem como aquela empregada em ZFC. Existem aqueles (e não são poucos) que insistem que números inteiros podem ser positivos ou negativos. Mas como expressar os conceitos de sinal positivo e sinal negativo na teoria de conjuntos? Os símbolos + e -, usualmente empregados para diferenciar um caso do outro, são meras notações. Nada esclarecem, do ponto de vista conceitual. Assim como uma farda não qualifica uma pessoa como policial, um sinal + ou - não qualifica um número inteiro como positivo ou negativo.

A principal diferença entre números naturais e números inteiros radica nas propriedades algébricas da operação de adição. A adição entre números inteiros admite a existência de simétricos, algo que não ocorre entre números naturais. Como se expressa isso? A resposta é simples. Análogos aos axiomas da adição entre números naturais são fortalecidos com um axioma extra para os inteiros que diz: para todo número inteiro m existe um inteiro n tal que m+n é igual ao neutro aditivo (zero). As demais propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números naturais (comutatividade, associatividade, elemento neutro e distributividade) são apenas copiadas entre números inteiros. Uma maneira de apresentar modelos para números inteiros é através de classes de equivalência de pares ordenados de números naturais (desde que certos cuidados sejam tomados em ZFC). Uma visão meramente intuitiva e indolor sobre essa construção de números inteiros a partir de números naturais pode ser encontrada neste link. 

Neste contexto, é um erro a afirmação muito comum de que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. O que de fato ocorre é que uma cópia canônica dos números naturais pode ser encontrada entre os números inteiros, uma vez que todas as propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números naturais estão copiadas entre os números inteiros. As famosas regras de sinais para a multiplicação entre inteiros são simples teoremas, neste contexto. É um mistério por que esse tipo de conhecimento não é abordado no ensino médio. Não há necessidade de apelar para ZFC, no caso de uma transposição de conhecimentos. Basta usarmos teoria intuitiva de conjuntos para que seja apresentada uma devida fundamentação para as conhecidas regras de sinais, as quais são costumeiramente vistas pelos alunos como meras arbitrariedades.

Com preocupante frequência costuma-se dizer também que números racionais são aqueles que podem ser representados na forma de frações p/q, sendo p e q inteiros e q diferente de zero. Ora, isso não faz sentido, por dois motivos: (i) Não existe divisão entre números inteiros (uma vez que não existem simétricos multiplicativos entre inteiros); e (ii) Não se estabelece um conceito a partir de uma notação. 

O que difere números racionais de números inteiros são as propriedades algébricas da multiplicação. A multiplicação entre racionais admite a existência de simétricos, exceto para o neutro aditivo (zero). Isso não ocorre entre números inteiros! Como se expressa essa ideia? A resposta é novamente simples. Análogos aos axiomas da multiplicação entre números inteiros são fortalecidos com um axioma extra para racionais que diz: para todo número racional r diferente de zero existe um racional s tal que r.s é igual ao neutro multiplicativo (um). A partir disso costuma-se falar de uma "operação" de divisão: r dividido por s é igual a r vezes o simétrico multiplicativo de s. No entanto, a divisão, neste sentido, não se trata de uma operação entre números racionais, uma vez que usualmente não se divide por zero. Operações, em uma linguagem como aquela empregada em ZFC, são funções (um caso especial de conjunto). E funções definidas sobre os números racionais devem permitir a identificação de imagens para todo e qualquer número racional. Como usualmente não se define divisão por zero, logo a divisão não é uma operação, mas apenas uma relação. As demais propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números inteiros (comutatividade, associatividade, elemento neutro, distributividade e simétrico aditivo) são copiadas entre os números racionais. Uma maneira de apresentar modelos para números racionais é através de classes de equivalência de pares ordenados de números inteiros (desde que certos cuidados sejam tomados em ZFC). Uma visão meramente intuitiva e indolor sobre essa construção de números racionais a partir de números inteiros pode ser encontrada neste link. 

É um erro comum afirmar que todo número inteiro é racional. Analogamente à discussão sobre naturais e inteiros, feita acima, entre os racionais existe uma cópia canônica dos números inteiros. De um ponto de vista meramente didático, gera-se muita confusão quando se afirma que todo inteiro é racional. Afinal, o número racional 3,000000... é conceitualmente diferente do inteiro 3. Isso porque números racionais podem ser representados por frações (uma vez que existe divisão). Por exemplo, 3,0000000... é igual a 30,00000... dividido por 10,00000... . No entanto, o inteiro 3 não é equivalente à razão entre os inteiros 30 e 10, uma vez que não é usual definir divisão entre inteiros. Quando um autor se refere ao racional 3,00000... através do símbolo 3, está apenas apelando para uma notação abusiva. 

O 3 inteiro é uma classe de equivalência de pares ordenados de naturais, enquanto o 3 racional é uma classe de equivalência de pares ordenados de números inteiros. As respectivas relações de equivalência que permitem definir tais classes de equivalência são discutidas nos links indicados acima. 

Números reais são diferentes de números racionais no seguinte sentido: além de admitirem cópias das propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números racionais, ainda garantem que toda sequência de Cauchy é convergente. A compreensão deste resultado demanda estudos sobre análise matemática. Números reais, do ponto de vista algébrico, constituem aquilo que se chama de corpo ordenado completo. Uma maneira simples para se apresentar um modelo de números reais a partir dos racionais é através de uma relação de equivalência entre sequências de Cauchy de racionais. Sequências de Cauchy de racionais que sejam convergentes (convergem para um racional) são representantes (em uma classe de equivalência) de cópias de racionais entre os números reais. Sequências de Cauchy de racionais que não sejam convergentes (não convergem para um racional) são representantes de números reais que não são cópias de racionais: estes são os conhecidos números irracionais. Uma explicação bastante acessível para este tipo de construção de números reais a partir de números racionais se encontra neste link. 

Já os números complexos são diferentes dos números reais no seguinte sentido: toda equação polinomial de uma variável, com coeficientes complexos, admite pelo menos uma raiz (Teorema Fundamental da Álgebra). Entre os números reais este resultado não vale. Por exemplo, a equação polinomial x^2 + 1 = 0 não admite solução entre os números reais, mas sim entre os números complexos. 

Portanto, o que diferencia números complexos de números reais são as propriedades algébricas da multiplicação. Todas as propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números reais são copiadas entre os complexos. No entanto, os complexos ainda permitem uma propriedade algébrica para a multiplicação que não pode ser copiada entre os reais: aquela que remete ao Teorema Fundamental da Álgebra.

Uma maneira simples de apresentar um modelo para números complexos a partir de números reais é através da definição de números complexos como pares ordenados de números reais. Não encontrei uma boa referência na internet para isso. Então explico rapidamente aqui mesmo. 

Um número complexo pode ser modelado como um par ordenado de números reais (r, s), desde que as operações de adição e multiplicação sejam definidas da seguinte maneira:

(r, s)+(t, u) = (r+t, s+u)
(r, s).(t, u) = (r.t-s.u, r.u+s.t).

Observe que, do lado direito de ambas as igualdades, estamos usando apenas operações entre números reais: adição e multiplicação (uma subtração a - b é apenas uma adição de a com o simétrico aditivo de b). 

A partir dessas operações de adição e multiplicação entre complexos é possível provar os seguintes teoremas:

I) (0,0) é neutro aditivo entre complexos.

II) (1,0) é neutro multiplicativo entre complexos.

III) (-1,0) é simétrico aditivo de (1,0).

IV) (0,1) elevado ao quadrado [ou seja, (0,1).(0,1)] é igual a (-1,0).

O teorema IV é surpreendente! Garante a existência de um número complexo cujo quadrado é igual ao simétrico aditivo do neutro multiplicativo. Não acontece fenômeno análogo entre os números reais! Nenhum número real ao quadrado pode resultar em um número real negativo. E é este resultado dos complexos (Teorema IV) que viabiliza o Teorema Fundamental da Álgebra! 

Consequentemente, podemos demonstrar o seguinte resultado: todo número complexo (a, b) pode ser escrito na forma (a, 0).(1, 0) + (b, 0).(0, 1). O que isso significa na prática? Ora, todos os complexos da forma (a, 0) ou (b, 0) são cópias dos números reais, no sentido de satisfazerem todas as propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números reais. Logo, podemos abreviar (a, 0), (b, 0) e (1, 0) como simplesmente a, b e 1, respectivamente. Esta é uma notação abusiva, mas muito comum. Como a constante (0, 1) tem uma propriedade algébrica bizarra (se compararmos com os números reais), costuma-se denotá-la como i e chamá-la de unidade imaginária. Logo, a expressão

(a, 0).(1, 0) + (b, 0).(0, 1)

é simplesmente abreviada como

a + bi.

O erro comum entre livros didáticos está na afirmação de que a e b são números reais. Isso é falso! a e b são números complexos que são cópias canônicas de números reais. Não faz sentido algum afirmar que a e b são números reais. Afinal, como pode um número real b ser multiplicado por i (algo que evidentemente não é real) e ainda somarmos o resultado com o número real a? É esse tipo de erro que contribui muito em visões distorcidas da matemática entre alunos. 

Além de todos esses exemplos, ainda existem os números hipercomplexos, hiperreais, surreais, transfinitos, entre muitos outros. Quais seriam esses muitos outros? Bem, dependendo da fundamentação conjuntista adotada, os próprios conceitos de números naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, hipercomplexos, hiperreais, surreais e transfinitos, mudam. A escolha de diferentes teorias formais de conjuntos acarreta em diferentes formulações para o conceito de número. Além disso, nada impede que tais conceitos de número sejam formulados em teorias formais axiomáticas que nada tenham a ver com conjuntos, como as formulações categoriais para a matemática. 

E, para finalizar esta postagem, quero também lembrar que a visão usual de que números reais servem ao propósito de medir (como se faz em física ou engenharias), apresenta outro tipo de limitação. Físicos e engenheiros não precisam necessariamente usar números para medir. 

Em seu célebre e brilhante livro Science Without Numbers, o filósofo Hartry Field apresenta uma convincente argumentação em favor do nominalismo em filosofia da matemática. Nominalismo em matemática se sustenta na tese de que objetos matemáticos simplesmente não existem ou, pelo menos, não existem na forma de conceitos abstratos. Neste contexto, Field mostra como desenvolver uma cópia da teoria gravitacional de Newton sem usar números.

Enfim, é bem possível que matemáticos simplesmente não saibam o que estão fazendo.
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Nota: Fui alertado agora há pouco (13/05/2015 - 22:16h) que existe sim uma ótima referência (em português) na internet para números complexos. Basta clicar aqui para acessar.

Como ler sobre ciência sem ficar lelé da cuca

Enquanto desenvolvo os vídeos educativos anunciados, além de cumprir com as minhas obrigações como docente e pesquisador, consigo encontrar algumas brechas de tempo para escrever postagens. Vamos lá.

A neurocientista brasileira Suzana Herculano-Houzel lançou no mês passado o livro Falando Ciência: Guia prático para comunicar ciência aos seus pares e ao público sem arrancar os cabelos. A ideia da autora, em princípio, é muito boa. Afinal, qual é o valor social do conhecimento científico se ele não puder ser aplicado ou, pelo menos, compartilhado? E como justificar a investigação científica perante o público se seus resultados forem conhecidos apenas por aqueles que desenvolvem a ciência? 

Mas creio que seria igualmente importante alguém escrever uma obra um pouco mais fundamental, intitulada "Ouvindo Ciência: Guia prático para entender ideias novas sem arrancar os cabelos dos outros".

Como muitas atividades sociais (incluindo educação, música, teatro, cinema e política, entre outras), a ciência enfrenta grave crise. A última novidade foi publicada hoje, no site de notícias The Independent. De acordo com Richard Smith, ex-editor do prestigiadíssimo British Medical Journal (BMJ), "a maior parte do que é publicado em periódicos científicos hoje em dia está simplesmente errado ou carece de sentido". Em palestra na Royal Society, Smith relatou um experimento muito simples, realizado quando ele editava o BMJ. Um pequeno artigo científico, contendo oito erros intencionalmente colocados, foi enviado a 300 pesquisadores que costumam trabalhar como avaliadores para aquele periódico. Nenhum dos avaliadores encontrou mais do que cinco erros. A média foi de dois erros encontrados, para cada revisor. E 20% desses revisores não encontrou erro algum. Se o atual sistema de avaliação de artigos científicos - para fins de publicação em periódicos especializados - fosse uma droga sob testes, jamais entraria no mercado. Isso por conta de inúmeras evidências de indesejáveis efeitos colaterais, mas sem evidências convincentes de benefícios, afirma Smith. 

A raiz do problema reside, entre outros fatores, em conflitos de interesses entre pesquisadores e obsessão por modismos científicos. E este fenômeno tem criado também enormes obstáculos para a veiculação de ideias genuinamente originais e relevantes.

Ora. Se a própria comunidade científica encontra crescente dificuldade para conferir credibilidade no que faz, mesmo entre seus pares, o que deve pensar um leigo que se interesse por ciência?

Por conta disso, fiz uma breve lista de dicas para ler e ouvir ciência. Espero que o leitor aproveite bem essas recomendações.

1) Não se impressione com vocabulário técnico. Ciência é uma atividade humana que faz uso de termos linguísticos e modos de pensar nem sempre encontrados no cotidiano do público leigo. Portanto, é muito fácil usar terminologias e modos de inferência que simplesmente induzem ao erro. Um exemplo bem conhecido é o célebre embuste do monóxido de dihidrogênio. Esta substância é o principal componente da chuva ácida, contribui para o Efeito Estufa, pode causar queimaduras severas, acelera a corrosão e oxidação de metais e já foi encontrada em tumores retirados de pacientes com câncer. No entanto, é empregada na fabricação de refrigerantes e sucos industrializados, bem como na produção de fast food. Devemos combater o emprego de monóxido de dihidrogênio na indústria alimentícia? Certamente que não. Afinal, monóxido de dihidrogênio é simplesmente um termo técnico para água.

2) Desconfie de afirmações exageradamente surpreendentes. Se um autor afirma categoricamente algo que lhe parece muito estranho ou surpreendente, consulte especialistas ou outras fontes confiáveis, para cruzar informações. Jamais confie em um único autor, mesmo que publique suas ideias em um veículo científico bem conhecido e respeitado. Procure conhecer a repercussão dessas ideias na comunidade científica. Por exemplo, nenhum físico sensato afirma de maneira categórica que o Big Bang determinou o nascimento do universo bilhões de anos atrás. O que se afirma, de maneira responsável e bem qualificada, é que existem evidências muito convincentes de que o universo conhecido surgiu a partir de uma grande explosão hoje conhecida como Big Bang. Citando mais um exemplo, este mês o neurocientista brasileiro Miguel Nicolelis publicou um pequeno livro em parceria com Ronald Cicurel, no qual defende que máquinas de Turing jamais conseguirão simular o cérebro humano. Este é um belo exemplo muito recente de afirmação bombástica que certamente gera muita desconfiança. Cuidado! 

3) Desconfie do senso comum. Com intimidadora frequência, "senso comum" significa simplesmente "repetição de jargões populares resultantes de reflexão superficial". Afirmações como "é lógico que x = x", "a toda ação corresponde uma reação", "tudo é relativo", "o homem descende do macaco", "é impossível dividir por zero", "postulado é uma verdade evidente", "o gato de Schrödinger está vivo e morto ao mesmo tempo", entre outras, nada têm a ver com ciência. Toda ideia de caráter científico depende de um contexto que deve ser cuidadosamente avaliado. Não se resume ideias relevantes da ciência, de maneira responsável, em uma ou duas frases.

4) Evite autores que opinam sobre ciência sem jamais terem feito contribuições científicas. Para opinar, é preciso conhecer. E, para conhecer, é preciso fazer. Quem faz ciência, publica suas ideias em veículos especializados. Quem não publica em veículos especializados, não conhece ciência. Simples assim. Não existe conhecimento científico passivo, que se aprende apenas lendo. Ciência é uma atividade que demanda sofisticado requinte intelectual, o qual só pode ser desenvolvido com muita prática. Assim como um atleta nada aprende de relevante apenas acompanhando atividades físicas de seu treinador, nenhuma pessoa aprende ciência sem fazer ciência. Livrarias e internet estão repletos de livros e artigos de autores que opinam sobre ciência sem jamais terem se qualificado para isso. É claro que fazer ciência não é suficiente para opinar sobre o tema. Afinal, não são poucos os experientes profissionais que erram gravemente em seus pareceres, como ilustrei acima. No entanto, é fundamentalmente necessário.

5) Desconfie de quem grita e de quem especula. Aqueles que tentam impor ideias, são meros doutrinadores. E ciência não é uma doutrina. Quem tenta impor que "ciência é uma atividade racional", não demonstra racionalidade. Quem afirma ser cético, deve cultivar o ceticismo sobre seu próprio ceticismo. Quem afirma que uma máquina de Turing jamais poderá simular as funções do cérebro humano, está apenas especulando. Conhecimento científico só pode ser adquirido com muito empenho, muita discussão e muita paciência. 

6) Conheça noções básicas de argumentação. Saiba diferenciar argumentos dedutivos de indutivos. Conheça pelo menos as formas mais comuns de falácia. E perceba a diferença entre debates e embates.

Como aumentar a sua inteligência

Esta postagem se refere àquilo que psicólogos cognitivos chamam de inteligência fluida, a capacidade de aprender novas informações, mantê-las em nossos cérebros e usar este novo conhecimento para resolver problemas e desenvolver novas habilidades.

O texto que segue abaixo é baseado em uma palestra ministrada por Andrea Kuszewski, na Universidade Harvard, em 2010. Uma versão escrita e detalhada desta palestra se encontra neste site.

Andrea Kuszewski é terapeuta e consultora, especializada em autismo. As técnicas relatadas em sua palestra permitiram, entre outros resultados, aumentar o QI de uma criança autista, de 80 para 100 pontos, em três anos. Por conta de uma propriedade cerebral chamada de neuroplasticidade, é possível sim aumentar significativamente a inteligência fluida de qualquer pessoa.

Aqui estão as atividades que Kuszewski aponta como fundamentais para o crescimento da inteligência fluida. Todas as atividades devem ser executadas permanente e concomitantemente. 

1) Buscar novidades. Os grandes gênios da ciência sempre tiveram múltiplos interesses intelectuais. Estagnar o cérebro em uma única área do conhecimento ou atividade intelectual é uma péssima ideia. É fundamental a abertura para novas experiências. Aquilo que é novo para o seu cérebro, desencadeia novas conexões sinápticas, aumentando a atividade neuronal. Além disso, novidades ativam a dopamina, um neurotransmissor que, entre outras coisas, aumenta a motivação. Ou seja, a busca por novidades estimula a própria busca por novidades. Por isso, se sua área de interesse é matemática, certamente a apreciação de boa música, o estudo de história e o aprendizado de pintura são algumas opções para melhorar seu desempenho matemático. Conhecimentos estreitos conduzem a visões estreitas.

2) Enfrentar desafios. Existe vasta literatura sobre o papel de jogos, como Sudoku e Tetris, para melhorar a inteligência de pessoas. No entanto, em geral, esta literatura carece de fundamentação científica. Jogar Tetris pode melhorar temporariamente certas habilidades cognitivas. Mas uma vez que o jogador domine o jogo, persistir com Tetris inevitavelmente resultará em queda de atividade cerebral. Desafios precisam ser renovados. Ou seja, deve haver uma incessante busca por problemas. Quanto mais difíceis de serem resolvidos, melhor. Um matemático, por exemplo, que domine técnicas de demonstração e resolução de problemas em topologia, deve buscar por desafios completamente novos. Caso contrário, sua atividade cerebral diminuirá e sua inteligência será comprometida. Eficiência não é amiga sua, no que se refere a crescimento cognitivo.

3) Pensar de maneira criativa. Ao contrário do que diz a crença popular, criatividade envolve ambos os hemisférios do cérebro humano, e não apenas o direito. E pensamento criativo, neste contexto, nada tem a ver com produção artística, mas com cognição criativa. Cognição criativa envolve a associação entre ideias aparentemente distantes, intercâmbio entre formas tradicionais e formas atípicas de pensamento, e a geração de ideias originais que sejam adequadas para as atividades que você exerce. Resolver problemas de matemática, por exemplo, apelando apenas para analogias com o mundo real, é o mesmo que matar a criatividade. Além disso, problemas não podem ser resolvidos de uma única forma. Criatividade deve ser estimulada e não enterrada. 

4) Seguir o caminho mais difícil. A tecnologia tem tornado o mundo mais eficiente, permitindo que as pessoas tenham mais tempo para se concentrar naquilo que é realmente importante. Certo? Errado. O emprego sistemático de GPS, por exemplo, piora a noção de localização espacial de pessoas. Como já foi indicado, eficiência é um inimigo do cérebro. Nem todas as novas tecnologias são nocivas para o intelecto humano. Mas compensações são necessárias. Faça contas sem usar calculadoras. Siga para um destino desconhecido sem usar GPS. Escreva textos impecáveis sem usar corretores ortográficos; e reescreva esses textos, para que fiquem realmente atraentes. Leia textos em idiomas estrangeiros, sem usar tradutores. Faça sua própria comida. John F. Kennedy disse, no mais belo discurso que já ouvi: "Nós iremos para a Lua não porque é fácil, mas porque é difícil." Em nosso país reina a tradição do caminho mais fácil. Isso deve mudar.

5) Formar redes sociais. Não importa se suas redes sociais operam via Facebook, Twitter ou contato pessoal. O fato é que a condição humana é de caráter social. Coloque a cara para bater. Exponha suas ideias. Mantenha contato com quem sabe muito mais do que você; é preciso aprender. Mantenha contato com quem sabe muito menos do que você; é preciso ensinar. Mantenha contato com aqueles que pensam como você, mas também com aqueles que pensam diferente. Troque ideias sobre ciência, educação, música, cinema, teatro, história, religião, vida. Uma vida social rica é fonte de novidades, é a oportunidade de encontrar desafios, é a inspiração para soluções criativas, e é o mais difícil caminho de todos. Mas vida social rica não se traduz na forma de quantia de pessoas, porém na forma de diversidade de visões. 

Seja bem-vindo à espécie humana.

Racionalidade, emoção e educação

Como bem coloca Ronald de Souza, racionalidade é definida por coerência e consistência no âmbito das crenças, e otimização de resultados no âmbito das ações. No entanto, racionalidade é insuficiente para definir as ações de um organismo. Levando em conta a existência de infinitas possíveis metas, infinitas possíveis estratégias e infinitas possíveis consequências para cada ato (a menos de casos muito particulares que imponham restrições), emoções desempenham papel fundamental na tomada de decisões de, por exemplo, pessoas. 

Após milhares de anos de estudos e considerações, filósofos e psicólogos finalmente conseguiram chegar a vários pontos de convergência, quando o assunto é "emoções". E um dos pontos de convergência é o seguinte: "Nenhum aspecto da mente humana é mais importante para a qualidade e o significado de nossa existência do que emoções."

Agora somemos a este consenso os seguintes fatos compartilhados na literatura de filosofia e psicologia:

1) Emoções são tipicamente fenômenos conscientes; mas a tendência de manifestar certas emoções é, em geral, inconsciente.

2) Emoções não podem ser discriminadas apenas por conta de aspectos fisiológicos.

3) Emoções são tipicamente manifestadas na forma de desejos, apesar de nem sempre ser o caso.

4) Emoções não podem ser confundidas com bom ou mal humor, apesar de poderem ser afetadas por humor.

5) Emoções antagonizam racionalidade.

6) Emoções executam um papel crucial na vida social, na educação moral e na vida moral.

Todos esses fatos concatenados levam a algumas conclusões um tanto perturbadoras. Uma delas é a seguinte: A vida nas sociedades humanas é definida por aspectos mentais individuais que não são conscientemente controlados. 

TMI é uma empresa de consultoria e treinamento no mundo dos negócios. De acordo com esta empresa, valor emocional é "o valor econômico dos sentimentos do cliente, quando este tem uma experiência positiva sobre produtos e serviços." Apesar desta visão sobre valor emocional não estar bem qualificada, ela reflete um fenômeno social muito real: a quantificação monetária de emoções. 

Vejamos o exemplo de ativos negociados na Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa). Todo especulador ou investidor experiente conhece o fundamental peso de emoções sobre o mercado financeiro. Quando circulou a notícia de que a candidata à Presidência da República Marina Silva daria um salto na última corrida presidencial, a Bovespa registrou altas em preços de ações da Petrobras e do Banco do Brasil, entre outros ativos associados a estatais. Espero que leitor perceba que não estou avaliando eventuais méritos ou deméritos de Marina Silva ou sua concorrente, Dilma Rousseff. Estou apenas considerando o peso de emoções no mercado financeiro. Cotações de ações ou até mesmo de moedas estrangeiras são fortemente influenciados por emoções, como euforia e medo. Os valores nominais atribuídos a ativos não deixam de espelhar simples valores emocionais. 

Quando o músico norte-americano Jack White comprou a primeira gravação de Elvis Presley por trezentos mil dólares, alguns comentaristas afirmaram que nenhuma peça de vinil vale tanto, alegando que o disco em questão estava em mal estado. No entanto, esses mesmos comentaristas demonstram claramente que não entendem o conceito de valor de mercado. O disco de Presley vale sim trezentos mil dólares simplesmente porque alguém o comprou, pagando esta cifra. O valor de um bem ou serviço é determinado naturalmente, pelas relações entre vendedor e comprador.

No Brasil, por exemplo, professores comumente reclamam que são mal pagos, principalmente quando trabalham para o governo federal ou para governos estaduais e municipais. No entanto, são mal pagos simplesmente porque aceitam serem mal pagos. Se um professor sentisse que seu trabalho vale mais, não se submeteria a um salário inferior. 

O fato é que educação não é considerada prioridade no Brasil. Por mais discursos supostamente racionais que existam a favor da valorização da educação, não é este o sentimento que domina a nossa sociedade. E, entre emoção e razão, é sempre a primeira que fala mais alto. Mesmo instituições privadas de ensino, em geral, pagam pouco pela hora-aula lecionada. 

Recentemente um colega meu pediu para que eu o ajudasse a encontrar um professor de matemática para uma escola privada de ensino médio. Trata-se de uma escola diferenciada, com aulas ministradas em inglês. Um dos objetivos desta instituição de ensino é preparar seus alunos para ingressarem em universidades de elite, espalhadas nos Estados Unidos e Europa. O salário oferecido ao professor: cinco mil reais brutos, por vinte horas semanais. 

Uma universidade norte-americana ou europeia de elite é uma instituição que prepara futuras lideranças profissionais que certamente conquistarão rendas muito superiores a cinco mil reais mensais. Então, por que um professor bem qualificado aceitaria trabalhar em uma instituição como esta escola de ensino médio? Simplesmente porque mesmo este professor qualificado sente que este é o valor de seu trabalho. 

Na atividade científica mundial ocorre fenômeno parecido. Cientistas e pesquisadores frequentemente são procurados por editores de periódicos científicos para escreverem pareceres técnicos a respeito de artigos submetidos para publicação. E estes pareceres são invariavelmente feitos sem pagamento algum. Quantos são os advogados, médicos, arquitetos, músicos, psicólogos, engenheiros e administradores que emitem pareceres profissionais sem jamais cobrarem um único centavo? Difícil lembrar de alguém que faça isso. Mas quantos são os cientistas que emitem pareceres técnicos sem cobrarem algo em troca? Bem, todos.

Ciência e educação não estão entre as prioridades sociais da maioria das nações. No Brasil, claro, educação parece valer menos do que na Finlândia, um país socialmente atípico.

Mas se pode existir uma nação atípica como a Finlândia, por que o Brasil não pode ser igualmente atípico? Afinal, emoções comumente se manifestam na forma de desejos, como bem sabem psicólogos e filósofos. E o que desejam nossos professores?

Alunos babilônicos

Enquanto produzo a série de vídeos educativos que, em breve, serão disponibilizados gratuitamente, aqui vai uma discussão sobre um tipo muito peculiar de aluno que tem se tornado cada vez mais comum nas salas de aula. É aquilo que chamo de aluno babilônico. 

Babilônia foi uma região que abrigou uma civilização no Oriente Médio, milhares de anos atrás. Os textos babilônicos mais antigos, sobre matemática, datam de 1900 a 1600 a.C.. É bem sabido, por exemplo, que os babilônios sabiam extrair a raiz quadrada de números (hoje chamados de positivos), usando média aritmética. O método era muito simples e intuitivo.

Digamos que os babilônios quisessem calcular a raiz quadrada de 17. Neste caso, o número 4 era considerado como uma primeira aproximação. Afinal, o quadrado de 4 é 16, algo próximo de 17. Em seguida, eles calculavam a média aritmética entre 4 e 17/4. Apesar de 17/4 ser diferente de 4, o produto entre ambos ainda é 17. A média aritmética entre esses dois valores resulta em 4 + 1/8. Este resultado é uma segunda aproximação, bem mais próxima da raiz quadrada de 17. Para obter uma terceira aproximação, basta repetir o processo, calculando a média aritmética entre 4 + 1/8 e 17/(4 + 1/8). O resultado será um número real mais próximo ainda da raiz quadrada de 17. Enquanto se desejar aproximações melhores, basta repetir este processo. 

O leitor deve perceber que o método babilônico para calcular raiz quadrada (de números reais positivos que não sejam quadrados perfeitos) é um rudimento de método numérico, criado muito antes de computadores serem sequer imaginados. 

Hoje em dia existem múltiplas maneiras para justificar o método babilônico, do ponto de vista matemático. Mas quero focar em uma justificativa em especial: o método de Newton-Raphson. 

A aplicação do método de Newton-Raphson para determinar os zeros de uma função real f, com domínio nos números reais e dada por f(x) = x^2 - 17, nos leva ao processo iterativo

x(n+1) = [x(n) + 17/x(n)]/2,

onde n é um número natural. Esta é uma tradução do método babilônico (no exemplo acima) para uma linguagem atual.

No entanto, há uma característica nesta aplicação do método de Newton-Raphson que mostra algo interessante. Poderíamos usar procedimento análogo para determinar os zeros de uma função g(x) = x^m - a. Desta forma seria possível calcular a raiz m-ésima (m é um inteiro positivo) de qualquer número real positivo. Por que os babilônios não sabiam disso?

Bem. Apesar de Isaac Newton e Joseph Raphson não terem vivido em um império babilônico quatro mil anos atrás, este fato não responde à questão dada acima. O método de Newton-Raphson estabelece que uma raiz m-ésima de um número real a ainda pode ser calculada por aproximações, envolvendo simples média aritmética entre m parcelas. 

Ou seja, se os babilônios sabiam que a raiz quadrada pode ser calculada por aproximações envolvendo média aritmética entre duas parcelas, por que não cogitaram que a raiz cúbica pode ser calculada por aproximações envolvendo média aritmética entre três parcelas? Parece um passo natural. 

A resposta que Lucas Bunt e colaboradores apresentam neste fabuloso livro sobre história da matemática elementar é a seguinte: a matemática babilônica não era sustentada por generalizações ou justificativas, mas apenas por exemplos pontuais. E este é um aspecto crucial para que eu defenda a tese da presença do espírito babilônico nos dias de hoje.

Tomo como exemplo uma turma de cálculo diferencial e integral que tenho atualmente. A maioria dos alunos dessa turma é completamente incapaz de exemplificar a aplicação de um teorema, mesmo após a sua demonstração. Mas é perfeitamente capaz de repetir um procedimento se eu apresentar um exemplo. Ora. Esta é justamente a forma de pensar dos matemáticos babilônicos de quatro milênios atrás! 

Teoremas, lemas, proposições, corolários, definições, equações e funções, para muitos alunos, constituem aquilo que eles chamam de "letrinhas". Se houver um x ou um y ou um n, eles nada compreendem. Não são capazes de usar as tais das "letrinhas" como ferramenta de generalização. E são incapazes também de fazer inferências elementares. Mesmo diante de uma média aritmética escrita na lousa, não são capazes de reconhecer aquilo como uma média aritmética. Isso porque média aritmética, pelo menos em suas vidas, sempre se limitou à aplicação sobre notas em provas, para determinar média final. Sem um exemplo pontual de qualquer outra aplicação de média aritmética, este conceito passa a ser imperceptível diante de suas mentes. 

Como lidar com mentes babilônicas no mundo de hoje, que tanto evoluiu ao longo de quatro mil anos? Como lidar com jovens definidos por mentes tão velhas e antiquadas?

Em artigo recente, publicado em um dos mais prestigiados periódicos especializados em educação, Emily Schoerning e colaboradores defendem a adoção de técnicas comuns à investigação científica para lecionar ciências, especialmente no ensino elementar. Sem métodos de investigação baseados em argumentação, não é possível lecionar ciências. 

Sim. Claro! Mas como promover isso se os próprios professores de ciências não têm contato direto com a prática científica do questionamento, da validação, da busca por evidências, da generalização, da argumentação? Nossos professores não passam de meros repetidores daquilo que está escrito em livros péssimos.

Professores medíocres que abandonaram seus próprios cérebros, alunos defasados em quatro mil anos, livros ruins, internet com conteúdos limitados e não confiáveis e famílias que não estimulam o conhecimento científico, fazem parte de uma poderosa rede social que alimenta apenas a si mesma. 

A solução que vejo? Vender perucas auriculares. Talvez mentes babilônicas tenham interesse nisso.

A geração do começo sem fim

Fala-se muito, hoje em dia, sobre técnicas de ensino, em formas para professores se comunicarem melhor com os seus alunos. No entanto, não parece haver preocupação com técnicas de audição, de leitura, de observação. A verdade é que cada vez mais pessoas querem ser ouvidas, sem terem a habilidade de ouvir. 

A indústria fonográfica, por exemplo, já compreendeu há muito tempo que a capacidade de concentração média dos jovens está caindo e é hoje inferior a de peixes. Por conta disso que as músicas populares de sucesso estão perdendo qualidade, justamente para acompanhar a capacidade cognitiva do público. 

Enquanto isso, pedagogos e educadores em geral procuram desesperadamente conseguir a atenção de jovens que, a cada dia, perdem a capacidade de ouvir, ler ou observar. 

Por conta deste perturbador fenômeno social, convidei Alan Carlos Ghedini para escrever uma postagem neste blog. Ghedini foi aluno meu no Curso de Física da Universidade Federal do Paraná. Hoje ele é historiador, graduado pela Universidade do Estado de Santa Catarina, e professor. É também um dos responsáveis pelo site Inventando História. 

Em postagem a ser publicada até setembro deste ano, pretendo discutir sobre uma proposta concreta para combater pelo menos parte dos problemas da atual realidade educacional em nosso país. Enquanto isso não acontece, peço ao leitor que acompanhe (até o fim, é claro) o texto abaixo de Ghedini. Nele o autor fala sobre navegabilidade no universo do conhecimento. E isso me faz lembrar de um dos mais conhecidos livros de Charles Dickens, obra na qual a personagem David Copperfield questiona: "Se serei o herói de minha própria vida, ou se essa posição será ocupada por alguma outra pessoa, é o que estas páginas devem mostrar." 

Navegar na internet tem sido sinônimo da condição de um náufrago. Sem instrumentos e sem a capacidade de ler esses instrumentos, jamais sairemos dessa condição.

Desejo a todos uma leitura crítica.
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No caminho do conhecimento, enredados na eterna introdução

de Alan Carlos Ghedini

Creio que não seja surpresa afirmar que as novas gerações sofrem, hoje, de um grande empobrecimento de vocabulário e, portanto, da capacidade de entender textos cuja escrita vá para além do trivial. A velocidade da internet e da hiperconexão trouxe inúmeros benefícios e, igualmente, novos e, não raro, atemorizantes desafios. Se a pressa for, de fato, inimiga da perfeição, então nos encontramos cada vez mais distantes desta última.

Como professor, tenho observado com bastante preocupação que a ampla maioria dos estudantes, sejam de instituições públicas ou particulares, de ensino fundamental, médio ou superior, tem demonstrado desconhecimento sobre o próprio idioma. E não se trata de desconhecer termos essencialmente técnicos a uma área ou coisa que o valha, mas de realmente não entender palavras que há quinze anos seriam conhecidas pelos estudantes. Enfim, se um livro é produzido para estudantes de ensino médio, poderíamos supor que fossem capazes de entender o que ali está escrito. Ledo engano!

Não, decididamente não se trata de baixa habilidade cognitiva. Longe disso, trata-se mesmo de ignorância, não como ofensa, mas no sentido de ignorar, de não conhecer o que se lê. A geração atual de estudantes de Ensino Médio e de jovens universitários é filha da Era Harry Potter, que em tempos fez todo um espectro de estudantes voltarem suas atenções à leitura, na ânsia pelo destino do jovem bruxo tema da série. Porém, o que parecia ser solução, mostrou-se apenas a lente que foi capaz de magnificar a dimensão do problema que temos em mãos.

Sinceramente não pretendo realizar alguma discussão sobre o "internetês" e suas armadilhas. Minha preocupação é que há um visível empobrecimento léxico da atual geração. Às vezes a impressão que se tem é que se lê muito, mas a questão que deve ser feita, de fato é: "lê-se o que e com que qualidade?"

A internet popularizou o texto, transformou a todos em escritores, afinal todos podemos ter e manter, gratuitamente, um blog como este em que publico. Mas se há o mérito da popularização das ideias, há o demérito da banalização destas. Todos têm opinião. No entanto, raros são aqueles que bem a fundamentam, com o relato de sua vivência ou com o uso de um arcabouço teórico adequado.

Como educador de Ensino Médio, preocupa-me de modo bastante urgente sobre o tipo de leitura que têm os estudantes. Vivemos a era da "eterna introdução", a era Wikipedia, em que o estudante vai ao dito site para ler um artigo e, ainda na introdução, uma palavra é link para outro assunto, link que é, sem demora, aberto sem que antes tenha o leitor concluído sequer o começo do texto em que estava originalmente. Não mais se compreende o que significa a base "Introdução - Desenvolvimento - Conclusão".

Pode não parecer algo sério a priori, porém o é. Já é quase comum que, em meio a uma discussão, alguns interlocutores não mostrem capacidade de organizar seus argumentos. O tal do brainstorm tem sido, essencialmente, storm, com todos os raios e trovões a que têm direito sem, contudo, qualquer sombra da esperada bonança. Como podemos, afinal, esperar coerência e boa argumentação se tudo o que temos é apenas a introdução de uma ideia, e não ela em seu pleno desenvolvimento?

Se antes tínhamos hipótese, tese, antítese e síntese, hoje estamos cada vez mais cercados da primeira e cada vez menos brindados com a última. Não se vê estudantes gerando conhecimento como poderiam, mas antes vemos nossos alunos consultando o Google - verdadeiro oráculo da contemporaneidade - buscando ali respostas prontas ao invés de argumentos que lhes permitam formar suas próprias conclusões. Temos copiado mais do que criado, e isso é temerário. O risco não é sequer de voltar, mas de simplesmente não avançar como poderíamos.

Ouso dizer que nunca na história da humanidade tivemos acesso a uma gama tão grande de conhecimento e informação. Nunca foi tão simples acessar o patrimônio cultural da humanidade e, no entanto, nesse revolto oceano de informações falta-nos a navegabilidade. Falta-nos o norte. Sentimo-nos como se estivéssemos embarcados no Santa Maria sem, contudo, a bússola ou o astrolábio, ou ainda com eles, porém sem saber como usá-los.

Minha esperança? A de que sejamos capazes de encontrar esse norte o quanto antes; de que saibamos sair da introdução e desenvolver nosso pensamento de modo crítico, reflexivo; mas não para que sejamos capazes de concluir porém, curiosamente, de iniciar algo inteligentemente. Nossa espécie tem como nome Homo sapiens sapiens, e já passamos do tempo de fazer justiça a essa dupla citação ao termo latino para sabedoria.

Paulo Freire e a matemática do oprimido

Recentemente um amigo meu mencionou a respeito de uma tese de doutorado defendida na Universidade de São Paulo (USP), sobre a influência de Paulo Freire e Ubiratan D'Ambrosio na formação do professor de matemática no Brasil. Na tese defende-se que "os atuais processos de formação de professor de matemática ainda são fortemente sedimentados numa formação alienada aos ditames de uma sociedade de classes, que não permite ao futuro professor compreender e fazer uso da necessária autonomia inerente à sua atuação, o que o faz atuar como um intelectual orgânico a serviço da consolidação da hegemonia da classe dominante." 

Pois bem. Nesta postagem foco exclusivamente na influência de Paulo Freire sobre a educação brasileira, com ênfase na matemática. Sobre a obra de D'Ambrosio pretendo discutir em outro momento, apesar de haver importantes pontos em comum entre ambos os autores. 

Paulo Freire foi, sem dúvida alguma, um educador e um pensador. Não foi uma pessoa que apenas teorizava a respeito de educação, mas alguém que efetivamente alfabetizou, um indivíduo que fez a diferença em nosso país e fora dele. Além disso, sua extensa obra sobre educação o projetou internacionalmente, como um nome respeitável. 

No entanto, não podemos ignorar a exagerada, deturpada e aparentemente doentia veneração que existe em nosso país, quando o nome de Paulo Freire é lembrado. 

O livro mais famoso de Freire é Pedagogia do Oprimido, com dezenas de milhares de citações, tanto do texto original quanto de suas traduções para inglês, espanhol e hebraico. Neste texto Freire faz uma intrincada discussão sobre reflexos sociais e individuais de relações entre (socialmente) oprimidos e opressores. Seu foco é o processo educacional, o qual é um poderoso agente que pode ser usado tanto para exercer mudanças sociais como para simplesmente manter aquilo que muitos chamam de status quo. 

Antes de discutirmos de maneira mais detalhada algumas das teses de Freire, é importante esclarecer dois pontos comumente ignorados em nossa nação:

1) Freire deixa claro que Pedagogia do Oprimido é um aprofundamento de discussões promovidas em seu livro Educação Como Prática da Liberdade. No entanto, também deixa claro que o tema abordado é amplo, e que sua obra deve ser entendida como mera introdução. 

2) Freire também deixa claro que suas teses defendidas em Pedagogia do Oprimido são o resultado de simples observações feitas no Brasil e, posteriormente, no Chile, durante seu período de exílio político. Ou seja, ele não se sustentou em estudos científicos ou filosóficos para qualificar, por exemplo, como é possível "roubar a humanidade" de alguém. Neste sentido Freire combina, em seu livro, pensamento crítico, sobre o que observou, com uma visão pessoal (e, portanto, restrita às suas próprias limitações) sobre humanidade. 

Já chamei atenção, recentemente, para falhas graves de Jean Piaget, quando este importante pensador suíço afirmou que crianças são incapazes de pensar sobre o pensar. Por que Piaget errou? Porque pessoas, por mais inteligentes que sejam, estão sempre sujeitas ao auto-engano. Até mesmo a NASA já foi (coletivamente) vítima do auto-engano, resultando em uma das maiores tragédias da história da exploração do espaço.

Como o nome de Paulo Freire está fortemente associado a marcantes ideologias políticas, o auto-engano se torna ainda mais provável. É neste momento que boas ideias e discussões pertinentes passam a ser possíveis referências para visões preguiçosas e distorcidas sobre sociedade e educação. 

Assim como Piaget, Paulo Freire foi um precursor. Mas suas palavras não devem, em hipótese alguma, ser consideradas como conclusivas. 

O livro em questão, de Paulo Freire, pode ser facilmente interpretado como uma visão dicotômica da sociedade, dividindo-a em duas classes: opressores e oprimidos. Os opressores são violentos (podendo exercer violência até mesmo de forma mascarada por uma falsa generosidade) e os oprimidos temem a liberdade (não poderá a consciência crítica conduzir à desordem?). Esta é a leitura mais usual da obra de Freire. Exemplo disso é a tese acima citada, no primeiro parágrafo. 

No entanto, há uma outra maneira de ler Pedagogia do Oprimido. A relação entre opressor e oprimido, para Paulo Freire, é de notável riqueza. Segundo o próprio autor, "o ser menos leva os oprimidos, cedo ou tarde, a lutar contra quem os fez menos. E esta luta somente tem sentido quando os oprimidos, ao buscar recuperar sua humanidade, que é uma forma de criá-la, não se sentem idealistamente opressores, nem se tornam, de fato, opressores dos opressores, mas restauradores da humanidade em ambos."

Este é um ponto importantíssimo que Freire detalha em várias passagens do livro. 

A aparente dicotomia opressor-oprimido de Freire pode ser entendida como um ponto de partida para despertar atenção, um simbolismo, uma inspiração para apenas iniciar análises críticas sobre o espírito humano e a repercussão deste sobre a sociedade. Caso contrário, a leitura da obra de Freire se torna uma mera caricatura social. Isso porque existe uma riqueza fenomenal de classes sociais em nosso país, que não se reduzem a apenas duas. E isso se deve, em parte, ao fato de que o Brasil se insere em uma realidade maior do que ele próprio, chamada de mundo. 

Aqueles que estudam em escolas consideradas de elite em nosso país, não fazem parte de qualquer elite mundial. Tanto é verdade que há inúmeros exemplos de conteúdos matemáticos estudados de forma fragmentada e até errada em livros, apostilas e sala de aula, independentemente de classe social. Exemplos são encontrados em trigonometria, cálculo diferencial e integral, aritmética elementar, lógica e até história da matemática, entre muitos outros. Em nossas universidades há também uma resistência aparentemente intransponível para que professores estrangeiros possam lecionar em inglês. E como aprender matemática sem conhecimentos básicos de inglês? 

Esta semana houve um show em Porto Alegre, RS, de Jack White. Todos os milhares de fãs que acompanharam a apresentação do mestre de cerimônias dispensaram o tradutor. Eram mais de três mil jovens que reagiam instantaneamente à apresentação feita em inglês. Houve momento em que o tradutor se sentiu deslocado, pois todos ali entendiam o que era dito. Por que isso? Porque os fãs de Jack White são realmente fãs. Procuram entender toda a cultura associada à sua imagem artística e não apenas as músicas. É uma questão de motivação. Uma matemática lecionada de forma fragmentada e dogmática (com persistentes erros que causam uma desagradável impressão de arbitrariedade) é uma matemática que não motiva pessoa alguma. E se não há motivação, por que conhecer a cultura matemática mundial? Por que conhecer, por exemplo, inglês?

A condição de opressão, ressaltada por Paulo Freire, somente pode ser combatida, segundo ele mesmo, com a busca pela liberdade. O oprimido de Freire é uma pessoa sem liberdade. Porém, o autor ressalta que o medo da liberdade (comum ao oprimido) não apenas pode manter seu estado social de oprimido como pode, também, conduzi-lo a pretender ser um opressor. E este é um ponto que educadores, professores e pedagogos simplesmente não demonstram entender, quando o objetivo é discutir educação matemática. Isso porque a essência da matemática radica em sua liberdade. E essas palavras não são minhas, mas de Georg Cantor, o criador da teoria de conjuntos. Teoria de conjuntos é provavelmente a teoria mais massacrada pela ignorância de nossos educadores, professores e pedagogos. A prática mostra que a contagiante ignorância de nossos educadores é sim uma opressão contra o espírito livre da matemática. Consequentemente, é uma opressão sobre praticamente todos os inúmeros segmentos sociais de nosso país. Do ponto de vista da educação matemática, o Brasil inteiro é um estado oprimido por ele mesmo. Uma instituição como o IMPA não é um segmento social. É apenas uma instituição que luta para construir um segmento social.

Freire não conhecia matemática. E nem precisava. Mas se educadores pretendem aplicar ideias de Freire no ensino e na educação matemática de nosso país, certamente precisam conhecer muito bem esta área do saber. Caso contrário, estarão desrespeitando o espírito livre defendido pelo próprio Freire, como forma de combate à opressão. Matemática não é aquilo que se ensina em nossas escolas.

Ignorância é um agente de opressão. Mas um agente muito pior é a ilusão de conhecimento, a qual assola nosso país, especialmente as universidades. 

Cito um exemplo de ilusão de conhecimento no próprio livro de Freire. Segundo ele, "Quem melhor, que os oprimidos, se encontrará preparado para entender o significado terrível de uma sociedade opressora? Quem sentirá, melhor que eles, os efeitos da opressão?"

A primeira pergunta, de caráter retórico, sugere que o oprimido está melhor qualificado para compreender o significado de uma sociedade opressora. Isso, claro, é falso. Afinal, o oprimido de Freire pode ser facilmente compreendido como um ignorante, uma pessoa praticamente cega diante de questões sociais, educacionais, culturais, artísticas, científicas, religiosas, históricas. 

Já a segunda pergunta sugere que o oprimido sente de forma mais marcante os efeitos da opressão. Isso sim faz sentido. Afinal, uma pessoa com câncer sente os sintomas de sua doença. Mas isso não a qualifica para compreender o que exatamente é o câncer que invade o seu corpo. 

Freire defende um diálogo crítico e libertador com os oprimidos. Analogamente, um médico deve conversar com seu paciente, para melhor diagnosticá-lo. Mas não pode se limitar ao diálogo. Precisa de muito mais do que uma simples conversa. O médico precisa de ciência do mais alto nível para poder tratar o paciente.

Por um lado, cabe ao oprimido a busca pela liberdade sugerida por Freire. E, por outro, cabe ao opressor o real estímulo à liberdade de todos os segmentos sociais, começando pela sua própria. 

A ilusão que ameaça nosso sistema educacional e, particularmente, o ensino de matemática, é a crença de que noções superficiais sobre sociedade bastam para escrever teses e gritar em favor de movimentos políticos ingênuos e frequentemente mal intencionados. 

Estudemos Paulo Freire sim. Mas filtremos o que ele diz. E, mais importante, avancemos o que ele começou. 

É bem sabido que o conhecimento científico não é ainda acessível de forma democrática, seja no Brasil ou no mundo. Isso porque a indústria de periódicos científicos movimenta bilhões de dólares ao ano, sendo altamente lucrativa. É contra esse tipo de problema que devemos todos lutar. Não importa se uma pessoa estuda mecatrônica na USP ou separação silábica em uma aldeia no meio da floresta amazônica, todos devem ter acesso ao conhecimento. 

Pedagogia matemática sem matemática? Não, por favor. Isso não é conhecimento. 

Usando matemática para combater fanatismo

George Santayana é um dos nomes mais importantes da filosofia da primeira metade do século 20. O foco de sua obra reside nos processos criativos humanos em diferentes manifestações culturais, incluindo artes, filosofia, literatura, religião e ciências. Diferente de Russell, que percebia a religião como algo agressivamente nocivo à sociedade, Santayana entendia a religiosidade como uma postura que poderia ser benéfica.

Na visão de Santayana a ciência oferece explicações para fenômenos naturais. Já a poesia e a religião são celebrações festivas da vida humana. Se poesia ou religião forem confundidas com ciência, a arte da vida se perde junto com a beleza da poesia e da religião. Vale observar que Santayana não era religioso. Alguns até sugerem que ele era agnóstico. Isso demonstra claramente que Santayana tinha uma mente aberta para possíveis modos de percepção do mundo. Para este filósofo espanhol, radicado nos Estados Unidos, fanático é aquele que redobra seus esforços, perdendo de vista seus objetivos. E é esta visão que quero usar nesta postagem.

Uma postura consistente com o fanatismo discutido por Santayana é a adoção de padrões inflexíveis de julgamento, aliados à intolerância por ideias contrárias àquelas defendidas pelo fanático. De forma alguma isso sugere que o fanático seja uma pessoa que tenha a intenção de ser desonesta. Pelo contrário, a prática parece demonstrar que as ideias defendidas por um fanático são comumente expressas de uma maneira que jamais podem ser mostradas como falsas. Isto é, o fanático mergulha em um mundo que ignora a discussão crítica. Aliás, esta percepção sobre fanatismo já foi colocada por Neil Postman, um profissional da educação que defendeu ideias bastante radicais (fanáticas?).

Geralmente, quando se fala em fanatismo, pensa-se em apenas dois aspectos culturais: política e religião. No entanto, defendo aqui que o fanatismo se manifesta até mesmo em atividades culturais que deveriam (por natureza própria) evitá-lo: ciência, filosofia e educação. Neste texto quero dar especial ênfase à ciência e à educação, usando como exemplo crítico a matemática. 

Quando um professor de matemática defende que é impossível dividir um número real por zero, ele está sendo fanático. Isso porque redobra seus esforços (reprovando o aluno que pensa diferente) para impor um preconceito, perdendo de vista seu objetivo. Qual deveria ser o objetivo de um professor de matemática? Ensinar e educar matemática! Até mesmo o excelente site Wolfram erra gravemente, ao discutir sobre divisão por zero, ignorando discussões extremamente pertinentes promovidas em lógica. Veja, por exemplo, a página 163 deste livro. 

Quando um professor de matemática defende a inquestionabilidade da demonstração por redução ao absurdo, ele está sendo fanático. Isso porque redobra seus esforços (afirmando que matemática é uma ciência exata) para impor um preconceito, perdendo de vista seu objetivo. Afinal, matemática não se faz de uma única maneira. Existem múltiplas posturas filosóficas sobre como matemática deve ser desenvolvida. A lógica intuicionista de Brower, por exemplo, rejeita o princípio do terceiro excluído, fundamental para demonstrações por redução ao absurdo (do ponto de vista da lógica clássica). Brower era contrário ao preconceito de que todo problema matemático admite solução. E esta visão filosófica se confirmou mais de duas décadas depois, com os resultados de incompletude de Gödel. 

Muitos outros exemplos poderiam ser citados. Mas creio que isso já basta para o próximo passo desta postagem. 

Matemática lida com conceitos abstratos, tratados por meio de linguagens e lógicas rigorosamente definidas. Matemática, portanto, lida com universos de discurso supostamente controlados por aqueles que a concebem e desenvolvem. No entanto, os próprios matemáticos perceberam que este ramo do conhecimento é extraordinariamente aberto a visões filosóficas conflitantes entre si. Ou seja, por mais que se tente controlar o ambiente matemático com rigor e formalismo, jamais estamos livres da possibilidade de trabalharmos com novos universos, novas matemáticas. Exemplos disso são inúmeros, incluindo principalmente as geometrias não-euclidianas (que romperam com a milenar visão euclidiana sobre geometria) e as lógicas paraconsistentes (que evidenciaram um novo universo de lógicas nas quais contradições não implicam na trivialização de teorias). E mesmo que o matemático tenha a pretensão de ignorar visões alternativas sobre matemática, eventualmente até ele é pego de surpresa em seu próprio universo de estudos. Um exemplo bem conhecido é a postura formalista de Hilbert, que foi abalada pelo segundo teorema de incompletude de Gödel (apesar de alguns matemáticos ainda discordarem disso). Ou seja, matemática não é uma ciência tão exata assim. Ela é tão digna de discussões e controvérsias quanto qualquer outro ramo do conhecimento, apesar de suas controvérsias terem uma natureza ideológica diferente do que normalmente se encontra em política e religião. Usualmente pessoas não matam em nome da matemática. Mas matam em nome da política e da religião. Por quê?

Já um cientista político jamais pode ter a pretensão de lidar com ambientes controlados, como eventualmente o matemático sonha. Um cientista pode estudar matemática sem se preocupar com aspectos de ordem psicológica, social ou até mesmo prática. Já um cientista político não pode ignorar aspectos de caráter interdisciplinar. E, especialmente, não pode deixar de lado fenômenos sociais do mundo real. Neste sentido, a compreensão de política exige uma responsabilidade muito maior do que aquela demandada por uma compreensão da matemática. Tanto é verdade que hoje já se sabe que somente grupos de pessoas treinadas são capazes de fazer previsões políticas precisas. Cientistas políticos e demais especialistas, sozinhos, são incompetentes para prever o futuro político de nações, segundo pesquisas recentes de Philip Tetlock. 

Já religião toca em aspectos muito mais sutis, supostamente intangíveis pela racionalidade. Enquanto um matemático e um cientista político podem e devem apelar à racionalidade (sob diferentes formas), a fé religiosa não está compromissada com qualquer forma de razão, nos sentidos usuais do termo. Portanto, refletir de maneira responsável e aberta sobre religião é um desafio realmente monumental. 

Agora podemos tratar da questão proposta no título da postagem. Ciência e educação devem caminhar juntas. Cabe à ciência, entre outras coisas, a compreensão e a respectiva divulgação dos processos educacionais e cabe à educação o acompanhamento da ciência. Não se pode lecionar matemática, por exemplo, sem sintonia com a matemática que hoje se pratica. Se alunos forem expostos às incertezas e à multiplicidade de ideias matemáticas, eles deverão perceber que mesmo em universos idealizados não se tem controle absoluto sobre o que se faz. E se em universos sonhados por matemáticos nem sempre sabemos o que estamos fazendo, quem dirá em outras atividades culturais, como política e religião. 

Um mundo aberto a incertezas é um mundo livre de fanatismos. É claro que isso soa como uma utopia. Mas, assim como religiosos buscam o contato com Deus, é natural que busquemos idealizações. O sonho por um mundo livre de ideologias é também uma ideologia. E é justamente com essa contradição que precisamos aprender a lidar. Um professor que impõe conhecimentos supostamente matemáticos está apenas contribuindo para uma sensação gradualmente inserida de que há verdades inquestionáveis. Impossibilidade de dividir por zero não é uma verdade inquestionável. Usualmente não se define divisão por zero (no escopo dos números reais) por mera convenção. Deus não é uma verdade inquestionável, assim como Deus não é uma falsidade irrefutável. Democracia não é infalível, assim como ditadura não é inevitavelmente desastrosa. 

Defender ideologias é natural e fundamental. Mas quando a ideologia se torna irrefutável, com base em argumentos dela mesma, temos aqui a possibilidade muito real de puro fanatismo. E fanatismo é um fenômeno social que isola pessoas ou grupos de pessoas. Fanatismo desestabiliza sociedades. 

Ao contrário do que dita o senso comum, o fanatismo nem sempre está associado a entusiasmo exagerado, mas pode se manifestar também por um zelo irracional ou por simples noções extravagantes a respeito de um assunto. O zelo de um professor de matemática por um conteúdo específico (como a impossibilidade de dividir por zero) pode ser perigosamente confundido com uma atitude racional. Afinal, o professor de matemática usa o argumento de que o número real r não pode ser dividido por zero porque é impossível exibir um número real s tal que s vezes zero resulte em r. Com efeito, s vezes zero é sempre zero. Mas esta estratégia de argumentação ignora a visão da teoria de definições. É neste momento que o professor jamais olha para fora do conteúdo imposto, limitando sua visão e tornando-se um fanático. Não é necessariamente um fanático que grita e briga. Pode ser um fanático que apenas ri do aluno questionador, sugerindo que este seja um mero ignorante. Mas ainda é um fanático.

Nossas escolas, com suas lições de respostas definitivas para questões de múltiplas escolhas, apenas contaminam o senso crítico de nossos jovens. E jovens sem senso crítico se transformam em adultos sem senso crítico. Se existe a ideologia de transformar o Brasil em uma democracia, este sonho jamais será realizado com o atual sistema de ensino. E um ótimo ponto de partida para começar qualquer revolução no ensino brasileiro é a matemática.